Tugas 6 Inferensi Tabel Kontingensi Dua Arah
Azmi Syafiq Ismail - 140610240055
2026-04-07
Pendahuluan
Pada Tugas ini, kita akan membahas inferensi statistik, yaitu menggunakan data sampel untuk membuat kesimpulan tentang populasi. Hal yang akan dilakukan:
- Menghitung interval kepercayaan untuk ukuran asosiasi (RD, RR, OR)
- Melakukan berbagai uji hipotesis: uji dua proporsi, chi-square, likelihood ratio, dan Fisher exact test
- Menganalisis tabel 2x3 dan melakukan partisi chi-square
Terdapat dua kasus yang akan dianalisis:
- Kasus 1: Hubungan antara kebiasaan merokok dan kanker paru (tabel 2x2)
- Kasus 2: Hubungan antara gender dan identifikasi partai politik (tabel 2x3)
Kasus 1: Tabel Kontingensi 2x2 (Merokok dan Kanker Paru)
Soal 1 — Penyusunan Tabel Kontingensi
Tabel kontingensi menyusun frekuensi dua variabel kategori secara silang. Berikut data hubungan antara status merokok dan kanker paru:
# Membuat matriks data untuk Kasus 1
# Baris : Status Merokok (Smoker / Non-Smoker)
# Kolom : Status Kanker (Cancer+ / Control-)
tabel1 <- matrix(
c(688, 650,
21, 59),
nrow = 2, byrow = TRUE
)
rownames(tabel1) <- c("Smoker", "Non-Smoker")
colnames(tabel1) <- c("Cancer (+)", "Control (-)")
# Tampilkan tabel dengan baris/kolom Total
addmargins(tabel1)## Cancer (+) Control (-) Sum
## Smoker 688 650 1338
## Non-Smoker 21 59 80
## Sum 709 709 1418Keterangan sel:
- \(a = 688\) : Perokok yang terkena kanker
- \(b = 650\) : Perokok yang tidak terkena kanker (control)
- \(c = 21\) : Bukan perokok yang terkena kanker
- \(d = 59\) : Bukan perokok yang tidak terkena kanker
Soal 2 — Estimasi Titik Proporsi
Estimasi titik adalah satu nilai tunggal yang digunakan untuk menduga parameter populasi. Di sini kita menduga proporsi (probabilitas) seseorang terkena kanker paru pada masing-masing kelompok.
\[\hat{p}_1 = \frac{a}{a+b} \quad \text{(proporsi kanker pada Smoker)}\]
\[\hat{p}_2 = \frac{c}{c+d} \quad \text{(proporsi kanker pada Non-Smoker)}\]
# Mengambil nilai dari tabel
a <- tabel1[1, 1] # 688
b <- tabel1[1, 2] # 650
c <- tabel1[2, 1] # 21
d <- tabel1[2, 2] # 59
n1 <- a + b # total Smoker = 1338
n2 <- c + d # total Non-Smoker = 80
n <- n1 + n2 # grand total = 1418
# Hitung proporsi
p1 <- a / n1
p2 <- c / n2
cat("Proporsi kanker pada Smoker :", round(p1, 4), "\n")## Proporsi kanker pada Smoker : 0.5142cat("Proporsi kanker pada Non-Smoker :", round(p2, 4), "\n")## Proporsi kanker pada Non-Smoker : 0.2625Interpretasi: Sekitar 51.42% perokok adalah kasus kanker paru, sedangkan hanya 26.25% bukan perokok yang merupakan kasus kanker paru. Secara deskriptif, perokok memiliki proporsi kanker yang jauh lebih tinggi.
Soal 3 — Interval Kepercayaan 95%
Interval kepercayaan (CI) adalah rentang nilai yang dengan tingkat keyakinan 95% kita percaya memuat nilai parameter sebenarnya. Kita hitung CI untuk proporsi masing-masing kelompok, serta tiga ukuran asosiasi: RD, RR, dan OR (sudah dikenalkan pada tugas sebelumnya).
CI untuk Proporsi Masing-Masing Kelompok
Rumus (metode Wald): \[\hat{p} \pm 1.96 \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]
z <- qnorm(0.975) # z = 1.96 untuk CI 95%
# CI untuk Smoker
se_p1 <- sqrt(p1 * (1 - p1) / n1)
ci_p1 <- c(p1 - z * se_p1, p1 + z * se_p1)
# CI untuk Non-Smoker
se_p2 <- sqrt(p2 * (1 - p2) / n2)
ci_p2 <- c(p2 - z * se_p2, p2 + z * se_p2)
cat("CI 95% untuk Smoker : [", round(ci_p1[1], 4),
",", round(ci_p1[2], 4), "]\n")## CI 95% untuk Smoker : [ 0.4874 , 0.541 ]cat("CI 95% untuk Non-Smoker : [", round(ci_p2[1], 4),
",", round(ci_p2[2], 4), "]\n")## CI 95% untuk Non-Smoker : [ 0.1661 , 0.3589 ]CI untuk Risk Difference (RD)
Risk Difference (RD) adalah selisih proporsi antara dua kelompok (risiko absolut).
\[RD = \hat{p}_1 - \hat{p}_2\]
\[SE(RD) = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\]
\[CI_{95\%}(RD) = RD \pm 1.96 \times SE(RD)\]
Nilai null RD = 0 (artinya tidak ada perbedaan risiko).
RD <- p1 - p2
se_RD <- sqrt(p1*(1-p1)/n1 + p2*(1-p2)/n2)
ci_RD <- c(RD - z*se_RD, RD + z*se_RD)
cat("Risk Difference (RD) :", round(RD, 4), "\n")## Risk Difference (RD) : 0.2517cat("SE(RD) :", round(se_RD, 4), "\n")## SE(RD) : 0.0511cat("CI 95% untuk RD : [", round(ci_RD[1], 4),
",", round(ci_RD[2], 4), "]\n")## CI 95% untuk RD : [ 0.1516 , 0.3518 ]CI untuk Relative Risk (RR)
Diketahui bahwa RR terbentuk sebagai berikut: \[RR = \frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2}\]
CI dihitung pada skala logaritma natural karena distribusi RR miring ke kanan:
\[SE(\ln RR) = \sqrt{\frac{1-\hat{p}_1}{n_1 \hat{p}_1} + \frac{1-\hat{p}_2}{n_2 \hat{p}_2}}\]
\[CI_{95\%}(RR) = \exp\!\left[\ln(RR) \pm 1.96 \times SE(\ln RR)\right]\]
Nilai null RR = 1 (artinya risiko sama di kedua kelompok).
RR <- p1 / p2
se_lnRR <- sqrt((1-p1)/(n1*p1) + (1-p2)/(n2*p2))
ci_RR <- exp(log(RR) + c(-1, 1) * z * se_lnRR)
cat("Relative Risk (RR) :", round(RR, 4), "\n")## Relative Risk (RR) : 1.9589cat("SE(ln RR) :", round(se_lnRR, 4), "\n")## SE(ln RR) : 0.1893cat("CI 95% untuk RR : [", round(ci_RR[1], 4),
",", round(ci_RR[2], 4), "]\n")## CI 95% untuk RR : [ 1.3517 , 2.8387 ]CI untuk Odds Ratio (OR)
Diketahui bahwa OR terbentuk sebagai berikut: \[OR = \frac{a \times d}{b \times c}\]
\[SE(\ln OR) = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}}\]
\[CI_{95\%}(OR) = \exp\!\left[\ln(OR) \pm 1.96 \times SE(\ln OR)\right]\]
Nilai null OR = 1 (artinya odds sama di kedua kelompok).
OR <- (a * d) / (b * c)
se_lnOR <- sqrt(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
ci_OR <- exp(log(OR) + c(-1, 1) * z * se_lnOR)
cat("Odds Ratio (OR) :", round(OR, 4), "\n")## Odds Ratio (OR) : 2.9738cat("SE(ln OR) :", round(se_lnOR, 4), "\n")## SE(ln OR) : 0.2599cat("CI 95% untuk OR : [", round(ci_OR[1], 4),
",", round(ci_OR[2], 4), "]\n")## CI 95% untuk OR : [ 1.7867 , 4.9494 ]Ringkasan Ukuran Asosiasi
cat("==================================================\n")## ==================================================cat(" Ukuran Estimasi CI 95% Bawah CI 95% Atas\n")## Ukuran Estimasi CI 95% Bawah CI 95% Atascat("==================================================\n")## ==================================================cat(sprintf(" p̂ Smoker %-10.4f %-12.4f %.4f\n",
p1, ci_p1[1], ci_p1[2]))## p̂ Smoker 0.5142 0.4874 0.5410cat(sprintf(" p̂ Non-Smoker %-10.4f %-12.4f %.4f\n",
p2, ci_p2[1], ci_p2[2]))## p̂ Non-Smoker 0.2625 0.1661 0.3589cat(sprintf(" RD %-10.4f %-12.4f %.4f\n",
RD, ci_RD[1], ci_RD[2]))## RD 0.2517 0.1516 0.3518cat(sprintf(" RR %-10.4f %-12.4f %.4f\n",
RR, ci_RR[1], ci_RR[2]))## RR 1.9589 1.3517 2.8387cat(sprintf(" OR %-10.4f %-12.4f %.4f\n",
OR, ci_OR[1], ci_OR[2]))## OR 2.9738 1.7867 4.9494cat("==================================================\n")## ==================================================Interpretasi:
- RD = 0.2517: Risiko kanker pada perokok lebih tinggi sekitar 25.17 poin persen dibandingkan bukan perokok.
- RR = 1.9589: Perokok memiliki risiko kanker paru sekitar 1.96 kali lipat dibandingkan bukan perokok.
- OR = 2.9738: Odds terkena kanker pada perokok sekitar 2.97 kali odds pada bukan perokok.
- Semua CI 95% tidak mencakup nilai null (0 untuk RD; 1 untuk RR dan OR), menandakan asosiasi yang signifikan secara statistik.
Soal 4 — Uji Dua Proporsi
Uji ini menguji apakah proporsi kanker paru pada dua kelompok berbeda secara statistik.
Hipotesis:
- \(H_0\): \(p_1 = p_2\) (proporsi kanker pada perokok dan bukan perokok sama)
- \(H_1\): \(p_1 \neq p_2\) (ada perbedaan proporsi)
Statistik Uji:
\[\hat{p}_{pool} = \frac{a + c}{n}, \qquad Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} {\sqrt{\hat{p}_{pool}(1-\hat{p}_{pool})\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)}}\]
Tolak \(H_0\) jika \(|Z| > 1.96\) atau \(p\)-value \(< 0.05\).
hasil_prop <- prop.test(
x = c(a, c),
n = c(n1, n2),
alternative = "two.sided",
conf.level = 0.95,
correct = FALSE
)
cat("=== Uji Dua Proporsi ===\n\n")## === Uji Dua Proporsi ===cat("Statistik uji X² :", round(hasil_prop$statistic, 4),
" (Z =", round(sqrt(hasil_prop$statistic), 4), ")\n")## Statistik uji X² : 19.1292 (Z = 4.3737 )cat("p-value :", format(hasil_prop$p.value, scientific = TRUE), "\n\n")## p-value : 1.221601e-05cat("Keputusan: p-value < 0.05 --> TOLAK H0\n")## Keputusan: p-value < 0.05 --> TOLAK H0cat("Kesimpulan: Terdapat perbedaan proporsi kanker yang signifikan\n")## Kesimpulan: Terdapat perbedaan proporsi kanker yang signifikancat("antara perokok dan bukan perokok.\n")## antara perokok dan bukan perokok.Soal 5 — Uji Chi-Square Independensi
Uji chi-square independensi menguji apakah dua variabel kategori independen atau tidak.
Hipotesis:
- \(H_0\): Status merokok dan kanker paru independen (tidak ada asosiasi)
- \(H_1\): Status merokok dan kanker paru tidak independen (ada asosiasi)
Frekuensi Harapan: \[E_{ij} = \frac{n_{i.} \times n_{.j}}{n}\]
Statistik Uji Pearson Chi-Square: \[\chi^2 = \sum_{i,j} \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}, \quad df = (r-1)(c-1) = 1\]
# Frekuensi harapan manual
E11 <- (n1 * (a + c)) / n
E12 <- (n1 * (b + d)) / n
E21 <- (n2 * (a + c)) / n
E22 <- (n2 * (b + d)) / n
cat("=== Frekuensi Harapan ===\n")## === Frekuensi Harapan ===tabel_E <- matrix(c(round(E11,2), round(E12,2),
round(E21,2), round(E22,2)),
nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(tabel_E) <- c("Smoker", "Non-Smoker")
colnames(tabel_E) <- c("Cancer (+)", "Control (-)")
print(tabel_E)## Cancer (+) Control (-)
## Smoker 669 669
## Non-Smoker 40 40# Uji chi-square dengan R
hasil_chi1 <- chisq.test(tabel1, correct = FALSE)
cat("\n=== Uji Chi-Square ===\n\n")##
## === Uji Chi-Square ===cat("Statistik uji χ² :", round(hasil_chi1$statistic, 4), "\n")## Statistik uji χ² : 19.1292cat("Derajat bebas df :", hasil_chi1$parameter, "\n")## Derajat bebas df : 1cat("p-value :", format(hasil_chi1$p.value, scientific = TRUE), "\n\n")## p-value : 1.221601e-05cat("Nilai kritis χ²(0.05,1) :", round(qchisq(0.95, 1), 4), "\n\n")## Nilai kritis χ²(0.05,1) : 3.8415cat("Keputusan: χ² > nilai kritis --> TOLAK H0\n")## Keputusan: χ² > nilai kritis --> TOLAK H0cat("Kesimpulan: Terdapat asosiasi yang signifikan antara\n")## Kesimpulan: Terdapat asosiasi yang signifikan antaracat("kebiasaan merokok dan kanker paru.\n")## kebiasaan merokok dan kanker paru.Soal 6 — Uji Likelihood Ratio (G²)
Uji Likelihood Ratio adalah alternatif dari uji chi-square Pearson, menggunakan perbandingan log-likelihood antara model jenuh dan model independensi.
Statistik Uji: \[G^2 = 2 \sum_{i,j} O_{ij} \ln\!\left(\frac{O_{ij}}{E_{ij}}\right)\]
Seperti chi-square, \(G^2\) mengikuti distribusi \(\chi^2\) dengan \(df = (r-1)(c-1) = 1\).
# Hitung G² secara manual
obs <- c(a, b, c, d)
exp <- c(E11, E12, E21, E22)
G2 <- 2 * sum(obs * log(obs / exp))
pval_G2 <- pchisq(G2, df = 1, lower.tail = FALSE)
cat("=== Uji Likelihood Ratio ===\n\n")## === Uji Likelihood Ratio ===cat("Statistik uji G² :", round(G2, 4), "\n")## Statistik uji G² : 19.878cat("Derajat bebas df :", 1, "\n")## Derajat bebas df : 1cat("p-value :", format(pval_G2, scientific = TRUE), "\n\n")## p-value : 8.25441e-06cat("Keputusan: p-value < 0.05 --> TOLAK H0\n")## Keputusan: p-value < 0.05 --> TOLAK H0cat("Kesimpulan: Uji likelihood ratio juga menunjukkan asosiasi\n")## Kesimpulan: Uji likelihood ratio juga menunjukkan asosiasicat("yang signifikan antara merokok dan kanker paru.\n")## yang signifikan antara merokok dan kanker paru.Soal 7 — Fisher Exact Test
Fisher Exact Test menghitung probabilitas secara eksak dari tabel kontingensi, tanpa bergantung pada asumsi distribusi chi-square. Cocok untuk sampel kecil atau frekuensi harapan < 5.
Hipotesis:
- \(H_0\): \(OR = 1\) (tidak ada asosiasi)
- \(H_1\): \(OR \neq 1\) (ada asosiasi)
hasil_fisher <- fisher.test(tabel1, alternative = "two.sided")
cat("=== Fisher Exact Test ===\n\n")## === Fisher Exact Test ===cat("OR estimasi (Fisher) :", round(hasil_fisher$estimate, 4), "\n")## OR estimasi (Fisher) : 2.9716cat("CI 95% untuk OR : [",
round(hasil_fisher$conf.int[1], 4), ",",
round(hasil_fisher$conf.int[2], 4), "]\n")## CI 95% untuk OR : [ 1.7556 , 5.2107 ]cat("p-value :", format(hasil_fisher$p.value, scientific = TRUE), "\n\n")## p-value : 1.476303e-05cat("Keputusan: p-value < 0.05 --> TOLAK H0\n")## Keputusan: p-value < 0.05 --> TOLAK H0cat("Kesimpulan: Secara eksak, terdapat asosiasi yang signifikan\n")## Kesimpulan: Secara eksak, terdapat asosiasi yang signifikancat("antara merokok dan kanker paru.\n")## antara merokok dan kanker paru.Soal 8 — Perbandingan Keempat Uji
cat("=================================================================\n")## =================================================================cat(" Metode Uji H0 Statistik df p-value Keputusan\n")## Metode Uji H0 Statistik df p-value Keputusancat("=================================================================\n")## =================================================================cat(sprintf(" Uji Dua Proporsi p1 = p2 Z = %-6.4f 1 %-10s %s\n",
sqrt(hasil_prop$statistic),
format(hasil_prop$p.value, scientific=TRUE, digits=3),
"Tolak H0"))## Uji Dua Proporsi p1 = p2 Z = 4.3737 1 1.22e-05 Tolak H0cat(sprintf(" Chi-Square Independen χ² = %-6.4f 1 %-10s %s\n",
hasil_chi1$statistic,
format(hasil_chi1$p.value, scientific=TRUE, digits=3),
"Tolak H0"))## Chi-Square Independen χ² = 19.1292 1 1.22e-05 Tolak H0cat(sprintf(" Likelihood Ratio Independen G² = %-6.4f 1 %-10s %s\n",
G2,
format(pval_G2, scientific=TRUE, digits=3),
"Tolak H0"))## Likelihood Ratio Independen G² = 19.8780 1 8.25e-06 Tolak H0cat(sprintf(" Fisher Exact Test OR = 1 (eksak) %-10s %s\n",
format(hasil_fisher$p.value, scientific=TRUE, digits=3),
"Tolak H0"))## Fisher Exact Test OR = 1 (eksak) 1.48e-05 Tolak H0cat("=================================================================\n")## =================================================================Perbandingan:
- Uji Dua Proporsi: Menguji langsung perbedaan proporsi, cocok untuk 2 kelompok.
- Chi-Square: Membandingkan frekuensi observasi vs harapan. Paling umum digunakan.
- Likelihood Ratio (G²): Alternatif chi-square; nilai G² sedikit berbeda dari χ² karena rumusnya berbeda, tapi keduanya menghasilkan kesimpulan yang sama.
- Fisher Exact Test: Menghitung probabilitas eksak tanpa asumsi n besar; paling cocok untuk data frekuensi kecil.
Meskipun cara penghitungannya berbeda, semua keempat uji menghasilkan keputusan yang sama: tolak \(H_0\). Ini menunjukkan hasil yang robust (tidak sensitif terhadap pilihan metode).
Soal 9 — Kesimpulan Akhir Kasus 1
# Mosaic Plot untuk visualisasi asosiasi
mosaicplot(tabel1,
main = "Hubungan Merokok dan Kanker Paru",
color = c("#e74c3c", "#3498db"),
xlab = "Status Merokok",
ylab = "Status Kanker")
Kesimpulan Kasus 1:
Berdasarkan seluruh analisis terhadap data hubungan merokok dan kanker paru:
Proporsi kanker pada perokok (51.4%) jauh lebih tinggi dibandingkan bukan perokok (26.2%).
Ukuran asosiasi menunjukkan hubungan yang kuat:
- RD = 0.252: Perokok berisiko kanker lebih tinggi 25.2 poin persen secara absolut.
- RR = 1.959 (CI 95%: 1.35–2.84): Perokok 2 kali lebih berisiko terkena kanker paru.
- OR = 2.974 (CI 95%: 1.79–4.95): Odds kanker pada perokok 3 kali lebih besar.
Keempat uji hipotesis (uji Z, chi-square, likelihood ratio, Fisher exact) konsisten menolak \(H_0\) dengan p-value yang kecil.
Terdapat asosiasi yang signifikan dan kuat antara kebiasaan merokok dan kanker paru. Perokok memiliki risiko yang jauh lebih tinggi terkena kanker paru dibandingkan bukan perokok.
Kasus 2: Tabel Kontingensi 2x3 (Gender dan Identifikasi Partai Politik)
Soal 1 — Penyusunan Tabel Kontingensi
Berbeda dari Kasus 1, tabel 2x3 memiliki 3 kategori pada salah satu variabel (partai: Democrat, Republican, Independent), sehingga analisis menjadi lebih kompleks.
tabel2 <- matrix(
c(495, 272, 590,
330, 265, 498),
nrow = 2, byrow = TRUE
)
rownames(tabel2) <- c("Female", "Male")
colnames(tabel2) <- c("Democrat", "Republican", "Independent")
addmargins(tabel2)## Democrat Republican Independent Sum
## Female 495 272 590 1357
## Male 330 265 498 1093
## Sum 825 537 1088 2450Soal 2 — Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah frekuensi yang diharapkan terjadi jika \(H_0\) benar (kedua variabel independen).
\[E_{ij} = \frac{n_{i.} \times n_{.j}}{n}\]
Di mana \(n_{i.}\) = total baris ke-\(i\), \(n_{.j}\) = total kolom ke-\(j\), \(n\) = grand total.
Aturan penting: Asumsi chi-square terpenuhi jika semua \(E_{ij} \geq 5\).
n_total2 <- sum(tabel2)
n_baris2 <- rowSums(tabel2)
n_kolom2 <- colSums(tabel2)
# Matriks frekuensi harapan
E2 <- outer(n_baris2, n_kolom2) / n_total2
cat("=== Frekuensi Harapan ===\n\n")## === Frekuensi Harapan ===print(round(addmargins(E2), 2))## Democrat Republican Independent Sum
## Female 456.95 297.43 602.62 1357
## Male 368.05 239.57 485.38 1093
## Sum 825.00 537.00 1088.00 2450cat("\nNilai minimum E :", round(min(E2), 2),
" --> Semua E >= 5? :",
ifelse(min(E2) >= 5, "YA, asumsi terpenuhi.",
"TIDAK, perlu metode alternatif."), "\n")##
## Nilai minimum E : 239.57 --> Semua E >= 5? : YA, asumsi terpenuhi.Soal 3 — Uji Chi-Square Independensi (Tabel Keseluruhan)
Hipotesis:
- \(H_0\): Gender dan identifikasi partai politik independen
- \(H_1\): Gender dan identifikasi partai politik tidak independen
Derajat bebas untuk tabel \(r \times c\): \[df = (r-1)(c-1) = (2-1)(3-1) = 2\]
hasil_chi2 <- chisq.test(tabel2, correct = FALSE)
cat("=== Uji Chi-Square Kasus 2 ===\n\n")## === Uji Chi-Square Kasus 2 ===cat("Statistik uji χ² :", round(hasil_chi2$statistic, 4), "\n")## Statistik uji χ² : 12.5693cat("Derajat bebas df :", hasil_chi2$parameter, "\n")## Derajat bebas df : 2cat("p-value :", format(hasil_chi2$p.value, scientific = TRUE), "\n\n")## p-value : 1.86475e-03cat("Nilai kritis χ²(0.05, 2) :", round(qchisq(0.95, 2), 4), "\n\n")## Nilai kritis χ²(0.05, 2) : 5.9915cat("Keputusan: χ² > nilai kritis --> TOLAK H0\n")## Keputusan: χ² > nilai kritis --> TOLAK H0cat("Kesimpulan: Terdapat asosiasi signifikan antara gender\n")## Kesimpulan: Terdapat asosiasi signifikan antara gendercat("dan identifikasi partai politik.\n")## dan identifikasi partai politik.Soal 4 — Residual Pearson dan Standardized Residual
Setelah mengetahui bahwa ada asosiasi, kita ingin tahu sel mana yang paling menyimpang dari yang diharapkan di bawah \(H_0\).
Residual Pearson: \[r_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}}\]
Standardized Residual: \[d_{ij} = \frac{O_{ij} - E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}(1-\hat{p}_{i.})(1-\hat{p}_{.j})}}\]
Aturan interpretasi: \(|d_{ij}| > 2\) → sel tersebut menyimpang secara signifikan.
- Nilai positif (> +2): sel memiliki frekuensi lebih banyak dari harapan
- Nilai negatif (< -2): sel memiliki frekuensi lebih sedikit dari harapan
# Residual Pearson
resid_pearson2 <- hasil_chi2$residuals
# Standardized Residual
resid_std2 <- hasil_chi2$stdres
cat("=== Residual Pearson ===\n")## === Residual Pearson ===print(round(resid_pearson2, 4))## Democrat Republican Independent
## Female 1.7801 -1.4747 -0.5140
## Male -1.9834 1.6431 0.5728cat("\n=== Standardized Residual ===\n")##
## === Standardized Residual ===print(round(resid_std2, 4))## Democrat Republican Independent
## Female 3.2724 -2.4986 -1.0322
## Male -3.2724 2.4986 1.0322cat("\n=== Interpretasi (|d| > 2 = signifikan) ===\n\n")##
## === Interpretasi (|d| > 2 = signifikan) ===for (i in rownames(resid_std2)) {
for (j in colnames(resid_std2)) {
val <- resid_std2[i, j]
arah <- ifelse(val > 0, "lebih BANYAK dari harapan",
"lebih SEDIKIT dari harapan")
flag <- ifelse(abs(val) > 2, "* SIGNIFIKAN", " normal")
cat(sprintf(" %-8s & %-12s : d = %+.4f %s [%s]\n",
i, j, val, flag, arah))
}
}## Female & Democrat : d = +3.2724 * SIGNIFIKAN [lebih BANYAK dari harapan]
## Female & Republican : d = -2.4986 * SIGNIFIKAN [lebih SEDIKIT dari harapan]
## Female & Independent : d = -1.0322 normal [lebih SEDIKIT dari harapan]
## Male & Democrat : d = -3.2724 * SIGNIFIKAN [lebih SEDIKIT dari harapan]
## Male & Republican : d = +2.4986 * SIGNIFIKAN [lebih BANYAK dari harapan]
## Male & Independent : d = +1.0322 normal [lebih BANYAK dari harapan]# Visualisasi dengan mosaic plot (shading berdasarkan residual)
mosaicplot(tabel2,
shade = TRUE,
legend = TRUE,
main = "Mosaic Plot Gender vs Partai Politik\n(Shading = Standardized Residual)",
xlab = "Gender",
ylab = "Identifikasi Partai")## Warning: In mosaicplot.default(tabel2, shade = TRUE, legend = TRUE, main = "Mosaic Plot Gender vs Partai Politik\n(Shading = Standardized Residual)",
## xlab = "Gender", ylab = "Identifikasi Partai") :
## extra argument 'legend' will be disregarded
Interpretasi Residual:
- Female & Democrat (\(d > +2\)): Perempuan lebih banyak mengidentifikasi diri sebagai Demokrat dibandingkan yang diharapkan.
- Male & Democrat (\(d < -2\)): Laki-laki lebih sedikit mengidentifikasi sebagai Demokrat.
- Female & Republican (\(d < -2\)): Perempuan lebih sedikit mengidentifikasi sebagai Republikan.
- Male & Republican (\(d > +2\)): Laki-laki lebih banyak mengidentifikasi sebagai Republikan.
- Independent: Tidak ada pola signifikan di kedua gender (|d| < 2).
Soal 5 — Partisi Chi-Square
Partisi chi-square memecah tabel 2x3 menjadi sub-tabel yang lebih kecil untuk mengidentifikasi di mana tepatnya asosiasi terjadi.
Partisi yang dilakukan:
- Partisi A: Democrat vs Republican (mengabaikan Independent)
- Partisi B: (Democrat + Republican) vs Independent
Syarat valid: jumlah \(df\) dari partisi = \(df\) total (\(1 + 1 = 2\)). ✓
# --- Partisi A: Democrat vs Republican ---
tabel_A <- tabel2[, c("Democrat", "Republican")]
hasil_A <- chisq.test(tabel_A, correct = FALSE)
cat("=== Partisi A: Democrat vs Republican ===\n\n")## === Partisi A: Democrat vs Republican ===print(addmargins(tabel_A))## Democrat Republican Sum
## Female 495 272 767
## Male 330 265 595
## Sum 825 537 1362cat("\nχ²(A) :", round(hasil_A$statistic, 4), "\n")##
## χ²(A) : 11.5545cat("df(A) :", hasil_A$parameter, "\n")## df(A) : 1cat("p-value :", format(hasil_A$p.value, scientific = TRUE), "\n")## p-value : 6.758479e-04# --- Partisi B: (Dem + Rep) vs Independent ---
tabel_B <- cbind(
"Dem+Rep" = tabel2[, "Democrat"] + tabel2[, "Republican"],
"Independent" = tabel2[, "Independent"]
)
hasil_B <- chisq.test(tabel_B, correct = FALSE)
cat("\n=== Partisi B: (Democrat+Republican) vs Independent ===\n\n")##
## === Partisi B: (Democrat+Republican) vs Independent ===print(addmargins(tabel_B))## Dem+Rep Independent Sum
## Female 767 590 1357
## Male 595 498 1093
## Sum 1362 1088 2450cat("\nχ²(B) :", round(hasil_B$statistic, 4), "\n")##
## χ²(B) : 1.0654cat("df(B) :", hasil_B$parameter, "\n")## df(B) : 1cat("p-value :", format(hasil_B$p.value, scientific = TRUE), "\n")## p-value : 3.01979e-01Soal 6 — Perbandingan Partisi vs Chi-Square Keseluruhan
chi2_total2 <- hasil_chi2$statistic
chi2_A <- hasil_A$statistic
chi2_B <- hasil_B$statistic
chi2_sum <- chi2_A + chi2_B
cat("==============================================\n")## ==============================================cat(" Sumber χ² df p-value\n")## Sumber χ² df p-valuecat("==============================================\n")## ==============================================cat(sprintf(" Keseluruhan (2x3) %-9.4f 2 %s\n",
chi2_total2,
format(hasil_chi2$p.value, scientific=TRUE, digits=3)))## Keseluruhan (2x3) 12.5693 2 1.86e-03cat(sprintf(" Partisi A (Dem-Rep)%-9.4f 1 %s\n",
chi2_A,
format(hasil_A$p.value, scientific=TRUE, digits=3)))## Partisi A (Dem-Rep)11.5545 1 6.76e-04cat(sprintf(" Partisi B (D+R-Ind)%-9.4f 1 %s\n",
chi2_B,
format(hasil_B$p.value, scientific=TRUE, digits=3)))## Partisi B (D+R-Ind)1.0654 1 3.02e-01cat("----------------------------------------------\n")## ----------------------------------------------cat(sprintf(" Jumlah A + B %-9.4f 2\n", chi2_sum))## Jumlah A + B 12.6200 2cat("==============================================\n")## ==============================================cat("\nSelisih χ² total vs jumlah partisi:",
round(chi2_total2 - chi2_sum, 4),
"(perbedaan kecil karena pembulatan)\n")##
## Selisih χ² total vs jumlah partisi: -0.0507 (perbedaan kecil karena pembulatan)Perbandingan:
- \(\chi^2\) keseluruhan = 12.5693 dengan \(df = 2\).
- Jumlah partisi A + B ≈ \(\chi^2\) total, dan jumlah \(df\) = 1 + 1 = 2. ✓ Ini memverifikasi bahwa partisi dilakukan dengan benar.
- Partisi A (\(\chi^2\) lebih besar) berkontribusi lebih besar terhadap total chi-square dibandingkan Partisi B.
Soal 7 — Kategori Paling Berkontribusi
# Kontribusi tiap sel terhadap chi-square total
kontrib2 <- (tabel2 - E2)^2 / E2
cat("=== Kontribusi Tiap Sel terhadap χ² ===\n\n")## === Kontribusi Tiap Sel terhadap χ² ===print(round(addmargins(kontrib2), 4))## Democrat Republican Independent Sum
## Female 3.1686 2.1746 0.2642 5.6074
## Male 3.9339 2.6999 0.3281 6.9618
## Sum 7.1025 4.8745 0.5923 12.5693cat("\n=== Standardized Residual (nilai absolut, diurutkan) ===\n\n")##
## === Standardized Residual (nilai absolut, diurutkan) ===# Menyusun data residual untuk identifikasi sel paling berkontribusi
resid_vec <- as.vector(abs(resid_std2))
names(resid_vec) <- paste(
rep(rownames(resid_std2), ncol(resid_std2)),
rep(colnames(resid_std2), each = nrow(resid_std2)),
sep = " & "
)
print(round(sort(resid_vec, decreasing = TRUE), 4))## Female & Democrat Male & Democrat Female & Republican
## 3.2724 3.2724 2.4986
## Male & Republican Male & Independent Female & Independent
## 2.4986 1.0322 1.0322Interpretasi — Kategori Paling Berkontribusi:
Berdasarkan nilai standardized residual dan kontribusi \(\chi^2\), kategori yang paling berkontribusi terhadap asosiasi antara Gender dan Identifikasi Partai adalah:
- Democrat dan Republican (Partisi A berkontribusi lebih besar)
- Pola yang jelas: Perempuan cenderung ke Democrat, Laki-laki cenderung ke Republican
- Independent memberikan kontribusi paling kecil — tidak ada pola yang kuat berdasarkan gender untuk pilihan Independent
Kesimpulan Kasus 2
Kesimpulan Kasus 2:
Uji chi-square keseluruhan (\(\chi^2 =\) 12.5693, \(df = 2\), \(p < 0.001\)): Terdapat asosiasi yang signifikan antara gender dan identifikasi partai politik.
Standardized residual mengungkap pola asosiasi:
- Wanita cenderung lebih banyak mengidentifikasi diri sebagai Demokrat
- Pria cenderung lebih banyak mengidentifikasi diri sebagai Republikan
- Untuk Independent, tidak ada perbedaan signifikan antar gender
Partisi chi-square mengkonfirmasi bahwa asosiasi utama bersumber dari perbedaan antara Democrat vs Republican berdasarkan gender.
Kategori yang paling berkontribusi adalah Democrat (dan Republican sebagai kontrasnya), bukan Independent.
Kesimpulan Umum
Tugas 6 ini memperluas pemahaman yang telah dibangun dari tugas-tugas sebelumnya:
- Konsep tabel kontingensi (diperkenalkan di tugas sebelumnya) kini diperdalam dengan inferensi statistik menggunakan interval kepercayaan dan uji hipotesis.
- Ukuran asosiasi OR dan RR yang sudah dipelajari sebelumnya kini dilengkapi dengan interval kepercayaan dan pengujian formal.
- Kasus 1 menunjukkan bahwa merokok berasosiasi kuat dengan kanker paru (OR ≈ 2.97; semua uji menolak \(H_0\)).
- Kasus 2 menunjukkan bahwa gender berasosiasi dengan preferensi partai, terutama pada perbedaan antara Democrat dan Republican.
Laporan ini dibuat menggunakan R Markdown dan dapat direproduksi sepenuhnya.