Jawaban

Berdasarkan perhitungan OLS berbasis matriks menggunakan rumus:

\[\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y\]

Diperoleh nilai koefisien sebagai berikut:

Sehingga model regresi linier berganda yang terbentuk adalah:

\[\hat{Y} = 16{,}1360 + 1{,}1698 \cdot X_1 + 0{,}7745 \cdot X_2\]

Interpretasi Koefisien:

• \(\beta_0 = 16,1360\): Jika jumlah jam belajar (\(X_1\)) dan tingkat kehadiran (\(X_2\)) bernilai 0, maka nilai ujian diprediksi sebesar 16,1360. Secara praktis nilai ini tidak bermakna karena kondisi tersebut tidak realistis, namun tetap diperlukan sebagai konstanta penyeimbang dalam model.

• \(\beta_1 = 1,1698\): Setiap penambahan 1 jam belajar per minggu, nilai ujian mahasiswa diprediksi meningkat sebesar 1,1698 poin, dengan asumsi tingkat kehadiran (\(X_2\)) dianggap konstan.

• \(\beta_2 = 0,7745\): Setiap penambahan 1% tingkat kehadiran, nilai ujian mahasiswa diprediksi meningkat sebesar 0,7745 poin, dengan asumsi jumlah jam belajar (\(X_1\)) dianggap konstan.

Kesimpulan: Kedua variabel memiliki pengaruh positif terhadap nilai ujian mahasiswa. Pengaruh jam belajar (\(\beta_1 = 1{,}17\)) sedikit lebih besar dibandingkan kehadiran (\(\beta_2 = 0{,}77\)) per satu satuan perubahannya. Namun karena satuan \(X_2\) adalah persen (skala 0–100), secara keseluruhan tingkat kehadiran berkontribusi sangat besar terhadap nilai ujian akhir.

Uji F

• Hipotesis Uji
  \(H_0: \beta_1 = \beta_2 = 0\) (Secara simultan, Jumlah jam belajar (jam/minggu) dan Tingkat Kehadiran (%) tidak berpengaruh signifikan terhadap Nilai Ujian).
  \(H_1: \text{Minimal ada satu } \beta_i \neq 0\) (Secara simultan, Jumlah jam belajar (jam/minggu) dan Tingkat Kehadiran (%) tidak berpengaruh signifikan terhadap Nilai Ujian).
  

• Tingkat Signifikansi
  Digunakan taraf nyata \(\alpha = 0,05\) (5%).

• Perhitungan

# Prediksi
Y_hat <- X %*% beta_hat

# Residual
e <- Y - Y_hat

# Rata-rata Y
Y_mean <- mean(Y)

n <- nrow(X)   # jumlah observasi = 10
k <- 2         # jumlah variabel independen

# SST (Total Sum of Squares)
SST <- sum((Y - Y_mean)^2)

# SSE (Error Sum of Squares)
SSE <- sum(e^2)

# SSR (Regression Sum of Squares)
SSR <- SST - SSE

MSR <- SSR / k

MSE <- SSE / (n - k - 1)

# --- Uji F ---
F_Hitung  <- MSR / MSE
F_Hitung

## [1] 5172.116

F_tabel <- qf(0.95, df1 = k, df2 = n - k - 1)
F_tabel

## [1] 4.737414

• Kriteria Pengambilan Keputusan
  Tolak \(H_0\) jika \(F_{hitung} > F_{tabel}\), dan gagal tolak \(H_0\) jika \(F_{hitung} \leq F_{tabel}\).

• Interpretasi Hasil
  Berdasarkan hasil perhitungan diperoleh nilai \(F_{hitung} = 5172,116\) dan \(F_{tabel} = 4,737\) pada taraf nyata \(\alpha = 0{,}05\) dengan \(df_1 = k = 2\) dan \(df_2 = n-k-1 = 7\).
  Karena \(F_{hitung} (5172,116) > F_{tabel} (4,737)\), maka \(H_0\) ditolak.
  

• Kesimpulan
  Artinya, secara simultan jumlah jam belajar (\(X_1\)) dan tingkat kehadiran (\(X_2\)) berpengaruh signifikan terhadap nilai ujian mahasiswa (\(Y\)) pada taraf nyata 5%.

Uji t

• Hipotesis Uji 

  Untuk \(\beta_1\) (Jam Belajar):
  \(H_0: \beta_1 = 0\) (Jumlah jam belajar tidak berpengaruh signifikan secara parsial terhadap nilai ujian)
  \(H_1: \beta_1 \neq 0\) (Jumlah jam belajar berpengaruh signifikan secara parsial terhadap nilai ujian)

  
  Untuk \(\beta_2\) (Tingkat Kehadiran):
  \(H_0: \beta_2 = 0\) (Tingkat kehadiran tidak berpengaruh signifikan secara parsial terhadap nilai ujian)
  \(H_1: \beta_2 \neq 0\) (Tingkat kehadiran berpengaruh signifikan secara parsial terhadap nilai ujian)

• Tingkat Signifikansi  Digunakan taraf nyata \(\alpha = 0,05\) (5%).

• Perhitungan
  

# --- Uji t ---
SE_beta <- sqrt(diag(MSE * solve(t(X) %*% X)))
t_Hitung  <- beta_hat / SE_beta
t_Hitung

##         [,1]
##     5.688154
## X1  4.201468
## X2 13.900261

t_tabel <- qt(0.975, df = n - k - 1)
t_tabel

## [1] 2.364624

• Kriteria Pengambilan Keputusan  Tolak \(H_0\) jika \(|t_{hitung}| > t_{tabel}\), dan gagal tolak \(H_0\) jika \(|t_{hitung}| \leq t_{tabel}\).

• Interpretasi Hasil 
  Intercept (\(\beta_0\)): Nilai \(t_{hitung} = 5{,}6882 > t_{tabel} = 2,3646\), maka \(H_0\) ditolak.

  
  Jam Belajar (\(X_1\)): Nilai \(t_{hitung} = 4{,}2015 > t_{tabel} = 2,3646\), maka \(H_0\) ditolak.
  Artinya, jumlah jam belajar berpengaruh signifikan secara parsial terhadap nilai ujian mahasiswa pada taraf nyata 5%. Setiap penambahan 1 jam belajar per minggu akan meningkatkan nilai ujian sebesar 1,1698 poin, dengan asumsi tingkat kehadiran konstan.

  
  Tingkat Kehadiran (\(X_2\)): Nilai \(t_{hitung} = 13{,}9003 > t_{tabel} = 2,3646\), maka \(H_0\) ditolak.
  Artinya, tingkat kehadiran berpengaruh signifikan secara parsial terhadap nilai ujian mahasiswa pada taraf nyata 5%. Setiap penambahan 1% tingkat kehadiran akan meningkatkan nilai ujian sebesar 0,7745 poin, dengan asumsi jumlah jam belajar konstan.

• Kesimpulan
  Artinya, Secara parsial, baik jumlah jam belajar (\(X_1\)) maupun tingkat kehadiran (\(X_2\)) masing-masing berpengaruh signifikan terhadap nilai ujian mahasiswa (\(Y\)) pada taraf nyata \(\alpha = 5\%\).