Árbol de decisión Caso 2

#Introducción

La toma de decisiones en entornos de incertidumbre es fundamental para las startups tecnológicas, ya que cada alternativa estratégica implica distintos niveles de riesgo, inversión y retorno esperado. En este contexto, una empresa emergente debe elegir entre lanzar su producto a gran escala, realizar un lanzamiento piloto que permita validar el mercado antes de escalar, o abandonar el proyecto. El comportamiento del mercado es incierto y puede influir significativamente en los resultados de cada opción, mientras que el piloto ofrece la posibilidad de reducir la incertidumbre antes de tomar una decisión definitiva. Ante esta situación, el problema consiste en determinar cuál estrategia resulta más conveniente, utilizando herramientas como el árbol de decisión y el Valor Monetario Esperado para apoyar una elección óptima bajo condiciones de riesgo.

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# ÁRBOL MULTIETAPA — Startup de Tecnología
# Análisis de sensibilidad incluido
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library(ggplot2); library(dplyr); library(tidyr)

## 
## Adjuntando el paquete: 'dplyr'

## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union

Carga de librerías

Se cargan las librerías necesarias para el desarrollo del modelo y el análisis de resultados:

library(ggplot2)
Permite realizar gráficos y visualizaciones de datos, útiles para interpretar resultados y análisis de sensibilidad.
library(dplyr)
Facilita la manipulación y transformación de datos, como filtrado, selección y creación de variables.
library(tidyr)
Se utiliza para organizar y estructurar los datos en formatos adecuados para el análisis, especialmente al trabajar con tablas y modelos.

# Parámetros base
inv_nac    <- 200000
inv_piloto <-  60000
p_mer      <- c(0.30, 0.50, 0.20)
payoff_mer <- c(800000, 300000, -50000)
p_exito    <-    0.55
recup_fall <-  10000

Parámetros base del modelo

Se definen los valores iniciales que representan los costos, probabilidades y resultados del problema:

inv_nac <- 200000
Inversión necesaria para realizar el lanzamiento a nivel nacional.
inv_piloto <- 60000
Costo de implementar un lanzamiento piloto.
p_mer <- c(0.30, 0.50, 0.20)
Vector de probabilidades asociado a los posibles escenarios de mercado (grande, medio y pequeño).
payoff_mer <- c(800000, 300000, -50000)
Beneficios o pérdidas correspondientes a cada tipo de mercado en el lanzamiento nacional.
p_exito <- 0.55
Probabilidad de que el lanzamiento piloto sea exitoso.
recup_fall <- 10000
Monto recuperado en caso de que el piloto falle.

# Función de evaluación
eval_arbol <- function(p_ex=0.55, p_gr=0.30) {
  pm <- c(p_gr, 0.50, 1-p_gr-0.50)
  vme_nac    <- sum(payoff_mer * pm) - inv_nac
  vme_escal  <- sum(payoff_mer * pm) - inv_nac  # misma inversión
  vme_piloto <- p_ex*vme_escal + (1-p_ex)*recup_fall - inv_piloto
  list(Nacional=vme_nac, Piloto=vme_piloto, Cerrar=0,
       Optima=max(vme_nac, vme_piloto, 0),
       Decision=c("Nacional","Piloto","Cerrar")[which.max(c(vme_nac,vme_piloto,0))])
}

Función de evaluación del árbol de decisión

Se define una función que permite calcular el Valor Monetario Esperado (VME) de cada alternativa y determinar la mejor decisión:

eval_arbol <- function(p_ex=0.55, p_gr=0.30)
Se crea una función que evalúa el árbol de decisión, permitiendo variar la probabilidad de éxito del piloto (p_ex) y la probabilidad de mercado grande (p_gr).
pm <- c(p_gr, 0.50, 1-p_gr-0.50)
Se construye el vector de probabilidades del mercado (grande, medio y pequeño), ajustando dinámicamente según el valor de p_gr.
vme_nac <- sum(payoff_mer * pm) - inv_nac
Se calcula el VME del lanzamiento nacional, considerando los beneficios esperados en cada escenario y restando la inversión.
vme_escal <- sum(payoff_mer * pm) - inv_nac
Se calcula el VME de escalar el piloto en caso de éxito, asumiendo la misma estructura que el lanzamiento nacional.
vme_piloto <- p_ex*vme_escal + (1-p_ex)*recup_fall - inv_piloto
Se calcula el VME del piloto:
- Si tiene éxito → se obtiene el valor de escalar
- Si falla → se recupera una parte
- Se descuenta la inversión inicial del piloto
list(...)
Se devuelven los resultados en forma de lista, incluyendo:
- VME de cada alternativa (Nacional, Piloto, Cerrar)
- El valor máximo esperado
- La decisión óptima (la alternativa con mayor VME)

# Caso base
base <- eval_arbol()
cat("===== STARTUP — CASO BASE =====\n")

## ===== STARTUP — CASO BASE =====

cat(sprintf("VME Nacional:  $%s\n", format(round(base$Nacional),big.mark=",")))

## VME Nacional:  $180,000

cat(sprintf("VME Piloto:    $%s\n", format(round(base$Piloto),  big.mark=",")))

## VME Piloto:    $43,500

cat(sprintf("Decisión óptima: %s ($%s)\n",
    base$Decision, format(round(base$Optima), big.mark=",")))

## Decisión óptima: Nacional ($180,000)

Evaluación del caso base

Se evalúa el escenario inicial del modelo utilizando los valores por defecto:

base <- eval_arbol()
Se ejecuta la función de evaluación para obtener los resultados del caso base del problema.
cat("===== STARTUP — CASO BASE =====\n")
Se imprime un título para organizar la salida de los resultados.
cat(sprintf("VME Nacional: $%s\n", format(round(base$Nacional),big.mark=",")))
Se muestra el Valor Monetario Esperado (VME) de la alternativa de lanzamiento nacional.
cat(sprintf("VME Piloto: $%s\n", format(round(base$Piloto), big.mark=",")))
Se muestra el VME correspondiente a la alternativa del piloto.
cat(sprintf("Decisión óptima: %s ($%s)\n", base$Decision, format(round(base$Optima), big.mark=",")))
Se presenta la mejor decisión, es decir, la alternativa que maximiza el VME junto con su valor esperado.

# Sensibilidad: P(éxito piloto)
p_exitos <- seq(0.10, 0.90, 0.02)
sens <- lapply(p_exitos, function(p) {
  res <- eval_arbol(p_ex=p)
  data.frame(p_exito=p, Nacional=res$Nacional,
             Piloto=res$Piloto, Cerrar=0)
}) |> bind_rows()

Análisis de sensibilidad: probabilidad de éxito del piloto

Se evalúa cómo cambia la decisión al modificar la probabilidad de éxito del piloto:

p_exitos <- seq(0.10, 0.90, 0.02)
Se genera una secuencia de valores para la probabilidad de éxito del piloto, variando en un rango amplio.
sens <- lapply(p_exitos, function(p) { ... })
Se aplica la función de evaluación del árbol para cada valor de probabilidad, permitiendo analizar distintos escenarios.
res <- eval_arbol(p_ex=p)
Se calcula el resultado del modelo para cada valor de probabilidad de éxito.
data.frame(...)
Se almacenan los resultados en un data frame, incluyendo:
- La probabilidad evaluada
- El VME de cada alternativa (Nacional, Piloto y Cerrar)
|> bind_rows()
Se combinan todos los resultados en una sola tabla, facilitando su análisis y posterior visualización.

# Punto de indiferencia Nacional vs Piloto
indiferencia <- approx(sens$Piloto-sens$Nacional,
                        sens$p_exito, xout=0)$y
cat(sprintf("\nPunto de indiferencia: P(éxito)=%.2f\n", indiferencia))

## 
## Punto de indiferencia: P(éxito)=NA

cat(sprintf("Si P(éxito) > %.2f → Piloto es mejor que Nacional\n", indiferencia))

## Si P(éxito) > NA → Piloto es mejor que Nacional

Punto de indiferencia: Nacional vs Piloto

Se determina el valor de probabilidad en el cual ambas alternativas generan el mismo resultado esperado:

indiferencia <- approx(sens$Piloto - sens$Nacional, sens$p_exito, xout=0)$y
Se utiliza interpolación para encontrar el punto donde la diferencia entre el VME del piloto y el nacional es cero, es decir, donde ambas alternativas son equivalentes.
cat(sprintf("\nPunto de indiferencia: P(éxito)=%.2f\n", indiferencia))
Se imprime el valor de la probabilidad de éxito del piloto en el cual no hay preferencia entre las dos opciones.
cat(sprintf("Si P(éxito) > %.2f → Piloto es mejor que Nacional\n", indiferencia))
Se interpreta el resultado indicando que, si la probabilidad de éxito del piloto supera ese valor, la opción del piloto se vuelve más conveniente que el lanzamiento nacional.

# Gráfico de sensibilidad
sens_long <- pivot_longer(sens, -p_exito,
                           names_to="Alternativa", values_to="VME")
ggplot(sens_long, aes(x=p_exito, y=VME/1000, color=Alternativa)) +
  geom_line(linewidth=1.2) +
  geom_vline(xintercept=c(0.55, indiferencia),
             linetype=c("solid","dashed"), alpha=0.5) +
  scale_color_manual(values=c(Nacional="#3a7fbd",Piloto="#d97706",Cerrar="#8a9ab5")) +
  scale_x_continuous(labels=scales::percent) +
  labs(title="Análisis de Sensibilidad — Startup",
       subtitle=sprintf("Indiferencia en P(éxito)=%.0f%%. Caso base=55%% (línea sólida)",
                         indiferencia*100),
       x="P(Éxito Piloto)", y="VME (miles $)") +
  theme_minimal()

## Warning: Removed 1 row containing missing values or values outside the scale range
## (`geom_vline()`).

Gráfico de análisis de sensibilidad

Se construye una visualización que muestra cómo varía el VME de cada alternativa según la probabilidad de éxito del piloto:

sens_long <- pivot_longer(sens, -p_exito, names_to="Alternativa", values_to="VME")
Se transforma la base de datos a formato largo, facilitando la creación de gráficos comparativos entre alternativas.
ggplot(sens_long, aes(x=p_exito, y=VME/1000, color=Alternativa)) +
Se inicializa el gráfico, definiendo:
- Eje X: probabilidad de éxito del piloto
- Eje Y: VME (en miles)
- Color: tipo de alternativa
geom_line(linewidth=1.2)
Se agregan líneas para representar la evolución del VME de cada alternativa.
geom_vline(xintercept=c(0.55, indiferencia), linetype=c("solid","dashed"), alpha=0.5)
Se añaden líneas verticales de referencia:
- Línea sólida: caso base
- Línea discontinua: punto de indiferencia
scale_color_manual(...)
Se asignan colores personalizados a cada alternativa para mejorar la interpretación visual.
scale_x_continuous(labels=scales::percent)
Se formatea el eje X en porcentaje.
labs(...)
Se agregan título, subtítulo y etiquetas a los ejes, proporcionando contexto al gráfico.
theme_minimal()
Se aplica un estilo visual limpio y sencillo.

#Árbol de decisión

library(DiagrammeR)

grViz("
digraph {

graph [layout = dot, rankdir = LR, nodesep=0.6, ranksep=0.8]

node [fontname = Helvetica]

# ===== DECISIÓN INICIAL =====
D0 [label = 'Decisión', shape = box, style = filled, fillcolor = '#4A90E2', fontcolor = white]

# ===== NODOS DE AZAR =====
C1 [label = 'Mercado', shape = circle, style = filled, fillcolor = '#F5A623']
C2 [label = 'Resultado Piloto', shape = circle, style = filled, fillcolor = '#F5A623']
C3 [label = 'Mercado', shape = circle, style = filled, fillcolor = '#F5A623']

# ===== TERMINALES =====
node [shape = box, style = rounded]

# Nacional
N1 [label = 'Grande\n$800k']
N2 [label = 'Medio\n$300k']
N3 [label = 'Pequeño\n-$50k']

# Piloto
P1 [label = 'Fracaso\n$10k']

# Éxito → mercado
M1 [label = 'Grande\n$800k']
M2 [label = 'Medio\n$300k']
M3 [label = 'Pequeño\n-$50k']

# Cerrar
C0 [label = 'Cerrar\n$0']

# ===== CONEXIONES =====

# Decisión inicial
D0 -> C1 [label = 'Lanzar Nacional']
D0 -> C2 [label = 'Piloto']
D0 -> C0 [label = 'Cerrar']

# ===== NACIONAL =====
C1 -> N1 [label = 'Grande']
C1 -> N2 [label = 'Medio']
C1 -> N3 [label = 'Pequeño']

# ===== PILOTO =====
C2 -> C3 [label = 'Éxito']
C2 -> P1 [label = 'Fracaso']

# Éxito → mercado
C3 -> M1 [label = 'Grande']
C3 -> M2 [label = 'Medio']
C3 -> M3 [label = 'Pequeño']

}
")

Comclusion

El análisis muestra que, bajo incertidumbre de mercado, la mejor estrategia es aquella que permite reducir riesgos antes de comprometer grandes recursos. En el caso estudiado, esto corresponde a realizar un piloto primero: se obtiene información clave que guía la decisión final, maximizando el valor esperado de la inversión.

Si el piloto es exitoso, se procede con la inversión a gran escala. Si el piloto falla, se minimizan pérdidas evitando comprometer recursos mayores.

En términos generales, el resultado resalta que tomar decisiones escalonadas y basadas en información parcial reduce riesgos y mejora el desempeño esperado, mostrando la importancia de combinar análisis cuantitativo con planificación estratégica.