Asuransi jiwa adalah sebuah janji dari perusahaan asuransi (pihak penanggung) kepada nasabahnya (tertanggung) bahwa apabila nasabah mengalami risiko kematian dalam hidupnya, perusahaan asuransi akan memberikan santunan (manfaat kematian) dengan jumlah tertentu kepada ahli waris dari nasabah tersebut. Mengingat asuransi jiwa merupakan kontrak jangka panjang, perusahaan asuransi harus memperhatikan penetapan suku bunga, administrasi yang efisien, dan investasi dana yang aman. Selain itu, nasabah juga harus memperhatikan tingkat suku bunga dan kontrak tertulis antara dirinya dan perusahaan. Dalam kontrak, disertakan juga besarnya premi (sejumlah uang yang harus dibayarkan oleh nasabah), periode pembayaran, dan besarnya manfaat kematian yang akan dibayarkan oleh perusahaan asuransi. Kontrak antara perusahaan asuransi dan nasabah tersebut dinamakan polis asuransi, sedangkan besarnya manfaat kematian tergantung pada peluang meninggal (umur, riwayat kesehatan, jenis kelamin,pekerjaan), dan suku bunga ditetapkan oleh pihak perusahaan asuransi (Effendie, 2018).
Pada model asuransi yang dibayarkan seketika pada saat kematian atau disebut dengan model kontinu ini, besarnya manfaat kematian dan waktu pembayaran hanya bergantung pada lamanya waktu yang ditentukan saat asuransi diterbitkan sampai tertanggung meninggal (Effendie, 2018).
Deskripsi kasus: Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup (whole life) dengan uang pertanggungan senilai 50 diterbitkan atas \((x)\). Manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggal dunia. Jika probability density function dari future lifetime \(T\) untuk \((x)\) adalah Diketahui: \[f(t) = \begin{cases} \frac{t}{5000}, & 0 \le t \le 100 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}\] dan \(\delta = 0.10\),
Ditanya: Hitunglah premi tunggal neto (net single premium)!
contoh.3.1.1 <- function(age, n, delta) {
int <- function(t) {
exp(-delta * t) * (t / 5000)
}
output <- integrate(int, lower = 0, upper = n)$value
return(output)
}
50 * contoh.3.1.1(age = 50, n = 100, delta = 0.1)## [1] 0.9995006Hasil perhitungan sebesar \(0.99950064\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari suatu manfaat asuransi kontinu yang didiskontokan dengan tingkat bunga 10% per tahun selama jangka waktu 100 tahun. mencerminkan gabungan antara faktor diskonto waktu dan fungsi densitas probabilitas kematian yang meningkat linear terhadap waktu \(\frac {t} {5000}\). Pengalian dengan faktor 50 pada pemanggilan fungsi mengindikasikan penskalaan benefit atau penyesuaian satuan premi. Nilai yang mendekati 1 menunjukkan bahwa, secara teoritis, hampir seluruh nilai manfaat masa depan telah terdiskonto secara sempurna ke nilai sekarang, dengan sisa selisih \(0.0004994\) yang berasal dari ekor distribusi probabilitas di luar tahun ke-100 yang diabaikan karena kontribusinya sangat kecil. Dalam konteks aktuaria, angka ini menjadi dasar penentuan premi tunggal murni yang adil, di mana perusahaan asuransi mengumpulkan dana awal yang setara dengan ekspektasi pembayaran klaim yang telah disesuaikan dengan nilai waktu uang dan pola mortalitas linear yang diasumsikan.
Diketahui: Diasumsikan mortalita mengikuti \[l_x = 100 - x, \quad \text{untuk } 0 \le x \le 100\] dan tingkat suku bunga kontinu \(0.05\).
Ditanya: Hitunglah \(\bar{A}_{50:\overline{25}|}^{1}\)
contoh.3.1.2 <- function(age, n, delta) {
mu <- 1 / (100 - age)
int <- function(t) {
mu * exp(-(delta + mu) * t)
}
output <- integrate(int, lower = 0, upper = n)$value
return(output)
}
contoh.3.1.2 (age=50, n=25, delta=0.05)## [1] 0.2360646Nilai \(0.2360646\) merupakan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari asuransi jiwa berjangka 25 tahun untuk tertanggung berusia 50 tahun dengan manfaat 1 unit yang dibayarkan tepat saat kematian. Perhitungan ini mengintegrasikan produk antara faktor diskonto kontinu \(e^{-0.05t}\) dan densitas probabilitas waktu hidup di bawah hukum De Moivre \(\frac{1}{50} e^{-0.07t}\), sehingga menghasilkan ekspektasi pembayaran klaim yang telah disesuaikan dengan nilai waktu uang. Dalam praktik aktuaria, angka ini menunjukkan bahwa premi tunggal murni yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar 23,61% dari nilai santunan yang dijanjikan. Nilai ini mencerminkan keseimbangan antara probabilitas kematian dalam jendela waktu 25 tahun dan tingkat suku bunga 5% per tahun, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang adil dan memenuhi prinsip kesetaraan aktuaria.
Deskripsi kasus: Suatu polis asuransi jiwa seumur hidup tertunda 5 tahun diterbitkan atas \((x)\) dengan manfaat meninggal dibayarkan pada saat meninggal dunia.
Diketahui: force of mortality constant \(μ = 0.04\) dan \(\delta = 0.10\)
Ditanya: Berapakah nilai sekarang aktuaria asuransi ini?
contoh.3.1.4 <- function(m, delta, mu) {
int <- function(t){ exp(-(delta+mu) *t) *mu }
output <- integrate (int, m, Inf) $value
output }
contoh.3.1.4(m=5, delta=0.1, mu=0.04)## [1] 0.1418815Hasil perhitungan sebesar 0.1418815 merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) untuk setiap 1 unit manfaat asuransi. Dalam konteks finansial, angka ini berarti bahwa untuk setiap \(Rp1.000.000\) santunan kematian yang dijanjikan, premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan tertanggung di awal polis adalah sebesar \(Rp141.881,50\).
Deskripsi Kasus: Seorang (30) mengikuti polis asuransi jiwa dengan santunan kematian 10 juta dibayarkan pada saat meninggal dunia.
Diketahui: Mortalita mengikuti hukum Gompertz dengan \(B = 10³; C = 1.09\), dan tingkat suku bunga kontinu \(\delta = 5\)%.
Ditanya: Hitunglah nilai sekarang aktuaria untuk:
Ax <- function(delta, age, benefit, B, C, w = 500) {
int <- function(t) {
benefit * exp(-delta * t) *
(exp((-B / log(C)) * (C^(age + t) - 1))) /
(exp((-B / log(C)) * (C^age - 1))) *
(B * C^(age + t))
}
Ax.value <- integrate(int, lower = 0, upper = w - age)$value
return(Ax.value)
}
hasil_Ax <- Ax(delta = 0.05, age = 30, benefit = 1e+7, B = 1e-5, C = 1.09)
print(hasil_Ax)## [1] 456884.7Hasil perhitungan sebesar \(456.884,7\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari polis asuransi jiwa seumur hidup dengan manfaat meninggal sebesar \(Rp10.000.000\) yang dibayarkan seketika pada saat kematian, bagi tertanggung berusia 30 tahun. Dalam praktik aktuaria, angka ini berarti premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar \(Rp456.885\) untuk setiap \(Rp10.000.000\) santunan yang dijanjikan. Nilai ini mencerminkan keseimbangan antara harapan hidup tertanggung di bawah hukum Gompertz dan time value of money, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang memenuhi prinsip kesetaraan (equivalence principle).
mAx <- function(delta, age, benefit, B, C, m, w = 500) {
int <- function(t) {
benefit * exp(-delta * t) *
(exp((-B / log(C)) * (C^(age + t) - 1)) /
exp((-B / log(C)) * (C^age - 1))) *
(B * C^(age + t))
}
mAx.value <- integrate(int, lower = m, upper = w - age - m)$value
return(mAx.value)
}
hasil <- mAx(delta = 0.05, age = 30, benefit = 1e+7, B = 1e-5, C = 1.09, m = 5)
print(round(hasil, 1))## [1] 449615.9Hasil perhitungan sebesar \(449.615,9\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari polis asuransi jiwa seumur hidup yang tertunda selama 5 tahun dengan manfaat meninggal sebesar \(Rp10.000.000\) yang dibayarkan seketika pada saat kematian, bagi tertanggung berusia 30 tahun. Dalam praktik aktuaria, angka ini berarti premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar \(Rp449.616\) untuk setiap \(Rp10.000.000\) santunan yang dijanjikan, di mana kewajiban pembayaran santunan oleh perusahaan baru akan aktif jika kematian terjadi setelah masa tunggu 5 tahun tersebut terlampaui. Nilai ini mencerminkan keseimbangan antara harapan hidup tertanggung di bawah hukum Gompertz dan time value of money, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang memenuhi prinsip kesetaraan (equivalence principle).
Axn <- function(delta, age, benefit, B, C, n) {
int <- function(t) {
benefit * exp(-delta * t) *
(exp((-B / log(C)) * (C^(age + t) - 1)) /
exp((-B / log(C)) * (C^age - 1))) *
(B * C^(age + t))
}
Axn.value <- integrate(int, lower = 0, upper = n)$value
return(Axn.value)
}
Axn(delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5, C=1.09,
n=20)## [1] 38822.14Hasil perhitungan sebesar \(38.822,1\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari polis asuransi jiwa berjangka 20 tahun dengan manfaat meninggal sebesar \(Rp10.000.000\) yang dibayarkan seketika pada saat kematian, bagi tertanggung berusia 30 tahun. Dalam praktik aktuaria, angka ini berarti premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar \(Rp38.822,1\) untuk setiap \(Rp10.000.000\) santunan yang dijanjikan, di mana perlindungan asuransi hanya berlaku selama periode 20 tahun dan akan berakhir (hangus) jika tertanggung tetap hidup hingga usia 50 tahun. Nilai ini mencerminkan keseimbangan antara peluang mortalitas tertanggung dalam kurun waktu terbatas di bawah hukum Gompertz dan time value of money, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang memenuhi prinsip kesetaraan (equivalence principle).
mAxn <- function(delta, age, benefit, B, C, n, m) {
int <- function(t) {
benefit * exp(-delta * t) *
(exp((-B / log(C)) * (C^(age + t) - 1))) /
(exp((-B / log(C)) * (C^age - 1))) *
(B * C^(age + t))
}
mAxn.value <- integrate(int, m, m + n, subdivisions = 100L)$value
return(mAxn.value)
}
result <- mAxn(delta = 0.05, age = 30, benefit = 1e+7, B = 1e-5,
C = 1.09, n = 20, m = 10)
print(sprintf("%.2f", result))## [1] "55400.56"Hasil perhitungan sebesar \(55.400,56\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari polis asuransi jiwa berjangka 20 tahun yang tertunda selama 10 tahun dengan manfaat meninggal sebesar \(Rp10.000.000\) yang dibayarkan seketika pada saat kematian, bagi tertanggung berusia 30 tahun. Dalam praktik aktuaria, angka ini berarti premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar \(Rp55.401\) untuk setiap \(Rp10.000.000\) santunan yang dijanjikan, di mana perlindungan asuransi hanya aktif selama periode 20 tahun yang dimulai setelah masa tunggu 10 tahun terlampaui (yaitu antara usia 40 hingga 60 tahun). Nilai ini mencerminkan keseimbangan antara peluang mortalitas tertanggung pada interval usia tersebut di bawah hukum Gompertz dan time value of money, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang memenuhi prinsip kesetaraan (equivalence principle).
Exn <- function(delta, age, benefit, B, C, n) {
survival_ratio <- exp((-B / log(C)) * (C^(age + n) - C^age))
discount_factor <- exp(-delta * n)
Exn.value <- benefit * discount_factor * survival_ratio
return(Exn.value)
}
result <- Exn(delta = 0.05, age = 30, benefit = 1e+7, B = 1e-5, C = 1.09, n = 15)
print(sprintf("%.0f", result))## [1] "4704487"Hasil perhitungan sebesar \(4.704.487\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari polis asuransi jiwa dwiguna murni (pure endowment) selama 15 tahun dengan manfaat sebesar \(Rp10.000.000\) bagi tertanggung berusia 30 tahun. Dalam praktik aktuaria, angka ini berarti premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar \(Rp4.704.487\) untuk setiap \(Rp10.000.000\) santunan yang dijanjikan, di mana manfaat tersebut hanya akan dibayarkan apabila tertanggung tetap hidup hingga akhir masa kontrak (pada usia 45 tahun). Nilai ini mencerminkan keseimbangan antara probabilitas kelangsungan hidup tertanggung di bawah hukum Gompertz dan time value of money, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang memenuhi prinsip kesetaraan (equivalence principle).
endowment <- function (delta, age, benefit,
B, C, n) {
int=function(t) { benefit*exp(-delta*t)*
(exp((-B/log(C)) * (C^ (age+t)-1)))/
(exp((-B/log(C)) * (C^age-1))) * (B*C^ (age+t)) }
Axn.value <- integrate(int, 0, n) $value
Exn.value <- benefit*exp(-delta*n) *
(exp((-B/log(C)) * (C^ (age+n)-1)))/
(exp((-B/log (C)) * (C^age-1)))
endowment.value = Axn.value+Exn.value
endowment.value }
endowment (delta=0.05, age=30, benefit=1e+7, B=1e-5,
C=1.09, n=30)## [1] 2260925Hasil perhitungan sebesar \(2.260.925\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari polis asuransi jiwa dwiguna (endowment insurance) selama 30 tahun dengan manfaat sebesar \(Rp10.000.000\) bagi tertanggung berusia 30 tahun. Dalam praktik aktuaria, angka ini berarti premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar \(Rp2.260.925\) untuk setiap \(Rp10.000.000\) santunan yang dijanjikan, di mana manfaat tersebut pasti akan dibayarkan baik jika kematian terjadi dalam masa kontrak 30 tahun maupun jika tertanggung tetap hidup hingga akhir masa kontrak (pada usia 60 tahun). Nilai ini mencerminkan kombinasi dari proteksi asuransi jiwa berjangka dan tabungan murni di bawah hukum Gompertz serta time value of money, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang memenuhi prinsip kesetaraan (equivalence principle).
Artinya, akan diberikan santunan kematian sebesar 10 juta pada saat terjadi kematian pada tahun pertama, 15 juta pada saat terjadi kematian pada tahun kedua, dan seterusnya meningkat 5 juta hingga tahun keempat
IAxn <- function(delta, age, benefit, B, C, n, increase) {
log_C <- log(C)
int <- function(t) {
increasing_benefit <- benefit + increase * t
discount <- exp(-delta * t)
mu <- B * C^(age + t)
exponent <- (-B / log_C) * (C^(age + t) - C^age)
survival_ratio <- exp(exponent)
return(increasing_benefit * discount * mu * survival_ratio)
}
IAxn.value <- integrate(int, 0, n, subdivisions = 200L, rel.tol = 1e-10)$value
return(IAxn.value)
}
result <- IAxn(delta = 0.05, age = 30, benefit = 1e+7, B = 1e-5,
C = 1.09, n = 4, increase = 5e+6)
print(sprintf("%.2f", result))## [1] "11554.09"Hasil perhitungan sebesar \(11.554,09\) merepresentasikan nilai sekarang aktuaria (Actuarial Present Value) dari polis asuransi jiwa berjangka 4 tahun dengan santunan meningkat (increasing term insurance) bagi tertanggung berusia 30 tahun, di mana santunan dimulai dari \(Rp10.000.000\) dan bertambah sebesar \(Rp5.000.000\) setiap tahunnya. Dalam praktik aktuaria, angka ini berarti premi tunggal murni (net single premium) yang harus dibayarkan di awal polis adalah sekitar \(Rp11.554\) untuk mendapatkan perlindungan yang preminya telah disesuaikan dengan eskalasi nilai santunan jika kematian terjadi dalam periode 4 tahun tersebut. Nilai ini mencerminkan keseimbangan antara proyeksi peningkatan kewajiban santunan, probabilitas mortalitas berdasarkan hukum Gompertz, dan time value of money, serta menjadi dasar objektif bagi perusahaan asuransi dalam menetapkan tarif premi yang memenuhi prinsip kesetaraan (equivalence principle)..
seluruh rangkaian perhitungan ini menunjukkan bahwa penentuan premi asuransi jiwa sangat bergantung pada struktur manfaat, durasi perlindungan, dan masa penundaan yang dipilih. Secara fundamental, nilai-nilai yang dihasilkan merupakan Premi Tunggal Murni yang mencerminkan titik keseimbangan antara kewajiban di masa depan dan nilai waktu dari uang berdasarkan prinsip kesetaraan. Terlihat jelas bahwa produk dengan unsur tabungan seperti asuransi dwiguna memiliki nilai premi yang jauh lebih tinggi karena adanya kepastian pembayaran manfaat, sementara asuransi berjangka atau yang memiliki masa penundaan memberikan efisiensi biaya karena premi hanya mencakup risiko kematian pada periode tertentu. Penggunaan model Gompertz dan kalkulus kontinu memungkinkan perusahaan asuransi untuk secara presisi menyesuaikan harga terhadap berbagai skema manfaat, baik yang bersifat tetap maupun fluktuatif seperti santunan meningkat atau menurun, guna menjamin keadilan bagi tertanggung dan stabilitas finansial bagi perusahaan dalam jangka panjang.