In diesen Aufgaben bestimmen wir jeweils eine Stammfunktion \(F(x)\) für die gegebenen Funktionen \(f(x)\).
Die wichtigste Regel hierbei ist die Potenzregel der Integration: Ist \(f(x) = x^n\), dann ist \(F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}\) (für \(n \neq -1\)).
Gegeben: \(f(x) = 5(x^2 + 2x - 1)\)
Schritt 1: Ausmultiplizieren \[f(x) = 5x^2 + 10x - 5\]
Schritt 2: Stammfunktion bilden Wir integrieren jeden Summanden einzeln: - \(5x^2 \rightarrow 5 \cdot \frac{1}{3}x^3 = \frac{5}{3}x^3\) - \(10x \rightarrow 10 \cdot \frac{1}{2}x^2 = 5x^2\) - \(-5 \rightarrow -5x\)
Ergebnis: \[F(x) = \frac{5}{3}x^3 + 5x^2 - 5x\]
Gegeben: \(f(x) = \frac{1}{2}(x^2 - 1)\)
Schritt 1: Ausmultiplizieren \[f(x) = \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{2}\]
Schritt 2: Stammfunktion bilden - \(\frac{1}{2}x^2 \rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}x^3 = \frac{1}{6}x^3\) - \(-\frac{1}{2} \rightarrow -\frac{1}{2}x\)
Ergebnis: \[F(x) = \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x\]
Gegeben: \(f(x) = x \cdot (x^2 - 1)\)
Schritt 1: Ausmultiplizieren \[f(x) = x^3 - x\]
Schritt 2: Stammfunktion bilden - \(x^3 \rightarrow \frac{1}{4}x^4\) - \(-x \rightarrow -\frac{1}{2}x^2\)
Ergebnis: \[F(x) = \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2\]
Gegeben: \(f(x) = x \cdot (x^3 - 2)\)
Schritt 1: Ausmultiplizieren \[f(x) = x^4 - 2x\]
Schritt 2: Stammfunktion bilden - \(x^4 \rightarrow \frac{1}{5}x^5\) - \(-2x \rightarrow -2 \cdot \frac{1}{2}x^2 = -x^2\)
Ergebnis: \[F(x) = \frac{1}{5}x^5 - x^2\]
Gegeben: \(f(x) = x^2 \cdot (x + 1)\)
Schritt 1: Ausmultiplizieren \[f(x) = x^3 + x^2\]
Schritt 2: Stammfunktion bilden - \(x^3 \rightarrow \frac{1}{4}x^4\) - \(x^2 \rightarrow \frac{1}{3}x^3\)
Ergebnis: \[F(x) = \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3\]
Gegeben: \(f(x) = x^4 \cdot (x^2 - 4)\)
Schritt 1: Ausmultiplizieren \[f(x) = x^6 - 4x^4\]
Schritt 2: Stammfunktion bilden - \(x^6 \rightarrow \frac{1}{7}x^7\) - \(-4x^4 \rightarrow -4 \cdot \frac{1}{5}x^5 = -\frac{4}{5}x^5\)
Ergebnis: \[F(x) = \frac{1}{7}x^7 - \frac{4}{5}x^5\]