Der Hauptsatz besagt, dass wir zuerst eine Stammfunktion \(F(x)\) finden müssen. Dann setzen wir die obere Grenze ein und subtrahieren den Wert der unteren Grenze.
Stammfunktion finden: Die Regel für Potenzen
lautet: \(\int x^n dx =
\frac{1}{n+1}x^{n+1}\).
Für \(3x^2\) ist die Stammfunktion
\(F(x) = x^3\) (denn die Ableitung von
\(x^3\) ist \(3x^2\)).
Grenzen einsetzen: \[\int_{1}^{3} 3x^2 \, dx = [x^3]_{1}^{3}\] \[= 3^3 - 1^3\] \[= 27 - 1 = \mathbf{26}\]
Stammfunktion finden: Die Stammfunktion von \(2x\) ist \(F(x) = x^2\).
Grenzen einsetzen: \[\int_{0}^{4} 2x \, dx = [x^2]_{0}^{4}\] \[= 4^2 - 0^2\] \[= 16 - 0 = \mathbf{16}\]
Stammfunktion finden: Hier wenden wir die Potenzregel an: \(F(x) = \frac{1}{3}x^3\).
Grenzen einsetzen: \[\int_{2}^{4} x^2 \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{2}^{4}\] \[= \left(\frac{1}{3} \cdot 4^3\right) - \left(\frac{1}{3} \cdot 2^3\right)\] \[= \frac{64}{3} - \frac{8}{3}\] \[= \frac{56}{3} \approx \mathbf{18,67}\]
Stammfunktion finden: Die Stammfunktion einer
konstanten Zahl \(k\) ist einfach \(k \cdot x\).
Hier also \(F(x) = 3x\).
Grenzen einsetzen: \[\int_{100}^{150} 3 \, dx = [3x]_{100}^{150}\] \[= (3 \cdot 150) - (3 \cdot 100)\] \[= 450 - 300 = \mathbf{150}\]