ÁRBOLES DE DECISIÓN MULTIETAPA

Backward Induction | Valor Monetario Esperado | Análisis de Sensibilidad

Introducción

Una startup tecnológica ha desarrollado un producto innovador y debe decidir su estrategia de entrada al mercado. Se enfrenta a tres alternativas principales:

Lanzar nacional: Invertir $200,000 en producción y marketing para un lanzamiento a gran escala
Lanzar piloto: Invertir $60,000 en un lanzamiento piloto. Si tiene éxito (55% de probabilidad), puede escalar invirtiendo $200,000 adicionales. Si falla, recupera $10,000
Cerrar: No realizar inversión, resultado $0

El mercado puede presentar tres escenarios con sus respectivas probabilidades y retornos:

Escenario	Probabilidad	Retorno Bruto
Mercado Grande	30%	$800,000
Mercado Medio	50%	$300,000
Mercado Pequeño	20%	-$50,000

Propósito de este documento: Analizar la decisión estratégica de inversión en una startup tecnológica utilizando árboles de decisión multietapa, incorporando análisis de sensibilidad y discutiendo el rol de la aversión al riesgo.

Objetivo General

Evaluar las alternativas estratégicas de una startup tecnológica (Lanzamiento Nacional, Piloto con posible Escalamiento, o Cierre) mediante un árbol de decisión multietapa, identificando la estrategia que maximiza el Valor Monetario Esperado (VME) y analizando la sensibilidad de la decisión ante variaciones en la probabilidad de éxito del piloto.

Definiciones y Conceptos Fundamentales

1. Representación Gráfica

Símbolo	Nombre	Descripción	Color
□	Nodo de Decisión	Punto donde el decisor elige entre alternativas. Se resuelve con max VME.	Azul
○	Nodo de Azar	Evento donde la naturaleza determina el resultado. VME = Σ(pⱼ × valorⱼ)	Naranja
▷	Nodo Terminal	Final de una rama. Contiene el payoff final.	Verde
∥	Poda (Pruning)	Marca ramas no óptimas en nodos de decisión.	Negra

2. Algoritmo de Backward Induction

Principio de Optimalidad de Bellman: “Una estrategia óptima tiene la propiedad de que, cualquiera que sea el estado inicial y la decisión inicial, las decisiones restantes deben formar una estrategia óptima con respecto al estado resultante de la primera decisión”

Pasos del Algoritmo:

Construir el árbol (izquierda → derecha): Raíz → alternativas → nodos de azar → terminales
Evaluar nodos terminales: Payoffs ya definidos
Retroceder en nodos de azar: Calcular VME = Σ(pⱼ × valorⱼ)
Retroceder en nodos de decisión: Elegir max VME y podar ramas inferiores (∥)
Leer estrategia óptima: El VME de la raíz y el camino no podado

Fórmula del Valor Monetario Esperado (VME)

\[VME = \sum_{i=1}^{n} p_i \times \text{valor}_i\]

Caso Práctico 2: Startup Tecnológica

Contexto del Problema

Una startup tiene 3 opciones: - Lanzar nacional (inversión $200k) - Lanzar piloto ($60k, si exitoso puede escalar) - Cerrar ($0)

El mercado puede ser: - Grande (p = 0.30): retorno $800k - Medio (p = 0.50): retorno $300k - Pequeño (p = 0.20): retorno -$50k

El piloto tiene 55% de éxito; si falla se recuperan $10k.

Tabla 1: Parámetros del Problema - Startup
Parámetro	Valor
Inversión Lanzamiento Nacional	$200,000
Inversión Piloto	$60,000
P(Mercado Grande)	30%
P(Mercado Medio)	50%
P(Mercado Pequeño)	20%
Retorno Mercado Grande	$800,000
Retorno Mercado Medio	$300,000
Retorno Mercado Pequeño	-$50,000
P(Éxito Piloto)	55%
Recuperación si Piloto Fallido	$10,000

Solución Analítica

A. Alternativa 1: Lanzar Nacional

## **Retorno Esperado Bruto:**

##   = (0.30 × $800,000) + (0.50 × $300,000) + (0.20 × -$50,000)

##   = $240,000 + $150,000 - $10,000 = $ 380,000

## **VME (Lanzar Nacional):**

##   = Retorno Esperado Bruto - Inversión

##   = $ 380,000  - $200,000

##   = **$ 180,000 **

B. Alternativa 2: Cerrar

## **VME (Cerrar):** $0

C. Alternativa 3: Piloto con Posible Escalamiento

## **Si el piloto es exitoso (p=0.55):**

##   VME(Escalar) = 180,000

## **Si el piloto falla (p=0.45):**

##   Recuperación = $10,000

## **VME del Piloto:**

##   = P(Éxito) × VME(Escalar) + P(Fallo) × Recuperación - Inversión Piloto

##   = 0.55 × $ 180,000  + 0.45 × $10,000 - $60,000

##   = $ 99,000  + $4,500 - $60,000

##   = **$ 43,500 **

D. Comparación Final

Tabla 2: Comparación de Alternativas - Startup
Alternativa	VME	Optimalidad
Lanzar Nacional	$180,000 \|OPTIMA \| \|Piloto \|$ 43,500
Cerrar	$ 0

## 
## **Decisión Óptima:** Lanzar Nacional con VME = $ 180,000

Implementación en R

Código Completo y Comentado

# ====================================================
# ÁRBOL MULTIETAPA — Startup de Tecnología
# Análisis de sensibilidad incluido
# ====================================================

# 1. CARGAR LIBRERÍAS ---------------------------------
library(ggplot2)
library(dplyr)
library(tidyr)

# 2. PARÁMETROS BASE ----------------------------------
inv_nac    <- 200000
inv_piloto <-  60000
p_mer      <- c(0.30, 0.50, 0.20)
payoff_mer <- c(800000, 300000, -50000)
p_exito    <-    0.55
recup_fall <-  10000

# 3. FUNCIÓN DE EVALUACIÓN ----------------------------
eval_arbol <- function(p_ex=0.55, p_gr=0.30) {
  pm <- c(p_gr, 0.50, 1-p_gr-0.50)
  vme_nac    <- sum(payoff_mer * pm) - inv_nac
  vme_escal  <- sum(payoff_mer * pm) - inv_nac
  vme_piloto <- p_ex*vme_escal + (1-p_ex)*recup_fall - inv_piloto
  list(Nacional=vme_nac, Piloto=vme_piloto, Cerrar=0,
       Optima=max(vme_nac, vme_piloto, 0),
       Decision=c("Nacional","Piloto","Cerrar")[which.max(c(vme_nac,vme_piloto,0))])
}

# 4. CASO BASE ----------------------------------------
base <- eval_arbol()

cat("===== STARTUP — CASO BASE =====\n")

## ===== STARTUP — CASO BASE =====

cat(sprintf("VME Nacional:  $%s\n", format(round(base$Nacional), big.mark=",")))

## VME Nacional:  $180,000

cat(sprintf("VME Piloto:    $%s\n", format(round(base$Piloto),   big.mark=",")))

## VME Piloto:    $43,500

cat(sprintf("Decisión óptima: %s ($%s)\n",
    base$Decision, format(round(base$Optima), big.mark=",")))

## Decisión óptima: Nacional ($180,000)

# 5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD -------------------------
p_exitos <- seq(0.10, 0.90, 0.02)

sens <- lapply(p_exitos, function(p) {
  res <- eval_arbol(p_ex=p)
  data.frame(p_exito=p, Nacional=res$Nacional,
             Piloto=res$Piloto, Cerrar=0)
}) |> bind_rows()

# Punto de indiferencia Nacional vs Piloto
indiferencia <- approx(sens$Piloto - sens$Nacional,
                        sens$p_exito, xout=0)$y

cat(sprintf("\nPunto de indiferencia: P(éxito)=%.2f\n", indiferencia))

## 
## Punto de indiferencia: P(éxito)=NA

cat(sprintf("Si P(éxito) > %.2f → Piloto es mejor que Nacional\n", indiferencia))

## Si P(éxito) > NA → Piloto es mejor que Nacional

# 6. GRÁFICO DE SENSIBILIDAD --------------------------
sens_long <- pivot_longer(sens, -p_exito,
                           names_to="Alternativa", values_to="VME")

ggplot(sens_long, aes(x=p_exito, y=VME/1000, color=Alternativa)) +
  geom_line(linewidth=1.2) +
  geom_vline(xintercept=c(0.55, indiferencia),
             linetype=c("solid","dashed"), alpha=0.5) +
  scale_color_manual(values=c(Nacional="#3a7fbd",Piloto="#d97706",Cerrar="#8a9ab5")) +
  scale_x_continuous(labels=scales::percent) +
  labs(title="Análisis de Sensibilidad — Startup",
       subtitle=sprintf("Indiferencia en P(éxito)=%.0f%%. Caso base=55%% (línea sólida)",
                         indiferencia*100),
       x="P(Éxito Piloto)", y="VME (miles $)") +
  theme_minimal()

Visualización del Árbol de Decisión

##                          levelName  payoff es_optimo
## 1  Decisión\nPrincipal                  NA        NA
## 2   ¦--Lanzar Nacional\nVME=$180k       NA        NA
## 3   ¦   ¦--Mercado Grande p=0.30    600000        NA
## 4   ¦   ¦--Mercado Medio p=0.50     100000        NA
## 5   ¦   °--Mercado Pequeño p=0.20  -250000        NA
## 6   ¦--Cerrar\nVME=$0                    0        NA
## 7   °--Piloto\nVME=$44k ★               NA        NA
## 8       ¦--Piloto Exitoso p=0.55        NA        NA
## 9       ¦   ¦--Escalar★\nVME=$180k      NA      TRUE
## 10      ¦   °--No Escalar∥              NA     FALSE
## 11      °--Piloto Fallido p=0.45        NA        NA
## 12          °--Recuperar\n$10k       10000        NA

Interpretación del árbol: - ★ indica la rama óptima en cada nodo de decisión - ∥ indica ramas podadas (no óptimas) - El camino óptimo: Lanzar Nacional

Interpretación de Resultados

Alternativa	VME	Decisión
Lanzar Nacional	$180,000	OPTIMA
Piloto	$43,500
Cerrar	$0

La decisión óptima según el criterio de maximización del VME es Lanzar Nacional, con un valor esperado de $180,000.

Interpretación de la Sensibilidad

Punto de indiferencia: NA
Con el valor base de 0.55, el lanzamiento nacional es superior
Solo si el piloto tuviera una probabilidad de éxito superior al NA%, sería preferible al lanzamiento directo

Rol de la Aversión al Riesgo

Aunque el VME favorece el lanzamiento nacional ($180,000 vs $43,500), es crucial considerar el perfil de riesgo:

Aspecto	Lanzar Nacional	Piloto
Inversión máxima	$200,000	$60,000
Pérdida máxima	$250,000	$50,000
Resultado óptimo	$600,000 neto	$540,000 neto
Variabilidad	Alta	Baja

Una startup con recursos limitados podría preferir el piloto porque: - Limita la pérdida máxima a $50,000 (vs $250,000) - Permite obtener información antes de comprometer el capital total - Preserva la opción de escalar solo si el piloto es exitoso

Conclusiones Finales

Alternativa	VME	Decisión
Lanzar Nacional	$180,000	OPTIMA
Piloto	$43,500
Cerrar	$0

El caso demuestra que las decisiones multietapa requieren evaluar no solo el valor esperado, sino también la tolerancia al riesgo y la flexibilidad estratégica. El árbol de decisión permite visualizar y cuantificar estas compensaciones. ### Aprendizajes Clave

Valor de la Flexibilidad: El piloto proporciona información valiosa pero tiene un costo de $60,000. En el caso base, el valor esperado de esta flexibilidad no justifica el costo adicional.
Punto de Indiferencia: El piloto solo sería preferible si su probabilidad de éxito superara el NA%. Con el valor base de 55%, el lanzamiento nacional es superior.
Aversión al Riesgo: Aunque el VME favorece el lanzamiento nacional, las startups con recursos limitados podrían preferir el piloto por su menor exposición a pérdidas.
Estructura Multietapa: El árbol de decisión captura la secuencia: decisión inicial → resultado del piloto → decisión de escalar, permitiendo valorar opciones reales.

Referencias

Bellman, R. (1957). Dynamic Programming. Princeton University Press
Dixit, A. K., & Pindyck, R. S. (1994). Investment Under Uncertainty. Princeton University Press

Árboles de Decisión Multietapa | Backward Induction | Valor Monetario Esperado | Análisis de Sensibilidad

Herramienta fundamental para decisiones estratégicas en entornos de incertidumbre

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TOMA DE RIESGO BAJO INCERTIDUMBRE