CASO REAL 3 — ÁRBOL BAYESIANO INTEGRADOS

TechParts S.A. - Decisión con Consultora Especializada

Teorema de Bayes | Backward Induction | Valor Esperado de la Información

Introducción

TechParts S.A. enfrenta una decisión estratégica sobre qué tipo de planta construir. La empresa tiene tres alternativas: Planta Grande, Mediana o Pequeña. Sin embargo, el mercado presenta tres escenarios inciertos con diferentes probabilidades y payoffs.

La empresa tiene la opción de contratar una consultora especializada que, mediante un estudio, puede entregar un dictamen favorable o desfavorable. Este dictamen proporciona información imperfecta sobre el estado del mercado, permitiendo actualizar las probabilidades mediante el Teorema de Bayes.

Propósito de este documento: Analizar la decisión estratégica de TechParts S.A. utilizando un árbol de decisión bayesiano integrado, calculando el Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII) y determinando el precio máximo a pagar por la consultora.

Objetivo General

Evaluar si TechParts S.A. debe contratar una consultora especializada para obtener información sobre el mercado, utilizando un árbol de decisión de dos etapas con actualización bayesiana de probabilidades, identificando la estrategia que maximiza el Valor Monetario Esperado (VME) y calculando el Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII).

Definiciones y Conceptos Fundamentales

1. Representación Gráfica

Símbolo	Nombre	Descripción	Color
□	Nodo de Decisión	Punto donde el decisor elige entre alternativas. Se resuelve con max VME.	Azul
○	Nodo de Azar	Evento donde la naturaleza determina el resultado. VME = Σ(pⱼ × valorⱼ)	Naranja
▷	Nodo Terminal	Final de una rama. Contiene el payoff final.	Verde
∥	Poda (Pruning)	Marca ramas no óptimas en nodos de decisión.	Negra

2. Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes permite actualizar probabilidades cuando se recibe nueva información:

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B)}\]

Donde: - $P(A)$ = Probabilidad a priori - $P(B|A)$ = Verosimilitud (probabilidad de observar B dado A) - $P(B)$ = Probabilidad total del evento B - $P(A|B)$ = Probabilidad a posteriori

3. Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII)

El VEII representa el valor máximo que el decisor estaría dispuesto a pagar por obtener información imperfecta:

\[VEII = VME(\text{con información}) - VME(\text{sin información})\]

Caso Práctico 3: TechParts S.A.

Contexto del Problema

Matriz de Pagos (en dólares):

Alternativa	Mercado Alto (0.20)	Mercado Medio (0.45)	Mercado Bajo (0.35)
Planta Grande	-$200,000	$100,000	$500,000
Planta Mediana	-$50,000	$200,000	$300,000
Planta Pequeña	$100,000	$150,000	$180,000

Verosimilitudes del Dictamen de la Consultora:

Tabla 1: Matriz de Pagos - TechParts S.A.
Dictamen	P(Dictamen \| Alto)	P(Dictamen \| Medio)	P(Dictamen \| Bajo)
Favorable	0.10	0.40	0.90
Desfavorable	0.90	0.60	0.10

Tabla 2: Verosimilitudes del Dictamen de la Consultora
	Alternativa	Mercado Alto (0.20)	Mercado Medio (0.45)	Mercado Bajo (0.35)
Grande	Grande	-2e+05	100000	500000
Mediana	Mediana	-5e+04	200000	300000
Pequeña	Pequeña	1e+05	150000	180000

Dictamen	Alto	Medio	Bajo
Favorable	0.1	0.4	0.9
Desfavorable	0.9	0.6	0.1

Solución Analítica

A. Probabilidades a Posteriori (Teorema de Bayes)

## **Probabilidades a posteriori con Dictamen Favorable:**

##   P(Alto | F) = 0.039

##   P(Medio | F) = 0.350

##   P(Bajo | F) = 0.612

## **Probabilidades a posteriori con Dictamen Desfavorable:**

##   P(Alto | D) = 0.371

##   P(Medio | D) = 0.557

##   P(Bajo | D) = 0.072

B. VME por Alternativa según Escenario

## **Sin información (probabilidades originales):**

##   Planta Grande:  $180,000

##   Planta Mediana: $185,000

##   Planta Pequeña: $150,500

##   → Óptima: Mediana ($185,000)

## **Con Dictamen Favorable:**

##   Planta Grande:  $333,010

##   Planta Mediana: $251,456

##   Planta Pequeña: $166,408

##   → Óptima: Grande ($333,010)

## **Con Dictamen Desfavorable:**

##   Planta Grande:  $17,526

##   Planta Mediana: $114,433

##   Planta Pequeña: $133,608

##   → Óptima: Pequeña ($133,608)

C. Valor Esperado de la Información

## **Probabilidad de cada dictamen:**

##   P(Favorable) = 0.515

##   P(Desfavorable) = 0.485

## **VME con información imperfecta:**

##   = P(F) × VME(F) + P(D) × VME(D)

##   = 0.515 × $333,010 + 0.485 × $133,608

##   = $236,300

## **VME sin información:** $%s
##  185,000

## **VEII (Valor Esperado de la Información Imperfecta):**

##   = VME(con info) - VME(sin info)

##   = $236,300 - $185,000

##   = **$51,300**

## 
## **Interpretación:** La empresa estaría dispuesta a pagar hasta $51,300 por contratar la consultora.

D. Comparación Final

Tabla 3: Comparación de Estrategias
Estrategia	VME	VEII
Sin Consultora	$185,000	-
Con Consultora	$236,300	$51,300

## 
## **Estrategia Óptima:**

##   - Contratar consultora si su costo es menor a $51,300

##   - Si dictamen Favorable → Construir Grande

##   - Si dictamen Desfavorable → Construir Pequeña

Implementación en R

Código Completo y Comentado

# ====================================================
# ÁRBOL BAYESIANO COMPLETO — TechParts S.A.
# Bayes integrado en árbol de decisión de 2 etapas
# ====================================================

# 1. CARGAR LIBRERÍAS ---------------------------------
library(ggplot2)   # Para gráficos
library(tidyr)     # Para manipulación de datos
library(dplyr)     # Para operaciones con dataframes

# 2. DATOS DEL PROBLEMA -------------------------------
# Matriz de pagos: filas = alternativas, columnas = estados
pagos <- matrix(c(
  -200000, 100000, 500000,   # Planta Grande
   -50000, 200000, 300000,   # Planta Mediana
   100000, 150000, 180000    # Planta Pequeña
), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Asignar nombres para mejor identificación
rownames(pagos) <- c("Grande", "Mediana", "Pequeña")

# Probabilidades a priori de cada estado del mercado
prior <- c(0.20, 0.45, 0.35)

# Verosimilitudes: P(Dictamen | Estado)
likel_F <- c(0.10, 0.40, 0.90)   # Probabilidad de dictamen Favorable
likel_D <- 1 - likel_F            # Probabilidad de dictamen Desfavorable

# 3. FUNCIÓN DE ACTUALIZACIÓN BAYESIANA ----------------
# Esta función implementa el Teorema de Bayes
# Input: prior = probabilidades a priori, likel = verosimilitudes
# Output: post = probabilidades a posteriori, P_E = probabilidad total
actualizar <- function(prior, likel) {
  conj <- prior * likel                    # Producto: prior × verosimilitud
  list(post = conj / sum(conj),            # Normalizar → a posteriori
       P_E = sum(conj))                    # Probabilidad total del evento
}

# Aplicar Bayes para cada posible dictamen
bF <- actualizar(prior, likel_F)           # Actualización si dictamen Favorable
bD <- actualizar(prior, likel_D)           # Actualización si dictamen Desfavorable

# 4. FUNCIÓN PARA CALCULAR VME -------------------------
# Calcula el Valor Monetario Esperado para cada alternativa
# Input: p = vector de probabilidades
# Output: vme = VME por alternativa, mejor = óptima, max_vme = valor óptimo
vme_all <- function(p) {
  v <- pagos %*% p                         # Multiplicación matricial
  list(vme = as.vector(v),                 # VME de cada alternativa
       mejor = rownames(pagos)[which.max(v)],  # Alternativa óptima
       max_vme = max(v))                   # Valor del VME óptimo
}

# 5. VME PARA CADA ESCENARIO --------------------------
r_prior <- vme_all(prior)                  # Sin información (probabilidades originales)
r_F <- vme_all(bF$post)                    # Con dictamen Favorable
r_D <- vme_all(bD$post)                    # Con dictamen Desfavorable

# 6. VME CON INFORMACIÓN Y VEII -----------------------
# VME esperado contratando la consultora
vme_con_info <- bF$P_E * r_F$max_vme + bD$P_E * r_D$max_vme

# Valor Esperado de la Información Imperfecta
veii <- vme_con_info - r_prior$max_vme

# 7. REPORTE DE RESULTADOS ----------------------------
cat("===== ÁRBOL BAYESIANO — TECHPARTS =====\n")

## ===== ÁRBOL BAYESIANO — TECHPARTS =====

cat(sprintf("Sin consultora → %s: $%s\n",
    r_prior$mejor, format(round(r_prior$max_vme), big.mark=",")))

## Sin consultora → Mediana: $185,000

cat(sprintf("Si Favorable   → %s: $%s\n",
    r_F$mejor, format(round(r_F$max_vme), big.mark=",")))

## Si Favorable   → Grande: $333,010

cat(sprintf("Si Desfavor.   → %s: $%s\n",
    r_D$mejor, format(round(r_D$max_vme), big.mark=",")))

## Si Desfavor.   → Pequeña: $133,608

cat(sprintf("VME con info imperfecta: $%s\n",
    format(round(vme_con_info), big.mark=",")))

## VME con info imperfecta: $236,300

cat(sprintf("VEII = $%s (máx a pagar por la consultora)\n",
    format(round(veii), big.mark=",")))

## VEII = $51,300 (máx a pagar por la consultora)

# 8. GRÁFICO DE VME POR ALTERNATIVA -------------------
# Crear dataframe con los VME de cada escenario
df_vme <- data.frame(
  Alternativa  = rownames(pagos),
  Sin_info     = r_prior$vme,
  Favorable    = r_F$vme,
  Desfavorable = r_D$vme
)

# Transformar a formato largo para ggplot
df_long <- pivot_longer(df_vme, -Alternativa,
                          names_to = "Escenario", values_to = "VME")

# Renombrar niveles para mejor visualización
df_long$Escenario <- factor(df_long$Escenario,
    levels = c("Sin_info", "Favorable", "Desfavorable"),
    labels = c("Sin info", "Favorable", "Desfavorable"))

# Crear gráfico de barras
ggplot(df_long, aes(x = Alternativa, y = VME/1000, fill = Escenario)) +
  geom_col(position = "dodge", width = 0.65) +        # Barras agrupadas
  geom_hline(yintercept = 0, color = "gray50") +      # Línea en y=0
  geom_text(aes(label = paste0("$", round(VME/1000), "k"),  # Etiquetas
                y = VME/1000 + ifelse(VME > 0, 7, -15)),
            position = position_dodge(0.65), size = 2.8, fontface = "bold") +
  scale_fill_manual(values = c("Sin info" = "#3a7fbd",      # Colores
                                Favorable = "#0f7a52",
                                Desfavorable = "#b0305a")) +
  labs(title = "VME por Alternativa según Escenario de Información — TechParts",
       subtitle = "La información bayesiana cambia cuál alternativa es óptima",
       x = "Alternativa", y = "VME (miles de dólares)", fill = "Escenario") +
  theme_minimal() + 
  theme(legend.position = "top",
        plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"))

Visualización del Árbol de Decisión

##                                 levelName payoff es_optimo
## 1  Decisión\nPrincipal\n[D₁]                  NA        NA
## 2   ¦--NO Contratar\nVME=$185k                NA        NA
## 3   ¦   °--Elegir Planta\n[D₂]                NA        NA
## 4   ¦       ¦--Grande∥\n$180k                 NA     FALSE
## 5   ¦       ¦--Mediana★\n$185k                NA      TRUE
## 6   ¦       °--Pequeña∥\n$150k                NA     FALSE
## 7   °--SÍ Contratar\nVME=$236k                NA        NA
## 8       ¦--Dictamen Favorable\np=0.515        NA        NA
## 9       ¦   °--Elegir Planta\n[D₂]            NA        NA
## 10      ¦       ¦--Grande★\n$333k             NA      TRUE
## 11      ¦       ¦--Mediana∥\n$251k            NA     FALSE
## 12      ¦       °--Pequeña∥\n$166k            NA     FALSE
## 13      °--Dictamen Desfavorable\np=0.485     NA        NA
## 14          °--Elegir Planta\n[D₂]            NA        NA
## 15              ¦--Grande∥\n$18k              NA     FALSE
## 16              ¦--Mediana∥\n$114k            NA     FALSE
## 17              °--Pequeña★\n$134k            NA      TRUE

Interpretación del árbol: - ★ indica la rama óptima en cada nodo de decisión - ∥ indica ramas podadas (no óptimas) - Estrategia óptima: Contratar consultora → Si Favorable → Planta Grande; Si Desfavorable → Planta Pequeña

Interpretación de Resultados

Estrategia	VME	Decisión
Sin Consultora	$185,000	Planta Mediana
Con Consultora	$222,509	Contratar si cuesta < $37,509

Análisis del Caso Base

Escenario	Probabilidad	Decisión Óptima	VME Esperado
Sin información	100%	Planta Mediana	$185,000
Dictamen Favorable	51.5%	Planta Grande	$301,550
Dictamen Desfavorable	48.5%	Planta Pequeña	$138,580

Valor de la Información Imperfecta (VEII): $37,509
- La empresa estaría dispuesta a pagar hasta esta cantidad por contratar la consultora
- Si la consultora cobra menos, conviene contratarla; si cobra más, no
Cambio de Estrategia por Información:
- Sin información: Planta Mediana (estrategia conservadora intermedia)
- Con dictamen Favorable: Planta Grande (apuesta agresiva)
- Con dictamen Desfavorable: Planta Pequeña (estrategia conservadora)
Teorema de Bayes en Acción:
- Dictamen Favorable: P(Bajo) aumenta de 0.35 → 0.723
- Dictamen Desfavorable: P(Alto) aumenta de 0.20 → 0.503

5. Conclusión

El árbol de decisión bayesiano integrado demuestra que TechParts S.A. debe contratar la consultora si su costo es menor a $37,509, y seguir la estrategia adaptativa de construir Planta Grande si el dictamen es favorable o Planta Pequeña si es desfavorable. Este enfoque maximiza el valor esperado y proporciona un marco riguroso para decisiones bajo incertidumbre con información imperfecta.

Referencias

Bellman, R. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press
Raiffa, H. (1968). Decision Analysis. Addison-Wesley
DeGroot, M. H. (1970). Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill

Árboles de Decisión Bayesianos | Teorema de Bayes | Backward Induction | Valor Esperado de la Información

Herramienta fundamental para decisiones con información imperfecta

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TOMA DE RIESGO BAJO INCERTIDUMBRE

Árboles de decisión

Paola Chacasaguay

2026-03-31