Bestimmen Sie zur Funktion \(f\) diejenige Stammfunktion \(F\) mit der Bedingung \(F(1) = -1\).
Um eine spezifische Stammfunktion zu finden, gehen wir in zwei Schritten vor: 1. Allgemeine Stammfunktion bestimmen: Wir bilden das unbestimmte Integral \(\int f(x) \, dx = F(x) + C\). Das \(C\) steht für eine beliebige Konstante. 2. Konstante \(C\) berechnen: Wir setzen den Punkt \((1 | -1)\) in die Gleichung ein und lösen nach \(C\) auf.
1. Allgemeine Stammfunktion: Wir wenden die Potenzregel der Integration an (\(\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}\)): \[F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 + C\]
2. \(C\) bestimmen mit \(F(1) = -1\): \[\frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{2}(1)^2 + C = -1\] \[\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + C = -1\] \[-0,25 + C = -1 \quad | +0,25\] \[C = -0,75 = -\frac{3}{4}\]
Ergebnis: \[F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{4}\]
1. Allgemeine Stammfunktion: Bei der Exponentialfunktion \(e^{ax+b}\) müssen wir durch die Ableitung des Exponenten (innere Ableitung) teilen: \[F(x) = \frac{1}{2} e^{2x-2} + C\]
2. \(C\) bestimmen mit \(F(1) = -1\): \[\frac{1}{2} e^{2(1)-2} + C = -1\] \[\frac{1}{2} e^{0} + C = -1\] Da \(e^0 = 1\) ist: \[\frac{1}{2} + C = -1 \quad | -\frac{1}{2}\] \[C = -1,5 = -\frac{3}{2}\]
Ergebnis: \[F(x) = \frac{1}{2} e^{2x-2} - \frac{3}{2}\]
1. Allgemeine Stammfunktion: Die Stammfunktion von \(\cos(x)\) ist \(\sin(x)\). Da die innere Ableitung von \((x-1)\) einfach \(1\) ist, ändert sich am Vorfaktor nichts: \[F(x) = \sin(x-1) + C\]
2. \(C\) bestimmen mit \(F(1) = -1\): \[\sin(1-1) + C = -1\] \[\sin(0) + C = -1\] Da \(\sin(0) = 0\) ist: \[0 + C = -1\] \[C = -1\]
Ergebnis: \[F(x) = \sin(x-1) - 1\]