Aufgabe 13: Bestimmen einer Stammfunktion

Um eine Stammfunktion \(F(x)\) einer Potenzfunktion \(f(x) = (ax + b)^n\) zu finden, nutzen wir zwei zentrale Regeln der Integralrechnung:

  1. Potenzregel: Erhöhe den Exponenten um 1 und teile durch den neuen Exponenten.
  2. Lineare Substitution (Nachdifferenzieren rückwärts): Da im Inneren der Klammer ein linearer Term \((ax+b)\) steht, müssen wir beim Integrieren mit dem Kehrwert der inneren Ableitung (also \(\frac{1}{a}\)) multiplizieren.

Allgemeine Formel: \[F(x) = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{n+1} \cdot (ax + b)^{n+1}\]

Einzellösungen

a) \(f(x) = x^{-3}\)

  • Regel: Einfache Potenzregel.
  • Rechnung: \(F(x) = \frac{1}{-3+1} x^{-3+1} = \frac{1}{-2} x^{-2}\)
  • Ergebnis: \(F(x) = -\frac{1}{2x^2}\)

b) \(f(x) = (2x + 1)^{-2}\)

  • Innere Ableitung: \(a = 2\), also Faktor \(\frac{1}{2}\).
  • Rechnung: \(F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{-1} (2x + 1)^{-1}\)
  • Ergebnis: \(F(x) = -\frac{1}{2(2x+1)}\)

c) \(f(x) = (5 - x)^{-4}\)

  • Innere Ableitung: \(a = -1\), also Faktor \(\frac{1}{-1} = -1\).
  • Rechnung: \(F(x) = (-1) \cdot \frac{1}{-3} (5 - x)^{-3}\)
  • Ergebnis: \(F(x) = \frac{1}{3(5-x)^3}\)

d) \(f(x) = 4(3x + 1)^{-5}\)

  • Konstante: Die \(4\) bleibt als Faktor stehen.
  • Innere Ableitung: \(a = 3\), also Faktor \(\frac{1}{3}\).
  • Rechnung: \(F(x) = 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{-4} (3x + 1)^{-4}\)
  • Kürzen: Die \(4\) im Zähler und die \(-4\) im Nenner heben sich zu \(-1\) auf.
  • Ergebnis: \(F(x) = -\frac{1}{3(3x+1)^4}\)

e) \(f(x) = \frac{1}{x^2}\)

  • Umschreiben: \(f(x) = x^{-2}\)
  • Rechnung: \(F(x) = \frac{1}{-1} x^{-1}\)
  • Ergebnis: \(F(x) = -\frac{1}{x}\)

f) \(f(x) = \frac{1}{(1 - x)^3}\)

  • Umschreiben: \(f(x) = (1 - x)^{-3}\)
  • Innere Ableitung: \(a = -1\).
  • Rechnung: \(F(x) = \frac{1}{-1} \cdot \frac{1}{-2} (1 - x)^{-2}\)
  • Ergebnis: \(F(x) = \frac{1}{2(1-x)^2}\)

Tipp für die Klausur: Leite dein Ergebnis im Kopf kurz ab (Kettenregel!). Wenn du wieder bei \(f(x)\) landest, ist deine Stammfunktion korrekt.