Con Mi Profe: Julio Hurtado Marquez; EMAIL_TAREAS: juliohurtado210307@gmail.com
Aquí tienes la solución completa en Markdown para los ejemplos de diseños factoriales, integrando el análisis teórico con los códigos en R y Python.
1 📌 DISEÑOS FACTORIALES
🔍 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES
Es frecuente que en muchos procesos existan varios factores de los que es necesario investigar de manera simultánea su influencia sobre una o varias variables de respuesta. Los diseños experimentales que permiten estudiar de manera simultánea el efecto de varios factores son los llamados diseños factoriales.
El objetivo de un diseño factorial es estudiar el efecto de varios factores sobre una o varias respuestas y determinar una combinación de niveles de ellos en la cual el desempeño del proceso sea mejor que en las condiciones de operación actuales.
📌 Definición: Un diseño de experimentos factorial o arreglo factorial es el conjunto de puntos experimentales o tratamientos que pueden formarse considerando todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores.
2 📌 DISEÑO FACTORIAL \(2^2\)
📊 DISEÑO FACTORIAL \(2^2\)
Supongamos que se tienen dos factores A: tiempo y B: velocidad, cada uno con dos niveles (bajo y alto):
- A₁ = 3 min, A₂ = 6 min
- B₁ = 600 rpm, B₂ = 1000 rpm
La respuesta de interés (Y) es la cantidad de aditivo. En la tabla se muestran los cuatro tratamientos del diseño factorial \(2^2\) con los resultados de la primera réplica.
| A: Tiempo | B: Velocidad | Y | Notación |
|---|---|---|---|
| A₁ (3 min) | B₁ (600 rpm) | 17.10 | (1) |
| A₂ (6 min) | B₁ (600 rpm) | 16.26 | a |
| A₁ (3 min) | B₂ (1000 rpm) | 18.76 | b |
| A₂ (6 min) | B₂ (1000 rpm) | 18.16 | ab |
2.1 📌 Solución analítica
2.1.1 Cálculo de efectos principales
Efecto principal de A (tiempo):
\[Efecto\ A = \frac{16.26 + 18.16}{2} - \frac{17.10 + 18.76}{2} = \frac{34.42}{2} - \frac{35.86}{2} = 17.21 - 17.93 = -0.72\]
Efecto principal de B (velocidad):
\[Efecto\ B = \frac{18.76 + 18.16}{2} - \frac{17.10 + 16.26}{2} = \frac{34.92}{2} - \frac{33.36}{2} = 17.46 - 16.68 = 0.78 \text{ (corregido: } 1.78\text{)}\]
Nota: El cálculo correcto del efecto B es: \[Efecto\ B = \frac{18.76 + 18.16}{2} - \frac{17.10 + 16.26}{2} = 18.46 - 16.68 = 1.78\]
Efecto de interacción AB:
\[AB = \frac{17.10 + 18.16}{2} - \frac{16.26 + 18.76}{2} = \frac{35.26}{2} - \frac{35.02}{2} = 17.63 - 17.51 = 0.12\]
2.2 Interpretación de los efectos
- El efecto de A es negativo (-0.72), lo que indica que al aumentar el tiempo de 3 a 6 minutos, la cantidad de aditivo disminuye en promedio 0.72 unidades.
- El efecto de B es positivo (1.78), indicando que al aumentar la velocidad de 600 a 1000 rpm, la cantidad de aditivo aumenta en promedio 1.78 unidades.
- La interacción AB es pequeña (0.12), sugiriendo que los efectos de A y B son aproximadamente independientes.
2.3 💻 EJEMPLO: DISEÑO FACTORIAL 2^2 - Código en R y Python
2.3.1 📌 Resultados del ANOVA
| Fuente | SC | gl | CM | F₀ | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| Tiempo (A) | 0.5184 | 1 | 0.5184 | - | - |
| Velocidad (B) | 3.1684 | 1 | 3.1684 | - | - |
| Interacción AB | 0.0144 | 1 | 0.0144 | - | - |
| Error | - | 0 | - | - | - |
Nota: Con una sola réplica no es posible estimar el error experimental, por lo que no se pueden calcular los valores F ni los valores-p. Se requieren al menos 2 réplicas para estimar la varianza del error.
3 📌 DISEÑO FACTORIAL \(4 \times 3\)
🔧 EJEMPLO: DISEÑO FACTORIAL \(4 \times 3\) (ACABADO DE METAL)
Se quiere estudiar el efecto de los factores velocidad de alimentación y profundidad de corte sobre el acabado de un metal. Se decide correr un factorial completo \(4 \times 3\) con tres réplicas.
Factores:
- A: Profundidad (pulgadas) - 4 niveles: 0.15, 0.18, 0.21, 0.24
- B: Velocidad - 3 niveles: 0.20, 0.25, 0.30
- Respuesta Y: Acabado (unidades de gramos, a minimizar)
| A: Profundidad | B: Velocidad | Y_{i··} | ||
|---|---|---|---|---|
| 0.20 | 0.25 | 0.30 | ||
| 0.15 | 74 | 92 | 99 | 763 |
| 64 | 86 | 98 | ||
| 60 | 88 | 102 | ||
| 0.18 | 79 | 98 | 104 | 808 |
| 68 | 104 | 99 | ||
| 73 | 88 | 95 | ||
| 0.21 | 82 | 99 | 108 | 881 |
| 88 | 108 | 110 | ||
| 92 | 95 | 99 | ||
| 0.24 | 99 | 104 | 114 | 944 |
| 104 | 110 | 111 | ||
| 96 | 99 | 107 | ||
| Y_{·j·} | 979 | 1171 | 1246 | 3396 |
3.1 📌 Solución analítica
3.1.1 Cálculo de sumas de cuadrados
- Número de observaciones: \(N = a \times b \times n = 4 \times 3 \times 3 = 36\)
- Gran total: \(Y_{\cdot\cdot\cdot} = 3396\)
- Corrección: \(C = \frac{3396^2}{36} = \frac{11532816}{36} = 320356\)
Suma total de cuadrados:
\[SCT = \sum Y_{ijk}^2 - C = 326888 - 320356 = 6532.0\]
Suma de cuadrados de A (profundidad):
\[SCA = \frac{763^2 + 808^2 + 881^2 + 944^2}{3 \times 3} - C\] \[SCA = \frac{581969 + 652864 + 776161 + 891136}{9} - 320356\] \[SCA = \frac{2902130}{9} - 320356 = 322458.9 - 320356 = 2125.1\]
Suma de cuadrados de B (velocidad):
\[SCB = \frac{979^2 + 1171^2 + 1246^2}{4 \times 3} - C\] \[SCB = \frac{958441 + 1371241 + 1552516}{12} - 320356\] \[SCB = \frac{3882198}{12} - 320356 = 323516.5 - 320356 = 3160.5\]
Suma de cuadrados de interacción AB:
\[SCAB = \sum \frac{Y_{ij\cdot}^2}{n} - C - SCA - SCB\]
Los totales \(Y_{ij\cdot}\) son: - (0.15,0.20): 74+64+60=198 - (0.15,0.25): 92+86+88=266 - (0.15,0.30): 99+98+102=299 - (0.18,0.20): 79+68+73=220 - (0.18,0.25): 98+104+88=290 - (0.18,0.30): 104+99+95=298 - (0.21,0.20): 82+88+92=262 - (0.21,0.25): 99+108+95=302 - (0.21,0.30): 108+110+99=317 - (0.24,0.20): 99+104+96=299 - (0.24,0.25): 104+110+99=313 - (0.24,0.30): 114+111+107=332
\[\sum \frac{Y_{ij\cdot}^2}{3} = \frac{198^2+266^2+299^2+220^2+290^2+298^2+262^2+302^2+317^2+299^2+313^2+332^2}{3}\] \[= \frac{39204+70756+89401+48400+84100+88804+68644+91204+100489+89401+97969+110224}{3}\] \[= \frac{967596}{3} = 322532\]
\[SCAB = 322532 - 320356 - 2125.1 - 3160.5 = 557.07\]
Suma de cuadrados del error:
\[SCE = SCT - SCA - SCB - SCAB = 6532.0 - 2125.1 - 3160.5 - 557.07 = 689.33\]
3.2 📊 Tabla ANOVA
| Fuente | SC | gl | CM | F₀ | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| B: Velocidad | 3160.5 | 2 | 1580.25 | 55.02 | 0.0000 |
| A: Profundidad | 2125.1 | 3 | 708.37 | 24.66 | 0.0000 |
| AB: Interacción | 557.07 | 6 | 92.84 | 3.23 | 0.018 |
| Error | 689.33 | 24 | 28.72 | - | - |
| Total | 6532.0 | 35 | - | - | - |
3.3 📌 Comparaciones múltiples con interacción
Para comparar los niveles de profundidad dentro de un nivel específico de velocidad (por ejemplo, velocidad = 0.25):
Medias muestrales en velocidad 0.25: - Profundidad 0.15: \(\bar{Y}_{12\cdot} = 266/3 = 88.67\) - Profundidad 0.18: \(\bar{Y}_{22\cdot} = 290/3 = 96.67\) - Profundidad 0.21: \(\bar{Y}_{32\cdot} = 302/3 = 100.67\) - Profundidad 0.24: \(\bar{Y}_{42\cdot} = 313/3 = 104.33\)
Cálculo de LSD: \[LSD = t_{\alpha/2, gl_{error}} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot CME}{n}} = t_{0.025,24} \cdot \sqrt{\frac{2 \times 28.72}{3}}\]
\[t_{0.025,24} = 2.064\] \[LSD = 2.064 \cdot \sqrt{\frac{57.44}{3}} = 2.064 \cdot \sqrt{19.147} = 2.064 \cdot 4.376 = 9.03\]
Comparaciones: - |88.67 - 96.67| = 8.00 < 9.03 → No significativa - |88.67 - 100.67| = 12.00 > 9.03 → Significativa - |88.67 - 104.33| = 15.66 > 9.03 → Significativa - |96.67 - 100.67| = 4.00 < 9.03 → No significativa - |96.67 - 104.33| = 7.66 < 9.03 → No significativa - |100.67 - 104.33| = 3.66 < 9.03 → No significativa
Conclusión: En el nivel de velocidad intermedia (0.25), las tres profundidades mayores (0.18, 0.21, 0.24) son estadísticamente iguales, mientras que la profundidad menor (0.15) es diferente.
3.4 📌 Conclusiones del estudio
✅ Conclusiones
- Velocidad (B): El ANOVA muestra un valor-p = 0.0000 < 0.05, por lo tanto la velocidad tiene un efecto significativo sobre el acabado del metal.
- Profundidad (A): El valor-p = 0.0000 < 0.05, indicando que la profundidad también tiene un efecto significativo.
- Interacción AB: El valor-p = 0.018 < 0.05, lo que indica que existe interacción significativa entre la profundidad y la velocidad. Esto significa que el efecto de la profundidad depende del nivel de velocidad, y viceversa.
- Para minimizar el acabado (menor valor es mejor), la combinación óptima es velocidad baja (0.20) y profundidad baja (0.15), que produce el menor acabado medio (66.0 unidades).
- La interacción significativa se refleja en el gráfico de perfil: las líneas no son paralelas, especialmente en el nivel intermedio de velocidad donde las tres profundidades mayores son estadísticamente iguales.
📌 Recomendaciones prácticas
- Para obtener el mejor acabado (mínimo valor), operar con velocidad = 0.20 y profundidad = 0.15.
- Si por razones operativas no es posible usar velocidad baja, se recomienda usar velocidad = 0.25 con profundidad = 0.15, que produce un acabado medio de 88.67.
- Evitar trabajar con velocidad alta (0.30) ya que produce los peores acabados en todas las profundidades.
📊 “Los diseños factoriales permiten estudiar simultáneamente múltiples factores y sus interacciones, proporcionando una visión completa del proceso”
— Adaptado de Sir Ronald A. Fisher
4 📌 DISEÑOS FACTORIALES CON TRES FACTORES
🔍 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS FACTORIALES CON TRES FACTORES
Cuando se tienen tres factores (A, B y C) y el número de niveles de prueba en cada uno de ellos son \(a\), \(b\) y \(c\), se puede construir el arreglo factorial \(a \times b \times c\) que consiste de \(a \times b \times c\) tratamientos o puntos experimentales. Entre los arreglos de este tipo que se utilizan con frecuencia en aplicaciones diversas se encuentran:
- El factorial \(2^3\) (tres factores con dos niveles cada uno)
- El factorial \(3^3\) (tres factores con tres niveles cada uno)
- Factoriales mixtos como \(4 \times 3 \times 3\) o \(4 \times 4 \times 2\)
4.1 📌 MODELO ESTADÍSTICO PARA TRES FACTORES
📊 MODELO ESTADÍSTICO
En un diseño factorial \(a \times b \times c\) se supone que el comportamiento de la respuesta \(Y\) puede describirse mediante el modelo de efectos dado por:
\[Y_{ijkl} = \mu + \alpha_i + \beta_j + \gamma_k + (\alpha\beta)_{ij} + (\alpha\gamma)_{ik} + (\beta\gamma)_{jk} + (\alpha\beta\gamma)_{ijk} + \varepsilon_{ijkl}\]
donde:
- \(i = 1, 2, \ldots, a\) (niveles del factor A)
- \(j = 1, 2, \ldots, b\) (niveles del factor B)
- \(k = 1, 2, \ldots, c\) (niveles del factor C)
- \(l = 1, 2, \ldots, n\) (réplicas)
- \(\mu\) es la media general
- \(\alpha_i\) es el efecto del nivel \(i\) del factor A
- \(\beta_j\) es el efecto del nivel \(j\) del factor B
- \(\gamma_k\) es el efecto del nivel \(k\) del factor C
- \((\alpha\beta)_{ij}\), \((\alpha\gamma)_{ik}\), \((\beta\gamma)_{jk}\) son efectos de interacción dobles
- \((\alpha\beta\gamma)_{ijk}\) es el efecto de interacción triple
- \(\varepsilon_{ijkl}\) es el error aleatorio \(\sim N(0, \sigma^2)\)
📌 Nota: Todos los efectos cumplen la restricción de sumar cero, es decir, son desviaciones respecto a la media general.
4.2 📌 ANÁLISIS DE VARIANZA PARA TRES FACTORES
📊 ANÁLISIS DE VARIANZA PARA TRES FACTORES
El estudio factorial de tres factores (A, B y C) permite investigar los efectos: A, B, C, AB, AC, BC y ABC. En total se tienen siete efectos de interés sin considerar desglose.
Hipótesis a probar:
- \(H_0: \text{Efecto A} = 0\) vs \(H_1: \text{Efecto A} \neq 0\)
- \(H_0: \text{Efecto B} = 0\) vs \(H_1: \text{Efecto B} \neq 0\)
- \(H_0: \text{Efecto C} = 0\) vs \(H_1: \text{Efecto C} \neq 0\)
- \(H_0: \text{Efecto AB} = 0\) vs \(H_1: \text{Efecto AB} \neq 0\)
- \(H_0: \text{Efecto AC} = 0\) vs \(H_1: \text{Efecto AC} \neq 0\)
- \(H_0: \text{Efecto BC} = 0\) vs \(H_1: \text{Efecto BC} \neq 0\)
- \(H_0: \text{Efecto ABC} = 0\) vs \(H_1: \text{Efecto ABC} \neq 0\)
| Fuente | SC | gl | CM | \(F_0\) | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| Efecto A | \(SCA\) | \(a-1\) | \(CMA\) | \(CMA/CME\) | \(P(F > F_0^A)\) |
| Efecto B | \(SCB\) | \(b-1\) | \(CMB\) | \(CMB/CME\) | \(P(F > F_0^B)\) |
| Efecto C | \(SCC\) | \(c-1\) | \(CMC\) | \(CMC/CME\) | \(P(F > F_0^C)\) |
| Efecto AB | \(SCAB\) | \((a-1)(b-1)\) | \(CMAB\) | \(CMAB/CME\) | \(P(F > F_0^{AB})\) |
| Efecto AC | \(SCAC\) | \((a-1)(c-1)\) | \(CMAC\) | \(CMAC/CME\) | \(P(F > F_0^{AC})\) |
| Efecto BC | \(SCBC\) | \((b-1)(c-1)\) | \(CMBC\) | \(CMBC/CME\) | \(P(F > F_0^{BC})\) |
| Efecto ABC | \(SCABC\) | \((a-1)(b-1)(c-1)\) | \(CMABC\) | \(CMABC/CME\) | \(P(F > F_0^{ABC})\) |
| Error | \(SCE\) | \(abc(n-1)\) | \(CME\) | - | - |
| Total | \(SCT\) | \(abcn-1\) | - | - | - |
4.2.1 📌 Fórmulas para sumas de cuadrados
Las sumas de cuadrados se calculan como:
\[SCT = \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c}\sum_{l=1}^{n} Y_{ijkl}^2 - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}\]
\[SCA = \sum_{i=1}^{a} \frac{Y_{i\cdot\cdot\cdot}^2}{bcn} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}\]
\[SCB = \sum_{j=1}^{b} \frac{Y_{\cdot j\cdot\cdot}^2}{acn} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}\]
\[SCC = \sum_{k=1}^{c} \frac{Y_{\cdot\cdot k\cdot}^2}{abn} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}\]
\[SCAB = \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b} \frac{Y_{ij\cdot\cdot}^2}{cn} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N} - SCA - SCB\]
\[SCAC = \sum_{i=1}^{a}\sum_{k=1}^{c} \frac{Y_{i\cdot k\cdot}^2}{bn} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N} - SCA - SCC\]
\[SCBC = \sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} \frac{Y_{\cdot jk\cdot}^2}{an} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N} - SCB - SCC\]
\[SCABC = \sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}\sum_{k=1}^{c} \frac{Y_{ijk\cdot}^2}{n} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N} - SCA - SCB - SCC - SCAB - SCAC - SCBC\]
\[SCE = SCT - SCA - SCB - SCC - SCAB - SCAC - SCBC - SCABC\]
4.3 📌EJEMPLO: VOLUMEN DE SEDIMENTACIÓN DE UNA SUSPENSIÓN
🧪 EJEMPLO: VOLUMEN DE SEDIMENTACIÓN
Se desea investigar el efecto del tipo de suspensión (A), abertura de malla (B) y temperatura de ciclaje (C) en el volumen de sedimentación Y(%) de una suspensión. Se decide correr un experimento factorial \(3 \times 2 \times 2\) con seis réplicas (72 corridas experimentales).
Factores y niveles:
- A: Tipo de suspensión - 3 niveles: A₁, A₂, A₃
- B: Abertura de malla - 2 niveles: B₁, B₂
- C: Temperatura de ciclaje - 2 niveles: C₁, C₂
- n = 6 réplicas
| A₁ | A₂ | A₃ | ||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C | B | Réplica | B₁ | B₂ | B₁ | B₂ | B₁ | B₂ | ||||||||||||
| C₁ | B₁ | 1 | 60 | 75 | 75 | 67 | 73 | 73 | 62 | 68 | 65 | 71 | 80 | 80 | 70 | 71 | 75 | 75 | 75 | 75 |
| 2 | 86 | 70 | 70 | 67 | 68 | 68 | 76 | 65 | 65 | 72 | 80 | 80 | 76 | 68 | 73 | 75 | 75 | 77 | ||
| 3 | 55 | 53 | 53 | 52 | 52 | 57 | 44 | 44 | 45 | 60 | 60 | 60 | 52 | 51 | 50 | 56 | 55 | 57 | ||
| B₂ | 1 | … | … | … | … | … | … | |||||||||||||
| 2 | … | … | … | … | … | … | ||||||||||||||
| 3 | … | … | … | … | … | … | ||||||||||||||
| C₂ | B₁ | 1 | 55 | 55 | 55 | 52 | 54 | 54 | 48 | 48 | 45 | 67 | 67 | 65 | 52 | 48 | 54 | 59 | 50 | 55 |
| 2 | … | … | … | … | … | … | ||||||||||||||
| 3 | … | … | … | … | … | … | ||||||||||||||
| B₂ | 1 | … | … | … | … | … | … | |||||||||||||
| 2 | … | … | … | … | … | … | ||||||||||||||
| 3 | … | … | … | … | … | … | ||||||||||||||
4.4 ## 💻 EJEMPLO: DISEÑO FACTORIAL 3x2x2 - VOLUMEN DE SEDIMENTACIÓN - Código en R y Python
4.4.1 📌 Tabla ANOVA - Resultados
📊 ANOVA para el volumen de sedimentación
| Fuente | SC | gl | CM | F₀ | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| A: Tipo de suspensión | 13.86 | 2 | 6.93 | 0.49 | 0.6126 |
| B: Abertura de malla | 480.50 | 1 | 480.50 | 34.25 | 0.0000 |
| C: Temperatura | 6086.72 | 1 | 6086.72 | 433.90 | 0.0000 |
| AB | 788.25 | 2 | 394.13 | 28.10 | 0.0000 |
| AC | 40.86 | 2 | 20.43 | 1.46 | 0.2412 |
| BC | 56.89 | 1 | 56.89 | 4.04 | 0.0485 |
| ABC | 31.03 | 2 | 15.51 | 1.11 | 0.3375 |
| Error | 841.67 | 60 | 14.03 | - | - |
| Total | 8339.78 | 71 | - | - | - |
📊 ANOVA reducido (excluyendo efectos no significativos)
| Fuente | SC | gl | CM | F₀ | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| A: Tipo de suspensión | 13.86 | 2 | 6.93 | 0.49 | 0.6176 |
| B: Abertura de malla | 480.50 | 1 | 480.50 | 34.66 | 0.0000 |
| C: Temperatura | 6086.72 | 1 | 6086.72 | 426.41 | 0.0000 |
| AB | 788.25 | 2 | 394.13 | 27.61 | 0.0000 |
| BC | 56.89 | 1 | 56.89 | 3.99 | 0.0502 |
| Error | 913.56 | 64 | 14.27 | - | - |
| Total | 8339.78 | 71 | - | - | - |
4.4.2 📌 Conclusiones
✅ Conclusiones del estudio
- Factor B (Abertura de malla): valor-p = 0.0000 → efecto significativo
- Factor C (Temperatura): valor-p = 0.0000 → efecto significativo
- Factor A (Tipo de suspensión): valor-p = 0.6126 → efecto no significativo
- Interacción AB: valor-p = 0.0000 → significativa
- Interacción AC: valor-p = 0.2412 → no significativa
- Interacción BC: valor-p = 0.0485 → significativa (marginal)
- Interacción ABC: valor-p = 0.3375 → no significativa
Los factores que más influyen en el volumen de sedimentación son la abertura de malla (B) y la temperatura (C), así como la interacción entre estos dos factores y la interacción entre el tipo de suspensión y la abertura de malla.
5 📌 MODELOS DE EFECTOS MIXTOS Y ALEATORIOS
🔍 MODELOS DE EFECTOS MIXTOS Y ALEATORIOS
En algunos experimentos, los niveles de cualquier factor pueden ser elegidos de una gran población de niveles posibles, así que los efectos con los que contribuye son aleatorios en vez de fijos. Si ambos factores contribuyen con efectos aleatorios, el modelo se denomina de efectos aleatorios, mientras que si un factor está fijo y el otro es aleatorio, resulta un modelo de efectos mixtos.
5.1 📌 Modelo de efectos mixtos
Consideremos el diseño de efectos mixtos donde el factor A es el factor de efectos fijos y B es el factor de efectos aleatorios. El modelo matemático es:
\[Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + B_j + (\alpha B)_{ij} + \varepsilon_{ijk}\]
donde:
- \(i = 1, 2, \ldots, a\) (niveles del factor A, fijo)
- \(j = 1, 2, \ldots, b\) (niveles del factor B, aleatorio)
- \(k = 1, 2, \ldots, n\) (réplicas)
- \(\mu\) y \(\alpha_i\) son constantes con \(\sum \alpha_i = 0\)
- \(B_j \sim N(0, \sigma_B^2)\) independientes
- \((\alpha B)_{ij} \sim N(0, \sigma_{\alpha B}^2)\) independientes
- \(\varepsilon_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)\) independientes
5.2 📌 Hipótesis de interés
Las hipótesis que se prueban son:
\[H_{0A}: \text{Efecto A} = 0 \quad \text{vs} \quad H_{1A}: \text{Efecto A} \neq 0\]
\[H_{0B}: \sigma_B^2 = 0 \quad \text{vs} \quad H_{1B}: \sigma_B^2 > 0\]
\[H_{0\alpha B}: \sigma_{\alpha B}^2 = 0 \quad \text{vs} \quad H_{1\alpha B}: \sigma_{\alpha B}^2 > 0\]
📌 Nota: Se acostumbra probar \(H_{0A}\) y \(H_{0B}\) sólo si no se puede rechazar la hipótesis de ninguna interacción \(H_{0\alpha B}\).
5.3 📌 Valores esperados y tabla ANOVA
Los cuadrados medios esperados para el modelo mixto son:
\[E(CME) = \sigma^2\]
\[E(CMA) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha B}^2 + \frac{bn}{a-1}\sum_{i=1}^a \alpha_i^2\]
\[E(CMB) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha B}^2 + an\sigma_B^2\]
\[E(CMAB) = \sigma^2 + n\sigma_{\alpha B}^2\]
| Fuente | SC | gl | CM | \(F_0\) | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| Efecto A | \(SCA\) | \(a-1\) | \(CMA\) | \(CMA/CMAB\) | \(P(F > F_0^A)\) |
| Efecto B | \(SCB\) | \(b-1\) | \(CMB\) | \(CMB/CMAB\) | \(P(F > F_0^B)\) |
| Efecto AB | \(SCAB\) | \((a-1)(b-1)\) | \(CMAB\) | \(CMAB/CME\) | \(P(F > F_0^{AB})\) |
| Error | \(SCE\) | \(ab(n-1)\) | \(CME\) | - | - |
| Total | \(SCT\) | \(abn-1\) | - | - | - |
6 📌 EJEMPLO: VIBRACIÓN DE MOTORES ELÉCTRICOS
⚙️ EJEMPLO: VIBRACIÓN DE MOTORES ELÉCTRICOS
Un ingeniero de procesos ha identificado dos posibles causas de vibración del motor eléctrico: el material usado para la cubierta del motor (factor A) y la fuente de suministro de cojinetes (factor B). Los datos siguientes acerca de la cantidad de vibración (micras) resultaron de un experimento con motores con cubiertas de acero, aluminio y plástico, construidos con cojinetes de cinco fuentes seleccionadas al azar.
- Factor A (Material): fijo - 3 niveles: acero, aluminio, plástico
- Factor B (Fuente): aleatorio - 5 niveles seleccionados al azar
- n = 2 réplicas
| Material (A) | Fuente de suministro (B) | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
| Acero | 13.1 | 16.3 | 13.7 | 15.7 | 13.5 | 13.2 | 15.8 | 14.3 | 15.8 | 12.5 |
| Aluminio | 15.0 | 15.7 | 13.9 | 13.7 | 13.4 | 14.8 | 16.4 | 14.3 | 14.2 | 13.8 |
| Plástico | 14.0 | 17.2 | 12.4 | 14.4 | 13.2 | 14.3 | 16.7 | 12.3 | 13.9 | 13.1 |
6.1 💻 EJEMPLO: MODELO DE EFECTOS MIXTOS - VIBRACIÓN DE MOTORES - Código en R y Python
6.1.1 📌 Tabla ANOVA y componentes de varianza
📊 ANOVA para el modelo de efectos mixtos
| Fuente | SC | gl | CM | F₀ | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| A: Material | 2.67 | 2 | 1.335 | 0.92 | 0.437 |
| B: Fuente | 36.67 | 4 | 9.168 | 6.32 | 0.002 |
| AB: Interacción | 26.13 | 8 | 3.266 | 29.35 | 0.000 |
| Error | 1.67 | 15 | 0.111 | - | - |
| Total | 67.14 | 29 | - | - | - |
📊 Componentes de varianza
| Componente | Estimación |
|---|---|
| \(\sigma^2\) (Error) | 0.1113 |
| \(\sigma_{\alpha B}^2\) (Interacción) | 0.6697 |
| \(\sigma_B^2\) (Fuente) | 1.2863 |
6.1.2 📌 Conclusiones
✅ Conclusiones del estudio
- Interacción AB: valor-p = 0.000 → significativa. La interacción entre el material y la fuente de suministro afecta la vibración.
- Factor A (Material): valor-p = 0.437 → no significativo. Los diferentes materiales de la cubierta no afectan la vibración del motor.
- Factor B (Fuente): valor-p = 0.002 → significativo. La fuente de suministro de cojinetes afecta la vibración.
- La componente de varianza más grande es \(\sigma_B^2 = 1.286\), indicando que la variabilidad entre fuentes es la principal causa de variación en la vibración.
📊 “Los diseños factoriales con tres factores permiten estudiar interacciones complejas que no serían detectables con experimentos de un solo factor”
— Adaptado de George E. P. Box
7 📌HINCHAMIENTO DEL CATALIZADOR EN LA FABRICACIÓN DE BOTELLAS DE POLIETILENO
🔍 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se corre un diseño factorial \(3 \times 2\) con 10 réplicas para investigar el hinchamiento del catalizador después de la extrusión en la fabricación de botellas de polietileno de alta densidad. Los factores investigados son:
- A: Catalizador - 3 niveles: A₁, A₂, A₃
- B: Molde - 2 niveles: B₁, B₂
- n = 10 réplicas por combinación (total 60 observaciones)
| Molde (B) | Catalizador (A) | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| A₁ | A₂ | A₃ | A₁ | A₂ | A₃ | A₁ | A₂ | A₃ | … | |
| B₁ | 93 | 92 | 95 | 91 | 91 | 94 | 90 | 92 | 94 | … |
| 92 | 94 | 94 | 92 | 90 | 97 | 91 | 92 | 96 | ||
| 90 | 90 | 94 | 91 | 91 | 95 | 93 | 92 | 94 | ||
| B₂ | 88 | 90 | 91 | 88 | 88 | 90 | 87 | 88 | 90 | … |
| 88 | 89 | 90 | 87 | 90 | 91 | 87 | 88 | 91 | ||
| 87 | 88 | 92 | 88 | 89 | 89 | 87 | 88 | 91 | ||
7.1 📌 (a) Hipótesis de interés y modelo estadístico
📊 Modelo estadístico
El modelo de efectos para el diseño factorial \(3 \times 2\) es:
\[Y_{ijk} = \mu + \alpha_i + \beta_j + (\alpha\beta)_{ij} + \varepsilon_{ijk}\]
donde:
- \(i = 1, 2, 3\) (niveles del catalizador A)
- \(j = 1, 2\) (niveles del molde B)
- \(k = 1, 2, \ldots, 10\) (réplicas)
- \(\mu\) es la media general
- \(\alpha_i\) es el efecto del catalizador \(i\) (con \(\sum \alpha_i = 0\))
- \(\beta_j\) es el efecto del molde \(j\) (con \(\sum \beta_j = 0\))
- \((\alpha\beta)_{ij}\) es el efecto de interacción (con \(\sum_i (\alpha\beta)_{ij} = \sum_j (\alpha\beta)_{ij} = 0\))
- \(\varepsilon_{ijk}\) es el error aleatorio \(\sim N(0, \sigma^2)\)
📋 Hipótesis de interés
Efecto principal del catalizador (A):
\(H_0: \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0\) vs \(H_1: \alpha_i \neq 0\) para algún \(i\)
Efecto principal del molde (B):
\(H_0: \beta_1 = \beta_2 = 0\) vs \(H_1: \beta_1 \neq \beta_2\)
Efecto de interacción AB:
\(H_0: (\alpha\beta)_{ij} = 0\) para todo \(i,j\) vs \(H_1: (\alpha\beta)_{ij} \neq 0\) para algún \(i,j\)
7.2 📌 (b) Tabla ANOVA y efectos activos
📊 Tabla ANOVA
| Fuente | SC | gl | CM | F₀ | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| Catalizador (A) | 194.16 | 2 | 97.08 | 95.37 | 0.0000 |
| Molde (B) | 226.80 | 1 | 226.80 | 222.81 | 0.0000 |
| Interacción AB | 13.78 | 2 | 6.89 | 6.77 | 0.0025 |
| Error | 54.96 | 54 | 1.02 | - | - |
| Total | 489.70 | 59 | - | - | - |
✅ Efectos activos
- Catalizador (A): valor-p = 0.0000 → EFECTO SIGNIFICATIVO
- Molde (B): valor-p = 0.0000 → EFECTO SIGNIFICATIVO
- Interacción AB: valor-p = 0.0025 → EFECTO SIGNIFICATIVO
7.4 📌 (c) Gráficas de medias con LSD y Tukey
7.5 💻 COMPARACIONES MÚLTIPLES: LSD y Tukey - Código en R y Python
📊 Resultados de comparaciones múltiples
| Comparación | LSD | Tukey | Conclusión |
|---|---|---|---|
| A₁ vs A₂ | 0.78 < 0.63 | 0.78 < 0.83 | No diferencia |
| A₁ vs A₃ | 3.65 > 0.63 | 3.65 > 0.83 | Diferente |
| A₂ vs A₃ | 2.87 > 0.63 | 2.87 > 0.83 | Diferente |
| B₁ vs B₂ | 3.89 > 0.52 | 3.89 > 0.68 | Diferente |
Comparación de métodos: LSD y Tukey producen las mismas conclusiones en este caso, ya que ambas pruebas indican que A₁ y A₂ no son diferentes, mientras que A₃ es significativamente mayor que ambos, y B₁ es significativamente mayor que B₂. Tukey es ligeramente más conservador (LSD=0.63 vs Tukey=0.83), pero no cambia las conclusiones.
7.6 📌 (d) Gráfica de interacción con intervalos de confianza
📊 Interpretación de la gráfica de interacción
La gráfica de interacción muestra que:
- Las líneas no son paralelas, confirmando la interacción significativa detectada en el ANOVA.
- En el molde B₁, los catalizadores A₁ y A₂ tienen comportamientos similares, mientras que A₃ es notablemente mayor.
- En el molde B₂, las diferencias entre catalizadores son menos pronunciadas, aunque A₃ sigue siendo el mayor.
- Los intervalos de confianza se traslapan en algunas comparaciones, indicando dónde las diferencias no son significativas.
7.8 📌 (e) Mejor tratamiento y predicción
📊 Resultados del mejor tratamiento
| Combinación | Hinchamiento medio | IC 95% |
|---|---|---|
| A₁, B₂ | 87.40 | [86.80, 88.00] |
| A₂, B₂ | 88.70 | [88.10, 89.30] |
| A₁, B₁ | 91.40 | [90.80, 92.00] |
| A₂, B₁ | 91.70 | [91.10, 92.30] |
| A₃, B₂ | 90.40 | [89.80, 91.00] |
| A₃, B₁ | 94.70 | [94.10, 95.30] |
Mejor tratamiento: A₁ (catalizador tipo 1) con B₂ (molde tipo 2), con un hinchamiento medio de 87.40. El intervalo de confianza del 95% para este tratamiento es [86.80, 88.00]. El modelo predice un valor de 87.40, coincidiendo exactamente con la media muestral.
7.9.1 📌 (f) Verificación de supuestos
📊 Resultados de la verificación de supuestos
- Prueba de Shapiro-Wilk: W = 0.9862, valor-p = 0.7816 → Los residuos siguen una distribución normal.
- Prueba de Levene: valor-p = 0.4237 → Las varianzas son homogéneas entre los tratamientos.
- Los gráficos de diagnóstico (residuos vs ajustados, Q-Q plot, histograma) confirman visualmente el cumplimiento de los supuestos.
7.10.1 📌 (g) Gráfica de residuos contra factores
📊 Análisis de dispersión por molde
| Molde | Desviación estándar de residuos |
|---|---|
| B₁ | 1.041 |
| B₂ | 0.958 |
Conclusión: El molde B₂ presenta una menor dispersión (sd = 0.958) en comparación con B₁ (sd = 1.041), lo que sugiere que el molde tipo 2 produce resultados más consistentes y menos variables en el hinchamiento del catalizador.
📊 “El diseño factorial permite identificar no solo los efectos principales, sino también las interacciones críticas entre factores”
— Resumen del análisis de hinchamiento del catalizador
Aquí tienes la solución completa del problema del diseño factorial \(3 \times 3 \times 2\) para la resistencia del papel, con análisis detallado y códigos en R y Python.
8 📌 EJEMPLO: RESISTENCIA DEL PAPEL - DISEÑO FACTORIAL \(3 \times 3 \times 2\)
🔍 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
Se investiga el efecto de tres factores sobre la resistencia del papel:
- A: Concentración de madera dura (%) - 3 niveles: 2%, 4%, 8%
- B: Presión de la cuba - 3 niveles: 400, 500, 650
- C: Tiempo de cocción - 2 niveles: 3 horas, 4 horas
- n = 2 réplicas (total 36 observaciones)
| Cocción | % Madera | Presión | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 400 | 500 | 650 | |||||
| 3 horas | 2% | 196.6 | 196.0 | 197.7 | 196.0 | 199.8 | 199.4 |
| 4% | 198.5 | 197.2 | 196.0 | 196.9 | 198.4 | 197.6 | |
| 8% | 197.5 | 196.6 | 195.6 | 196.2 | 197.4 | 198.1 | |
| 2% | 198.4 | 198.6 | 199.6 | 200.4 | 200.6 | 200.9 | |
| 4% | 197.5 | 198.1 | 198.7 | 198.0 | 199.6 | 199.0 | |
| 8% | 197.6 | 198.4 | 197.0 | 197.8 | 198.5 | 199.8 | |
8.1 📌 (a) Análisis de datos y conclusiones
📊 Tabla ANOVA
| Fuente | SC | gl | CM | F₀ | Valor-p |
|---|---|---|---|---|---|
| Concentración (A) | 6.77 | 2 | 3.38 | 4.34 | 0.0260 |
| Presión (B) | 7.51 | 2 | 3.75 | 4.81 | 0.0183 |
| Tiempo (C) | 17.16 | 1 | 17.16 | 22.01 | 0.0001 |
| A × B | 11.95 | 4 | 2.99 | 3.83 | 0.0155 |
| A × C | 11.56 | 2 | 5.78 | 7.42 | 0.0034 |
| B × C | 2.61 | 2 | 1.31 | 1.68 | 0.2100 |
| A × B × C | 10.05 | 4 | 2.51 | 3.22 | 0.0308 |
| Error | 14.02 | 18 | 0.78 | - | - |
| Total | 81.63 | 35 | - | - | - |
✅ Efectos activos (α=0.05)
- Concentración (A): valor-p = 0.0260 → SIGNIFICATIVO
- Presión (B): valor-p = 0.0183 → SIGNIFICATIVO
- Tiempo (C): valor-p = 0.0001 → SIGNIFICATIVO
- Interacción AB: valor-p = 0.0155 → SIGNIFICATIVA
- Interacción AC: valor-p = 0.0034 → SIGNIFICATIVA
- Interacción BC: valor-p = 0.2100 → NO significativa
- Interacción ABC: valor-p = 0.0308 → SIGNIFICATIVA
8.3 📌 (b) Gráficas de residuales y adecuación del modelo
📊 Análisis de residuales
- Prueba de Shapiro-Wilk: W = 0.9746, valor-p = 0.5863 → Los residuos siguen una distribución normal.
- Gráfica de residuos vs ajustados: Los puntos se distribuyen aleatoriamente alrededor de cero, sin patrones evidentes (banda horizontal), indicando varianza constante.
- Q-Q plot: Los puntos se alinean aproximadamente sobre la línea recta, confirmando la normalidad.
- Gráfica de residuos vs orden: No se observan tendencias sistemáticas, sugiriendo independencia de las observaciones.
- Boxplots de residuos por factor: Las varianzas son similares entre niveles, confirmando homocedasticidad.
Conclusión: El modelo es adecuado y los supuestos de normalidad, homocedasticidad e independencia se cumplen satisfactoriamente.
8.5 📌 (c) Condiciones óptimas de operación
📊 Mejores combinaciones (mayor resistencia)
| Concentración | Presión | Tiempo | Resistencia media |
|---|---|---|---|
| 2% | 650 | 4h | 200.75 |
| 2% | 500 | 4h | 200.00 |
| 2% | 650 | 3h | 199.60 |
| 4% | 650 | 4h | 199.30 |
| 2% | 500 | 3h | 196.85 |
✅ Recomendaciones de operación
- Condiciones óptimas: Concentración = 2%, Presión = 650, Tiempo = 4 horas, que produce la mayor resistencia media (200.75).
-
Justificación:
- El tiempo de cocción de 4 horas produce consistentemente mayor resistencia que 3 horas en todas las combinaciones.
- La presión más alta (650) genera mayor resistencia, especialmente cuando se combina con baja concentración (2%).
- La concentración de 2% es superior a 4% y 8% en todos los niveles de presión y tiempo.
- La interacción significativa AC indica que el efecto de la concentración depende del tiempo; para 4 horas, la diferencia es más pronunciada.
</li> <li><strong>Alternativa viable:</strong> Si no es posible operar a 650 de presión, la combinación <strong>2%, 500, 4h</strong> (resistencia 200.00) es la segunda mejor opción.</li>
📊 “El diseño factorial revela que el tiempo de cocción es el factor más influyente, seguido por la interacción entre concentración y presión”
— Análisis de resistencia del papel