1. Introducción

La toma de decisiones bajo incertidumbre es un aspecto fundamental en la exploración petrolera, debido a los altos costos de inversión y la incertidumbre asociada a la existencia de recursos naturales. En este contexto, es necesario aplicar herramientas cuantitativas que permitan evaluar diferentes alternativas y seleccionar la más conveniente desde el punto de vista económico.

El presente trabajo aborda el uso de árboles de decisión, el Valor Monetario Esperado (VME) y el Teorema de Bayes como herramientas fundamentales para analizar decisiones estratégicas en la perforación de un pozo petrolero.

2. Marco Teórico

2.1 Árboles de Decisión

Un árbol de decisión es una representación gráfica que permite estructurar problemas de decisión en los que intervienen eventos inciertos. Este modelo facilita la visualización de las posibles alternativas, los eventos probabilísticos y sus respectivos resultados.

Los elementos principales de un árbol de decisión son:

  • Nodos de decisión: representan los puntos donde se debe elegir una alternativa.
  • Nodos de probabilidad: representan eventos aleatorios con probabilidades asociadas.
  • Ramas: indican las posibles acciones o resultados.
  • Resultados (payoffs): representan las ganancias o pérdidas asociadas a cada resultado.

El objetivo es seleccionar la alternativa que maximice el beneficio esperado.

2.2 Valor Monetario Esperado (VME)

El Valor Monetario Esperado (VME) es un criterio utilizado para evaluar decisiones bajo incertidumbre. Se define como el promedio ponderado de los resultados posibles, considerando la probabilidad de ocurrencia de cada uno.

\[ VME = \sum_{i=1}^{n} p_i \cdot x_i \]

Donde:

  • \(p_i\): probabilidad del evento \(i\)
  • \(x_i\): resultado económico asociado al evento \(i\)

La alternativa óptima será aquella que presente el mayor VME.

2.3 Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes es una herramienta probabilística que permite actualizar la probabilidad de un evento a partir de nueva información. En el contexto de la exploración petrolera, se utiliza para actualizar la probabilidad de encontrar petróleo después de realizar un estudio sísmico.

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)} \]

Donde:

  • \(P(A|B)\): probabilidad posterior
  • \(P(B|A)\): probabilidad de observar la evidencia dado el evento
  • \(P(A)\): probabilidad previa
  • \(P(B)\): probabilidad total del evento observado

Este enfoque mejora la toma de decisiones al reducir la incertidumbre.

2.4 Análisis de Sensibilidad

El análisis de sensibilidad consiste en evaluar cómo cambian los resultados de un modelo cuando se modifican ciertos parámetros de entrada, como la probabilidad de encontrar petróleo.

Este análisis permite:

  • Identificar puntos críticos de cambio en la decisión óptima.
  • Evaluar la estabilidad del modelo.
  • Comprender el impacto de la incertidumbre en los resultados.

2.5 Aplicación en Exploración Petrolera

En la exploración petrolera, las decisiones estratégicas suelen incluir:

  • Perforar directamente.
  • Vender los derechos de explotación.
  • Realizar estudios adicionales (como estudios sísmicos).

Cada alternativa implica diferentes niveles de riesgo, costos y beneficios. El uso de herramientas como el árbol de decisión y el VME permite comparar estas opciones de manera estructurada y objetiva.

3. Desarrollo del Modelo

# ==============================================================================
# ANÁLISIS DE DECISIÓN: PERFORACIÓN PETROLERA CON ESTUDIO SÍSMICO
# ==============================================================================

# 1. CARGA DE LIBRERÍAS
# ------------------------------------------------------------------------------
if (!require("data.tree")) install.packages("data.tree")
## Cargando paquete requerido: data.tree
## Warning: package 'data.tree' was built under R version 4.5.3
if (!require("ggplot2")) install.packages("ggplot2")
## Cargando paquete requerido: ggplot2
if (!require("tidyr")) install.packages("tidyr")
## Cargando paquete requerido: tidyr
library(data.tree)   # Para crear la estructura jerárquica del árbol
library(ggplot2)     # Para la visualización de datos
library(tidyr)       # Para manipular el formato de las tablas (pivot_longer)

# 2. CONFIGURACIÓN DE PARÁMETROS (DATOS DEL PROBLEMA)
# ------------------------------------------------------------------------------
p_petrol      <- 0.45      # Probabilidad inicial (a priori) de éxito
ingreso       <- 600000    # Ganancia bruta si hay petróleo
costo_perf    <- 100000    # Costo de perforación (se pierde si sale seco)
precio_venta  <-  90000    # Valor de la opción alternativa (vender el terreno)
costo_sismico <-  30000    # Costo de realizar la prueba técnica
p_pos_si      <-  0.80     # Sensibilidad: P(Prueba+ | Hay Petróleo)
p_pos_no      <-  0.25     # Falsos positivos: P(Prueba+ | No hay Petróleo)

# 3. CÁLCULOS BAYESIANOS (ACTUALIZACIÓN DE PROBABILIDADES)
# ------------------------------------------------------------------------------
# Probabilidad de que el pozo esté seco
p_no    <- 1 - p_petrol 

# Probabilidad total de que el estudio resulte positivo (Teorema de Prob. Total)
p_s_pos <- (p_pos_si * p_petrol) + (p_pos_no * p_no) 

# Probabilidad total de que el estudio resulte negativo
p_s_neg <- 1 - p_s_pos 

# Probabilidades revisadas (A Posteriori) usando el Teorema de Bayes:
# P(Petróleo | Positivo)
post_si_pos <- (p_pos_si * p_petrol) / p_s_pos 

# P(Petróleo | Negativo)
post_si_neg <- ((1 - p_pos_si) * p_petrol) / p_s_neg 

# 4. VALOR MONETARIO ESPERADO (VME)
# ------------------------------------------------------------------------------
# Definimos una función para no repetir el cálculo del promedio ponderado
vme_perf <- function(p_si) {
  # (Prob. Éxito * Ganancia Neta) + (Prob. Fracaso * Pérdida)
  p_si * (ingreso - costo_perf) + (1 - p_si) * (-costo_perf)
}

# VME de las opciones principales
vme_directo   <- vme_perf(p_petrol)
vme_perf_pos  <- vme_perf(post_si_pos)
vme_perf_neg  <- vme_perf(post_si_neg)

# Decisiones óptimas bajo cada resultado del estudio
dec_pos <- max(vme_perf_pos, precio_venta) 
dec_neg <- max(vme_perf_neg, precio_venta) 

# VME de la estrategia "Hacer el estudio"
vme_estudio <- (p_s_pos * dec_pos) + (p_s_neg * dec_neg) - costo_sismico

# 5. CONSTRUCCIÓN DEL ÁRBOL DE DECISIÓN VISUAL
# ------------------------------------------------------------------------------
arbol <- Node$new("Decisión Principal")

# RAMA A: Perforación Directa (Sin información extra)
r1 <- arbol$AddChild(sprintf("Perforar Directo (VME=$%sk)", round(vme_directo/1e3)))
n1 <- r1$AddChild(sprintf("Petróleo (p=%.2f)", p_petrol), payoff = ingreso - costo_perf)
n2 <- r1$AddChild(sprintf("Seco (p=%.2f)", 1-p_petrol), payoff = -costo_perf)

# RAMA B: Vender el terreno directamente
arbol$AddChild(sprintf("Vender Terreno ($%sk)", precio_venta/1e3), payoff = precio_venta)

# RAMA C: Realizar el estudio sísmico
r3 <- arbol$AddChild(sprintf("Hacer Estudio (VME=$%sk)", round(vme_estudio/1e3)))

# Sub-rama: Resultado Positivo
sp <- r3$AddChild(sprintf("Resultado (+) p=%.2f", p_s_pos))
sp$AddChild(sprintf("PERFORAR (VME=$%sk) ★", round(vme_perf_pos/1e3)))
sp$AddChild(sprintf("Vender ($%sk)", precio_venta/1e3))

# Sub-rama: Resultado Negativo
sn <- r3$AddChild(sprintf("Resultado (-) p=%.2f", p_s_neg))
sn$AddChild(sprintf("Perforar (VME=$%sk)", round(vme_perf_neg/1e3)))
sn$AddChild(sprintf("VENDER ($%sk) ★", precio_venta/1e3))

# Mostrar árbol en consola
print(arbol, "payoff")
##                             levelName payoff
## 1  Decisión Principal                     NA
## 2   ¦--Perforar Directo (VME=$170k)       NA
## 3   ¦   ¦--Petróleo (p=0.45)           5e+05
## 4   ¦   °--Seco (p=0.55)              -1e+05
## 5   ¦--Vender Terreno ($90k)           9e+04
## 6   °--Hacer Estudio (VME=$181k)          NA
## 7       ¦--Resultado (+) p=0.50           NA
## 8       ¦   ¦--PERFORAR (VME=$334k) ★     NA
## 9       ¦   °--Vender ($90k)              NA
## 10      °--Resultado (-) p=0.50           NA
## 11          ¦--Perforar (VME=$7k)         NA
## 12          °--VENDER ($90k) ★            NA
# 6. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD (GRÁFICO)
# ------------------------------------------------------------------------------
# Probamos diferentes valores de probabilidad inicial (de 0 a 1)
ps <- seq(0, 1, 0.01)

sens_data <- sapply(ps, function(p) {
  p_n    <- 1 - p
  s_pos  <- (p_pos_si * p) + (p_pos_no * p_n)
  s_neg  <- 1 - s_pos
  
  # Evitar división por cero si la prob es 0 o 1
  post_p <- if(s_pos > 0) (p_pos_si * p) / s_pos else 0
  post_n <- if(s_neg > 0) ((1 - p_pos_si) * p) / s_neg else 0
  
  v_estudio <- (s_pos * max(vme_perf(post_p), precio_venta)) + 
               (s_neg * max(vme_perf(post_n), precio_venta)) - costo_sismico
  
  c(Perforar = vme_perf(p), Vender = precio_venta, Estudio = v_estudio)
})

# Preparar datos para ggplot
df_sens <- as.data.frame(t(sens_data))
df_sens$p_petrol <- ps
df_long <- pivot_longer(df_sens, cols = -p_petrol, names_to = "Estrategia", values_to = "VME")

# Crear el gráfico
ggplot(df_long, aes(x = p_petrol, y = VME / 1000, color = Estrategia)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) +
  geom_vline(xintercept = p_petrol, linetype = "dashed", color = "black") +
  annotate("text", x = p_petrol + 0.05, y = 0, label = "P actual = 45%", angle = 90) +
  scale_color_manual(values = c("Perforar" = "#e63946", "Vender" = "#457b9d", "Estudio" = "#2a9d8f")) +
  labs(title = "Análisis de Sensibilidad del VME",
       subtitle = "Estrategia óptima según la probabilidad de encontrar petróleo",
       x = "Probabilidad de Petróleo",
       y = "Valor Monetario Esperado (Miles de $)") +
  theme_minimal()

# Árbol de Decisión (Referencia)
knitr::include_graphics("arbolimagen.png")

4. Interpretación de Resultados

El análisis compara tres alternativas: perforar directamente, vender el terreno o realizar un estudio sísmico. La opción de perforar implica mayor riesgo, ya que puede generar altas ganancias o pérdidas dependiendo de si se encuentra petróleo. En cambio, vender el terreno es una alternativa segura, pero con menor beneficio.

El estudio sísmico permite reducir la incertidumbre, ya que actualiza la probabilidad de encontrar petróleo mediante el Teorema de Bayes. Si el resultado es positivo, conviene perforar; si es negativo, es mejor vender.

Al comparar los Valores Monetarios Esperados, se identifica como mejor decisión aquella que maximiza el beneficio esperado. En este caso, el uso del estudio sísmico mejora la toma de decisiones al permitir elegir la mejor alternativa según la información obtenida.

5. Conclusiones

El Valor Monetario Esperado (VME) es una herramienta clave para tomar decisiones bajo incertidumbre, ya que permite comparar alternativas de forma objetiva. El uso del Teorema de Bayes mejora la toma de decisiones al actualizar las probabilidades con nueva información. La alternativa óptima es aquella que maximiza el beneficio esperado, considerando riesgos y ganancias. El estudio sísmico resulta útil porque reduce la incertidumbre y permite tomar decisiones más informadas. El modelo demuestra que el uso de herramientas cuantitativas facilita la elección de la mejor estrategia en problemas reales como la exploración petrolera.