Pregunta 1

Dibuje el diagrama de Venn que describe el siguiente fenómeno.

Algunas empresas innovan generando nuevos productos, otras generan nuevos servicios, y algunas generan ambos. Toda empresa que invierta en investigación y desarrollo (I+D) genera nuevos productos, o nuevos servicios o ambos, pero lo inverso no es cierto: algunas empresas generan nuevos productos, servicios o ambos sin invertir en I+D.

Respuesta

Designemos los conjuntos con las siguientes letras:

P = Empresas que innovan en nuevos productos
S = Empresas que innovan en nuevos servicios
ID = Empresas que invierten en I+D

Debido a que toda empresa que invierte en I+D genera nuevos productos o servicios, esto implica que ID es un subconjunto de la unión de P y S. \[ID \subseteq (P \cup S)\] El hecho que algunas empresas generan nuevos productos o servicios sin invertir en I+D implica que I+D es un subconjunto propio de ID. \[ID \subset (P \cup S)\] Entonces el diagrama de Venn es:

Pregunta 2

Demuestre la veracidad o falsedad de la siguiente aseveración:

\[\forall n,m \in \mathbb N \ nm > m\] ¿Cómo se llama el tipo de demostración que usó?

Respuesta

Basta con encontrar un contraejemplo para demostrar la falsedad de la aseveración. Si \(n=1\), la aseveración es falsa para todo m:

\[nm = 1 \cdot m = m \ngtr m\] Este es el tipo de demostración por contraejemplo.

Pregunta 3

Resuelva la siguiente ecuación cuadrática: \[2x^2 - 3x + 1 = 0\] ¿Las raíces son reales o complejas?

Respuesta

Usamos la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\] Para la ecuación dada: \[a = 2\] \[b = -3\] \[c = 1\]

\[\therefore x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}\] \[\therefore x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{4}\] \[\therefore x = \frac{3 \pm 1}{4}\] Entonces las raíces son: \[x_1 = 1\] \[x_2 = \frac{1}{2}\] Estas raíces son reales.