ジニ係数とローレンツ曲線
文学部棟 L510, tell 0757532446
2026-04-04
不平等の指標
- 所得や資産の不平等の指標として最もよく使われているのがジニ係数
- 変動係数や四分位範囲、四分位範囲を中央値で割った値（四分位範囲はスケールによって変わるが、中央値で割るとスケールに依存しなくなる）、20-80 パーセンタイル範囲が用いられることも
- ジニ係数とセットで紹介されるのがローレンツ曲線
ジニ係数の定義
\(i\) さんの収入を \(x_i \; (i = 1, \, 2, \; \ldots, \; N)\) 、\(x_i\) の平均を \(\bar x\) とすると、収入のジニ係数は、 \[
\frac{\sum_{i = 1} ^ N \sum_{j=1} ^N |x_i - x_j|}{2 N^2 \bar x}
\]
- すべての値の組み合わせで差をとって、それらを平均し、最大値が \(1\) になるように標準化したのがジニ係数、といえようか。
- テキスト本文の定義と少し式が違うが、両者は等しい。テキストは手計算向き、こちらはコンピュータ向きの表現
ジニ係数の計算例
- あるサークルに属する学生 3人の所有資産（単位：万円）が、5, 20, 100だったとする。
- \(N= 3\) 、\(\bar x = 41.7\) なので、ジニ係数は
\[
\begin{align}
& (|5 - 5| + |5 - 20| + |5 - 100| + \\
& |20 - 5| + |20 - 20| + |20 -100| + \\
& |100 - 5| + |100 - 20| + |100-100| ) \div (2 \cdot 3^2 \cdot 41.7) = 0.507
\end{align}
\]
ローレンツ曲線の定義
- 累積相対度数と累積相対資産／収入を折れ線グラフにしたものをローレンツ曲線と呼ぶ。
| 5 |
0.333 |
0.333 |
5 |
0.04 |
| 20 |
0.333 |
0.667 |
25 |
0.20 |
| 100 |
0.333 |
1.000 |
125 |
1.00 |
おまけ：相対的貧困
- 等価世帯可処分所得の中央値の２分の１未満の世帯を相対的貧困と呼ぶことが多い。
- 可処分所得：所得から所得税、社会保険料を差し引いたもの
- 世帯所得：世帯員の所得の合計
- 等価世帯所得：世帯所得を世帯員数の平方根で割った値
- 中央値ぐらいの豊かさの世帯よりも顕著に所得が低い（半分以下）世帯のこと
貧困率と格差は違う
- 貧困線（貧困世帯とそうでない世帯を分ける基準）をまたぐ所得の変化しか反映しないから
- 例えば、貧困線が 150万円で、相対的貧困率が 15% の社会があったとする。
- 累進課税を強化して、等価世帯可処分所得が1000万円以上の世帯から 100万円ずつ特別税を徴収し、等価世帯可処分所得が 50万円未満の世帯に50万円ずつ配布したとする。しかし、この再分配によって貧困線を越えるほど等価世帯可処分所得が増える人はいないので、貧困率は 15% のまま。しかし、多くの研究者は格差は縮小したと考えるだろう。
