Tugas 2 Pengantar Model Linier

Tugas Mandiri Regresi Linier Berganda

Seorang peneliti ingin menganalisis faktor-faktor yang mempengaruhi nilai ujian mahasiswa (Y). Diduga bahwa nilai ujian dipengaruhi oleh:

• X1 = jumlah jam belajar (jam/minggu)
• X2 = tingkat kehadiran (%)

Data dikumpulkan dari 10 mahasiswa.

---

Input Data

# Input Data
Y <- matrix(c(65, 70, 75, 80, 85, 78, 72, 90, 88, 95), ncol = 1)

X1 <- c(2, 3, 4, 5, 6, 5, 3, 7, 6, 8)
X2 <- c(60, 65, 70, 75, 80, 72, 68, 85, 83, 90)

# Matriks X (dengan intercept)
X <- cbind(1, X1, X2)

---

1. Estimasi Model OLS

# Estimasi beta
beta_hat <- solve(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% Y
beta_hat

##          [,1]
##    16.1360113
## X1  1.1698379
## X2  0.7744891

Persamaan regresi yang diperoleh:

\[\hat{Y} = 16.1360 + 1.1698 \cdot X_1 + 0.7744 \cdot X_2\]

• b0 (Intercept) = 16.1360 adalah nilai ujian mahasiswa ketika jam belajar (X1) dan tingkat kehadiran (X2) bernilai 0.
• b1 = 1.1698: Setiap kenaikan atau penambahan 1 jam belajar per minggu, nilai ujian akan meningkat sebesar 1.1698 poin, dengan asumsi tingkat kehadiran tetap.
• b2 = 0.7744: Setiap kenaikan sebesar 1% tingkat kehadiran, nilai ujian akan meningkat sebesar 0.7744 poin, dengan asumsi jam belajar tetap.

---

2. Uji F dan Uji t Secara Manual

a. Uji F (Simultan)

# Prediksi
Y_hat <- X %*% beta_hat

# Residual
e <- Y - Y_hat

# Rata-rata Y
Y_mean <- mean(Y)

# SST / JKT (Total Sum of Squares)
SST <- sum((Y - Y_mean)^2)

# SSE / JKG (Error Sum of Squares)
SSE <- sum(e^2)

# SSR / JKR (Regression Sum of Squares)
SSR <- SST - SSE

# Parameter
n <- nrow(X)   # n = 10
k <- 2         # jumlah variabel independen

# KTR (Mean Square Regression)
KTR <- SSR / k

# KTG (Mean Square Error)
KTG <- SSE / (n - k - 1)

# F hitung
F_hitung <- KTR / KTG
F_hitung

## [1] 5172.116

Interpretasi:

Diperoleh F hitung = 5172.116 dan dari tabel diperoleh F tabel pada taraf signifikansi 5% = F(2;7;0.05)= 4.74

Keputusan:

karena F hit = 5172.116 > F tabel = 4.74, sehingga H0 ditolak. Artinya secara simultan variabel jam belajar (X1) dan tingkat kehadiran (X2) berpengaruh signifikan terhadap nilai ujian mahasiswa.

b. Uji t (Parsial)

# Varians
XtX_inv <- solve(t(X) %*% X)

# Standard error
SE <- sqrt(diag(KTG * XtX_inv))

# t hitung
t_hit <- beta_hat / SE
t_hit

##         [,1]
##     5.688154
## X1  4.201468
## X2 13.900261

Interpretasi:

Diperoleh nilai t hitung untuk variabel x1 dan x2, dan dari tabel diperoleh t tabel = t(0.025;7) = 2.3646

• variabel X1, nilai t hitung = 4.201468 > t tabel = 2.3646, sehingga signifikan. Artinya, jam belajar berpengaruh nyata terhadap nilai ujian secara parsial.

• variabel X2, nilai t hitung = 13.900261 > t tabel = 2.3646, sehingga signifikan. Hal ini menunjukkan bahwa tingkat kehadiram berpengaruh nyata terhadap nilai ujian secara parsial.

---

3. R² dan Adjusted R² Secara Manual

# Hitung R Square
R2 <- SSR / SST
R2

## [1] 0.9993238

# Hitung Adjusted R Square
Adj_R2 <- 1 - ((SSE / (n - k - 1)) / (SST / (n - 1)))
Adj_R2

## [1] 0.9991305

Interpretasi:

• R² = 0.9993, sebesar 99.93% variasi nilai ujian mahasiswa (Y) mampu dijelaskan oleh variabel jam belajar (X1) dan tingkat kehadiran (X2), sedangkan sisanya 0.07% dijelaskan oleh variabel lain diluar model.
• Adjusted R² = 0.9991, jam belajar (X1) dan tingkat kehadiran (X2) mampu menjelaskan keragaman / variasi dari nilai ujian mahasiswa (Y) sebesar 99.91%, sedangkan sisanya oleh variabel lain diluar model.

---

4. Perbandingan dengan Fungsi lm

# Fungsi lm
model <- lm(Y ~ X1 + X2)
summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 + X2)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.31078 -0.14588 -0.05074  0.04440  0.56237 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 16.13601    2.83677   5.688 0.000744 ***
## X1           1.16984    0.27844   4.201 0.004028 ** 
## X2           0.77449    0.05572  13.900 2.36e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.2834 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9993, Adjusted R-squared:  0.9991 
## F-statistic:  5172 on 2 and 7 DF,  p-value: 8.042e-12

Interpretasi:

Berdasarkan output fungsi lm(), diperoleh nilai koefisien regresi, R², Adjusted R², serta nilai uji F dan uji t yang sama dengan hasil perhitungan manual, yang berarti perhitungan manual yang dilakukan sudah benar.

---

5. Prediksi Nilai Ujian

# Prediksi untuk X1 = 1 jam/minggu, X2 = 100%
X1_baru <- 1
X2_baru <- 100
X_baru  <- matrix(c(1, X1_baru, X2_baru), nrow = 1)

Y_prediksi <- X_baru %*% beta_hat
Y_prediksi

##          [,1]
## [1,] 94.75476

Interpretasi:

Mahasiswa yang hanya belajar 1 jam per minggu namun memiliki tingkat kehadiran 100% diprediksi memperoleh nilai ujian sekitar 94.75. hal ini menunjukkan bahwa tingkat kehadiran memiliki pengaruh terhadap nilai ujian.

---