Aufgabe 20: Nachweis der Stammfunktion

Um nachzuweisen, dass \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, müssen wir zeigen, dass die Ableitung von \(F\) genau \(f\) ergibt: \(F'(x) = f(x)\).

Teilaufgabe a)

Gegeben: \(F(x) = (-x - 1) \cdot e^{-x}\)
\(f(x) = x \cdot e^{-x}\)

Lösungsschritt: Ableiten mit der Produktregel Da \(F(x)\) ein Produkt aus \(u(x) = (-x - 1)\) und \(v(x) = e^{-x}\) ist, verwenden wir die Produktregel: \((u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'\).

  1. Bestimme die Einzelteile:

    • \(u(x) = -x - 1 \implies u'(x) = -1\)
    • \(v(x) = e^{-x} \implies v'(x) = -e^{-x}\) (Kettenregel beachten!)

  2. Einsetzen in die Formel: \[F'(x) = (-1) \cdot e^{-x} + (-x - 1) \cdot (-e^{-x})\]

  3. Vereinfachen: \[F'(x) = -e^{-x} + (x + 1) \cdot e^{-x}\] (Das Minus vor der Klammer und das Minus im \(v'\) heben sich zu Plus auf)

  4. Ausklammern von \(e^{-x}\): \[F'(x) = e^{-x} \cdot (-1 + x + 1)\] \[F'(x) = e^{-x} \cdot x\] \[F'(x) = x \cdot e^{-x}\]

Ergebnis: Da \(F'(x) = f(x)\), ist der Nachweis erbracht.

Teilaufgabe b)

Gegeben: \(F(x) = 2x \cdot e^{2x} - e^{2x}\)
\(f(x) = 4x \cdot e^{2x}\)

Lösungsschritt: Ableiten Wir leiten die beiden Terme von \(F(x)\) getrennt ab. Für den ersten Term \(2x \cdot e^{2x}\) nutzen wir wieder die Produktregel.

  1. Ableitung des ersten Terms (\(2x \cdot e^{2x}\)):

    • \(u(x) = 2x \implies u'(x) = 2\)
    • \(v(x) = e^{2x} \implies v'(x) = 2e^{2x}\)
    • Ableitung: \(2 \cdot e^{2x} + 2x \cdot (2e^{2x}) = 2e^{2x} + 4xe^{2x}\)

  2. Ableitung des zweiten Terms (\(-e^{2x}\)):

    • Ableitung: \(-2e^{2x}\)

  3. Zusammenführen zu \(F'(x)\): \[F'(x) = (2e^{2x} + 4xe^{2x}) - 2e^{2x}\]

  4. Vereinfachen: Die Terme \(2e^{2x}\) und \(-2e^{2x}\) heben sich gegenseitig auf. \[F'(x) = 4x \cdot e^{2x}\]

Ergebnis: Da \(F'(x) = f(x)\), ist auch hier der Nachweis erbracht.