Einleitung

In diesen Aufgaben bestimmen wir das Integral nicht über die Stammfunktion, sondern durch die Geometrie. * Flächen oberhalb der x-Achse zählen positiv. * Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ.

https://www.geogebra.org/calculator/mbyadeqm

Aufgabe a) \(\int_{-3}^{4} 3 \, dx\)

1. Skizze & Form:
Die Funktion \(f(x) = 3\) ist eine horizontale Gerade. Zwischen \(x = -3\) und \(x = 4\) bildet sie mit der x-Achse ein Rechteck.

2. Berechnung:
- Breite (\(b\)): \(4 - (-3) = 7\)
- Höhe (\(h\)): \(3\)
- Fläche (\(A\)): \(7 \cdot 3 = 21\)

Ergebnis: \(\int_{-3}^{4} 3 \, dx = 21\)

Aufgabe b) \(\int_{0}^{4} x \, dx\)

1. Skizze & Form:
Die Funktion \(f(x) = x\) startet im Ursprung \((0|0)\) und geht bis zum Punkt \((4|4)\). Dies bildet ein rechtwinkliges Dreieck.

2. Berechnung:
- Grundseite (\(g\)): \(4 - 0 = 4\)
- Höhe (\(h\)): \(f(4) = 4\)
- Fläche (\(A\)): \(\frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\)

Ergebnis: \(\int_{0}^{4} x \, dx = 8\)

Aufgabe c) \(\int_{2}^{6} \frac{1}{2}x \, dx\)

1. Skizze & Form:
Die Fläche liegt zwischen \(x=2\) und \(x=6\). Es handelt sich um ein Trapez (oder ein großes Dreieck minus ein kleines Dreieck).

2. Berechnung (als Trapez):
- Höhe des Trapezes (Abstand auf der x-Achse): \(6 - 2 = 4\)
- Linke Seite (\(a\)): \(f(2) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1\)
- Rechte Seite (\(c\)): \(f(6) = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\)
- Fläche (\(A\)): \(\frac{a + c}{2} \cdot h = \frac{1 + 3}{2} \cdot 4 = 2 \cdot 4 = 8\)

Ergebnis: \(\int_{2}^{6} \frac{1}{2}x \, dx = 8\)

Aufgabe d) \(\int_{-1}^{2} (-2x) \, dx\)

1. Skizze & Form:
Hier gibt es zwei Teilflächen, da die Funktion \(f(x) = -2x\) bei \(x=0\) die Achse schneidet. - Teil 1 (\(x \in [-1, 0]\)): Dreieck oberhalb der x-Achse (positiv). - Teil 2 (\(x \in [0, 2]\)): Dreieck unterhalb der x-Achse (negativ).

2. Berechnung:
- \(A_1\): Grundseite \(1\), Höhe \(f(-1) = 2 \rightarrow \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1\)
- \(A_2\): Grundseite \(2\), Tiefe \(f(2) = -4 \rightarrow \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-4) = -4\)
- Gesamt: \(1 + (-4) = -3\)

Ergebnis: \(\int_{-1}^{2} (-2x) \, dx = -3\)

Aufgabe e) \(\int_{-1}^{6} (x - 3) \, dx\)

1. Skizze & Form:
Nullstelle bei \(x=3\). - Links (\(x \in [-1, 3]\)): Dreieck unterhalb der x-Achse. - Rechts (\(x \in [3, 6]\)): Dreieck oberhalb der x-Achse.

2. Berechnung:
- \(A_{unten}\): Grundseite \(3 - (-1) = 4\), Tiefe \(f(-1) = -4 \rightarrow \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot (-4) = -8\)
- \(A_{oben}\): Grundseite \(6 - 3 = 3\), Höhe \(f(6) = 3 \rightarrow \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,5\)
- Gesamt: \(-8 + 4,5 = -3,5\)

Ergebnis: \(\int_{-1}^{6} (x - 3) \, dx = -3,5\)

Aufgabe f) \(\int_{-2}^{4} (2 - x) \, dx\)

1. Skizze & Form:
Nullstelle bei \(x=2\). - Links (\(x \in [-2, 2]\)): Dreieck oberhalb. - Rechts (\(x \in [2, 4]\)): Dreieck unterhalb.

2. Berechnung:
- \(A_{oben}\): Grundseite \(2 - (-2) = 4\), Höhe \(f(-2) = 2 - (-2) = 4 \rightarrow \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8\)
- \(A_{unten}\): Grundseite \(4 - 2 = 2\), Tiefe \(f(4) = 2 - 4 = -2 \rightarrow \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-2) = -2\)
- Gesamt: \(8 - 2 = 6\)

Ergebnis: \(\int_{-2}^{4} (2 - x) \, dx = 6\)