Regresi linier berganda merupakan metode analisis yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara satu variabel terikat (\(Y\)) dengan dua atau lebih variabel bebas (\(X\)). Model ini bertujuan untuk melihat bagaimana perubahan pada variabel independen dapat memengaruhi variabel dependen.

Secara umum, bentuk matematis dari model regresi linier berganda dapat dinyatakan sebagai berikut:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k + \varepsilon \] dengan keterangan:

- \(Y\) : variabel dependen
- \(X_k\) : variabel independen ke-\(k\)
- \(\beta_0\) : konstanta
- \(\beta_k\) : koefisien regresi
- \(\varepsilon\) : komponen error atau residual

Selain itu, dalam praktik analisis, model regresi digunakan untuk memperoleh nilai taksiran dari variabel dependen berdasarkan nilai variabel independen yang diketahui. Bentuk persamaan estimasinya adalah:

\[ \hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2 + \cdots + \hat{\beta}_k X_k \]

dengan keterangan:

- \(\hat{Y}\) : nilai prediksi dari variabel dependen
- \(\hat{\beta}_k\) : koefisien regresi hasil estimasi

Dalam penelitian ini, penentuan model dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu perhitungan manual menggunakan metode matriks dan analisis menggunakan fungsi lm() pada perangkat lunak R.

Untuk memperoleh nilai koefisien regresi secara manual, digunakan pendekatan matriks dengan rumus:

\[ \beta = (X^T X)^{-1} X^T Y \]

Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan metode Ordinary Least Squares (OLS), diperoleh model regresi sebagai berikut:

\[ \hat{Y} = 16.136 + 1.169X_1 - 0.774X_2 \] Interpretasi:

• Intercept (β₀ = 16.136)

  Menunjukkan nilai ujian ketika jam belajar dan kehadiran bernilai nol. Nilai ini hanya sebagai konstanta model dan tidak memiliki makna praktis.

• Koefisien X1 (β₁ = 1.169)

  Artinya, setiap penambahan 1 jam belajar per minggu, nilai ujian akan meningkat sebesar 1.169 poin, dengan asumsi kehadiran tetap.

• Koefisien X2 (β₂ = 0.774)

  Artinya, setiap kenaikan 1% kehadiran, nilai ujian meningkat sebesar 0.774 poin, dengan asumsi jam belajar tetap.

Buat perhitungan untuk nilai prediksi, nilai residual dan lain-lain sebelum menentukan F-hitung dan t-hitungnya

• Analisis Kemampuan Model (\(R^2\))

  Nilai \(R^2\) sebesar 0,9993 mengandung arti bahwa variasi pada variabel dependen (Nilai Ujian) dapat dijelaskan oleh variabel independen (Jam Belajar dan Kehadiran) sebesar 99,93%.

• Analisis Keandalan Model (\(Adj. \ R^2\))

  Nilai Adjusted R-Squared sebesar 0,9992 hampir sama dengan nilai \(R^2\) biasa. Hal ini menunjukkan bahwa penambahan variabel Jam Belajar (\(X_1\)) dan Kehadiran (\(X_2\)) ke dalam model memang benar-benar meningkatkan daya prediksi model secara signifikan, bukan sekadar penambahan variabel tanpa kontribusi nyata.

• Faktor Luar Model

  Hanya sekitar 0,07% (\(100\% - 99,93\%\)) variasi Nilai Ujian yang dipengaruhi oleh faktor lain di luar penelitian ini (seperti kondisi fisik saat ujian, keberuntungan, atau tingkat kecerdasan emosional).

Untuk memastikan akurasi perhitungan manual berbasis matriks, kita akan membandingkan hasilnya dengan fungsi standar R lm().

# 1. Estimasi Model menggunakan fungsi lm()
model_otomatis <- lm(Y ~ X1 + X2)
ringkasan <- summary(model_otomatis)

# 2. Ekstraksi Nilai dari lm()
koefisien_lm <- ringkasan$coefficients[, 1]
t_hitung_lm  <- ringkasan$coefficients[, 3]
f_hitung_lm  <- ringkasan$fstatistic[1]
r_sq_lm      <- ringkasan$r.squared
adj_r_sq_lm  <- ringkasan$adj.r.squared

# 3. Membuat Tabel Perbandingan
perbandingan <- data.frame(
  Indikator = c("Intercept", "Koefisien X1", "Koefisien X2", 
                "F-Hitung", 
                "t-Hitung Intercept", "t-Hitung X1", "t-Hitung X2", 
                "R-Squared", "Adj. R-Squared"),
  
  Manual = c(beta_hat[1], beta_hat[2], beta_hat[3], 
             f_hitung, 
             t_hitung[1], t_hitung[2], t_hitung[3], 
             r_sq, adj_r_sq),
  
  Fungsi_lm = c(koefisien_lm[1], koefisien_lm[2], koefisien_lm[3], 
                f_hitung_lm, 
                t_hitung_lm[1], t_hitung_lm[2], t_hitung_lm[3], 
                r_sq_lm, adj_r_sq_lm)
)

knitr::kable(perbandingan, digits = 4, caption = "Tabel Perbandingan Hasil Perhitungan")

1. Persamaan Regresi (Estimasi Model)

   Nilai koefisien pada kedua metode menunjukkan hasil yang sama persis hingga empat angka di belakang koma:

   • Intercept (\(\beta_0\)): 16.1360

   • Koefisien Jam Belajar (\(X_1\)): 1.1698

   • Koefisien Kehadiran (\(X_2\)): 0.7745

   Makna Model: Jika jam belajar (\(X_1\)) dan kehadiran (\(X_2\)) bernilai nol, maka nilai ujian diprediksi sebesar 16.1360. Setiap kenaikan 1 jam belajar akan meningkatkan nilai sebesar 1.1698 poin, dan setiap kenaikan 1% kehadiran akan meningkatkan nilai sebesar 0.7745 poin.

2. Uji Signifikansi (F-Hitung dan t-Hitung)

   • F-Hitung (5172.1158):

     Nilai ini sangat besar dan identik pada kedua metode. Hal ini menunjukkan bahwa secara simultan (serempak), Jam Belajar dan Kehadiran memiliki pengaruh yang sangat signifikan terhadap Nilai Ujian.

   • t-Hitung:

     Nilai \(t\) untuk Intercept (5.6882), \(X_1\) (4.2015), dan \(X_2\) (13.9003) juga sama persis. Karena semua nilai \(t_{hitung} > t_{tabel}\) (biasanya sekitar 2.365 untuk data ini), maka secara parsial kedua variabel independen berpengaruh signifikan terhadap nilai ujian.

3. Ketepatan Model (\(R^2\) dan \(Adj. R^2\))

   • R-Squared (0.9993): Menunjukkan bahwa 99,93% variasi Nilai Ujian dapat dijelaskan oleh variabel Jam Belajar dan Kehadiran. Hanya 0,07% yang dijelaskan oleh faktor lain di luar model.

   • Adj. R-Squared (0.9991): Nilai yang telah disesuaikan ini tetap sangat tinggi, menunjukkan bahwa model ini sangat efisien dan tidak mengandung variabel yang mubazir.

Kesimpulan Validasi

Perhitungan manual menggunakan metode OLS berbasis matriks \(\hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y\) terbukti akurat dan valid. Konsistensi nilai antara kolom “Manual” dan “Fungsi_lm” memberikan keyakinan bahwa seluruh tahapan statistik—mulai dari estimasi koefisien hingga pengujian hipotesis—telah dikerjakan dengan benar sesuai kaidah ekonometrika.

# Input variabel baru
x1_baru <- 1
x2_baru <- 100

# Perhitungan manual berdasarkan koefisien
nilai_prediksi <- beta_hat[1] + (beta_hat[2] * x1_baru) + (beta_hat[3] * x2_baru)

# Menampilkan hasil
cat("Prediksi Nilai Ujian (Y) adalah:", round(nilai_prediksi, 4))

## Prediksi Nilai Ujian (Y) adalah: 94.7548

Hasil Prediksi: Berdasarkan model regresi yang telah dibentuk, jika seorang mahasiswa memiliki waktu belajar mandiri sebanyak 1 jam per minggu (\(X_1 = 1\)) namun mempertahankan tingkat kehadiran sempurna sebesar 100% (\(X_2 = 100\)), maka prediksi nilai ujian yang akan diperoleh adalah:

\[\hat{Y} = 16.1360 + 1.1698(1) + 0.7745(100)\] \[\hat{Y} = 16.1360 + 1.1698 + 77.45\] \[\hat{Y} = \mathbf{94.7558}\]

Kesimpulan: Mahasiswa tersebut diprediksi akan mendapatkan nilai sebesar 94.76. Hal ini menunjukkan bahwa meskipun waktu belajar mandiri sangat minim (hanya 1 jam), tingkat kehadiran yang maksimal memberikan kontribusi yang sangat besar terhadap pencapaian nilai akhir. Hal ini konsisten dengan nilai \(t_{hitung}\) variabel kehadiran yang sebelumnya kita temukan sangat dominan dalam model ini.