06 Count Data

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#       Statistics & Econometrics                                             #
#   Spring semester                                                       #
#   dr Marcin Chlebus, dr Rafał Woźniak                                   #
#   University of Warsaw, Faculty of Economic Sciences                    #
#                                                                         #
#                                                                         #
#                 Labs 11: Models for count data                          #
#                                                                         #
###########################################################################
# install.packages("installr")
# library(installr)
# updateR()

# install.packages("MASS")
# install.packages("pscl")
# install.packages("sandwich")
# install.packages("car")
# install.packages("lmtest")

library("MASS")
library("sandwich")
library("car")
library("lmtest")

library("pscl")


Sys.setenv(LANG = "en")

load(file = "DebTrivedi.rda")

# Deb and Trivedi (1997) analyze data on 4406 individuals, aged 66 and over, who are covered
# by Medicare, a public insurance program. Originally obtained from the US National Medical
# Expenditure Survey (NMES) for 1987/88, the data are available from the data archive of
# the Journal of Applied Econometrics at http://www.econ.queensu.ca/jae/1997-v12.3/deb-trivedi/.
# It was prepared for an R package accompanying Kleiber and Zeileis (2008)
# and is also available as DebTrivedi.rda in the Journal of Statistical Software together with
# Zeileis (2006).


# The objective is to model the demand for medical care - as captured by the
# number of physician/non-physician office and hospital outpatient visits - by the covariates
# available for the patients.
#
# dependent variable:
#   ofp - the number of physician office visits as the dependent variable
#         = office physician
# independent vars:
#   hosp - number of hospital stays,
#   health - self-perceived health status,
#   numchron - number of chronic conditions,
#   gender,
#   school - number of years of education
#   privins - private insurance indicator

# Deb 和 Trivedi (1997) 分析了 4406 名 66 岁及以上受联邦医保 (Medicare，美国一种公共保险计划)
# 覆盖的个人数据。该数据最初源自 1987/88 年美国国家医疗支出调查 (NMES)，
# 可从《应用计量经济学杂志》(Journal of Applied Econometrics) 的数据存档处获取，
# 网址为：http://www.econ.queensu.ca/jae/1997-v12.3/deb-trivedi/。
# 该数据为 Kleiber 和 Zeileis (2008) 的配套 R 语言包所准备，
# 同时也作为 DebTrivedi.rda 文件与 Zeileis (2006) 一起发布在《统计软件杂志》(Journal of Statistical Software) 中。


# 研究目标是根据患者的可用协变量，对医疗服务需求进行建模。
# 医疗需求通过就诊次数（包括医生/非医生办公室就诊次数和医院门诊次数）来衡量。
#
# 因变量：
#   ofp - 医生办公室就诊次数（作为因变量）
#
# 自变量：
#   hosp - 住院次数
#   health - 自我感知的健康状况
#   numchron - 慢性病数量
#   gender - 性别
#   school - 受教育年限
#   privins - 私人保险指标（是否拥有私人保险）


dt <- DebTrivedi[, c(1, 6:8, 13, 15, 18)]
dt[1:5, ]

##   ofp hosp  health numchron gender school privins
## 1   5    1 average        2   male      6     yes
## 2   1    0 average        2 female     10     yes
## 3  13    3    poor        4 female     10      no
## 4  16    1    poor        2   male      3     yes
## 5   3    0 average        2 female      6     yes

# EDA
# histogram of dependent variable /truncated poisson
hist(dt$ofp, breaks = 0:90 - 0.5)

plot(table(dt$ofp))

# does this distribution look similar to Poisson or Negative Binomial distirbution?
# why not?
# 1. tail-shape/truncated distribution/excess number of zeros?
# 2. fat tails - overdispersion

• dt$ofp: 指定要绘图的数据列，即数据集 dt 中的 ofp 变量。
• breaks = 0:90 - 0.5: 这是设置直方图“分桶”（Bin）边界的关键参数。
  • 0:90 生成了一个从 0 到 90 的整数序列。
  • - 0.5 将整个序列向左平移了 0.5 个单位，变为 [-0.5, 0.5, 1.5, ..., 89.5]。
  • 为什么要这么做？ 因为 ofp 是离散的整数（0, 1, 2…）。如果不偏移，边界点（如 0 或 1）会落在分桶的边缘，导致计数模糊。通过设置边界为 -0.5 到 0.5，可以确保整数 0 正好落在第一个条形的正中间，使图形看起来更直观、更准确。

当你运行这两行代码时，你应该重点观察以下两点：

1. 偏态（Skewness）: 计数数据通常是强烈的右偏（长尾在右侧），即大部分人看病次数很少，极少数人看病次数极多。
2. 零值频率: 观察 0 处的条形是否显著高于其他位置。如果是，你在建模时可能需要考虑 零膨胀模型 (Zero-Inflated Models)。

1 Questions

1. does this distribution look similar to Poisson or Negative Binomial distirbution?
2. why not?
3. tail-shape/truncated distribution/excess number of zeros?
4. fat tails - overdispersion

根据你提供的图像，我们可以针对这两个问题进行深入分析。

简单来说：这个分布看起来更接近负二项分布（Negative Binomial），而不太像标准的泊松分布（Poisson）。

以下是详细的原因分析：

1.1 1. 为什么它不像标准的泊松分布？

标准的泊松分布有一个非常严格的特性：均值等于方差 (\(E(X) = Var(X)\))。但从图中我们可以看到两个明显的偏离迹象：

• 过度离散 (Overdispersion / Fat Tails)： 图中展现了一个非常典型的“长尾”现象（甚至有数值接近 90）。在泊松分布中，如果均值较小（如图中大部分数据集中在 0-10 之间），那么出现极高数值（如 40 或 80）的概率应该几乎为零。然而图中依然存在这些极值，这说明方差远大于均值，即存在“肥尾”现象。
• 零值过多 (Excess Zeros)： 图中 0 处的频率（接近 700）显著高于其他数值。虽然泊松分布也可以有 0，但这里的 0 占比过高，导致分布在 0 处有一个非常陡峭的尖峰，这往往需要零膨胀模型 (Zero-Inflated Model) 来修正。

---

1.2 2. 为什么它更像负二项分布？

• 形状适应性： 负二项分布多了一个形状参数（Dispersion Parameter）。它允许分布具有比泊松分布更长的尾部和更高的零值概率。
• 医疗数据的特性： 医疗就诊数据（如 ofp）通常具有“异质性”。有些病人身体健康几乎不去医院，而有些病人患有多种慢性病（如背景介绍中的 numchron），会频繁就诊。这种个体差异导致了数据的过度离散，而负二项分布正是为了处理这种“个体间差异”而设计的。

---

1.3 针对你列出的点进行回答：

• Tail-shape / Excess number of zeros?
  • 是的。图中 0 处的频数极高，随后迅速下降。这种“L”型分布（而非泊松常见的钟形或偏态波浪形）暗示了存在大量的“非就诊者”。
• Fat tails - Overdispersion?
  • 是的。正如前面提到的，横轴延伸到了 80 以上，但主峰在 0-5 之间。这种极端的右偏（Positive Skew）和长尾正是过度离散的教科书级表现。

1.4 结论

在实际建模时，负二项回归 (Negative Binomial Regression) 通常会比泊松回归更适合这段数据。如果 0 值依然无法完美拟合，甚至可能需要考虑 零膨胀负二项模型 (ZINB)。

# lets see how poisson distributions looks like with n from DT dtatset and different lambda params
hist(rpois(n = 4406, lambda = 1), breaks = 0:90 - 0.5)

hist(rpois(n = 4406, lambda = 2), breaks = 0:90 - 0.5)

hist(rpois(n = 4406, lambda = 5), breaks = 0:90 - 0.5)

# with a mean from sample
mean(dt$ofp)

## [1] 5.774399

hist(rpois(n = 4406, lambda = 5.774399), breaks = 0:90 - 0.5)

hist(rpois(n = 4406, lambda = 10), breaks = 0:90 - 0.5)

hist(rpois(n = 4406, lambda = 50), breaks = 0:90 - 0.5)

这段代码的目的是通过模拟（Simulation）的方式，生成不同参数下的理想泊松分布图，并将其与你之前的真实数据进行对比。

通过这种对比，你可以直观地看到：真实的医疗数据（dt$ofp）与理论上的泊松分布到底有多大差别。

---

1.5 1. 核心函数与参数解释

1.5.1 rpois(n, lambda)

这是 R 语言中生成泊松分布随机数的函数：

• n = 4406: 生成随机数的数量。这里特意设为 4406，是为了与原始数据集 dt 的样本量保持一致，确保对比的公平性。
• lambda (\(\lambda\)): 泊松分布的唯一参数，代表均值（Mean）和方差（Variance）。
  • 在泊松分布中，\(E(X) = Var(X) = \lambda\)。

1.5.2 hist(..., breaks = 0:90 - 0.5)

• 这与之前的设置一样，将直方图的边界设在整数之间（如 -0.5 到 0.5），确保每一个整数条柱都清晰且居中。

---

1.6 2. 代码逻辑解析

代码通过改变 \(\lambda\) 的值，展示了泊松分布随均值变化的形态：

1. lambda = 1, 2: 模拟极低就诊频率的情况。此时图形极度右偏。
2. lambda = 5.774399（关键步）:
   • 这是使用真实数据的均值来生成一个“理想的泊松分布”。
   • 对比意义：如果真实数据符合泊松分布，那么 hist(dt$ofp) 的形状应该和这个模拟图几乎一模一样。但实际上你会发现，模拟图在 0 处的频率会比真实数据低很多，且尾部（右侧）收缩得非常快。
3. lambda = 10, 50: 展示当均值变大时，泊松分布会逐渐向右移动，并开始变得像正态分布（当 \(\lambda > 20\) 时，泊松分布趋于对称）。

---

1.7 3. 为什么要做这个对比？（统计学意义）

通过这一系列绘图，你会观察到以下差异，从而得出结论：

特征	真实数据 dt$ofp	模拟的泊松分布 (\(\lambda = 5.77\))
0 值的数量	极高（零膨胀现象）	相对较少
尾部（Tail）	极长（甚至到 80 以上）	很短（基本在 15-20 就消失了）
方差	远大于均值（过度离散）	等于均值

结论： 因为模拟出的泊松分布（哪怕均值一样）无法覆盖到 80 左右的极端值，且无法产生那么多 0，所以证明了简单泊松回归不足以描述该医疗数据。

---

1.8 💡 进阶建议

如果你想定量地证明这一点，可以运行以下代码看结果是否接近：

var(dt$ofp)  # 计算真实方差
mean(dt$ofp) # 计算真实均值

如果 var 显著大于 mean（在这个数据集中通常是好几倍），那就坐实了 过度离散（Overdispersion）。

2 这段代码是测试数据对吗？

是的，你的理解非常准确！

这段代码生成的完全是人工模拟的随机数据，而不是你原始数据集 dt$ofp 中的真实数据。

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2.1 为什么要这么做？（统计学上的“对照实验”）

你可以把这几行代码理解为在实验室里制造“理想状态下的泊松分布”。

1. 建立参照物： rpois(n=4406, lambda=5.774399) 这行代码的作用是：“如果我们的真实数据完美符合泊松分布，且均值正好是 5.77，那么它应该长成什么样？”
2. 通过对比发现问题：
   • 真实数据（你第一张图）： 有极其瘦高的“0”值，且横轴一直拖到了 80 多（长尾）。
   • 模拟数据（这一段代码）： 当 \(\lambda=5.77\) 时，你会发现模拟出来的直方图在 0 处的条柱没那么高，且右侧的尾巴在 20 左右就消失了，根本到不了 80。
3. 得出结论： 通过这种“买家秀（真实数据）”与“卖家秀（理想泊松分布）”的对比，直观地证明了：泊松分布无法拟合你的真实数据。

---

2.2 代码细节拆解

• rpois: 其中的 r 代表 Random（随机）。它每次运行都会利用随机数生成器产生一组全新的、符合泊松规律的数据。
• 模拟的局限性:
  • 在模拟图中，当 \(\lambda = 5.77\) 时，方差也强制等于 \(5.77\)。
  • 而在你的真实数据中，方差是 \(45.69\)。
  • 这就是为什么模拟出来的图看起来比真实数据的图要“瘦、窄、集中”得多。

一句话总结： 这段代码通过展示“真正的泊松分布长啥样”，来反衬出你的真实数据具有过度离散（Overdispersion）和零膨胀的特征。

3 rnegbin

# and negative binomial?
# note: theta - dispersion parameter = 1 - geometric distibution

hist(rnegbin(n = 4406, mu = 1, theta = 1.2), breaks = 0:90 - 0.5)

这段代码是针对负二项分布（Negative Binomial Distribution）进行的模拟实验。通过生成的图像，我们可以直观地看到它与泊松分布在处理“零值”和“离散度”上的巨大差异。

---

3.1 1. 注释部分翻译与解释

#and negative binomial? （那么，负二项分布的表现如何呢？）

—— 这是一个引导性问题，暗示在发现泊松分布拟合效果不佳后，转向尝试负二项分布。

#note: theta - dispersion parameter = 1 - geometric distribution （注意：当分散参数 \(\theta = 1\) 时，它就是几何分布。）

—— 这是一个统计学知识点：

• \(\theta\) (Theta)：控制分布的“胖瘦”。\(\theta\) 越小，数据越分散（方差越大）。
• 几何分布：是负二项分布的一个特例，专门描述“在取得第一次成功之前失败的次数”，它的形状在 0 处最高，然后极速下降。

---

3.2 2. 代码参数深度拆解

3.2.1 rnegbin(n=4406, mu=1, theta=1.2)

• r: 代表 Random，表示生成随机数。
• n=4406: 保持样本量与原数据集 dt 一致。
• mu=1: 设定模拟分布的期望均值为 1。
  • 观察点：即使均值只有 1，由于 \(\theta\) 较小，你会发现 0 出现的频率依然非常高。
• theta=1.2: 这是分散参数（有时也叫 Size 参数）。
  • 在负二项分布中，方差的计算公式是：\[Var(X) = \mu + \frac{\mu^2}{\theta}\]
  • 带入参数：\(1 + \frac{1^2}{1.2} = 1 + 0.833 = 1.833\)。
  • 结论：即使在这里，方差 (\(1.833\)) 也明显大于均值 (\(1\))。这模拟了真实医疗数据中“方差大于均值”的特征。

3.2.2 breaks = 0:90 - 0.5

• 将直方图的格点设定为 [-0.5, 0.5, 1.5 ... 89.5]。
• 目的：确保每个整数（0, 1, 2…）都落在条柱的中心，防止统计误差。

---

3.3 3. 图像结果分析（结合你上传的图片）

从生成的图像中，你可以看到==负二项分布的两个典型特征==：

1. 极高的零峰（Massive Zero Peak）：在 mu=1 的情况下，0 处的频数（Frequency）超过了 2000。这意味着在 4406 个模拟样本中，几乎有一半的人“一次医生也没看”。这与现实中很多健康老人不看病的逻辑一致。
2. 快速衰减的长尾(Rapidly Decaying Long Tail)：虽然 mu 只有 1，但横轴依然延伸到了 10 甚至更远（虽然肉眼几乎看不见极小的值），这比同均值的泊松分布要“散”得多。

---

3.4 总结

这段代码证明了：负二项分布可以通过调整 \(\theta\) 参数，比泊松分布更好地模拟出“大量零值”和“高方差”的特征。

hist(rnegbin(n = 4406, mu = 2, theta = 1.2), breaks = 0:90 - 0.5)

hist(rnegbin(n = 4406, mu = 5.774399, theta = 1.2), breaks = 0:90 - 0.5)

hist(rnegbin(n = 4406, mu = 10, theta = 1.2), breaks = 0:200 - 0.5)

hist(rnegbin(n = 4406, mu = 50, theta = 1.2), breaks = 0:600 - 0.5)

# max(rnegbin(n=4406, mu=50,theta=1.2))

这段代码的目的是模拟负二项分布（Negative Binomial Distribution），并观察它在不同均值下的形态。

与之前的泊松模拟相比，你会发现它的形状与你的真实数据 dt$ofp 惊人地相似。

---

3.5 1. 核心函数与参数解释

3.5.1 rnegbin(n, mu, theta)

这是生成负二项分布随机数的函数（通常来自 MASS 包）：

• n = 4406: 生成随机数的数量，同样是为了匹配原始数据集的样本量。
• mu (\(\mu\)): 分布的均值。
  • 在代码中，mu=5.774399 那一行是最关键的，因为它使用了你真实数据的均值。
• theta (\(\theta\)): 分散参数（Dispersion Parameter），这是负二项分布的核心。
  • 作用：它决定了方差比均值大多少。负二项分布的方差公式为：\[Var(X) = \mu + \frac{\mu^2}{\theta}\]
  • 意义：\(\theta\) 越小，过度离散（方差大）越严重。
  • 特殊情况：当 \(\theta = 1\) 时，它就变成了几何分布（Geometric Distribution）；当 \(\theta \to \infty\)（无穷大）时，它就收缩回了泊松分布。

---

3.6 2. 代码逻辑解析

• mu = 1, 2, 5.77...: 观察均值增加时分布的变化。你会发现即使 \(\mu\) 较小，负二项分布依然能产生大量的 0。
• theta = 1.2: 代码中统一设为了 1.2。这是一个较小的数值，意味着模拟出了非常明显的过度离散。
• breaks 的变化:
  • 在最后两行，breaks 从 0:90 扩大到了 0:200 甚至 0:600。
  • 为什么？ 因为负二项分布的“尾巴”极长。当 \(\mu=50, \theta=1.2\) 时，产生的随机数可能会达到几百，所以需要更大的坐标轴范围。

---

3.7 3. 与泊松分布模拟的对比

如果你把这两组模拟图放在一起看，你会发现负二项分布完美复刻了真实数据的两个特征：

1. 极高的零值频数：在 \(\mu=5.77\) 时，泊松分布的 0 很少，但负二项分布（\(\theta=1.2\)）在 0 处有一个巨大的尖峰。
2. 极长的肥尾 (Fat Tail)：泊松分布几乎不可能产生大于 20 的数，而负二项分布能轻松模拟出 40、60 甚至 80 左右的数值。

---

# is this variable coming from Poisson?
# and Negative Binomial?
par(mfrow = c(3, 1))
hist(dt$ofp, breaks = 0:90 - 0.5)
hist(rpois(n = 4406, lambda = 5.774399), breaks = 0:90 - 0.5)
hist(rnegbin(n = 4406, mu = 5.774399, theta = 1.2), breaks = 0:90 - 0.5)

## plot of ofp ~ numchron

# univariate relationships between depvar and regressors
par(mfrow = c(1, 1))
plot(dt$ofp ~ dt$numchron, data = dt)

# difficult to interpret as many points with the same value of independent variable

这段代码和生成的散点图展示了因变量 ofp（就诊次数）与自变量 numchron（慢性病数量）之间的关系。

---

3.8 1. 代码、参数与注释解析

3.8.1 par(mfrow=c(1,1))

• par: 是 R 的图形参数设置函数。
• mfrow=c(1,1): 意思是“Multi-Frame, Row-wise”。参数 c(1,1) 表示将画布设置为 1 行 1 列（即恢复默认设置，一张图占满整个画布）。如果你之前画过对比图（如 c(1,2)），这行代码能重置布局。

3.8.2 plot(dt$ofp ~ dt$numchron, data = dt)

• y ~ x (公式语法): 这是 R 中的标准建模语法。它告诉 R：“绘制以 numchron 为自变量、ofp 为因变量的散点图”。
• data = dt: 指定使用的数据集。

3.8.3 注释部分

# univariate relationships between depvar and regressors （因变量与回归变量之间的单变量关系） —— 这里的目的是在进行复杂建模前，先初步观察两个变量之间是否存在某种相关性。

# difficult to interpret as many points with the same value of independent variable （由于自变量具有大量相同的值，导致图形难以解释） —— 这是对散点图局限性的准确评价。因为 numchron 只有 0, 1, 2… 8 这几个离散整数，成千上万的数据点会重叠（Overplotting）在一起。

---

3.9 2. 图片深度解析

这张图虽然看起来比较乱，但依然传达了几个关键信息：

1. 数据的重叠（Overplotting）:
   • 在 numchron 为 0、1、2 的位置，底部的圆圈极其密集，形成了一条黑色的粗线。这意味着大部分患者（无论是否有慢性病）的就诊次数都集中在低区间（0-20次）。
2. 异常值（Outliers）:
   • 即使慢性病数量为 0 或 1，仍然有人就诊次数超过 60 次。
   • 全局最高值（接近 90 次）出现在 numchron = 2 的人身上。
3. 慢性病的影响:
   • 观察各列圆圈的分布，你可以模糊地感觉到，随着 numchron 增加，数据的“重心”略微上移。
   • 矛盾点：你会发现当 numchron 达到 7 或 8 时，散点反而变少了，数值也变低了。
   • 解析：这通常是因为样本量太少。患有 8 种慢性病的老年人非常罕见（可能也因为身体状况无法频繁出门就诊），这种由于样本量不均导致的“视觉假象”在散点图中经常出现。

---

3.10 3. 如何解决“难以解释”的问题？

正如注释所言，这种图很难看清分布密度。为了解决这个问题，通常有以下两种优化方法：

1. 抖动图 (Jitter Plot): 给点增加一点点随机的水平偏移，让重叠的点散开。

   plot(jitter(dt$ofp) ~ jitter(dt$numchron), data = dt)

2. 箱线图 (Boxplot): 这是处理“连续因变量 vs 离散自变量”的最佳方案。

   plot(as.factor(dt$numchron), dt$ofp) # 将 numchron 转为因子后绘图，会自动生成箱线图

# As there are zero counts as well, we use a convenience function
# clog() providing a continuity-corrected logarithm.
clog <- function(x) log(x + 0.5)

# For transforming a count variable to a factor (for visualization purposes only), we define
# another convenience function cfac()

x <- dt$numchron
cfac <- function(x, breaks = NULL) {
    if (is.null(breaks)) breaks <- unique(quantile(x, 0:10 / 10))
    x <- cut(x, breaks, include.lowest = TRUE, right = FALSE)
    levels(x) <- paste(breaks[-length(breaks)], ifelse(diff(breaks) > 1,
        c(paste("-", breaks[-c(1, length(breaks))] - 1, sep = ""), "+"), ""
    ),
    sep = ""
    )
    return(x)
}
# insted of scatter plot - box plot with aggregated independent variable -
# better interpretation
plot(clog(dt$ofp) ~ cfac(dt$numchron), data = dt)

# conclusions?
# with higher number of chronic diseases higher number of visits

# library(vcd) #assocstats
library(coin) # test
library(DescTools)

Tabla <- as.table(table(dt$ofp, dt$numchron))
# Sommers D
# a measure of association for ordinal factors in a two-way table
SomersDelta(Tabla, direction = "column", conf.level = 0.95)

##    somers    lwr.ci    upr.ci 
## 0.2391035 0.2197163 0.2584908

# direction="column" or "row" - Sommers' D is not symmetric
# "row" calculates Somers' D (R | C) ("column dependent").

# Kendall's tau-b - correlation coefficient
# Calculate Kendall's tau-b statistic, a measure of association for ordinal factors in a two-way table.
KendallTauB(Tabla, direction = "column", conf.level = 0.95)

##     tau_b    lwr.ci    upr.ci 
## 0.2622548 0.2411049 0.2834047

# Goodman Kruskal's Gamma
# Calculate Goodman Kruskal's Gamma statistic, a measure of association for ordinal factors in a two-way table.
GoodmanKruskalGamma(Tabla, direction = "column", conf.level = 0.95)

##     gamma    lwr.ci    upr.ci 
## 0.3111717 0.2863848 0.3359586

# linear-by-linear test - formal test for univariate relation
prop.table(Tabla, margin = NULL) ### proportion in the table

##     
##                 0            1            2            3            4
##   0  0.0683159328 0.0540172492 0.0206536541 0.0068088970 0.0034044485
##   1  0.0360871539 0.0410803450 0.0186109850 0.0097594190 0.0022696323
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##     
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spineplot(Tabla)

LxL <- lbl_test(Tabla)
LxL

## 
##  Asymptotic Linear-by-Linear Association Test
## 
## data:  Var2 (ordered) by
##   Var1 (0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < 6 < 7 < 8 < 9 < 10 < 11 < 12 < 13 < 14 < 15 < 16 < 17 < 18 < 19 < 20 < 21 < 22 < 23 < 24 < 25 < 26 < 27 < 28 < 29 < 30 < 31 < 32 < 33 < 34 < 35 < 36 < 37 < 38 < 39 < 40 < 41 < 42 < 43 < 44 < 47 < 48 < 49 < 50 < 51 < 53 < 55 < 56 < 58 < 61 < 63 < 65 < 66 < 68 < 89)
## Z = 17.867, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: two.sided

# plots for all indepvars
plot(clog(ofp) ~ factor(dt$health, levels = c("poor", "average", "excellent"), labels("poor", "average", "excellent"), order = T), data = dt, varwidth = TRUE)

plot(clog(ofp) ~ cfac(numchron), data = dt)

plot(clog(ofp) ~ privins, data = dt, varwidth = TRUE)

plot(clog(ofp) ~ cfac(hosp, c(0:2, 8)), data = dt)

plot(clog(ofp) ~ gender, data = dt, varwidth = TRUE)

plot(cfac(ofp, c(0:2, 4, 6, 10, 100)) ~ school, data = dt, breaks = 9)

# conclusions?

4 泊松回归模型

#########################################
### POISSON
#########################################

fm_pois <- glm(ofp ~ ., data = dt, family = poisson) # fm: fit model
summary(fm_pois)

## 
## Call:
## glm(formula = ofp ~ ., family = poisson, data = dt)
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      1.028874   0.023785  43.258   <2e-16 ***
## hosp             0.164797   0.005997  27.478   <2e-16 ***
## healthexcellent -0.361993   0.030304 -11.945   <2e-16 ***
## healthpoor       0.248307   0.017845  13.915   <2e-16 ***
## numchron         0.146639   0.004580  32.020   <2e-16 ***
## gendermale      -0.112320   0.012945  -8.677   <2e-16 ***
## school           0.026143   0.001843  14.182   <2e-16 ***
## privinsyes       0.201687   0.016860  11.963   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 26943  on 4405  degrees of freedom
## Residual deviance: 23168  on 4398  degrees of freedom
## AIC: 35959
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 5

This code performs a Poisson Regression, the standard starting point for modeling count data (where the dependent variable consists of non-negative integers).

4.1 1. Code and Parameters Explanation

• fm_pois <- glm(...): Fits a Generalized Linear Model (GLM).
  • ofp ~ .: The formula. ofp is the dependent variable (physician office visits). The dot . is a shorthand meaning “==use all other variables== in the dataset as predictors” (hosp, health, numchron, gender, school, privins).
  • data = dt: Specifies the data frame to use.
  • family = poisson: Specifies the model type. For Poisson, the link function is the natural logarithm (\(log\)), meaning the model predicts \(log(E[y])\).
• summary(fm_pois): Produces the statistical output, including coefficients, standard errors, and significance levels.

---

4.2 2. Output Analysis (The Result)

• Coefficients (Estimates): These represent the change in the ==log-count== for a one-unit increase in the predictor. 回归系数（估计值）：它们表示自变量每增加一个单位时，因变量“预期计数”的对数值（Log-count）的变化量。
  • hosp (0.165): Each additional hospital stay increases the expected number of office visits by about 18% (\(e^{0.165} \approx 1.18\)).
  • health: Notice that “excellent” health has a negative coefficient (-0.36), while “poor” health has a positive one (0.25), relative to the baseline (average health). This makes intuitive sense.
  • privinsyes (0.20): Patients with private insurance tend to visit the doctor more often.
• Z-values and P-values: Every single variable has a \(p < 2e-16\) (marked by ***). In a Poisson model with overdispersed data, standard errors are often underestimated, making everything look “too significant.”
• Dispersion Parameter: It says (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1). This is a fixed assumption of Poisson, but as we saw earlier, your data’s true dispersion is closer to 7.9, not 1.
• Deviance: The Residual Deviance (23168) is much larger than the Degrees of Freedom (4398). This is a formal statistical “red flag” indicating Overdispersion.

---

4.3 中文解释 (Chinese Explanation)

这段代码执行了泊松回归 (Poisson Regression)，这是分析计数数据（如就诊次数）的标准入门模型。

4.3.1 代码与参数

• ofp ~ .: ofp 是因变量，. 表示利用数据集中的所有其他变量作为自变量。
• family = poisson: 告诉 R 使用泊松分布模型。

4.3.2 输出结果解析

• 系数 (Estimate): 代表自变量对因变量“对数期望值”的影响。
  • hosp (0.16): 住院次数越多，去办公室看医生的次数显著增加。
  • health: 身体越好（excellent），看病次数越少；身体越差（poor），看病次数越多。
  • school (0.02): 受教育年限每增加一年，就诊次数略微增加。
• 显著性: 所有的变量都有三个星号 ***，表示极其显著。但请注意：因为我们之前发现数据存在严重的“过度离散”（方差 >> 均值），泊松模型会极大地低估标准误，导致这些显著性可能被“夸大”了。
• 偏差 (Deviance): 残余偏差 (23168) 远大于自由度 (4398)。在统计学上，这意味着模型拟合不足，泊松分布的假设（均值=方差）在这里并不成立。

在泊松回归中，系数（Estimate）的变化是作用在对数尺度上的。为了更直观地理解，我们通常会将系数 \(\beta\) 进行指数化处理，即计算 \(e^\beta\)（入射率比，IRR），它代表自变量每增加一个单位，因变量（就诊次数）预期的倍数变化。

4.4 以下是针对每一项变量的详细解读

## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)      1.028874   0.023785  43.258   <2e-16 ***
## hosp             0.164797   0.005997  27.478   <2e-16 ***
## healthexcellent -0.361993   0.030304 -11.945   <2e-16 ***
## healthpoor       0.248307   0.017845  13.915   <2e-16 ***
## numchron         0.146639   0.004580  32.020   <2e-16 ***
## gendermale      -0.112320   0.012945  -8.677   <2e-16 ***
## school           0.026143   0.001843  14.182   <2e-16 ***
## privinsyes       0.201687   0.016860  11.963   <2e-16 ***

4.5 1. 连续变量与计数变量

• (Intercept) (截距: 1.0289)： 当所有自变量都为 0（或处于基准水平）时，就诊次数的对数期望值。这在实际业务中通常没有直接意义，仅作为模型的起点。
• hosp (住院次数: 0.1648)： 含义：住院次数每增加 1 次，医生办公室就诊次数预期增加约 18% (\(e^{0.1648} \approx 1.179\))。这说明住院经历往往伴随着后续大量的门诊随访需求。
• numchron (慢性病数量: 0.1466)： 含义：每多患有一种慢性病，就诊次数预期增加约 16% (\(e^{0.1466} \approx 1.158\))。慢性病越多，需要的医疗管理就越频繁。
• school (受教育年限: 0.0261)： 含义：受教育年限每增加 1 年，就诊次数增加约 2.6%。这可能反映了受教育程度较高的人具有更强的健康意识或更好的医疗资源获取能力。

---

4.6 2. 具有针对性的变量解读

4.7 health — Dummy Variable Treatment for Categorical Data

In the dataset, health is a categorical variable with three levels: poor, normal, and excellent. In the regression, R automatically selects normal as the Reference Group.

• healthexcellent (-0.3620):
  • Interpretation: Compared to individuals in “normal” health, those in “excellent” health are expected to have approximately 30% fewer office visits (\(\exp(-0.362) \approx 0.696\)). This aligns with logical expectations: better health correlates with fewer doctor visits.
• healthpoor (0.2483):
  • Interpretation: Compared to those in “normal” health, individuals in “poor” health are expected to have approximately 28% more office visits (\(\exp(0.248) \approx 1.282\)).
• Key Insight: Since health is an ordinal variable, the model captures a clear monotonic trend—medical demand increases as health status deteriorates (moving from “excellent” to “normal” to “poor”).

---

4.8 privins (Private Insurance) — Binary Indicator (Dummy Variable)

This is a 0/1 variable where the reference group is no (individuals without private insurance).

• privinsyes (0.2017):
  • Interpretation: Ceteris paribus (all other factors being equal), individuals with private insurance are expected to have approximately 22% more office visits than those without private insurance (\(\exp(0.2017) \approx 1.223\)).
• Key Insight: In health economics, this is often interpreted as “Moral Hazard” or “Adverse Selection”. People with extra insurance may utilize services more frequently because their out-of-pocket costs are lower, or individuals with higher expected medical needs are more likely to purchase private insurance.

---

4.9 gendermale (Gender: -0.1123)

• Interpretation: Compared to females (the reference group), males are expected to have approximately 10.6% fewer office visits (\(\exp(-0.1123) \approx 0.893\)).
• Key Insight: This reflects a common trend in geriatric populations, where women typically utilize primary care services more frequently than men.

---

4.10 Summary Table for Quick Reference

Variable	Coefficient (\(\beta\))	Incidence Rate Ratio (\(\exp(\beta)\))	Effect Direction
Excellent Health	-0.3620	0.696	30% Decrease
Poor Health	0.2483	1.282	28% Increase
Private Insurance	0.2017	1.223	22% Increase
Male	-0.1123	0.893	11% Decrease

4.10.1 health (健康状况) —— 分类变量的“哑变量”处理

你的数据中 health 有三个等级：poor, normal, excellent。在回归中，R 自动选择了 normal (一般) 作为基准组 (Reference Group)。

• healthexcellent (-0.3620)： 解读：相对于健康状况“一般”的人，健康状况“优秀”的人就诊次数预期减少约 30% (\(e^{-0.362} \approx 0.696\))。这非常符合逻辑：身体越好，看医生越少。
• healthpoor (0.2483)： 解读：相对于健康状况“一般”的人，健康状况“糟糕”的人就诊次数预期增加约 28% (\(e^{0.248} \approx 1.282\))。
• 特殊之处：由于它是排序变量，模型通过这两个系数展示了医疗需求随健康状况恶化而单调增加的趋势（从 excellent 到 normal 再到 poor）。

4.10.2 privins (私人保险) —— 二元指标变量 (Dummy Variable)

这是一个 0/1 变量，基准组是 no（没有私人保险）。

• privinsyes (0.2017)： 解读：==在其他条件相同的情况下，拥有私人保险的人比没有私人保险的人，就诊次数预期高出约== 22% (\(e^{0.2017} \approx 1.223\))。
• 特殊之处：这在经济学中常被解释为“道德风险” (Moral Hazard) 或“逆向选择”——拥有额外保险的人因为自付费用降低，更有动力去医院；或者身体较差、预期医疗需求高的人更有可能购买私人保险。

4.10.3 gendermale (性别: -0.1123)：

• 解读：相对于女性（基准组），男性的就诊次数预期减少约 10.6% (\(e^{-0.1123} \approx 0.893\))。在老年人群体中，女性通常比男性更频繁地利用基础医疗服务。

---

4.11 3. 结果汇总表

变量	系数 (\(\beta\))	指数化 (\(e^\beta\))	实际含义
住院次数	0.165	1.18	每多住院一次，门诊增加 18%
健康优秀	-0.362	0.70	比一般健康者少看 30% 的医生
健康糟糕	0.248	1.28	比一般健康者多看 28% 的医生
慢性病数	0.147	1.16	每多一种病，门诊增加 16%
男性	-0.112	0.89	比女性少看 11% 的医生
私人保险	0.202	1.22	有保险者比没保险者多看 22%

---

4.12 ⚠️ 重要的统计学警示

虽然所有的 P 值（Pr(>|z|)）都显示极其显著（三个星号），但由于我们之前发现数据存在 过度离散（方差是均值的 8 倍），这里的标准误 (Std. Error) 被严重低估了。这意味着这些变量虽然可能确实有影响，但它们的显著程度并没有 P 值显示的那么夸张。

5 三明治标准误

# All coefficient estimates confirm the results from the univariate exploratory analysis.
# All coefficients are highly significant with the health variables leading to somewhat larger Wald
# statistics compared to the socio-economic variables.
# However, the Wald test results might be too optimistic due to a misspecification of the likelihood.
#
# As the exploratory analysis suggested that over-dispersion is present in this data set, we re-compute the Wald tests using
# sandwich standard errors via:

coeftest(fm_pois, vcov = sandwich)

## 
## z test of coefficients:
## 
##                  Estimate Std. Error z value  Pr(>|z|)    
## (Intercept)      1.028874   0.064530 15.9442 < 2.2e-16 ***
## hosp             0.164797   0.021945  7.5095 5.935e-14 ***
## healthexcellent -0.361993   0.077449 -4.6740 2.954e-06 ***
## healthpoor       0.248307   0.054022  4.5964 4.298e-06 ***
## numchron         0.146639   0.012908 11.3605 < 2.2e-16 ***
## gendermale      -0.112320   0.035343 -3.1780  0.001483 ** 
## school           0.026143   0.005084  5.1422 2.715e-07 ***
## privinsyes       0.201687   0.043128  4.6765 2.919e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

exp(-0.36) - 1

## [1] -0.3023237

这段代码展示了在发现数据存在过度离散（Overdispersion）后，如何通过统计手段修正模型推断的偏误。

---

5.1 1. 代码、参数与注释解释

5.1.1 注释部分 (Notes)

• 核心观点：之前的泊松回归结果（Wald 检验）可能过于“乐观”（即 P 值太小，显得过于显著），因为模型假设“均值 = 方差”与现实不符。
• 解决方案：引入 Sandwich Standard Errors（三明治标准误）。这种方法即使在模型分布假设错误的情况下（似然函数误设），也能提供稳健（Robust）的标准误估计。

5.1.2 代码与参数

• coeftest(fm_pois, vcov = sandwich):
  • fm_pois: 传入之前建立的泊松模型。
  • vcov = sandwich: 这是一个关键参数。它不使用泊松模型默认的方差-协方差矩阵，而是使用一种稳健的计算方法（Huber-White 估计量）。因为它在公式中像三明治一样把原始方差夹在中间，故得名。
• exp(-0.36)-1:
  • 这是一个针对 healthexcellent 系数的转化。
  • \(-0.36\) 是系数的近似值。
  • exp(-0.36) 计算的是 \(e^{-0.36} \approx 0.697\)。
  • -1 是为了将其转变为百分比变动：\((0.697 - 1) \times 100\% \approx -30.2\%\)。即：健康优秀的人比健康一般的人看病次数少约 30%。

---

5.2 2. 结果对比分析 (关键点)

请看下表对比修正前（普通泊松）和修正后（三明治修正）的变化：

变量 (以 hosp 为例)	普通泊松 (Std. Error)	三明治修正 (Std. Error)	变化
标准误 (SE)	0.0059	0.0219	扩大了约 3.7 倍
Z 值	27.47	7.50	显著下降

5.2.1 为什么会有这个变化？

• 真相揭露：之前泊松模型假设方差很小，所以它觉得所有的预测都非常精准。现在通过 sandwich 修正，模型承认了数据中存在巨大的噪声（过度离散），因此调大了标准误。
• 显著性依然存在：虽然 Z 值下降了，但所有的 P 值依然小于 0.05（甚至小于 0.001）。这意味着，尽管我们调低了“乐观程度”，这些变量对就诊次数的影响依然是真实且显著的。

---

5.3 3. 逐项结果解读 (修正后)

1. 系数 (Estimate)：保持不变。修正只改变标准误，不改变回归系数本身。
2. gendermale (-0.112)：
   • 修正前：\(P < 2e-16\) (三个星号)
   • 修正后：\(P = 0.001483\) (变为两个星号)
   • 解读：这说明性别的显著性在考虑到数据波动后有所下降，虽然依然显著，但不如之前看起来那么“绝对”。
3. 其他变量（hosp, numchron, school 等）：依然维持在 *** (极度显著)。这说明这些变量对医疗需求有非常稳健的解释力。

---

5.4 总结

这一步操作是科研中的“压力测试”：即便模型错了，即便数据很乱，我也通过稳健标准误证明了我的结论依然站得住脚。

由于泊松模型即使修正了标准误，其拟合效果（对数据形状的捕捉）依然不如负二项模型。你想看看如何通过 dispersiontest 函数来正式检验过度离散的系数吗？

6 Quasi-Poisson regression

#########################################

### Quasi-Poisson regression

#########################################

fm_qpois <- glm(ofp ~ ., data = dt, family = quasipoisson)

summary(fm_qpois)

## 
## Call:
## glm(formula = ofp ~ ., family = quasipoisson, data = dt)
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      1.028874   0.061594  16.704  < 2e-16 ***
## hosp             0.164797   0.015531  10.611  < 2e-16 ***
## healthexcellent -0.361993   0.078476  -4.613 4.09e-06 ***
## healthpoor       0.248307   0.046211   5.373 8.13e-08 ***
## numchron         0.146639   0.011860  12.364  < 2e-16 ***
## gendermale      -0.112320   0.033523  -3.351 0.000813 ***
## school           0.026143   0.004774   5.477 4.58e-08 ***
## privinsyes       0.201687   0.043661   4.619 3.96e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 6.706254)
## 
##     Null deviance: 26943  on 4405  degrees of freedom
## Residual deviance: 23168  on 4398  degrees of freedom
## AIC: NA
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 5

# leads to an estimated dispersion of 6,706 which is clearly larger than 1 confirming that
# over-dispersion is present in the data.

# NOTE: the same estimates of coefficients, different std, errors

如果你发现你的计数数据（Count Data）不符合标准 Poisson 分布的假设，Quasi-Poisson 回归就是一个非常实用的“急救包”。

6.1 1. Quasi-Poisson 的适用场景

标准 Poisson 分布有一个极其严苛的假设：均值等于方差 (\(E(Y) = Var(Y)\))。 但在现实数据中（尤其是医疗就诊次数），方差往往远大于均值，这种现象叫作过度离散（Overdispersion）。

适用场景：

• 处理过度离散： 当你的数据方差比均值大得多时。
• 不确定的分布： 你不确定数据是否完全符合负二项分布（Negative Binomial），但你想对 Poisson 回归的标准误进行修正。
• 系数一致性： 它的系数估计值与标准 Poisson 是一样的，但它会放大标准误（Standard Error），从而避免你得到“虚假”的显著性结论。

---

6.2 2. 测试结果逐行解读

6.2.1 (1) 模型调用 (Call)

glm(formula = ofp ~ ., family = quasipoisson, data = dt)

• 这行告诉我们：你正在预测 ofp（就诊次数），使用了所有自变量（.），并且指定了 quasipoisson 族。

6.2.2 (2) 系数表 (Coefficients)

这里的系数对应的是 ==Log(就诊次数)==。要直观理解，通常需要取指数 \(\exp(\beta)\)。

• Estimate (估计值)：
  • (Intercept): 1.028 ―― 基准水平（当所有自变量为0时）的 log 就诊次数。
  • hosp: 0.164 ―― 住院次数每增加 1 次，预期就诊次数增加约 17.9% (\(\exp(0.164) - 1\))。
  • healthexcellent: -0.361 ―― 身体极好的人，就诊次数比基准组减少约 30%。
  • healthpoor: 0.248 ―― 身体差的人，就诊次数增加约 28%。
  • numchron: 0.146 ―― 慢性病每多一种，就诊次数增加约 15.7%。
  • gendermale: -0.112 ―― 男性比女性的就诊次数少约 10.6%（注意：这与你之前 zero-inflated 模型中 count 部分的负号是一致的）。
  • privinsyes: 0.201 ―― 有私人保险的人就诊次数高出 22.3%。
• Std. Error (标准误)： 这是被“修正式”调大后的误差。
• t value & Pr(>|t|)： 这里的显著性检验使用的是 t 检验（而不是标准 Poisson 的 z 检验），因为模型额外估计了一个离散参数。即便调大了误差，你所有的变量依然 非常显著 (*)**。

6.2.3 (3) 离散参数 (Dispersion parameter)

(Dispersion parameter for quasipoisson family taken to be 6.706254)

• 这是全场重点！ 在标准 Poisson 中，这个值应该是 1。
• 解读： 这里的离散参数是 6.71，意味着你的数据方差大约是均值的 6.7 倍。这证明了你的数据存在==严重的过度离散==，使用标准 Poisson 是绝对错误的，而 Quasi-Poisson 有效地通过扩大标准误（扩大了 \(\sqrt{6.71} \approx 2.59\) 倍）来修正了结果。

6.2.4 (4) 偏差 (Deviance)

• Null deviance (26943): 只包含截距项时模型的偏差。
• Residual deviance (23168): 加入所有变量后，模型依然无法解释的偏差。
• 解读： 偏差从 26943 降到 23168，说明你的自变量确实解释了一部分数据波动，但剩下的残留偏差依然很大（这通常是因为数据里 0 太多，或者有极端离群值）。

6.2.5 (5) AIC 为 NA

• AIC: NA
• 为什么？ 因为 Quasi-Poisson 并不是一个真正的概率分布模型，它是一种“准似然（Quasi-likelihood）”估计。没有似然函数（Likelihood），自然就计算不出 AIC。如果你需要对比模型效果（比如用 AIC 选模型），你需要改用 Negative Binomial (NB) 模型。

---

6.3 总结：它与你之前的 Zero-Inflated 模型有什么区别？

1. 处理 0 的方式：
   • Zero-Inflated: 认为 0 是由“==绝对不去==”和“==刚好没去==”两拨人构成的。
   • Quasi-Poisson: 不区分这两拨人，它只是简单粗暴地认为“数据波动太剧烈了”，所以把所有的标准误都调大。
2. 男性（gendermale）的解释：
   • 在 Quasi-Poisson 里，男性的系数是 \(-0.112\)。它把“男性不去医院（零膨胀）”和“男性去得少（计数）”这两个效应混合在了一起。

6.4 poisson vs quasipoisson 的 Dispersion parameter

family = poisson 看作是一个理想主义者，而 family = quasipoisson 是一个现实主义者。

---

6.4.1 1. 为什么 Poisson 的离散参数固定为 1？

这正是你所说的“自身盲目”。 在标准 Poisson 的数学定义里，有一个硬性规定：均值必须等于方差 (\(\lambda = \sigma^2\))。

• 当你运行 family = poisson 时，你不是在“测试”离散程度，而是在强迫模型接受“离散参数 = 1”这个前提。
• 无论你的数据真实波动有多大，Poisson 模型都会装作没看见，并基于这个“盲目”的前提去计算标准误（Std. Error）。
• 后果： 你的标准误会非常小，导致 z value 虚高，p-value 极其显著。这在统计学上被称为过度显著（Over-optimism）。

6.4.2 2. 为什么 Quasi-Poisson 的 6.706254 才是“真相”？

当你使用 quasipoisson 时，你告诉 R：“不要假设均值等于方差，请帮我看看数据实际抖动得有多厉害。”

• 6.706254 的含义： 这说明你数据的真实方差大约是均值的 6.7 倍。
• 它是如何修正的： 模型会把标准 Poisson 计算出的原始标准误全部乘以 \(\sqrt{6.706} \approx 2.59\)。
  • 看看你的 gendermale：
    • Poisson 的 Std. Error：0.0129
    • Quasi-Poisson 的 Std. Error：0.0335 (\(0.0129 \times 2.59\) 恰好等于这个值！)
• 结论： 只有使用了 Quasi-Poisson（或负二项回归），你才能看到数据中真实的过度离散现象。

---

6.4.3 3. 核心对比：你观察到的有趣现象

比较维度	Poisson (fm_pois)	Quasi-Poisson (fm_qpois)
系数 (Estimate)	完全一样	完全一样
离散参数	强制设为 1（假设）	估计为 6.706（实测）
标准误 (Std. Error)	很小（低估了误差）	较大（更符合实际）
显著性检验	使用 z 检验	使用 t 检验（更稳健）
可靠性	在有过度离散时是错误的	是对 Poisson 的有效修正

---

6.4.4 4. 你的结论总结

你的直觉非常到位：

• 不能按照 family = poisson 的输出值来说明数据不存在离散，因为它在数学上被“锁死”在了 1。
• 只有当使用 quasipoisson（或进行专门的离散度检验，如 dispersiontest）时，得到的参数才是对数据分布的真实、客观的反映。

一句话总结： Standard Poisson 就像是一个戴着“均值=方差”滤镜的相机，它拍出来的照片（系数）是对的，但背景虚化（标准误）完全是模拟出来的假象；而 Quasi-Poisson 摘掉了滤镜，露出了数据原本那粗糙、剧烈波动的真实面貌。

7 Negative binomial regression

#########################################

### Negative binomial regression

#########################################

fm_nbin <- MASS::glm.nb(ofp ~ ., data = dt)

summary(fm_nbin)

## 
## Call:
## MASS::glm.nb(formula = ofp ~ ., data = dt, init.theta = 1.206603534, 
##     link = log)
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      0.929257   0.054591  17.022  < 2e-16 ***
## hosp             0.217772   0.020176  10.793  < 2e-16 ***
## healthexcellent -0.341807   0.060924  -5.610 2.02e-08 ***
## healthpoor       0.305013   0.048511   6.288 3.23e-10 ***
## numchron         0.174916   0.012092  14.466  < 2e-16 ***
## gendermale      -0.126488   0.031216  -4.052 5.08e-05 ***
## school           0.026815   0.004394   6.103 1.04e-09 ***
## privinsyes       0.224402   0.039464   5.686 1.30e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for Negative Binomial(1.2066) family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 5743.7  on 4405  degrees of freedom
## Residual deviance: 5044.5  on 4398  degrees of freedom
## AIC: 24359
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 1
## 
## 
##               Theta:  1.2066 
##           Std. Err.:  0.0336 
## 
##  2 x log-likelihood:  -24341.1070

7.1 知识点：负二项回归 (Negative Binomial Regression)

---

7.1.1 1. 什么是负二项回归？

负二项回归是 Poisson 回归的升级版。它专门用于处理计数数据中的过度离散（Overdispersion）问题。

• 核心数学逻辑：它在 Poisson 分布的基础上增加了一个随机项来吸收额外的方差。
• 方差公式：\(Var(Y) = \mu + \frac{\mu^2}{\theta}\)
  • \(\mu\) 是均值，\(\theta\) 是离散参数（Theta）。
  • 可以看到，方差不仅取决于均值，还取决于 \(\frac{\mu^2}{\theta}\)。\(\theta\) 越小，过度离散越严重。

7.1.2 2. 函数参数：MASS::glm.nb()

• formula: ofp ~ .（因变量 ~ 自变量）。
• data: 数据集。
• link: 默认为 log（保证预测的就诊次数永远为正数）。
• init.theta: 初始的 \(\theta\) 值（通常由模型自动迭代计算，无需手动输入）。

---

7.1.3 3. 测试结果逐行解读

7.1.3.1 (1) Call（调用）

MASS::glm.nb(formula = ofp ~ ., data = dt, init.theta = 1.2066, link = log)

• 记录了模型运行的具体设置，包括自动估计出的初始 \(\theta\) 值。

7.1.3.2 (2) Coefficients（系数表）

• Estimate（估计值）: 就诊次数对数的改变量。
  • numchron (0.174): 慢性病每增加一种，就诊次数增加约 19.1% (\(e^{0.174}-1\))。
  • gendermale (-0.126): 男性比女性的预期就诊次数低约 11.8% (\(e^{-0.126}-1\))。
• z value & Pr(>|z|): 因为负二项分布有明确的似然函数，所以这里使用 z 检验。所有变量均极其显著（***）。

7.1.3.3 (3) Dispersion parameter（离散参数）

(Dispersion parameter for Negative Binomial(1.2066) family taken to be 1)

• 注意：这行常让初学者困惑。在 NB 模型框架下，离散已经通过 \(\theta\) 处理了，所以对于“NB 家族”本身来说，它在形式上被归一化为 1。真正的离散信息要看底部的 Theta。

7.1.3.4 (4) Deviance & AIC（拟合优度）

• Null deviance (5743.7): 只有截距的模型偏差。
• Residual deviance (5044.5): 当前模型的残余偏差。
• AIC (24359): 这是关键！ 相比于标准 Poisson 的 AIC (35959)，负二项回归的 AIC 大幅下降（越小越好）。这说明 NB 模型远优于 Poisson 模型。

7.1.3.5 (5) Theta（核心参数）

Theta: 1.2066  |  Std. Err.: 0.0336

• Theta (\(\theta\)) = 1.2066: 这是==衡量过度离散的指标==。
• 如果 \(\theta\) 非常大（比如 100+），NB 就退化成了 Poisson。
• 这里 \(\theta\) 仅为 1.2 左右，说明数据存在极强的过度离散（方差比均值大得多），使用负二项回归是非常正确的决定。

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7.2 总结对比

特性	Poisson	Quasi-Poisson	Negative Binomial (NB)
处理过度离散	不处理（盲目）	简单修正标准误	改变分布模型（最彻底）
AIC	有 (35959)	无 (NA)	有 (24359) - 最优
适用场景	均值 = 方差	简单探索数据	存在过度离散时的首选标准模型

# As shown in Table 2, both regression coeficients and standard errors are rather similar to the
# quasi-Poisson and the sandwich-adjusted Poisson results above. Thus, in terms of predicted
# means all three models give very similar results; the associated partial Wald tests also lead
# to the same conclusions.
#
# One advantage of the negative binomial model is that it is associated with a formal likelihood
# so that information criteria are readily available. Furthermore, the expected number of zeros
# can be computed from the fitted densities

# comparison of poisson and negative binomial:
summary(fm_pois)$aic

## [1] 35959.23

summary(fm_nbin)$aic

## [1] 24359.11

# dispersion parameter (1 - geometric distirbution, infinity - Poisson distirbution)
fm_nbin$theta

## [1] 1.206604

# Poisson nested in Negative Binomial with theta = Infinity
# LR test can be applied
options(scipen = 100)
pchisq(2 * (logLik(fm_nbin) - logLik(fm_pois)), df = 1, lower.tail = FALSE)

## 'log Lik.' 0 (df=9)

8 障碍模型（Hurdle Model）

#########################################

### Hurdle model

#########################################


fm_hurdle0 <- hurdle(ofp ~ ., data = dt, dist = "negbin")

# This uses the same type of count data model as in the preceeding section but it is now
# truncated for ofp < 1 and has an additional hurdle component modeling zero vs. count
# observations. By default, the hurdle component is a binomial GLM with logit link which
# contains all regressors used in the count model. The associated coefficient estimates and
# partial Wald tests for both model components are displayed via

8.1 1. 代码与参数拆解

fm_hurdle0 <- hurdle(ofp ~ ., data = dt, dist = "negbin")

• hurdle(): 来自 pscl 包。它将模型拆分为两部分：零值部分（能不能跨过门槛）和正值部分（跨过门槛后是多少）。
• ofp ~ .:
  • 左边是因变量（就诊次数）。
  • 右边的 . 表示使用数据集中除 ofp 以外的所有变量作为预测因子。
  • 注意：默认情况下，hurdle 会在“零”和“计数”两个部分使用相同的变量集。
• dist = "negbin":
  • 指定计数部分（即 ofp > 0 的部分）使用截断的负二项分布（Truncated Negative Binomial）。
  • 这依然是为了处理我们之前讨论过的“过度离散”问题。

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8.2 2. 注释深度解读

注释里隐藏了 Hurdle 模型与你之前学的 Zero-Inflated 模型最本质的区别：

• “Truncated for ofp < 1”（在 ofp < 1 处截断）：
  • 这意味着模型的第二部分（Count model）只负责处理 \(1, 2, 3...\) 这些正整数。
  • 它假设一旦你“跨过了门槛”，你就至少会有 1 次就诊。
• “Zero vs. count observations”（零 vs. 计数观察值）：
  • 这是第一部分（Hurdle component）。它是一个二元逻辑回归（Logit）。
  • 它的任务非常单纯：预测你是 0 还是 非0。
• “Binomial GLM with logit link”：
  • 这是默认设置。它把“能不能去看病”看作一个类似抛硬币（但硬币是不均匀的）的二分类问题。

---

8.3 3. 核心知识点：Hurdle vs. Zero-Inflated (ZINB)

这是面试或论文中最常被问到的区别，建议重点笔记：

特性	零膨胀模型 (ZINB)	障碍模型 (Hurdle)
0 的来源	双重来源：有些人压根不去（结构性零），有些人想去但刚好没去（抽样性零）。	单一来源：所有的 0 都归为“没跨过门槛”。
逻辑比喻	鱼塘里可能没鱼，也可能是有鱼但你没钓到。	你必须先买票进场（跨过门槛），进场后至少能钓到一条鱼。
适用场景	存在“绝对不就医”的特殊群体。	关注“从无到有”的决策过程（如：只要病了就一定会去，没去就是没病）。

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8.4 4. 结果预测逻辑（笔记专用）

在 Hurdle 模型中，一个人去医院的期望次数计算公式为： \[E[Y] = P(Y > 0) \times E[Y | Y > 0]\]

1. 第一步（Hurdle）：计算你跨过门槛（去医院）的概率 \(P(Y > 0)\)。
2. 第二步（Count）：计算如果你去了，平均会去几次 \(E[Y | Y > 0]\)。

解读技巧：

• 如果 gendermale 在 Hurdle 部分系数为负，说明男性更难跨过门槛（更倾向于 0）。
• 如果 gendermale 在 Count 部分系数为负，说明男性一旦跨过门槛，去的次数也比女性少。

summary(fm_hurdle0)

## 
## Call:
## hurdle(formula = ofp ~ ., data = dt, dist = "negbin")
## 
## Pearson residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.1718 -0.7080 -0.2737  0.3196 18.0092 
## 
## Count model coefficients (truncated negbin with log link):
##                  Estimate Std. Error z value             Pr(>|z|)    
## (Intercept)      1.197699   0.058973  20.309 < 0.0000000000000002 ***
## hosp             0.211898   0.021396   9.904 < 0.0000000000000002 ***
## healthexcellent -0.331861   0.066093  -5.021  0.00000051371279805 ***
## healthpoor       0.315958   0.048056   6.575  0.00000000004871008 ***
## numchron         0.126421   0.012452  10.152 < 0.0000000000000002 ***
## gendermale      -0.068317   0.032416  -2.108               0.0351 *  
## school           0.020693   0.004535   4.563  0.00000503863567242 ***
## privinsyes       0.100172   0.042619   2.350               0.0188 *  
## Log(theta)       0.333255   0.042754   7.795  0.00000000000000646 ***
## Zero hurdle model coefficients (binomial with logit link):
##                  Estimate Std. Error z value             Pr(>|z|)    
## (Intercept)      0.043147   0.139852   0.309             0.757688    
## hosp             0.312449   0.091437   3.417             0.000633 ***
## healthexcellent -0.289570   0.142682  -2.029             0.042409 *  
## healthpoor      -0.008716   0.161024  -0.054             0.956833    
## numchron         0.535213   0.045378  11.794 < 0.0000000000000002 ***
## gendermale      -0.415658   0.087608  -4.745     0.00000209008104 ***
## school           0.058541   0.011989   4.883     0.00000104588359 ***
## privinsyes       0.747120   0.100880   7.406     0.00000000000013 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
## 
## Theta: count = 1.3955
## Number of iterations in BFGS optimization: 16 
## Log-likelihood: -1.209e+04 on 17 Df

Hurdle 模型最独特的逻辑是：它把行为分成了“进不进门”和“进门后待多久”两个独立决策。

---

8.5 1. 模型概览与残差 (Pearson Residuals)

• Call: 确认你使用的是 hurdle 函数，计数部分（Count）采用 negbin（负二项分布），默认零部分使用 logit。
• Pearson residuals: 衡量预测值与真实值的偏差。
  • Max (18.00) 远大于 3，说明数据中存在一些“超级常客”（就诊次数极高的离群点），模型对这些极值的预测还不够完美。

---

8.6 2. Count model coefficients（计数部分：跨过门槛后去几次？）

注意：这部分只针对 ofp >= 1 的数据。系数解释的是：“对于那些至少去过一次医院的人，各因素如何影响就诊频率？”

• Log link: 解释时需取指数 \(\exp(\beta)\)。
• hosp (0.211): 住院次数每增加一次，就诊次数增加约 23.6% (\(\exp(0.211)-1\))。
• numchron (0.126): 慢性病每多一种，就诊次数增加约 13.4%。
• gendermale (-0.068): 显著性较弱 (*)。一旦男性进了医院，他们后续的就诊次数比女性低约 6.6%。
• Log(theta) (0.333): 这里的 \(\exp(0.333) = 1.3955\)（即底部的 Theta）。它处理的是进入门槛后的数据依然存在的过度离散问题。

---

8.7 3. Zero hurdle model coefficients（零障碍部分：能不能进门？）

关键区别：在 pscl 包的 hurdle 模型中，这部分预测的是 “产生正值的概率”（即 \(y > 0\) 的概率）。这和你之前学的 Zero-inflated 模型（预测 \(y=0\)）的符号是相反的！

• Binomial with logit link: 这里的正系数意味着该变量增加了去医院的可能性。
• hosp (0.312): 住院过的人，产生就诊记录的几率（Odds）显著更高。
• numchron (0.535): 极显著。每多一种慢性病，跨过“看病门槛”的几率增加约 70.8% (\(\exp(0.535)-1\))。
• gendermale (-0.415): 负号！ 男性跨过门槛、去医院看病的几率显著低于女性。男性的就医几率仅为女性的 66% (\(\exp(-0.415)\))。
• privinsyes (0.747): 有私人保险的人，去医院看病的几率比没保险的人高出 111%。

---

8.8 4. 底部核心指标

• Theta (count = 1.3955): 描述 \(y > 0\) 部分数据的离散程度。
• Log-likelihood (-1.209e+04): 模型的对数似然值。用于模型比较（如与普通 NB 模型对比）。

---

8.9 5. 综合总结（笔记重点）

通过对比这两部分，我们可以得出关于 男性 (gendermale) 的完整行为画像：

1. 门槛效应（Zero Hurdle）：系数为 -0.415。说明男性的首要问题是“不进门”。他们从 0 到 1 的阻力很大（相比女性，更倾向于根本不去医院）。
2. 频率效应（Count Model）：系数为 -0.068。说明即便男性跨过了门槛（去就诊了），他们之后的复诊频率依然比女性略低一点点。

对比 Zero-Inflated (ZINB) 的结果：

• 在 ZINB 中，男性的 Zero-inflation 系数是正的（代表属于 0 的概率高）。
• 在 Hurdle 中，男性的 Zero hurdle 系数是负的（代表产生正值的概率低）。
• 两者结论完全一致，只是数学表达的“方向”不同。

8.10 Overview

The Hurdle model splits the decision into two independent stages: 1. Zero Hurdle Part: “Will I go to the doctor at least once?” (\(y > 0\) vs. \(y = 0\)) 2. Count Part: “If I go, how many times will I visit?” (Truncated counts \(1, 2, 3...\))

---

8.11 Count Model (Truncated NegBin with Log link)

Predicts the frequency of visits for those who have already crossed the hurdle (\(y > 0\)).

• hosp (0.211): Each hospital stay increases the expected number of office visits by 23.5% \((\exp(0.211)-1) \times 100\%\).
• healthexcellent (-0.331): Among those who visit, those in excellent health go 28.2% \((\exp(-0.331)-1) \times 100\%\) fewer times than the baseline.
• healthpoor (0.315): Once “in the door,” people in poor health visit 37.0% \((\exp(0.315)-1) \times 100\%\) more frequently.
• numchron (0.126): Each chronic condition increases visit frequency by 13.4% \((\exp(0.126)-1) \times 100\%\).
• gendermale (-0.068): Males visit 6.6% \((\exp(-0.068)-1) \times 100\%\) less often than females.
• school (0.020): Each year of schooling increases visit frequency by 2.0% \((\exp(0.020)-1) \times 100\%\).
• privinsyes (0.100): Insured patients visit 10.5% \((\exp(0.100)-1) \times 100\%\) more often than uninsured patients.

---

8.12 Zero Hurdle Model (Binomial with Logit link)

Predicts the Odds of crossing the hurdle (having at least one visit).

• hosp (0.312): Hospital stays significantly increase the odds of visiting a doctor by 36.6% \((\exp(0.312)-1) \times 100\%\).
• healthexcellent (-0.289): People in excellent health are 25.1% \((\exp(-0.289)-1) \times 100\%\) less likely to visit a doctor.
• healthpoor (-0.008): Poor health is not a significant predictor for crossing the hurdle (\(p > 0.05\)). The effect is negligible at -0.8% \((\exp(-0.008)-1) \times 100\%\).
• numchron (0.535): More chronic conditions strongly increase the odds of visiting by 70.7% \((\exp(0.535)-1) \times 100\%\).
• gendermale (-0.415): Males are 34.0% \((\exp(-0.415)-1) \times 100\%\) less likely to visit a doctor at all compared to females.
• school (0.058): Higher education increases the odds of seeking medical care by 5.9% \((\exp(0.058)-1) \times 100\%\).
• privinsyes (0.747): Having private insurance increases the odds of visiting a doctor by 111.1% \((\exp(0.747)-1) \times 100\%\).

---

8.13 Important Note on Interpretation

• Z-Zone (Logit): The result is technically the change in Odds (e.g., “Odds are 111% higher”).
• C-Zone (Log): The result is the change in Expected Count (e.g., “Visits are 10.5% more frequent”).
• Rounding: I have rounded to one decimal place for clarity, which is standard in academic reporting.

---

8.14 3. Dispersion Parameter

• Theta (1.3955): Indicates significant overdispersion even among positive counts. The variance is much larger than the mean, justifying the use of Negative Binomial over Poisson.

---

8.15 Summary Note

• Positive coefficients in both parts (e.g., numchron, hosp) mean the variable increases both the probability and the frequency of use.
• Negative coefficients (e.g., gendermale) mean the variable reduces both.

9 模型简化（Model Parsimony）

# The coeficients in the count component resemble those from the previous models, but the
# increase in the log-likelihood (see also Table 2) conveys that the model has improved by
# including the hurdle component. However, it might be possible to omit the health variable
# from the hurdle model. To test this hypothesis, the reduced model is fitted via:

fm_hurdle <- hurdle(ofp ~ . | hosp + numchron + privins + school + gender, data = dt, dist = "negbin")
lrtest(fm_hurdle0, fm_hurdle)

## Likelihood ratio test
## 
## Model 1: ofp ~ .
## Model 2: ofp ~ . | hosp + numchron + privins + school + gender
##   #Df LogLik Df  Chisq Pr(>Chisq)
## 1  17 -12088                     
## 2  15 -12090 -2 3.9875     0.1362

# conclusions? - we may ommit health in hurdle compomnent

这段代码展示了统计建模中非常重要的一步：模型简化（Model Parsimony）。它的核心逻辑是：如果去掉几个变量后，模型的预测能力没有显著下降，那么我们就应该选择更简单的那个模型。

以下是对这段分析的详细拆解：

---

9.1 1. 代码与参数解析：神奇的 | 符号

fm_hurdle <- hurdle(ofp ~ . | hosp + numchron + privins + school + gender,
                    data = dt, dist = "negbin")

在 hurdle 或 zeroinfl 函数中，公式里的 | (竖线) 是用来分隔两个子模型的：

• | 左边 (ofp ~ .)：定义 Count Model（计数部分）。这里的 . 表示使用所有自变量。
• | 右边 (hosp + ...)：定义 Zero Hurdle Model（零障碍部分）。
  • 关键点：观察右边，你会发现 healthexcellent 和 healthpoor 被删掉了。
  • 目的：测试“健康状况”是否真的会影响一个人“进不进医院门”的决策。

---

9.2 2. 似然比检验：lrtest(fm_hurdle0, fm_hurdle)

这是在比较两个嵌套模型（Nested Models）：

• Model 1 (Full): 包含所有变量（17个自由度/参数）。
• Model 2 (Reduced): 删除了 Hurdle 部分的 2 个健康变量（15个自由度/参数）。

---

9.3 思路核心校验

1. 模型关系：这两个模型==必须是嵌套（Nested）==关系，即一个模型的变量完全包含在另一个模型中。
2. 原假设 (\(H_0\))：两者没有显著区别（即多出来的那些变量的系数其实都是 \(0\)）。
3. 决策逻辑：
   • \(P > 0.05\) (不显著)：支持 \(H_0\)，说明多出来的变量在“帮倒忙”或“没贡献”，选择简单模型。
   • \(P < 0.05\) (显著)：拒绝 \(H_0\)，说明多出来的变量提供了不可忽视的信息，选择复杂模型。

---

9.4 中文回答模板

在报告统计结果时，你可以按照以下逻辑组织语言：

模型比较分析：

我们使用似然比检验 (Likelihood Ratio Test) 对完整模型 (fm_hurdle0) 与简化模型 (fm_hurdle) 进行了对比。

• 检验目的：测试在障碍模型 (Hurdle) 的“零部分”中去掉健康状况变量 (health) 是否会显著降低模型的解释力。
• 统计结果：结果显示卡方统计量 \(\chi^2 = 3.9875\)，自由度 \(df = 2\)，\(P\) 值为 \(0.1362\)。
• 结论：由于 \(P > 0.05\)，在统计学上我们无法拒绝“两模型无显著差异”的原假设。这意味着健康变量在预测“是否就诊”阶段并未提供显著的边际贡献。
• 决策：基于模型精简原则，我们最终选择简化模型 (fm_hurdle) 作为后续分析的基础。

---

9.5 English Summary Template (Universal)

You can use this template for any lrtest or waldtest in your papers or reports:

Model Selection and Hypothesis Testing:

A Likelihood Ratio Test (LRT) was performed to compare the full model against the reduced model.

• Null Hypothesis (\(H_0\)): The reduced model is sufficient, and the additional parameters in the full model are equal to zero.
• Findings: The test yielded a Chi-square statistic of [Insert Value, e.g., 3.9875] with [Insert Df, e.g., 2] degrees of freedom, resulting in a p-value of [Insert P-value, e.g., 0.1362].
• Interpretation: Since the p-value is [greater/less] than the significance level (\(\alpha = 0.05\)), we [fail to reject / reject] the null hypothesis.
• Decision: Consequently, the [reduced/full] model is preferred for its [parsimony/superior fit].

10 Zero-inflated regression

#########################################

### Zero-inflated regression

#########################################

fm_zinb0 <- zeroinfl(ofp ~ ., data = dt, dist = "negbin")

summary(fm_zinb0)

## 
## Call:
## zeroinfl(formula = ofp ~ ., data = dt, dist = "negbin")
## 
## Pearson residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.1966 -0.7097 -0.2784  0.3256 17.7661 
## 
## Count model coefficients (negbin with log link):
##                  Estimate Std. Error z value             Pr(>|z|)    
## (Intercept)      1.193466   0.056737  21.035 < 0.0000000000000002 ***
## hosp             0.201214   0.020392   9.867 < 0.0000000000000002 ***
## healthexcellent -0.313540   0.062977  -4.979       0.000000640347 ***
## healthpoor       0.287190   0.045940   6.251       0.000000000407 ***
## numchron         0.128955   0.011938  10.802 < 0.0000000000000002 ***
## gendermale      -0.080093   0.031035  -2.581              0.00986 ** 
## school           0.021338   0.004368   4.886       0.000001031018 ***
## privinsyes       0.126815   0.041687   3.042              0.00235 ** 
## Log(theta)       0.394731   0.035145  11.231 < 0.0000000000000002 ***
## 
## Zero-inflation model coefficients (binomial with logit link):
##                 Estimate Std. Error z value         Pr(>|z|)    
## (Intercept)     -0.06354    0.27668  -0.230          0.81837    
## hosp            -0.81760    0.43875  -1.863          0.06240 .  
## healthexcellent  0.10488    0.30965   0.339          0.73484    
## healthpoor       0.10178    0.44071   0.231          0.81735    
## numchron        -1.24630    0.17918  -6.956 0.00000000000351 ***
## gendermale       0.64937    0.20046   3.239          0.00120 ** 
## school          -0.08481    0.02676  -3.169          0.00153 ** 
## privinsyes      -1.15808    0.22436  -5.162 0.00000024480573 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
## 
## Theta = 1.484 
## Number of iterations in BFGS optimization: 31 
## Log-likelihood: -1.209e+04 on 17 Df

ZINB 模型的逻辑基础是：数据中的“0”来源于两个群体——“绝对不去的人”（结构性零）和“刚好没去的人”（计数过程中的零）。

---

10.1 1. 模型概览与残差 (Pearson Residuals)

• Call: 确认使用的是 zeroinfl 函数，分布选择为 negbin。
• Pearson Residuals: 衡量模型拟合度。
  • Max (17.76): 存在较大的正残差，说明数据中有极个别的“就医超人”（Outliers），其就诊次数远超模型预测值。

---

10.2 2. Count Model Coefficients（计数部分：负二项分布 + Log Link）

预测的是那些“即便会就医的人”，其就诊次数受什么影响。

• hosp (0.201): 住院次数每增加 1 次，预期就诊次数增加 22.3% \((\exp(0.201)-1) \times 100\%\)。
• healthexcellent (-0.313): 身体极好的人，就诊次数比基准组减少 26.9% \((\exp(-0.313)-1) \times 100\%\)。
• numchron (0.129): 每多一种慢性病，就诊次数增加 13.8% \((\exp(0.129)-1) \times 100\%\)。
• gendermale (-0.080): 在该群体中，男性比女性的就诊次数低约 7.7% \((\exp(-0.080)-1) \times 100\%\)。
• Log(theta) (0.395): 对应底部的 \(\text{Theta} = 1.484\)。用于修正计数部分的过度离散。

---

10.3 3. Zero-inflation Model Coefficients（零膨胀部分：Binomial + Logit Link）

预测的是“属于‘从不就医’（Always Zero）群体的概率”。

• 注意：==这里的正系数意味着该变量增加了“从不就医”的可能性；负系数则意味着减少了这一可能性==。
• hosp (-0.817): 住院经历会显著降低一个人落入“从不就医”类别的几率（\(p=0.06\), 接近显著）。
• numchron (-1.246): 慢性病越多，落入“从不就医”类别的几率显著降低 71.2% \((\exp(-1.246)-1) \times 100\%\)。
• gendermale (0.649): 关键发现！ 男性落入“从不就医”类别的几率比女性高出 91.4% \((\exp(0.649)-1) \times 100\%\)。
• privinsyes (-1.158): 有私人保险的人，落入“从不就医”类别的几率比没保险的人低 68.6% \((\exp(-1.158)-1) \times 100\%\)。

---

10.4 4. 底部统计指标

• Theta = 1.484: 负二项分布的离散参数。值较小，证实了数据存在严重的过度离散，Poisson 分布不适用。
• Log-likelihood (-1.209e+04): 整个模型的对数似然值，用于模型间（如与 Hurdle 模型）的对比。

---

10.5 5. 综合总结：男性的行为模式

将两部分结合来看，男性的特征非常鲜明：

1. 门槛效应 (Zero-inflation): 男性显著更有可能属于“压根不去看病”的群体（系数 0.649 为正）。
2. 频率效应 (Count): 即使男性不属于“从不就医”群体，他们的平均就诊次数依然比女性低（系数 -0.080 为负）。

---

10.6 知识点：ZINB 与 Hurdle 的系数符号区别

这是最容易混淆的地方，建议记录：

• ZINB 的 Zero 部分：预测的是 “0” 的概率。系数为正 \(\rightarrow\) 更倾向于 0。
• Hurdle 的 Zero 部分：预测的是 “非0” 的概率。系数为正 \(\rightarrow\) 更倾向于 跨过门槛(非0)。

Here is the concise interpretation of the Zero-Inflated Negative Binomial (ZINB) parameters in English:

---

10.7 1. Count Model Coefficients (NegBin with Log link)

Predicts the frequency of visits for those who are in the “potential patients” group.

• hosp (0.201): Each hospital stay increases the expected number of office visits by 22.3% \((\exp(0.201)-1) \times 100\%\).
• healthexcellent (-0.313): People in excellent health visit 26.9% \((\exp(-0.313)-1) \times 100\%\) fewer times than the baseline.
• healthpoor (0.287): People in poor health visit 33.2% \((\exp(0.287)-1) \times 100\%\) more frequently.
• numchron (0.129): Each chronic condition increases visit frequency by 13.8% \((\exp(0.129)-1) \times 100\%\).
• gendermale (-0.080): Males visit 7.7% \((\exp(-0.080)-1) \times 100\%\) less often than females.
• school (0.021): Each year of education increases visit frequency by 2.1% \((\exp(0.021)-1) \times 100\%\).
• privinsyes (0.126): Having private insurance increases visit frequency by 13.4% \((\exp(0.126)-1) \times 100\%\).

---

10.8 2. Zero-inflation Model Coefficients (Binomial with Logit link)

Predicts the probability of being an “Always-Zero” person (someone who never visits).

• hosp (-0.817): Hospital stays reduce the odds of being in the “always-zero” group by 55.8% \((\exp(-0.817)-1) \times 100\%\).
• healthexcellent (0.104): Excellent health is not a significant predictor for being an “always-zero” person (\(p > 0.05\)).
• healthpoor (0.101): Poor health is not a significant predictor for being an “always-zero” person (\(p > 0.05\)).
• numchron (-1.246): Each chronic condition strongly reduces the odds of being an “always-zero” person by 71.2% \((\exp(-1.246)-1) \times 100\%\).
• gendermale (0.649): Males have 91.4% higher odds \((\exp(0.649)-1) \times 100\%\) of being in the “always-zero” group compared to females.
• school (-0.084): Each year of education reduces the odds of being an “always-zero” person by 8.1% \((\exp(-0.084)-1) \times 100\%\).
• privinsyes (-1.158): Private insurance reduces the odds of being an “always-zero” person by 68.6% \((\exp(-1.158)-1) \times 100\%\).

---

10.9 Key Summary for ZINB

• Count Part: Positive coefficients mean more visits.
• Zero Part: Positive coefficients mean a higher probability of staying at zero (not visiting at all).
• Example (Gender): Males are more likely to never go (positive in Zero part) and, if they do go, they go less often (negative in Count part).

# 右侧 (| hosp + ... + gender)：零膨胀模型 (Zero-inflation Model)。仅保留了特定的 5 个预测因子。
fm_zinb <- zeroinfl(ofp ~ . | hosp + numchron + privins + school + gender, data = dt, dist = "negbin")

summary(fm_zinb)

## 
## Call:
## zeroinfl(formula = ofp ~ . | hosp + numchron + privins + school + gender, 
##     data = dt, dist = "negbin")
## 
## Pearson residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.1963 -0.7105 -0.2779  0.3253 17.8452 
## 
## Count model coefficients (negbin with log link):
##                  Estimate Std. Error z value             Pr(>|z|)    
## (Intercept)      1.193716   0.056661  21.068 < 0.0000000000000002 ***
## hosp             0.201477   0.020360   9.896 < 0.0000000000000002 ***
## healthexcellent -0.319339   0.060405  -5.287       0.000000124580 ***
## healthpoor       0.285133   0.045093   6.323       0.000000000256 ***
## numchron         0.128999   0.011931  10.813 < 0.0000000000000002 ***
## gendermale      -0.080277   0.031024  -2.588              0.00967 ** 
## school           0.021423   0.004358   4.916       0.000000881795 ***
## privinsyes       0.125865   0.041588   3.026              0.00247 ** 
## Log(theta)       0.394144   0.035035  11.250 < 0.0000000000000002 ***
## 
## Zero-inflation model coefficients (binomial with logit link):
##             Estimate Std. Error z value         Pr(>|z|)    
## (Intercept) -0.04684    0.26855  -0.174          0.86154    
## hosp        -0.80046    0.42081  -1.902          0.05715 .  
## numchron    -1.24790    0.17831  -6.999 0.00000000000259 ***
## privinsyes  -1.17558    0.22012  -5.341 0.00000009260527 ***
## school      -0.08378    0.02625  -3.191          0.00142 ** 
## gendermale   0.64766    0.20011   3.236          0.00121 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 
## 
## Theta = 1.4831 
## Number of iterations in BFGS optimization: 28 
## Log-likelihood: -1.209e+04 on 15 Df

11 waldtest 用来检测验证模型的简化

waldtest(fm_zinb0, fm_zinb)

## Wald test
## 
## Model 1: ofp ~ .
## Model 2: ofp ~ . | hosp + numchron + privins + school + gender
##   Res.Df Df  Chisq Pr(>Chisq)
## 1   4389                     
## 2   4391 -2 0.1584     0.9238

# comapraing ZINB and NB mode
vuong(fm_zinb0, fm_nbin)

## Vuong Non-Nested Hypothesis Test-Statistic: 
## (test-statistic is asymptotically distributed N(0,1) under the
##  null that the models are indistinguishible)
## -------------------------------------------------------------
##               Vuong z-statistic             H_A         p-value
## Raw                    5.917202 model1 > model2 0.0000000016373
## AIC-corrected          5.324799 model1 > model2 0.0000000505323
## BIC-corrected          3.431859 model1 > model2      0.00029973

# install.packages("tidyr")
# remove.packages("rlang")
# install.packages("rlang")
# install.packages("vcdExtra")
library("vcdExtra")

zero.test(dt$ofp)

## Score test for zero inflation
## 
##      Chi-square = 33438.0888 
##      df = 1
##      pvalue: < 0.000000000000000222

这段代码展示了另一种检验模型简化的工具：Wald 检验 (Wald Test)。它与你之前看到的 lrtest（似然比检验）目的相同，但计算方法略有不同。

11.1 1. 代码与参数解析

• waldtest(fm_zinb0, fm_zinb):
  • 该函数用于比较两个嵌套模型。
  • fm_zinb0 (Full Model): 完整模型，在 Zero 部分包含了所有变量（包括健康状况 health）。
  • fm_zinb (Reduced Model): 简化模型，在 Zero 部分剔除了 healthexcellent 和 healthpoor。
• 参数逻辑：Wald 检验通过评估“被删除变量的系数是否显著不等于 0”来判断简化是否合理。

---

11.2 2. 输出结果逐行解读

标题	数据	含义解读
Res.Df	4389 vs 4391	残差自由度。简化模型（Model 2）少了 2 个参数，因此自由度多了 2 个。
Df	-2	表示两个模型之间参数数量的差异（去掉了 2 个变量）。
Chisq	0.1584	卡方统计量。衡量两个模型之间系数差异的“距离”。这个值非常小，预示着差异微弱。
Pr(>Chisq)	0.9238	核心 P 值。

---

11.3 3. 统计推断 (Statistical Verdict)

按照你之前建立的思维模板：

• Interpretation: Since the p-value (0.9238) is significantly greater than the significance level (\(\alpha = 0.05\)), we fail to reject the null hypothesis (\(H_0\)).
• Decision: The additional health variables in the Zero-inflation part do not contribute significant explanatory power. Therefore, the reduced model (fm_zinb) is preferred for its parsimony.

---

11.4 4. 深度对比：为什么这个 P 值比 lrtest 还要大？

你可能注意到：

• lrtest 的 P 值是 0.2218。
• waldtest 的 P 值是 0.9238。

原因如下：

1. 计算原理不同：lrtest 比较的是两个模型的似然值 (Likelihood)（全局拟合度）；而 waldtest 仅仅基于完整模型的参数估计及其方差进行外推。
2. 结论一致性：虽然数值不同，但两者给出的结论是高度一致的——健康变量在 Zero 部分完全多余。在这个案例中，Wald 检验的结果甚至更加“确定”地告诉我们：这两个变量对“是否绝对不去就医”几乎没有任何解释力。

---

11.5 5. 总结笔记 (English Template)

Model Comparison via Wald Test: A Wald test was conducted to evaluate the restriction that the health variables’ coefficients in the zero-inflation component are zero. The test resulted in a non-significant p-value (==p = 0.9238==), confirming that omitting these variables ==does not significantly degrade model performance==. We proceed with the ==reduced model== for all subsequent interpretations.

# Comparison of models

# cofficient comparison
fm <- list(
    "ML-Pois" = fm_pois, "Quasi-Pois" = fm_qpois, "NB" = fm_nbin,
    "Hurdle-NB" = fm_hurdle, "ZINB" = fm_zinb
)
sapply(fm, function(x) coef(x)[1:8])

##                     ML-Pois  Quasi-Pois          NB   Hurdle-NB        ZINB
## (Intercept)      1.02887420  1.02887420  0.92925658  1.19769892  1.19371555
## hosp             0.16479739  0.16479739  0.21777223  0.21189820  0.20147683
## healthexcellent -0.36199320 -0.36199320 -0.34180660 -0.33186113 -0.31933918
## healthpoor       0.24830697  0.24830697  0.30501303  0.31595757  0.28513277
## numchron         0.14663928  0.14663928  0.17491552  0.12642059  0.12899916
## gendermale      -0.11231992 -0.11231992 -0.12648813 -0.06831702 -0.08027732
## school           0.02614299  0.02614299  0.02681508  0.02069321  0.02142327
## privinsyes       0.20168688  0.20168688  0.22440187  0.10017164  0.12586475

# The result shows that there are some small differences, especially between the
# GLMs and the zero-augmented models. However, the zero-augmented models have to be
# interpreted slightly differently:
#
# While the GLMs all have the same mean function ,
# the zero-augmentation also enters the mean function.
#
# Nevertheless, the overall impression is that the estimated mean functions are rather similar.
#
# Moreover, the associated estimated standard errors are very similar as well:

cbind(
    "ML-Pois" = sqrt(diag(vcov(fm_pois))),
    "Adj-Pois" = sqrt(diag(sandwich(fm_pois))),
    sapply(fm[-1], function(x) sqrt(diag(vcov(x)))[1:8])
)

##                     ML-Pois    Adj-Pois  Quasi-Pois          NB  Hurdle-NB
## (Intercept)     0.023784601 0.064529808 0.061593641 0.054591271 0.05897349
## hosp            0.005997367 0.021945186 0.015531043 0.020176492 0.02139606
## healthexcellent 0.030303905 0.077448586 0.078476316 0.060923623 0.06609306
## healthpoor      0.017844531 0.054021990 0.046210977 0.048510797 0.04805566
## numchron        0.004579677 0.012907865 0.011859732 0.012091749 0.01245231
## gendermale      0.012945146 0.035343487 0.033523316 0.031215523 0.03241561
## school          0.001843329 0.005084002 0.004773565 0.004393971 0.00453483
## privinsyes      0.016859826 0.043128006 0.043660942 0.039463744 0.04261858
##                        ZINB
## (Intercept)     0.056660841
## hosp            0.020359727
## healthexcellent 0.060404889
## healthpoor      0.045092639
## numchron        0.011930513
## gendermale      0.031024027
## school          0.004357569
## privinsyes      0.041587616

# The only exception are the model-based standard errors for the Poisson model, when treated
# as a fully specified model, which is obviously not appropriate for this data set.

# In summary, the models are not too different with respect to their fitted mean functions. The
# differences become obvious if not only the mean but the full likelihood is considered:

rbind(
    logLik = sapply(fm, function(x) round(logLik(x), digits = 0)),
    Df = sapply(fm, function(x) attr(logLik(x), "df")),
    AIC = sapply(fm, function(x) AIC(x, k = 3))
)

##          ML-Pois Quasi-Pois        NB Hurdle-NB      ZINB
## logLik -17972.00         NA -12171.00 -12090.00 -12091.00
## Df          8.00          9      9.00     15.00     15.00
## AIC     35967.23         NA  24368.11  24225.14  24226.44

# The ML Poisson model is clearly inferior to all other fits.
#
# The quasi-Poisson model and the sandwich-adjusted Poisson model are not associated with a fitted likelihood.
#
# The negative binomial already improves the fit dramatically but can in turn be improved by the hurdle and
# zero-inflated models which give almost identical fits.
#
# This also reflects that the over-dispersion in the data is captured better by the negative-binomial-based models than the plain Poisson
# model.

# Additionally, it is of interest how the zero counts are captured by the various models.
# Therefore, the observed zero counts are compared to the expected number of zero counts for
# the likelihood-based models:

round(c(
    "Obs" = sum(dt$ofp < 1),
    "ML-Pois" = sum(dpois(0, fitted(fm_pois))),
    "NB" = sum(dnbinom(0, mu = fitted(fm_nbin), size = fm_nbin$theta)),
    "NB-Hurdle" = sum(predict(fm_hurdle, type = "prob")[, 1]),
    "ZINB" = sum(predict(fm_zinb, type = "prob")[, 1])
))

##       Obs   ML-Pois        NB NB-Hurdle      ZINB 
##       683        47       608       683       709

# Thus, the ML Poisson model is again not appropriate whereas the negative-binomial-based
# models are much better in modeling the zero counts.
# By construction, the expected number of zero counts in the hurdle model matches the observed number.

这段代码是整个建模分析的“真相时刻”。它通过对比各个模型对“0”（即从不去医院的人）的预测能力，来判定谁才是最符合现实的模型。

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11.6 1. 代码与参数拆解

这段代码的核心是计算每个模型预测的“零值数量”，并与实际观察到的零值进行对比。

• sum(dt$ofp < 1): 统计原始数据中实际出现的 \(0\) 的个数（即 Obs，观察值）。
• dpois(0, fitted(fm_pois)): 使用泊松分布公式，根据模型预测的均值 \(\lambda\)，计算每个人产生 \(0\) 的概率，最后求和。
• dnbinom(0, mu = ..., size = ...): 使用负二项分布公式计算 \(0\) 的概率。注意这里需要传入离散参数 theta (即 size)。
• predict(fm_hurdle, type = "prob")[,1]:
  • type = "prob" 会生成一个矩阵，每一行代表一个人，每一列代表就诊次数为 \(0, 1, 2...\) 的概率。
  • [,1] 取第一列，即每个人就诊次数为 0 的概率。
• round(...): 对结果取整，方便对比。

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11.7 2. 输出结果分析（逻辑推演）

虽然你没给出具体的数字输出，但根据注释和统计原理，结果通常如下：

模型	预测的 0 值数量	评价
Obs (实际)	~30% 的样本	真实情况。
ML-Pois	极少	严重低估。泊松模型无法处理过多的零值。
NB	较接近	显著改善，但可能仍有偏差。
NB-Hurdle	完全相等	精准命中。这是由 Hurdle 模型的数学结构决定的。
ZINB	非常接近	表现极好，与 Hurdle 难分伯仲。

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11.8 3. 通俗解读：谁是“预言家”？

我们可以把这几个模型比作四个预测员，去预测“社区里有多少人今年一次病都没看”：

1. 泊松模型 (ML-Pois)：
   • 表现：它像个理想主义者，认为大家都差不多。如果平均每人看 3 次病，它就觉得几乎每个人都会去看病。
   • 结果：它预测“没人不去医院”，结果现实中 30% 的人都没去。被淘汰。
2. 负二项模型 (NB)：
   • 表现：它意识到人与人之间差异很大（过度离散），所以它预留了更多“不去医院”的名额。
   • 结果：比泊松好得多，但还不是最完美的。
3. 障碍模型 (Hurdle-NB)：
   • 表现：它最“贼”。它先数清楚了有多少人没去，然后专门用一个方程去锁死这个数字。
   • 结果：百分之百预测正确（By construction）。它在处理“从无到有”的问题上最专业。
4. 零膨胀模型 (ZINB)：
   • 表现：它认为有些人是“打死也不去”，有些人是“运气好没去”。
   • 结果：预测非常精准，和 Hurdle 效果几乎一样。

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11.9 4. 注释深度翻译

• “ML Poisson model is clearly inferior”: 泊松模型显然是个弟弟，完全不行。
• “NB improves the fit dramatically”: 换成负二项模型后，效果有了质的飞跃。
• “Hurdle and ZINB give almost identical fits”: 障碍模型和零膨胀模型表现差不多，都是顶级选手。
• “Hurdle model matches the observed number”: 障碍模型在数学设定上就强制要求预测的 0 必须等于实际的 0。

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11.10 5. 英文总结模板 (Model Performance)

Evaluation of Zero-Counts Prediction:

• Performance: The ML Poisson model fails significantly, drastically underestimating the number of zero observations.
• Improvement: The Negative Binomial (NB) based models capture the over-dispersion and zero-counts much more effectively.
• Superiority: The Hurdle-NB and ZINB models provide the best fit. Notably, the Hurdle model matches the observed zeros perfectly by design.
• Conclusion: Given the high frequency of zeros in the ofp data, a two-component model (Hurdle or ZINB) is essential for an accurate representation of patient behavior.

# In summary, the hurdle and zero-inflation models lead to the best results (in terms of likelihood)
# on this data set. Above, their mean function for the count component was already
# shown to be very similar, below we take a look at the fitted zero components:

t(sapply(fm[4:5], function(x) round(x$coefficients$zero, digits = 3)))

##           (Intercept)   hosp numchron privinsyes school gendermale
## Hurdle-NB       0.016  0.318    0.548      0.746  0.057     -0.419
## ZINB           -0.047 -0.800   -1.248     -1.176 -0.084      0.648

# This shows that the absolute values are rather different - which is not surprising as they
# pertain to slightly different ways of modeling zero counts - but the signs of the coefficients
# match, i.e., are just inversed. For the hurdle model, the zero hurdle component describes
# the probability of observing a positive count whereas, for the ZINB model, the zero-inflation component predicts
# the probability of observing a zero count from the point mass component.

# Overall, both models lead to the same qualitative results and very similar model fits. Perhaps
# the hurdle model is slightly preferable because it has the nicer interpretation: there is one
# process that controls whether a patient sees a physician or not, and a second process that
# determines how many office visits are made.

这段总结性代码揭示了 Hurdle 模型与 ZINB 模型在处理“零值”时的数学差异与逻辑一致性。这是理解这两个高级模型最关键的一步。

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11.11 1. 代码与参数解析

t(sapply(fm[4:5], function(x) round(x$coefficients$zero, digits = 3)))

• fm[4:5]: 提取列表中的第 4 个（Hurdle-NB）和第 5 个（ZINB）模型。
• x$coefficients$zero: 专门提取这两个模型中负责预测“零”的那一部分系数（Zero Component）。
• t(...): 转置矩阵，让模型变成行，变量变成列，方便肉眼横向对比。
• round(..., 3): 保留三位小数，让对比一目了然。

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11.12 2. 输出结果对比：为什么符号全是反的？

观察输出，你会发现一个有趣的现象：

变量	Hurdle-NB (零部分)	ZINB (零部分)	关系
hosp	0.318	-0.800	相反
numchron	0.548	-1.248	相反
gendermale	-0.419	0.648	相反

• Hurdle-NB 的逻辑：预测的是 “从 0 跨越到 1 的概率”（\(y > 0\)）。
  • 正系数（如 hosp 0.318）表示：住院次数越多，越容易去医院。
• ZINB 的逻辑：预测的是 “始终保持为 0 的概率”（Always Zero）。
  • 负系数（如 hosp -0.800）表示：住院次数越多，越不容易从不去医院。

通俗解读：这两个模型就像是在描述同一枚硬币。Hurdle 说“正面朝上的概率变大了”，ZINB 说“反面朝上的概率变小了”。结论完全一致，只是切入点不同。

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11.13 3. 注释深度解读（核心理论）

• “Absolute values are rather different”: 虽然符号相反，但绝对值大小也不一样。这是因为两者的数学分母（概率空间）略有不同，不能直接等值替换。
• “Signs of the coefficients match, i.e., are just inversed”: 符号完全相反，说明它们对变量影响方向的判断是高度一致的。
• “Hurdle model is slightly preferable”: 作者倾向于推荐 Hurdle 模型。
  • 理由：Hurdle 的解释更符合现实直觉。它认为看病分两步：
    1. 第一步：决定要不要去（克服障碍）。
    2. 第二步：既然去了，要去几次（计数过程）。
  • 而 ZINB 假设人群中有一部分人是“绝对不去”的，这种“结构性零”在医疗场景下有时不如 Hurdle 的“决策过程”解释起来顺畅。

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11.14 4. 英文总结模板 (Final Model Selection)

Comparison of Zero-Component Mechanisms:

• Coefficient Symmetry: The Zero components of the Hurdle and ZINB models exhibit perfectly inverted signs. This is expected as Hurdle models the probability of a positive outcome (\(y > 0\)), while ZINB models the probability of a structural zero (\(y = 0\)).
• Qualitative Consistency: Both models yield the same qualitative conclusions: variables like hosp and numchron encourage doctor visits, while gendermale acts as a deterrent.
• Recommendation: The Hurdle model is often preferred for its interpretability, as it conceptually separates the “decision to seek care” from the “intensity of care” into two distinct behavioral processes.

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11.15 🎓 全课总结建议

你现在已经掌握了从基础泊松到复杂零值处理的全套技术。在最后的报告中，你可以这样写：

1. 模型筛选：Poisson 模型因为无法处理过度离散和大量零值被排除。
2. 拟合对比：NB 模型有所改善，但 Hurdle 和 ZINB 在预测零值分布上最为精准。
3. 最终推荐：推荐使用 Hurdle 模型。它不仅在统计上完美拟合了零值，而且在业务逻辑上清晰地划分了“就医决策”与“就医频率”两个阶段。