Tugas Individu: Analisis Data Kategori

Pendahuluan

Analisis data kategori merupakan bagian penting dalam statistika, khususnya ketika data yang diamati berbentuk kategori atau kelas. Analisis ini banyak digunakan dalam bidang kesehatan, sosial, ekonomi, dan pendidikan untuk memahami hubungan antara dua atau lebih variabel kategorik.

1. Konsep Analisis Data Kategori

Analisis data kategori adalah metode statistik yang digunakan untuk menganalisis variabel yang berbentuk kategori atau kelompok. Berbeda dengan data numerik kontinu, variabel kategori dinyatakan dalam bentuk label atau klasifikasi, seperti jenis kelamin, status merokok, atau status penyakit.

Menurut Hazra dan Gogtay (2016), data kategorik biasanya dianalisis menggunakan frekuensi atau proporsi dan sering disajikan dalam tabel kontingensi untuk membandingkan kelompok serta menilai hubungan antara variabel kategorik.

Karakteristik Variabel Kategori

Variabel kategori memiliki beberapa karakteristik utama:

  1. Nilai variabel berupa kategori atau kelompok, bukan angka kontinu.
  2. Data umumnya disajikan dalam bentuk frekuensi atau proporsi.
  3. Analisis statistik sering menggunakan tabel kontingensi dan uji chi-square.

Secara umum, variabel kategori dibagi menjadi dua jenis utama:

  • Variabel Nominal
    Variabel dengan kategori yang tidak memiliki urutan, misalnya jenis kelamin atau status vaksin.

  • Variabel Ordinal
    Variabel dengan kategori yang memiliki urutan atau tingkatan, misalnya tingkat pendidikan atau tingkat kepuasan.

Contoh Penerapan dalam Penelitian

Beberapa contoh penggunaan analisis data kategori dalam penelitian antara lain:

  • Merokok vs kanker paru, untuk menilai hubungan antara kebiasaan merokok dan risiko kanker paru.
  • Vaksin vs infeksi, untuk mengevaluasi efektivitas vaksin dalam mencegah infeksi.
  • Preferensi konsumen, untuk menganalisis pilihan konsumen terhadap kategori produk tertentu.

Melalui analisis data kategori, peneliti dapat memahami hubungan antara variabel kategorik serta mengidentifikasi faktor yang berkaitan dengan suatu kejadian atau outcome.

2. Tabel Kontingensi

Definisi Tabel Kontingensi

Tabel kontingensi adalah tabel yang digunakan untuk menyajikan distribusi frekuensi dari dua atau lebih variabel kategori secara simultan.

Struktur Tabel Kontingensi

Contoh tabel kontingensi 2×2:

Kanker Tidak Kanker Total
Merokok a b a+b
Tidak Merokok c d c+d
Total a+c b+d n

Joint Distribution

Joint distribution menunjukkan peluang gabungan dua kejadian.

\[ P(X,Y) = \frac{frekuensi\ pada\ sel}{n} \]

Marginal Distribution

Marginal distribution adalah distribusi peluang dari satu variabel tanpa memperhatikan variabel lainnya.

\[ P(X=Merokok) = \frac{a+b}{n} \]

Conditional Probability

Probabilitas bersyarat menggambarkan peluang suatu kejadian jika kejadian lain telah diketahui.

\[ P(Kanker|Merokok) = \frac{a}{a+b} \]

3. Ukuran Asosiasi

Ukuran asosiasi digunakan untuk mengetahui seberapa kuat hubungan antara faktor risiko dan kejadian (outcome) pada data kategorik.

3.1 Odds

Odds adalah perbandingan antara peluang suatu kejadian dengan peluang kejadian tersebut tidak terjadi.

Jika peluang kejadian dinyatakan sebagai:

\[ P = \frac{a}{a+b} \]

maka peluang tidak terjadinya kejadian adalah:

\[ 1-P = \frac{b}{a+b} \]

Sehingga odds dapat diturunkan sebagai:

\[ Odds = \frac{P}{1-P} \]

Substitusi nilai peluang menghasilkan:

\[ Odds = \frac{\frac{a}{a+b}}{\frac{b}{a+b}} = \frac{a}{b} \]

Interpretasi Odds

Nilai odds menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu kejadian dibandingkan dengan tidak terjadinya kejadian tersebut.

  • Odds > 1 → kejadian lebih mungkin terjadi dibanding tidak terjadi
  • Odds = 1 → peluang kejadian dan tidak kejadian sama besar
  • Odds < 1 → kejadian lebih kecil kemungkinannya dibanding tidak terjadi

3.2 Odds Ratio

Odds Ratio (OR) digunakan untuk membandingkan odds antara dua kelompok.

Odds pada kelompok terpapar:

\[ Odds_1 = \frac{a}{b} \]

Odds pada kelompok tidak terpapar:

\[ Odds_2 = \frac{c}{d} \]

Odds Ratio didefinisikan sebagai perbandingan kedua odds tersebut:

\[ OR = \frac{Odds_1}{Odds_2} \]

Substitusi menghasilkan:

\[ OR = \frac{a/b}{c/d} \]

yang dapat disederhanakan menjadi:

\[ OR = \frac{ad}{bc} \]

Interpretasi Odds Ratio

  • OR = 1 → tidak ada asosiasi antara faktor risiko dan kejadian
  • OR > 1 → faktor meningkatkan risiko kejadian
  • OR < 1 → faktor bersifat protektif (mengurangi risiko)

3.3 Relative Risk

Relative Risk (RR) adalah perbandingan probabilitas kejadian antara kelompok terpapar dan tidak terpapar.

Risiko pada kelompok terpapar:

\[ P_1 = \frac{a}{a+b} \]

Risiko pada kelompok tidak terpapar:

\[ P_0 = \frac{c}{c+d} \]

Relative Risk didefinisikan sebagai:

\[ RR = \frac{P_1}{P_0} \]

Sehingga diperoleh:

\[ RR = \frac{a/(a+b)}{c/(c+d)} \]

Interpretasi Relative Risk

  • RR = 1 → risiko pada kedua kelompok sama
  • RR > 1 → kelompok terpapar memiliki risiko lebih tinggi
  • RR < 1 → kelompok terpapar memiliki risiko lebih rendah

4. Contoh Perhitungan Manual

Kasus

Penelitian mengenai hubungan merokok dan kanker paru menghasilkan data berikut:

Kanker Tidak Kanker Total
Merokok 60 40 100
Tidak Merokok 20 80 100
Total 80 120 200

Misalkan:

  • a = 60
  • b = 40
  • c = 20
  • d = 80

Total sampel:

\[ n = a+b+c+d = 200 \]

Peluang Bersyarat

\[ P(Kanker|Merokok) = \frac{60}{100} = 0.6 \]

\[ P(Kanker|Tidak\ Merokok) = \frac{20}{100} = 0.2 \] Artinya peluang orang perokok lebih berisiko terkena kanker dibandingkan bukan perokok.

Odds

\[ Odds_1 = \frac{60}{40} = 1.5 \]

\[ Odds_2 = \frac{20}{80} = 0.25 \]

Artinya nilai odds pada kelompok perokok (Odds₁ = 1.5) menunjukkan bahwa peluang terjadinya kanker paru pada perokok adalah 1.5 banding 1 dibandingkan tidak mengalami kanker.

Sementara itu, odds pada kelompok tidak merokok (Odds₂ = 0.25) menunjukkan bahwa peluang terjadinya kanker paru pada kelompok tidak merokok adalah 0.25 banding 1 dibandingkan tidak mengalami kanker.

Hal ini menunjukkan bahwa peluang kanker paru relatif lebih besar pada kelompok perokok dibandingkan kelompok tidak merokok.

Odds Ratio

\[ OR = \frac{ad}{bc} \]

\[ OR = \frac{(60)(80)}{(40)(20)} \]

\[ OR = \frac{4800}{800} = 6 \]

Artinya peluang kanker pada perokok 6 kali lebih besar dibandingkan bukan perokok.

5. Analisis Menggunakan R

Analisis yang sama dapat dilakukan menggunakan perangkat lunak R untuk memverifikasi hasil perhitungan manual.

Membuat Tabel Kontingensi

data <- matrix(c(60,40,20,80), nrow=2, byrow=TRUE)

rownames(data) <- c("Merokok","Tidak Merokok")
colnames(data) <- c("Kanker","Tidak Kanker")

data
##               Kanker Tidak Kanker
## Merokok           60           40
## Tidak Merokok     20           80

Menghitung Odds Ratio

odds_ratio <- (data[1,1]*data[2,2])/(data[1,2]*data[2,1])
odds_ratio
## [1] 6

Uji Chi-Square

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} \]

uji_chisq <- chisq.test(data)
uji_chisq
## 
##  Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
## 
## data:  data
## X-squared = 31.688, df = 1, p-value = 1.811e-08

6. Interpretasi Hasil

Visualisasi Data

Distribusi jumlah kasus kanker paru pada kelompok perokok dan tidak merokok dapat divisualisasikan menggunakan grafik batang berikut.

barplot(data,
        beside = TRUE,
        col = c("royalblue","gold"),
        main = "Perbandingan Kasus Kanker Paru Berdasarkan Status Merokok",
        xlab = "Status Merokok",
        ylab = "Jumlah Individu",
        legend.text = colnames(data),
        args.legend = list(x = "topright"),
        ylim = c(0, max(data) + 20))

Interpretasi Statistik

Berdasarkan perhitungan sebelumnya diperoleh nilai Odds Ratio (OR) sebesar 6. Nilai ini menunjukkan bahwa peluang terjadinya kanker paru pada kelompok perokok sekitar enam kali lebih besar dibandingkan dengan kelompok yang tidak merokok.

Selanjutnya dilakukan uji chi-square untuk menguji apakah hubungan antara kedua variabel tersebut signifikan secara statistik. Jika hasil uji menghasilkan p-value < 0.05, maka dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan yang signifikan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru.Selain itu, dapat dilihat dari grafik batang tersebut memperlihatkan bahwa jumlah kasus kanker paru lebih tinggi pada kelompok perokok dibandingkan kelompok tidak merokok. Sebaliknya, pada kategori tidak kanker jumlah individu lebih besar pada kelompok tidak merokok. Visualisasi ini membantu menggambarkan pola hubungan antara kedua variabel secara lebih jelas

Secara statistik, hasil tersebut menunjukkan bahwa variabel status merokok dan kejadian kanker paru tidak bersifat independen. Dengan kata lain, terdapat hubungan atau asosiasi antara kedua variabel tersebut dalam populasi yang dianalisis.

Interpretasi Substantif

Dalam konteks kesehatan masyarakat, hasil analisis ini memberikan indikasi bahwa kebiasaan merokok merupakan faktor risiko yang kuat terhadap terjadinya kanker paru. Individu yang memiliki kebiasaan merokok menunjukkan kecenderungan yang jauh lebih tinggi untuk mengalami penyakit tersebut dibandingkan individu yang tidak merokok.

Temuan ini sejalan dengan berbagai penelitian epidemiologi yang menyatakan bahwa paparan zat kimia berbahaya dalam asap rokok dapat merusak jaringan paru-paru dan meningkatkan kemungkinan terjadinya mutasi sel yang berujung pada kanker. Oleh karena itu, upaya pencegahan seperti pengendalian konsumsi rokok, edukasi kesehatan, dan kampanye berhenti merokok menjadi langkah penting dalam menurunkan risiko penyakit ini.

Referensi

Hazra, A., & Gogtay, N. (2016). Biostatistics Series Module 4: Comparing Groups—Categorical Variables. Indian Journal of Dermatology, 61(4), 385–392.

Tugas 6 Inferensi Tabel Kontingensi Dua Arah - Salsabila Najwa

Kasus 1: Status Merokok & Cancer

Pendahuluan

Pada kasus ini dianalisis hubungan antara status merokok dan kejadian kanker paru menggunakan tabel kontingensi 2 x 2. Analisis mencakup penyusunan tabel kontingensi, estimasi proporsi, interval kepercayaan 95% untuk proporsi dan ukuran asosiasi, serta pengujian hipotesis menggunakan uji dua proporsi, uji chi-square independensi, uji likelihood ratio (G^2), dan Fisher exact test.

1. Data dan Penyusunan Tabel Kontingensi 2 x 2

Data yang diberikan adalah sebagai berikut.

Status Merokok Cancer (+) Control (-) Total
Smoker 688 650 1338
Non-Smoker 21 59 80
Total 709 709 1418 
a <- 688   # Smoker & Cancer
b <- 21    # Non-Smoker & Cancer
c <- 650   # Smoker & Control
d <- 59    # Non-Smoker & Control

tab <- matrix(c(a, c, b, d), nrow = 2, byrow = TRUE)
colnames(tab) <- c("Cancer (+)", "Control (-)")
rownames(tab) <- c("Smoker", "Non-Smoker")

tab
##            Cancer (+) Control (-)
## Smoker            688         650
## Non-Smoker         21          59
addmargins(tab)
##            Cancer (+) Control (-)  Sum
## Smoker            688         650 1338
## Non-Smoker         21          59   80
## Sum               709         709 1418

Interpretasi:
Tabel menunjukkan bahwa jumlah kasus kanker paru pada kelompok Smoker jauh lebih besar daripada kelompok Non-Smoker. Secara deskriptif, hal ini mengindikasikan adanya kemungkinan hubungan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru.

2. Estimasi Titik Proporsi Kejadian Kanker Paru pada Kelompok Smoker dan Non-Smoker

Misalkan: - \(p_1\) = proporsi kejadian kanker paru pada kelompok smoker - \(p_2\) = proporsi kejadian kanker paru pada kelompok non-smoker

Estimator proporsi: \[ \hat{p} = \frac{x}{n} \]

Perhitungan: \[ \hat{p}_1 = \frac{688}{1338} = 0.5142 \]

\[ \hat{p}_2 = \frac{21}{80} = 0.2625 \]

p1 <- a / (a + c)
p2 <- b / (b + d)

p1
## [1] 0.5142003
p2
## [1] 0.2625

Interpretasi:
Proporsi kejadian kanker paru pada kelompok Smoker adalah 51.42%, sedangkan pada kelompok Non-Smoker adalah 26.25%. Artinya, dari setiap 100 orang pada masing-masing kelompok, sekitar 51 smoker dan 26 non-smoker mengalami kanker paru. Secara deskriptif, kejadian kanker paru tampak lebih sering pada kelompok perokok.

3. Interval Kepercayaan 95% untuk Proporsi, RD, RR, dan OR

3.1 Interval Kepercayaan 95% untuk Proporsi Masing-Masing Kelompok

\[ \hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \] dengan:

  • \(\hat{p}\) = proporsi sampel
  • \(Z_{\alpha/2}\) = nilai Z (untuk 95% = 1.96)
  • \(n\) = ukuran sampel

Untuk proporsi masing-masing kelompok, interval kepercayaan dihitung menggunakan fungsi prop.test().

prop_smoker <- prop.test(a, a + c, correct = FALSE)
prop_nonsmoker <- prop.test(b, b + d, correct = FALSE)

prop_smoker
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  a out of a + c, null probability 0.5
## X-squared = 1.0792, df = 1, p-value = 0.2989
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.4874177 0.5409016
## sample estimates:
##         p 
## 0.5142003
prop_nonsmoker
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  b out of b + d, null probability 0.5
## X-squared = 18.05, df = 1, p-value = 2.152e-05
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.1785740 0.3681896
## sample estimates:
##      p 
## 0.2625

Interpretasi:
Interval kepercayaan 95% untuk proporsi smoker dan non-smoker menunjukkan rentang nilai yang masuk akal bagi proporsi sebenarnya di populasi. Interval kelompok smoker berada pada level yang lebih tinggi daripada kelompok non-smoker, sehingga hasil ini memperkuat indikasi bahwa kejadian kanker paru lebih tinggi pada kelompok perokok.

3.2 Risk Difference (RD)

Risk Difference mengukur perbedaan absolut risiko kejadian antara dua kelompok. \[ RD = \hat{p}_1 - \hat{p}_2 \]

Dengan standard error: \[ SE(RD) = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}} \]

Interval kepercayaan 95%: \[ CI_{95\%}(RD) = RD \pm z_{0.975} \times SE(RD) \]

prop_diff <- function(a, b, c, d, alpha = 0.05) {
  ph <- a / (a + c)
  pi <- b / (b + d)
  nh <- a + c
  ni <- b + d

  se_bp <- sqrt((ph * (1 - ph) / nh) + (pi * (1 - pi) / ni))
  z_alpha <- qnorm(1 - alpha / 2)
  ci_lower <- (ph - pi) - z_alpha * se_bp
  ci_upper <- (ph - pi) + z_alpha * se_bp

  list(estimate = ph - pi, ci = c(ci_lower, ci_upper))
}

hasil_rd <- prop_diff(a = 688, b = 21, c = 650, d = 59)
print(hasil_rd)
## $estimate
## [1] 0.2517003
## 
## $ci
## [1] 0.1516343 0.3517663

Interpretasi:
Nilai RD = 0.2517 berarti risiko kanker paru pada perokok lebih tinggi sekitar 25.17 poin persentase dibandingkan non-perokok. Karena interval kepercayaan 95% tidak memuat nol, maka selisih risiko ini signifikan secara statistik. Secara substantif, merokok berkaitan dengan peningkatan risiko absolut kanker paru yang cukup besar.

3.3 Relative Risk (RR)

Relative Risk membandingkan risiko kejadian antara dua kelompok. \[ RR = \frac{\hat{p}_1}{\hat{p}_2} \]

Standard error untuk log-risk ratio: \[ SE(\ln RR) = \sqrt{\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{a+c}\right) + \left(\frac{1}{b} - \frac{1}{b+d}\right)} \]

Interval kepercayaan 95%: \[ CI_{95\%}(RR) = \exp \left[\ln(RR) \pm z_{0.975}SE(\ln RR)\right] \]

relative_risk <- function(a, b, c, d, alpha = 0.05) {
  ph <- a / (a + c)
  pi <- b / (b + d)
  nh <- a + c
  ni <- b + d

  ln_rr <- log(ph / pi)
  se_ln_rr <- sqrt(((1 - ph) / (ph * nh)) + ((1 - pi) / (pi * ni)))
  z_alpha <- qnorm(1 - alpha / 2)
  ci_lower <- exp(ln_rr - z_alpha * se_ln_rr)
  ci_upper <- exp(ln_rr + z_alpha * se_ln_rr)

  list(estimate = exp(ln_rr), ci = c(ci_lower, ci_upper))
}

hasil_rr <- relative_risk(a = 688, b = 21, c = 650, d = 59)
print(hasil_rr)
## $estimate
## [1] 1.958858
## 
## $ci
## [1] 1.351735 2.838667

Interpretasi:
Nilai RR = 1.9589 menunjukkan bahwa perokok memiliki risiko sekitar 1.96 kali terkena kanker paru dibandingkan non-perokok. Karena interval kepercayaan 95% tidak memuat 1, maka asosiasi ini signifikan. Ini berarti risiko kanker paru pada kelompok smoker hampir dua kali lipat dibanding kelompok non-smoker.

3.4 Odds Ratio (OR)

Odds Ratio membandingkan odds kejadian antara dua kelompok. \[ OR = \frac{ad}{bc} \]

Standard error untuk log-odds ratio: \[ SE(\ln OR) = \sqrt{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}} \]

Interval kepercayaan 95%: \[ CI_{95\%}(OR) = \exp \left[\ln(OR) \pm z_{0.975}SE(\ln OR)\right] \]

odds_ratio <- function(a, b, c, d, alpha = 0.05) {
  ln_or <- log((a * d) / (b * c))
  se_ln_or <- sqrt(1/a + 1/b + 1/c + 1/d)
  z_alpha <- qnorm(1 - alpha / 2)
  ci_lower <- exp(ln_or - z_alpha * se_ln_or)
  ci_upper <- exp(ln_or + z_alpha * se_ln_or)

  list(estimate = exp(ln_or), ci = c(ci_lower, ci_upper))
}

hasil_or <- odds_ratio(a = 688, b = 21, c = 650, d = 59)
print(hasil_or)
## $estimate
## [1] 2.973773
## 
## $ci
## [1] 1.786737 4.949427

Interpretasi:
Nilai OR = 2.9738 menunjukkan bahwa odds perokok terkena kanker paru sekitar 2.97 kali odds non-perokok. Karena interval kepercayaan 95% tidak memuat 1, maka asosiasi ini signifikan. Dengan kata lain, peluang relatif kanker paru pada perokok jauh lebih besar daripada pada non-perokok.

4. Uji Dua Proporsi

\[ Z = \frac{\hat{p}_1 - \hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}} \]

Hipotesis yang diuji: \[ H_0: p_1 = p_2 \] \[ H_1: p_1 \ne p_2 \]

uji_proporsi <- prop.test(c(a, b), c(a + c, b + d), correct = FALSE)
uji_proporsi
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity correction
## 
## data:  c(a, b) out of c(a + c, b + d)
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  0.1516343 0.3517663
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.5142003 0.2625000

Interpretasi:
Karena p-value < 0.05, maka hipotesis nol ditolak. Artinya, terdapat perbedaan proporsi kejadian kanker paru yang signifikan antara kelompok smoker dan non-smoker. Jadi, status merokok berhubungan dengan perbedaan proporsi kejadian kanker paru.

5. Uji Chi-Square Independensi

\[ \chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E} \] dengan \[ E_{ij} = \frac{(baris\ total)(kolom\ total)}{n} \]

Hipotesis: \[ H_0: \text{status merokok dan status kanker paru independen} \] \[ H_1: \text{status merokok dan status kanker paru tidak independen} \]

uji_chisq <- chisq.test(tab, correct = FALSE)
uji_chisq
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab
## X-squared = 19.129, df = 1, p-value = 1.222e-05

Interpretasi:
Karena p-value < 0.05, maka hipotesis nol ditolak. Artinya, status merokok dan kejadian kanker paru tidak saling independen. Dengan demikian, ada hubungan yang signifikan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru.

6. Uji Likelihood Ratio (G^2)

Statistik likelihood ratio: \[ G^2 = 2 \sum_i \sum_j n_{ij}\ln\left(\frac{n_{ij}}{\hat{\mu}_{ij}}\right) \]

dengan: \[ \hat{\mu}_{ij} = \frac{n_{i.}n_{.j}}{n} \]

data_expected <- chisq.test(tab, correct = FALSE)$expected
G2 <- 2 * sum(tab * log(tab / data_expected))
critical_value <- qchisq(0.95, df = 1)
p_value_g2 <- 1 - pchisq(G2, df = 1)

list(G2 = G2,
     Critical_Value = critical_value,
     P_Value = p_value_g2,
     Decision = ifelse(G2 > critical_value, "Reject H0", "Fail to Reject H0"))
## $G2
## [1] 19.87802
## 
## $Critical_Value
## [1] 3.841459
## 
## $P_Value
## [1] 8.25441e-06
## 
## $Decision
## [1] "Reject H0"

Interpretasi:
Karena nilai G^2 lebih besar dari nilai kritis chi-square dan p-value < 0.05, maka hipotesis nol ditolak. Ini menunjukkan bahwa pendekatan likelihood juga memberikan bukti kuat adanya hubungan signifikan antara status merokok dan kanker paru.

7. Fisher Exact Test

\[ P = \frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{a!b!c!d!n!} \] Hipotesis: \[ H_0: \text{tidak ada hubungan antara status merokok dan kanker paru} \] \[ H_1: \text{ada hubungan antara status merokok dan kanker paru} \]

uji_fisher <- fisher.test(tab)
uji_fisher
## 
##  Fisher's Exact Test for Count Data
## 
## data:  tab
## p-value = 1.476e-05
## alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##  1.755611 5.210711
## sample estimates:
## odds ratio 
##   2.971634

Interpretasi:
Karena p-value < 0.05, maka hipotesis nol ditolak. Berdasarkan Fisher exact test, terdapat hubungan signifikan antara kebiasaan merokok dan kejadian kanker paru. Hasil ini penting karena Fisher exact test merupakan uji eksak yang tetap valid untuk tabel 2 x 2.

8. Perbandingan Hasil Butir 4 sampai 7

Berikut ringkasan hasil pengujian:

perbandingan <- data.frame(
  Metode = c("Uji dua proporsi",
             "Chi-square independensi",
             "Likelihood ratio (G^2)",
             "Fisher exact test"),
  Hipotesis_Nol = c("p1 = p2",
                    "Variabel independen",
                    "Variabel independen",
                    "Tidak ada asosiasi / OR = 1"),
  Statistik_Uji = c(
    round(as.numeric(uji_proporsi$statistic), 5),
    round(as.numeric(uji_chisq$statistic), 5),
    round(as.numeric(G2), 5),
    NA
  ),
  P_value = c(
    signif(uji_proporsi$p.value, 5),
    signif(uji_chisq$p.value, 5),
    signif(p_value_g2, 5),
    signif(uji_fisher$p.value, 5)
  ),
  Keputusan = c(
    ifelse(uji_proporsi$p.value < 0.05, "Tolak H0", "Gagal Tolak H0"),
    ifelse(uji_chisq$p.value < 0.05, "Tolak H0", "Gagal Tolak H0"),
    ifelse(p_value_g2 < 0.05, "Tolak H0", "Gagal Tolak H0"),
    ifelse(uji_fisher$p.value < 0.05, "Tolak H0", "Gagal Tolak H0")
  ),
  Interpretasi_Substantif = c(
    "Proporsi kanker paru berbeda signifikan antara smoker dan non-smoker.",
    "Status merokok berhubungan dengan kejadian kanker paru.",
    "Pendekatan likelihood juga menunjukkan adanya hubungan signifikan.",
    "Uji eksak tetap menunjukkan hubungan signifikan antara kedua variabel."
  )
)

perbandingan
##                    Metode               Hipotesis_Nol Statistik_Uji    P_value
## 1        Uji dua proporsi                     p1 = p2      19.12922 1.2216e-05
## 2 Chi-square independensi         Variabel independen      19.12922 1.2216e-05
## 3  Likelihood ratio (G^2)         Variabel independen      19.87802 8.2544e-06
## 4       Fisher exact test Tidak ada asosiasi / OR = 1            NA 1.4763e-05
##   Keputusan
## 1  Tolak H0
## 2  Tolak H0
## 3  Tolak H0
## 4  Tolak H0
##                                                  Interpretasi_Substantif
## 1  Proporsi kanker paru berbeda signifikan antara smoker dan non-smoker.
## 2                Status merokok berhubungan dengan kejadian kanker paru.
## 3     Pendekatan likelihood juga menunjukkan adanya hubungan signifikan.
## 4 Uji eksak tetap menunjukkan hubungan signifikan antara kedua variabel.

Interpretasi perbandingan:
Keempat metode menghasilkan keputusan yang sama, yaitu menolak hipotesis nol, sehingga seluruh pendekatan inferensi konsisten dalam menyimpulkan adanya hubungan antara merokok dan kanker paru.

Secara lebih rinci:

  • Uji dua proporsi menekankan bahwa proporsi kejadian kanker paru pada smoker dan non-smoker memang berbeda secara statistik.

  • Uji chi-square independensi menegaskan bahwa status merokok dan status kanker paru tidak saling bebas, sehingga terdapat asosiasi antara kedua variabel kategorik tersebut.

  • Uji likelihood ratio (G^2) memberikan kesimpulan yang sama dengan chi-square, tetapi melalui pendekatan likelihood. Hasil yang sejalan ini memperkuat bukti statistik.

  • Fisher exact test juga menghasilkan p-value yang sangat kecil, sehingga mendukung kesimpulan yang sama dengan pendekatan eksak.

Dengan demikian, perbedaan hasil hanya terletak pada bentuk statistik uji dan pendekatan perhitungannya, bukan pada kesimpulan akhirnya. Secara substantif, semua metode konsisten menunjukkan bahwa perokok memiliki kejadian kanker paru yang lebih tinggi daripada non-perokok, sehingga kebiasaan merokok berkaitan erat dengan meningkatnya kejadian kanker paru.

9. Kesimpulan

Berdasarkan analisis tabel kontingensi 2 x 2:

  1. Proporsi kanker paru pada kelompok smoker adalah 51.42%, sedangkan pada kelompok non-smoker adalah 26.25%.
  2. Nilai RD = 0.2517 menunjukkan bahwa risiko absolut kanker paru pada perokok lebih tinggi 25.17 poin persentase dibandingkan non-perokok.
  3. Nilai RR = 1.9589 menunjukkan bahwa perokok memiliki risiko sekitar 1.96 kali terkena kanker paru dibandingkan non-perokok.
  4. Nilai OR = 2.9738 menunjukkan bahwa odds perokok terkena kanker paru sekitar 2.97 kali odds non-perokok.
  5. Semua uji hipotesis, yaitu uji dua proporsi, uji chi-square independensi, uji likelihood ratio (G^2), dan Fisher exact test, menghasilkan p-value < 0.05.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa terdapat hubungan yang signifikan antara kebiasaan merokok dan kanker paru, dan merokok berkaitan dengan peningkatan risiko kanker paru.

10. Visualisasi Tambahan

10.1 Barplot Proporsi Kanker Paru menurut Status Merokok

proporsi <- c(p1, p2)

barplot(proporsi,
        names.arg = c("Smoker", "Non-Smoker"),
        col = c("#E63946", "#457B9D"),  # merah vs biru
        ylim = c(0, 0.7),
        main = "Proporsi Kanker Paru berdasarkan Status Merokok",
        ylab = "Proporsi Cancer (+)",
        border = NA)

abline(h = seq(0, 0.7, by = 0.1), col = "gray80", lty = 3)

Interpretasi:
Barplot menunjukkan bahwa proporsi kanker paru pada kelompok smoker jauh lebih tinggi dibandingkan kelompok non-smoker. Visualisasi ini memperkuat hasil numerik bahwa kejadian kanker paru lebih sering ditemukan pada perokok.

10.2 Mosaic Plot

mosaicplot(tab,
           color = c("lightblue", "mistyrose"),
           main = "Mosaic Plot: Status Merokok dan Kanker Paru",
           xlab = "Status Merokok",
           ylab = "Status Kanker Paru")

Interpretasi:
Mosaic plot memperlihatkan perbedaan komposisi antara kelompok smoker dan non-smoker. Luas area pada sel Smoker - Cancer (+) tampak dominan, yang menunjukkan bahwa kelompok smoker memiliki proporsi kanker paru yang lebih besar. Hal ini konsisten dengan hasil uji inferensial sebelumnya.

10.3 Plot Residual Pearson

resid_pearson <- chisq.test(tab, correct = FALSE)$residuals

res_vals <- as.vector(resid_pearson)

# warna: biru (positif), merah (negatif)
res_cols <- ifelse(res_vals > 0, "#2E86AB", "#E07A5F")

par(mar = c(8,4,4,2))  # biar label nggak kepotong

barplot(res_vals,
        names.arg = c("Smoker-Cancer", "Smoker-Control",
                      "NonSmoker-Cancer", "NonSmoker-Control"),
        ylim = c(min(res_vals) - 1, max(res_vals) + 1),
        col = res_cols,
        las = 2,
        main = "Residual Pearson pada Tabel Kontingensi",
        ylab = "Residual Pearson")

abline(h = c(-2, 0, 2), lty = c(2,1,2), col = c("darkgray","black","darkgray"))

Interpretasi:
Residual Pearson menunjukkan bahwa sel Non-Smoker–Control memiliki residual positif besar, sedangkan Smoker–Control memiliki residual negatif besar. Hal ini menunjukkan bahwa non-perokok jauh lebih sering tidak mengalami kanker paru dibandingkan yang diharapkan, sementara perokok jauh lebih jarang berada pada kondisi tanpa kanker. Dengan demikian, hubungan antara merokok dan kanker paru terutama didorong oleh perbedaan pada kelompok yang tidak mengalami kanker.

Kasus 2: Gender dan Partai Politik

Pendahuluan

Pada kasus ini dianalisis hubungan antara gender dan identifikasi partai politik menggunakan tabel kontingensi 2 x 3. Analisis dilakukan melalui penyusunan tabel kontingensi, perhitungan frekuensi harapan, uji chi-square independensi, analisis residual, partisi chi-square, serta visualisasi untuk melihat pola hubungan antar kategori.

1. Penyusunan Tabel Kontingensi 2 x 3

Data yang diberikan adalah sebagai berikut.

Gender Democrat Republican Independent Total
Female 495 272 590 1357
Male 330 265 498 1093
Total 825 537 1088 2450 
tab <- matrix(c(495, 272, 590,
                330, 265, 498),
              nrow = 2, byrow = TRUE)

rownames(tab) <- c("Female", "Male")
colnames(tab) <- c("Democrat", "Republican", "Independent")

tab
##        Democrat Republican Independent
## Female      495        272         590
## Male        330        265         498
addmargins(tab)
##        Democrat Republican Independent  Sum
## Female      495        272         590 1357
## Male        330        265         498 1093
## Sum         825        537        1088 2450

Interpretasi:
Tabel kontingensi menunjukkan bahwa jumlah responden perempuan lebih banyak daripada laki-laki. Secara deskriptif, perempuan tampak lebih banyak berada pada kategori Democrat dan Independent, sedangkan laki-laki tampak relatif lebih banyak pada kategori Republican dibanding proporsi perempuan.

2. Frekuensi Harapan untuk Setiap Sel

Di bawah hipotesis independensi, frekuensi harapan tiap sel dihitung dengan rumus:

\[ E_{ij} = \frac{(n_{i.})(n_{.j})}{n} \]

dengan: - \(n_{i.}\) = total baris ke-\(i\) - \(n_{.j}\) = total kolom ke-\(j\) - \(n\) = total keseluruhan

expected <- chisq.test(tab, correct = FALSE)$expected
expected
##        Democrat Republican Independent
## Female  456.949   297.4322    602.6188
## Male    368.051   239.5678    485.3812

Interpretasi:
Frekuensi harapan menunjukkan banyaknya observasi yang diperkirakan akan muncul pada tiap sel jika gender dan identifikasi partai politik saling independen. Nilai ini menjadi dasar untuk membandingkan apakah frekuensi observasi menyimpang cukup besar dari kondisi independensi.

3. Uji Chi-Square Independensi untuk Tabel Keseluruhan

Hipotesis

\[ H_0: \text{Gender dan identifikasi partai politik saling independen} \]

\[ H_1: \text{Gender dan identifikasi partai politik tidak saling independen} \]

Statistik Uji

Statistik uji chi-square adalah:

\[ \chi^2 = \sum_i \sum_j \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}} \]

dengan: - \(O_{ij}\) = frekuensi observasi - \(E_{ij}\) = frekuensi harapan

Derajat bebas:

\[ df = (r-1)(c-1) \]

Untuk tabel 2 x 3: \[ df = (2-1)(3-1)=2 \]

uji_chisq <- chisq.test(tab, correct = FALSE)
uji_chisq
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab
## X-squared = 12.569, df = 2, p-value = 0.001865

Interpretasi:
Karena p-value < 0.05, maka hipotesis nol ditolak. Artinya, gender dan identifikasi partai politik tidak saling independen. Dengan kata lain, terdapat hubungan yang signifikan antara gender dan pilihan identifikasi partai politik.

4. Residual Pearson dan Standardized Residual

Residual digunakan untuk melihat sel mana yang paling berkontribusi terhadap nilai chi-square.

Pearson Residual

\[ e_{ij} = \frac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}}} \]

Standardized Residual

\[ r_{ij} = \frac{O_{ij}-E_{ij}} {\sqrt{E_{ij}(1-p_{i+})(1-p_{+j})}} \]

Secara umum:

  • residual mendekati 0: observasi mendekati ekspektasi

  • residual positif besar: observasi lebih tinggi dari ekspektasi

  • residual negatif besar: observasi lebih rendah dari ekspektasi

  • \(|r| > 2\): kontribusi cukup besar terhadap hubungan

# Pearson residual
pearson_res <- (tab - expected) / sqrt(expected)

# Standardized residual dari output chisq.test
std_res <- chisq.test(tab, correct = FALSE)$stdres

list(
  Pearson_Residual = pearson_res,
  Standardized_Residual = std_res
)
## $Pearson_Residual
##         Democrat Republican Independent
## Female  1.780051  -1.474656  -0.5140388
## Male   -1.983409   1.643125   0.5727640
## 
## $Standardized_Residual
##         Democrat Republican Independent
## Female  3.272365  -2.498557   -1.032199
## Male   -3.272365   2.498557    1.032199

Interpretasi:
Residual menunjukkan kategori mana yang paling menyumbang terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik. Sel dengan residual positif besar menunjukkan kombinasi kategori yang muncul lebih sering daripada yang diharapkan jika tidak ada hubungan, sedangkan residual negatif besar menunjukkan kombinasi yang muncul lebih jarang daripada yang diharapkan.

Secara substantif, jika residual untuk Female-Democrat bernilai positif dan relatif besar, maka perempuan cenderung lebih banyak teridentifikasi sebagai Democrat daripada yang diharapkan pada kondisi independensi. Sebaliknya, jika residual untuk Male-Democrat bernilai negatif, maka laki-laki lebih sedikit teridentifikasi sebagai Democrat daripada yang diharapkan. Pola sejenis dapat dibaca untuk kategori Republican dan Independent.

5. Partisi Chi-Square

Partisi chi-square dilakukan untuk mengidentifikasi bagian mana dari tabel keseluruhan yang paling bertanggung jawab terhadap hubungan yang signifikan.

5.1 Partisi 1: Democrat vs Republican

Tabel partisi pertama:

tab_DR <- tab[, c("Democrat", "Republican")]
tab_DR
##        Democrat Republican
## Female      495        272
## Male        330        265
chisq_DR <- chisq.test(tab_DR, correct = FALSE)
chisq_DR
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab_DR
## X-squared = 11.555, df = 1, p-value = 0.0006758

Interpretasi:
Partisi ini menguji apakah terdapat perbedaan distribusi gender khusus antara kategori Democrat dan Republican. Jika p-value < 0.05, maka hubungan antara gender dan pilihan partai terutama terlihat pada perbedaan antara dua kategori ini.

5.2 Partisi 2: (Democrat + Republican) vs Independent

Tabel partisi kedua:

tab_DI <- cbind(
  DemRep = tab[, "Democrat"] + tab[, "Republican"],
  Independent = tab[, "Independent"]
)

tab_DI
##        DemRep Independent
## Female    767         590
## Male      595         498
chisq_DI <- chisq.test(tab_DI, correct = FALSE)
chisq_DI
## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  tab_DI
## X-squared = 1.0654, df = 1, p-value = 0.302

Interpretasi:
Partisi ini menguji apakah gender berhubungan dengan kecenderungan memilih kelompok partai utama (Democrat + Republican) dibanding Independent. Jika p-value tidak signifikan, maka hubungan gender lebih banyak terjadi dalam perbedaan antara Democrat dan Republican, bukan antara partai utama versus Independent.

6. Perbandingan Hasil Partisi dengan Uji Chi-Square Keseluruhan

hasil_perbandingan <- data.frame(
  Analisis = c("Chi-square keseluruhan",
               "Partisi: Democrat vs Republican",
               "Partisi: (Democrat + Republican) vs Independent"),
  Statistik_Uji = c(as.numeric(uji_chisq$statistic),
                    as.numeric(chisq_DR$statistic),
                    as.numeric(chisq_DI$statistic)),
  df = c(as.numeric(uji_chisq$parameter),
         as.numeric(chisq_DR$parameter),
         as.numeric(chisq_DI$parameter)),
  p_value = c(uji_chisq$p.value,
              chisq_DR$p.value,
              chisq_DI$p.value)
)

hasil_perbandingan
##                                          Analisis Statistik_Uji df      p_value
## 1                          Chi-square keseluruhan     12.569256  2 0.0018647504
## 2                 Partisi: Democrat vs Republican     11.554519  1 0.0006758479
## 3 Partisi: (Democrat + Republican) vs Independent      1.065434  1 0.3019790141

Interpretasi:
Uji chi-square keseluruhan menunjukkan apakah secara umum terdapat hubungan antara gender dan identifikasi partai politik. Namun, partisi chi-square membantu menjelaskan sumber hubungan tersebut.

Jika partisi Democrat vs Republican signifikan, sedangkan partisi (Democrat + Republican) vs Independent tidak signifikan, maka dapat disimpulkan bahwa hubungan utama berasal dari perbedaan gender dalam memilih Democrat vs Republican, bukan dari kecenderungan menjadi Independent. Dengan demikian, hasil partisi memberikan penjelasan yang lebih rinci daripada uji keseluruhan.

7. Kategori yang Paling Berkontribusi terhadap Hubungan

Untuk melihat kategori mana yang paling berkontribusi, residual distandarkan ke bentuk tabel yang lebih mudah dibaca.

round(std_res, 3)
##        Democrat Republican Independent
## Female    3.272     -2.499      -1.032
## Male     -3.272      2.499       1.032

Interpretasi:
Kategori dengan nilai residual absolut terbesar merupakan kategori yang paling berkontribusi terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik.

Secara substantif, pola yang muncul dari data ini adalah:

  • Female-Democrat cenderung memiliki residual positif, artinya jumlah perempuan yang mengidentifikasi diri sebagai Democrat lebih tinggi dari yang diharapkan.

  • Male-Democrat cenderung memiliki residual negatif, artinya laki-laki yang mengidentifikasi diri sebagai Democrat lebih rendah dari yang diharapkan.

  • Female-Republican cenderung memiliki residual negatif, artinya perempuan yang mengidentifikasi diri sebagai Republican lebih rendah dari yang diharapkan.

  • Male-Republican cenderung memiliki residual positif, artinya laki-laki yang mengidentifikasi diri sebagai Republican lebih tinggi dari yang diharapkan.

  • Residual pada kategori Independent biasanya lebih kecil, sehingga kontribusinya terhadap hubungan keseluruhan relatif lebih lemah dibanding dua kategori partai utama.

Dengan demikian, kategori yang paling berkontribusi terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik adalah Democrat dan Republican, bukan Independent.

8. Visualisasi

8.1 Barplot Distribusi Partai Politik berdasarkan Gender

warna_bar <- c("#4E79A7", "#E15759")
barplot(tab,
        beside = TRUE,
        legend.text = TRUE,
        col = warna_bar,
        main = "Distribusi Identifikasi Partai Politik berdasarkan Gender",
        xlab = "Partai Politik",
        ylab = "Frekuensi")

Interpretasi:
Barplot menunjukkan bahwa perempuan cenderung lebih banyak berada pada kategori Democrat dibandingkan laki-laki, dengan perbedaan yang cukup jelas. Sementara itu, pada kategori Republican, jumlah laki-laki dan perempuan relatif hampir sama sehingga tidak menunjukkan perbedaan yang berarti.

Pada kategori Independent, baik laki-laki maupun perempuan sama-sama memiliki jumlah yang besar, sehingga kategori ini tidak memperlihatkan perbedaan yang mencolok antar gender.

Dengan demikian, perbedaan distribusi pilihan partai antara laki-laki dan perempuan terutama berasal dari kategori Democrat, sedangkan kategori Republican dan Independent tidak memberikan kontribusi besar terhadap perbedaan tersebut.

8.2 Mosaic Plot

mosaicplot(tab,
           color = c("#A0CBE8", "#FFBE7D", "#8CD17D", "#F28E8E", "#B6992D", "#D4A6C8"),
           main = "Mosaic Plot: Gender dan Identifikasi Partai Politik",
           xlab = "Gender",
           ylab = "Identifikasi Partai Politik")

Interpretasi:
Mosaic plot memperlihatkan perbedaan komposisi kategori partai politik antara perempuan dan laki-laki. Ketidakseimbangan luas area antar sel menunjukkan bahwa distribusi pilihan partai tidak sama menurut gender, terutama pada kategori Democrat dan Republican.

8.3 Plot Standardized Residual

par(mar = c(10,4,4,2))

res_vals <- as.vector(std_res)
res_cols <- ifelse(res_vals > 0, "#2E86AB", "#E07A5F")

barplot(res_vals,
        names.arg = c("Female-Democrat", "Female-Republican", "Female-Independent",
                      "Male-Democrat", "Male-Republican", "Male-Independent"),
        las = 2,
        cex.names = 0.8,
        col = res_cols,
        main = "Standardized Residual pada Tabel Kontingensi",
        ylab = "Standardized Residual")

abline(h = c(-2, 0, 2), lty = c(2,1,2), col = c("darkgray", "black", "darkgray"))

Interpretasi:
Plot residual memperjelas sel mana yang paling menyimpang dari kondisi independensi. Batang berwarna biru menunjukkan residual positif, sedangkan batang merah menunjukkan residual negatif. Batang yang melewati batas sekitar \(\pm 2\) menunjukkan kategori yang memberikan kontribusi besar terhadap hubungan antara gender dan identifikasi partai politik.

9. Kesimpulan

Berdasarkan analisis tabel kontingensi 2 x 3, diperoleh beberapa temuan utama:

  1. Frekuensi observasi pada beberapa sel berbeda dari frekuensi yang diharapkan jika gender dan identifikasi partai politik saling independen.
  2. Uji chi-square keseluruhan menunjukkan bahwa terdapat hubungan yang signifikan antara gender dan identifikasi partai politik.
  3. Analisis residual menunjukkan bahwa kontribusi terbesar terhadap hubungan tersebut berasal dari kategori Democrat dan Republican.
  4. Hasil partisi chi-square memperlihatkan bahwa hubungan terutama muncul pada perbedaan antara Democrat vs Republican, sedangkan perbedaan antara (Democrat + Republican) dan Independent relatif lebih lemah.
  5. Secara substantif, perempuan cenderung lebih banyak teridentifikasi sebagai Democrat, sedangkan laki-laki cenderung lebih banyak teridentifikasi sebagai Republican.
  6. Temuan ini menunjukkan bahwa gender berperan dalam preferensi politik, terutama dalam pemilihan antara dua partai utama (Democrat dan Republican), sementara kategori Independent relatif tidak terlalu dipengaruhi oleh gender.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa gender berhubungan dengan identifikasi partai politik, dan hubungan tersebut terutama didorong oleh perbedaan kecenderungan antara kategori Democrat dan Republican.