Método Gráfico

Solución de Modelos de Programación Lineal

Programación Lineal

2026-04-07

¿Qué es el Método Gráfico?

El método gráfico permite visualizar y resolver modelos de PL con dos variables de decisión.

¿Cuándo usarlo?

Cuando el modelo tiene exactamente 2 variables (\(x_1\) y \(x_2\)). Para 3 o más variables se usa el Simplex.

Pasos generales:

  1. Formular el modelo matemático
  2. Graficar cada restricción como recta
  3. Identificar la región factible
  4. Evaluar la FO en los vértices
  5. Seleccionar el óptimo

Paso 1 — Formulación del Modelo

Problema: Una empresa produce mesas (x₁) y sillas (x₂).

Recurso Mesa Silla Disponible
Madera (m²) 2 1 14
Mano de obra (h) 1 2 14
Utilidad ($) 5 4 —

Modelo matemático:

\[\text{Maximizar: } Z = 5x_1 + 4x_2\]

\[\text{s.a.} \quad 2x_1 + x_2 \leq 14 \quad \text{(madera)}\] \[\quad x_1 + 2x_2 \leq 14 \quad \text{(mano de obra)}\] \[\quad x_1, x_2 \geq 0\]

Paso 2 — Graficar las Restricciones

Restricción 1: \(2x_1 + x_2 = 14\)

Para graficarla, hallamos dos puntos:

Si \(x_1 = 0\) \(\Rightarrow x_2 = 14\) → punto (0, 14)
Si \(x_2 = 0\) \(\Rightarrow x_1 = 7\) → punto (7, 0)

Restricción 2: \(x_1 + 2x_2 = 14\)

Si \(x_1 = 0\) \(\Rightarrow x_2 = 7\) → punto (0, 7)
Si \(x_2 = 0\) \(\Rightarrow x_1 = 14\) → punto (14, 0)

Nota

La región factible es el área donde todas las restricciones se cumplen simultáneamente (incluyendo \(x_1, x_2 \geq 0\)).

Paso 3 — Región Factible (Vértices)

Los vértices se obtienen intersectando las rectas límite:

Vértice A: (0, 0) — origen, siempre factible si no hay restricciones de mínimo.

Vértice B: (7, 0) — intersección de R1 con eje \(x_1\).

Vértice C: (?, ?) — intersección entre R1 y R2. Resolvemos el sistema:

\[2x_1 + x_2 = 14\] \[x_1 + 2x_2 = 14\]

Multiplicamos R2 × 2: \(\; 2x_1 + 4x_2 = 28\)

Restamos R1: \(\; 3x_2 = 14 \Rightarrow x_2 = 14/3 \approx 4.67\)

Sustituimos: \(\; x_1 = 14 - 2(14/3) = 14/3 \approx 4.67\)

→ Vértice C: (14/3, 14/3)

Vértice D: (0, 7) — intersección de R2 con eje \(x_2\).

Paso 4 — Evaluar la Función Objetivo

Vértice \(x_1\) \(x_2\) \(Z = 5x_1 + 4x_2\)
A 0 0 0
B 7 0 35
C 14/3 14/3 \(5(4.67)+4(4.67) = 42\)
D 0 7 28

¡El máximo es Z = 42! 🎯

En el punto C = (14/3, 14/3), es decir, producir ≈ 4.67 mesas y 4.67 sillas.

En producción real, se redondea o se aplica programación entera.

Paso 5 — Interpretación

✅ Solución óptima: \(x_1 = x_2 = 14/3 \approx 4.67\) unidades de cada producto.

✅ Utilidad máxima: \(Z = \$42\).

✅ Recursos usados: - Madera: \(2(4.67) + 4.67 = 14\) m² → restricción activa (agotada) - Mano de obra: \(4.67 + 2(4.67) = 14\) h → restricción activa (agotada)

Tip

Cuando una restricción está activa en el óptimo, su recurso se usó completamente. Si hubiera más disponible, podría aumentar la utilidad.

Resumen del Método Gráfico

  1. Formular el modelo (FO + restricciones)
  2. Graficar cada restricción como línea recta (2 puntos por recta)
  3. Identificar la región factible (lado correcto de cada restricción)
  4. Encontrar los vértices (intersecciones algebraicas)
  5. Evaluar la FO en cada vértice
  6. Seleccionar el vértice con mayor Z (máx) o menor Z (mín)

Limitación clave

Solo aplica para modelos con exactamente 2 variables. Para más variables → Método Simplex.

Ejercicio Propuesto en Clase

Resolver gráficamente:

\[\text{Maximizar: } Z = 3x_1 + 2x_2\]

\[2x_1 + x_2 \leq 18\] \[x_1 + x_2 \leq 12\] \[x_1 \leq 8\] \[x_1, x_2 \geq 0\]

Pista

Hay 4 restricciones (incluyendo no negatividad). Identifica cuáles generan vértices activos en la región factible.