Introducción y Definiciones Básicas

La inferencia estadística es una rama de la estadística que se encarga de hacer generalizaciones sobre una población basándose en una muestra representativa de esa población.

Vamos a explorar conceptos fundamentales de las proporciones poblacionales, incluyendo la estimación puntual, el valor Z, el margen de error y los intervalos de confianza. Estos conceptos son esenciales para entender cómo podemos usar datos muestrales para hacer afirmaciones sobre una población más grande.

Estimar una Proporción Poblacional

  • Definición: Estimar una proporción poblacional implica usar datos de una muestra para aproximar la proporción de individuos en una población que presentan una característica determinada.
  • Fórmula para la Proporción Muestral (\(\hat{p}\) ):
    \[ \hat{p} = \frac{x}{n} \] donde \(x\) es el número de éxitos en la muestra, y \(n\) es el tamaño de la muestra.

Valor Z

  • Definición: El valor Z es un puntaje estándar que indica cuántas desviaciones estándar un valor de una proporción está por encima o por debajo de la media en una distribución normal.
  • Cálculo del Valor Z: \[ Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1 - p_0)}{n}}} \] donde:
    • \(\hat{p}\): Proporción muestral
    • \(p_0\): Valor de la hipótesis nula
    • \(n\): Tamaño de la muestra

Margen de Error

  • Definición: El margen de error es la cantidad de incertidumbre asociada con una estimación basada en una muestra.
  • Fórmula:
    \[ E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \] donde:
    • \(Z\): Puntaje Z correspondiente al nivel de confianza (por ejemplo, 1.96 para 95%)
    • \(\hat{p}\): Proporción muestral
    • \(n\): Tamaño de la muestra

Intervalo de Confianza

  • Definición: Un intervalo de confianza es un rango de valores dentro del cual es probable que se encuentre el verdadero valor de un parámetro poblacional, con un cierto nivel de confianza.
  • Fórmula para un Intervalo de Confianza: \[ \hat{p} \pm E \] donde:
    • \(\hat{p}\): Proporción muestral
    • \(E\): Margen de error

Contexto General para los Ejercicios de Inferencia Estadística

Algunos estudios indican que la población de Puerto Rico tiene entre un 14% a 60% de ADN taíno (dependiendo del tipo de análisis: cromosoma Y o ADN mitocondrial, respectivamente), lo que refleja la herencia indígena de la isla. A partir de estos datos, exploraremos dos escenarios (asumiendo proporciones de 14% y 60%) para practicar conceptos fundamentales de la inferencia estadística.

Ejercicio 1: Estimación Puntual y Variabilidad Muestral

Objetivo: Entender que una estimación puntual (la proporción de una muestra) varía cada vez que tomamos una muestra diferente.

Escenario A: Población con 14% de ADN Taíno

  1. Crear una población simulada de 3,000,000 de personas con un 14% de ADN taíno.
  2. Tomar muestras aleatorias de 200 personas y comparar las proporciones.
# 1. Crear la población
tamano_poblacion <- 3000000
proporcion_real <- 0.14
poblacion_14 <- c(rep("Posee ADN taíno", tamano_poblacion * proporcion_real),
                  rep("No posee ADN taíno", tamano_poblacion * (1 - proporcion_real)))

# 2. Tomar la primera muestra y calcular la proporción
set.seed(111) 
muestra_1 <- sample(poblacion_14, 200)
prop_muestra_1 <- sum(muestra_1 == "Posee ADN taíno") / length(muestra_1)

# 3. Tomar la segunda muestra y calcular la proporción
set.seed(113) 
muestra_2 <- sample(poblacion_14, 200)
prop_muestra_2 <- sum(muestra_2 == "Posee ADN taíno") / length(muestra_2)

# 4. Imprimir y comparar los resultados
cat("Proporción en la Muestra 1 (14% real):", prop_muestra_1, "\n")
## Proporción en la Muestra 1 (14% real): 0.185
cat("Proporción en la Muestra 2 (14% real):", prop_muestra_2, "\n")
## Proporción en la Muestra 2 (14% real): 0.13

Interpretación: Las dos proporciones muestrales son diferentes entre sí y distintas de la proporción real (0.14). Esto demuestra la variabilidad del muestreo.

Extensión 1: Repite el proceso de tomar muestras dos veces más (usa otras semillas set.seed(): 222 y 333).

Escenario B: Población con 60% de ADN Taíno

Haremos el mismo ejercicio asumiendo un 60% de ADN taíno en la población.

# Generar población del 60%
pob60taina <- c(rep("taina", 0.60 * tamano_poblacion), 
                rep("no_taina", 0.40 * tamano_poblacion))

# Tomar primera muestra aleatoria
set.seed(123)
muestra_60_1 <- sample(pob60taina, 200, replace=FALSE)
prop_muestra_60_1 <- sum(muestra_60_1 == "taina") / length(muestra_60_1)

# Tomar segunda muestra aleatoria
set.seed(456)
muestra_60_2 <- sample(pob60taina, 200, replace=FALSE)
prop_muestra_60_2 <- sum(muestra_60_2 == "taina") / length(muestra_60_2)

cat("Proporción en la Muestra 1 (60% real):", prop_muestra_60_1, "\n")
## Proporción en la Muestra 1 (60% real): 0.625
cat("Proporción en la Muestra 2 (60% real):", prop_muestra_60_2, "\n")
## Proporción en la Muestra 2 (60% real): 0.6

Ejercicio 2: El Teorema del Límite Central en Acción

Objetivo: Visualizar cómo se distribuyen las proporciones muestrales y entender el Teorema del Límite Central (TLC).

Distribución de 10,000 muestras (Población 14%)

Tomaremos 10,000 muestras de 200 personas y graficaremos su distribución.

num_simulaciones <- 10000
tamano_muestra <- 200
proporciones_muestrales <- numeric(num_simulaciones)

set.seed(222)
for (i in 1:num_simulaciones) {
  muestra <- sample(poblacion_14, tamano_muestra)
  proporciones_muestrales[i] <- sum(muestra == "Posee ADN taíno") / length(muestra)
}

resultados_df <- data.frame(Proporciones = proporciones_muestrales)

ggplot(resultados_df, aes(x = Proporciones)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), binwidth = 0.01, fill = "dodgerblue", color = "black", alpha = 0.7) +
  geom_vline(xintercept = proporcion_real, color = "orange", linetype = "dashed", linewidth = 1.0) +
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = mean(proporciones_muestrales), sd = sd(proporciones_muestrales)), color = "darkred", linewidth = 1) +
  labs(title = "Distribución de Proporciones Muestrales (n=200, p=0.14)", x = "Proporción Muestral", y = "Densidad") +
  theme_minimal()

Interpretación: El histograma muestra una distribución en forma de campana (normal), centrada en la proporción real de la población (0.14).

Extensión 2: Cambia el tamaño de la muestra a 10. ¿Cómo afecta esto la forma de la distribución?

Extensión 3: Cambia el número de simulaciones a 100. Indica cómo cambia la distribución.

Efecto del Tamaño de la Muestra (Población 60%)

Comparemos qué sucede cuando aumentamos el tamaño de la muestra de \(n=200\) a \(n=1000\).

# Simulación para n=200
proporciones_200 <- numeric(num_simulaciones)
set.seed(123)
for (i in 1:num_simulaciones) {
  muestra <- sample(pob60taina, 200, replace = FALSE)
  proporciones_200[i] <- sum(muestra == "taina") / length(muestra)
}
resultados_200 <- data.frame(ProporcionTaina = proporciones_200)

histo200 <- ggplot(resultados_200, aes(x = ProporcionTaina)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.01, fill = "skyblue", color = "black") +
  labs(title = "Muestra n=200", x = "Proporción", y = "Frecuencia") +
  xlim(0.45, 0.75) + ylim(0, 2750) + theme_minimal()

# Simulación para n=1000
proporciones_1000 <- numeric(num_simulaciones)
set.seed(123)
for (i in 1:num_simulaciones) {
  muestra <- sample(pob60taina, 1000, replace = FALSE)
  proporciones_1000[i] <- sum(muestra == "taina") / length(muestra)
}
resultados_1000 <- data.frame(ProporcionTaina = proporciones_1000)

histo1000 <- ggplot(resultados_1000, aes(x = ProporcionTaina)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.01, fill = "skyblue", color = "black") +
  labs(title = "Muestra n=1000", x = "Proporción", y = "Frecuencia") +
  xlim(0.45, 0.75) + ylim(0, 2750) + theme_minimal()

# Comparar histogramas
grid.arrange(histo200, histo1000, ncol = 2)

Error Estándar: Mientras más grande es la muestra, menor es el error estándar y mayor es la precisión. La fórmula del error estándar de la proporción es: \[ SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

Ejercicio 3: Cálculo e Interpretación de un Intervalo de Confianza

Objetivo: Calcular un rango de valores plausibles para el parámetro poblacional.

La fórmula para el intervalo de confianza del 95% es:
\[ \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]

Cálculo con la muestra del 14%

p_hat <- prop_muestra_1 # Proporción de la primera muestra (aprox 0.19)
n <- 200
nivel_confianza <- 0.95

z_score <- qnorm(1 - (1 - nivel_confianza) / 2)
error_estandar <- sqrt((p_hat * (1 - p_hat)) / n)
margen_de_error <- z_score * error_estandar

limite_inferior <- p_hat - margen_de_error
limite_superior <- p_hat + margen_de_error

cat("Estimación Puntual (p̂):", p_hat, "\n")
## Estimación Puntual (p̂): 0.185
cat("Intervalo de Confianza del 95%: [", limite_inferior, ",", limite_superior, "]\n")
## Intervalo de Confianza del 95%: [ 0.1311857 , 0.2388143 ]

Interpretación: Tenemos un 95% de confianza en que la verdadera proporción de todos los puertorriqueños que poseen ADN taíno se encuentra dentro de este intervalo. Nota que el valor real (0.14) está dentro.

Extensión 4: Cambia el nivel de confianza a 90% y 99%. ¿Cómo afecta esto el ancho del intervalo?

Ejercicio 4: Pruebas de Hipótesis

Marco Teórico

  1. Establecer las hipótesis:
    • Hipótesis nula (\(H_0\)): La afirmación que se desea probar (ej. \(p = p_0\)).
    • Hipótesis alternativa (\(H_a\)): La afirmación que se desea apoyar (ej. \(p \neq p_0\)).
  2. Elegir un nivel de significancia (\(\alpha\)): Comúnmente 0.05.
  3. Valor p: Probabilidad de observar un estadístico igual o más extremo bajo \(H_0\).
  4. Decisión: Rechazar \(H_0\) si el valor \(p\) < \(\alpha\).

Prueba Analítica (Escenario 14%)

Un investigador piensa que la proporción de ADN taíno es menor en Culebra. Su muestra (n = 200) arrojó una proporción de 9.5%.

  • \(H_0\): \(p \geq 0.14\)
  • \(H_a\): \(p < 0.14\)
# Parámetros de la nueva prueba
n_culebra <- 200 # Asumiendo el mismo tamaño de muestra (n=200)
prop_observada <- 0.095
p_nula <- 0.14

# Calcular el número de éxitos (personas con ADN taíno en la muestra)
exitos_culebra <- round(prop_observada * n_culebra) 

# 1. Realizar la prueba de hipótesis analítica
# H0: p >= 0.14 (R usa la igualdad para el cálculo del p-value)
# Ha: p < 0.14
resultado_test_culebra <- prop.test(
  x = exitos_culebra, 
  n = n_culebra, 
  p = p_nula,
  alternative = "less", # Prueba de cola izquierda
  correct = FALSE       # Sin corrección de Yates para mantener consistencia
)

# Imprimir el resultado numérico
print(resultado_test_culebra)
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  exitos_culebra out of n_culebra, null probability p_nula
## X-squared = 3.3638, df = 1, p-value = 0.03332
## alternative hypothesis: true p is less than 0.14
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.1347093
## sample estimates:
##     p 
## 0.095
# 2. Visualización Gráfica de la Prueba
# Calcular la desviación estándar bajo H0
sd_nula <- sqrt((p_nula * (1 - p_nula)) / n_culebra)

# Crear la gráfica
ggplot(data.frame(x = c(0.05, 0.25)), aes(x = x)) +
  # Curva normal teórica bajo H0
  stat_function(fun = dnorm, args = list(mean = p_nula, sd = sd_nula), 
                color = "darkgreen", linewidth = 1) +
  # Línea de la hipótesis nula (0.14)
  geom_vline(xintercept = p_nula, color = "red", linetype = "dashed", linewidth = 1) +  
  # Línea de la proporción observada (0.12)
  geom_vline(xintercept = prop_observada, color = "blue", linetype = "dashed", linewidth = 1) +  
  # Área sombreada de rechazo (alfa = 0.05, cola izquierda)
  stat_function(fun = dnorm, 
                args = list(mean = p_nula, sd = sd_nula),
                xlim = c(0.05, qnorm(0.05, mean = p_nula, sd = sd_nula)),
                geom = "area", fill = "red", alpha = 0.3) +
  labs(
    title = "Prueba de Hipótesis: ADN Taíno en Culebra",
    subtitle = "H0: p = 0.14 (rojo) | Observado: p = 0.095 (azul)",
    x = "Proporción Muestral",
    y = "Densidad"
  ) +
  theme_minimal()

Conclusión: Si el valor p es menor a \(\alpha\) = 0.05, rechazamos la hipótesis nula.

Extensión 5: ¿Cómo cambiarías las hipótesis y el resultado si el investigador solo indica de antemano que la proporción es diferente? Usa alternative = "two.sided".

Prueba por Simulación (Escenario 60%)

Vamos a evaluar si una proporción observada en Culebra del 65% o del 70% es significativamente mayor que el 60% nacional, utilizando nuestras 10,000 simulaciones previas.

  • \(H_0\): \(p \leq 0.60\)
  • \(H_a\): \(p > 0.60\)
# Graficar la distribución bajo H0 (p=0.60) y las líneas de interés
ggplot(resultados_200, aes(x = ProporcionTaina)) +
  geom_histogram(binwidth = 0.005, fill = "skyblue", color = "black") +
  geom_vline(xintercept = 0.60, color = "red", linetype = "dashed", linewidth = 1) +  
  geom_vline(xintercept = 0.65, color = "blue", linetype = "dashed", linewidth = 1) +  
  geom_vline(xintercept = 0.70, color = "purple", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  labs(
    title = "Simulación de Pruebas de Hipótesis",
    subtitle = "H0: 0.60 (roja) | Observadas: 0.65 (azul), 0.70 (morada)",
    x = "Proporción de ADN Taíno",
    y = "Frecuencia"
  ) +
  xlim(0.5, 0.8) + theme_minimal()

# Prueba para 65%
valor_p_65 <- sum(proporciones_200 >= 0.65) / num_simulaciones
cat("El valor p para 65% es:", valor_p_65, "\n")
## El valor p para 65% es: 0.0843
if (valor_p_65 <= 0.05) {
  cat("Rechazamos H0: La proporción 0.65 es significativamente mayor que 0.60.\n\n")
} else {
  cat("No rechazamos H0: No hay evidencia suficiente para concluir que 0.65 es mayor que 0.60.\n\n")
}
## No rechazamos H0: No hay evidencia suficiente para concluir que 0.65 es mayor que 0.60.
# Prueba para 70%
valor_p_70 <- sum(proporciones_200 >= 0.70) / num_simulaciones
cat("El valor p para 70% es:", valor_p_70, "\n")
## El valor p para 70% es: 0.0029
if (valor_p_70 <= 0.05) {
  cat("Rechazamos H0: La proporción 0.70 es significativamente mayor que 0.60.\n")
} else {
  cat("No rechazamos H0: No hay evidencia suficiente para concluir que 0.70 es mayor que 0.60.\n")
}
## Rechazamos H0: La proporción 0.70 es significativamente mayor que 0.60.