1. Decisiones Secuenciales y Estructuradas

Representación gráfica que integra alternativas, incertidumbre y probabilidades en un solo modelo dinámico.

Referencia Visual de Estructura

A continuación se presenta una imagen técnica como referencia de la morfología de un árbol de decisión:

Estructura de un Árbol Base y Plegado (Referencia)

Estructura de un Árbol Base y Plegado (Referencia)

Nota de Referencia: La imagen anterior sirve exclusivamente como guía visual para identificar los componentes esenciales del modelo (nodos de decisión, azar y terminales) y no representa los valores específicos del caso petrolero.

📐 Fundamento Teórico

Un árbol de decisión es un grafo dirigido acíclico que modela problemas de decisión secuencial. A diferencia de la tabla de pagos (estática, una sola etapa), el árbol captura la temporalidad: primero decides, luego observas la naturaleza, luego vuelves a decidir. Es el modelo estándar cuando el decisor puede recibir información entre decisiones.

  • □ Nodo de Decisión (Cuadrado azul): El decisor elige qué rama tomar. Se resuelve tomando la alternativa de máximo VME. Las ramas rechazadas se “podan” (∥).
  • ○ Nodo de Azar (Círculo naranja): La naturaleza determina el resultado. Cada rama lleva su probabilidad. Su valor = VME ponderado de sus ramas.
  • ▷ Nodo Terminal (Rectángulo verde): El payoff final ($). Punto de partida del backward induction: se lee de derecha a izquierda.
  • ∥ Poda (Pruning): Marca doble barra en ramas no óptimas de nodos de decisión. La rama óptima queda “viva”.

2. Caso de Estudio: Exploración Petrolera 🛢️

Una empresa debe decidir entre vender un terreno ($90,000), perforar directamente (Inversión $100,000 con retorno de $600,000 si hay éxito) o realizar un estudio sísmico previo ($30,000).

🔄 Algoritmo de Backward Induction (Plegado del Árbol)

Aplicamos el Principio de Optimalidad de Bellman: Las decisiones futuras deben ser óptimas independientemente de las decisiones iniciales.

  1. Construir el árbol: De izquierda a derecha.
  2. Evaluar nodos terminales: Definir los pagos finales.
  3. Retroceder (Nodos de Azar): Calcular \(VME = \sum p_j \times valor_j\).
  4. Retroceder (Nodos de Decisión): Elegir el máximo VME y podar las ramas inferiores.

3. Implementación en R y Comentarios Técnicos

# --- PARÁMETROS INICIALES ---
p_petrol      <- 0.45    # Probabilidad a priori de encontrar petróleo
ingreso       <- 600000  # Ingreso bruto si la perforación es exitosa
costo_perf    <- 100000  # Costo fijo de realizar la perforación
precio_venta  <- 90000   # Precio de venta directa del terreno
costo_sismico <- 30000   # Costo del estudio técnico sísmico
p_pos_si      <- 0.80    # Probabilidad de que el estudio sea (+) si hay petróleo
p_pos_no      <- 0.25    # Probabilidad de que el estudio sea (+) si NO hay petróleo

# --- CÁLCULO BAYESIANO (Actualización de Probabilidades) ---
p_no    <- 1 - p_petrol  # Probabilidad complementaria (no hay petróleo)
# Probabilidad total de obtener un resultado positivo en el estudio
p_s_pos <- p_pos_si * p_petrol + p_pos_no * p_no 
# Probabilidad total de obtener un resultado negativo
p_s_neg <- 1 - p_s_pos   

# Probabilidad a posteriori: Hay petróleo dado que el estudio fue positivo
post_si_pos <- (p_pos_si * p_petrol) / p_s_pos 
# Probabilidad a posteriori: Hay petróleo dado que el estudio fue negativo
post_si_neg <- ((1 - p_pos_si) * p_petrol) / p_s_neg 

# --- CÁLCULO DE VALOR MONETARIO ESPERADO (VME) ---
# Función para calcular el VME de perforar dada una probabilidad 'p'
vme_perf <- function(p) p * (ingreso - costo_perf) + (1 - p) * (-costo_perf)

vme_directo   <- vme_perf(p_petrol)      # VME si perforamos sin hacer el estudio
vme_perf_pos  <- vme_perf(post_si_pos)   # VME de perforar si el estudio salió (+)
vme_perf_neg  <- vme_perf(post_si_neg)   # VME de perforar si el estudio salió (-)

# Decisiones en los nodos secundarios (¿Perforar o Vender después del estudio?)
dec_pos <- max(vme_perf_pos, precio_venta) # Elección óptima tras estudio (+)
dec_neg <- max(vme_perf_neg, precio_venta) # Elección óptima tras estudio (-)

# VME Global de la alternativa "Contratar Estudio"
vme_estudio <- p_s_pos * dec_pos + p_s_neg * dec_neg - costo_sismico

Interpretación de los Resultados Numéricos

  • VME Perforar Directo: $170,000. Representa la ganancia promedio si repetimos la operación muchas veces sin información extra.
  • VME Con Estudio: $181,475. Es la opción superior, pues permite “filtrar” los casos de fracaso.

4. Análisis de Sensibilidad y Visualización

Este análisis responde a: ¿Qué tan segura debe estar la empresa de que hay petróleo para que cambie su decisión?

# Creamos un vector de probabilidades desde 5% hasta 95%
ps   <- seq(0.05, 0.95, 0.01)

# Aplicamos la lógica del árbol para cada punto de probabilidad
sens <- sapply(ps, function(p) {
  pn  <- 1 - p
  sp  <- p_pos_si * p + p_pos_no * pn
  sn  <- 1 - sp
  pp  <- (p_pos_si * p) / sp
  pn2 <- ((1 - p_pos_si) * p) / sn
  dp  <- max(vme_perf(pp), precio_venta)
  dn  <- max(vme_perf(pn2), precio_venta)
  
  # Retornamos los tres valores comparativos
  c(Perforar = vme_perf(p), Vender = precio_venta, Estudio = sp * dp + sn * dn - costo_sismico)
})

# Convertimos la matriz en un dataframe y añadimos la columna de probabilidad (CORREGIDO)
df_s <- as.data.frame(t(sens)) %>% mutate(p_petrol = ps)

# Transformamos a formato largo para que ggplot pueda graficar las 3 líneas
df_long <- pivot_longer(df_s, -p_petrol, names_to = "Alternativa", values_to = "VME")

# Generación del gráfico estadístico
ggplot(df_long, aes(x = p_petrol, y = VME / 1000, color = Alternativa)) +
  geom_line(linewidth = 1.2) + # Dibujar líneas de tendencia
  geom_vline(xintercept = 0.45, linetype = "dashed", alpha = 0.5) + # Marcar nuestra P actual
  scale_color_manual(values = c("Estudio" = "#0f7a52", "Perforar" = "#3a7fbd", "Vender" = "#d97706")) +
  labs(title = "Análisis de Sensibilidad: VME vs Probabilidad de Petróleo",
       subtitle = "La línea verde (Estudio) domina en la incertidumbre media",
       x = "Probabilidad Inicial (P)", y = "VME (en miles $)") +
  theme_minimal()

Interpretación del Gráfico

  1. Zona de Venta (Naranja): Si la probabilidad de petróleo es muy baja (aprox. < 15%), lo mejor es vender el terreno y no arriesgar nada.
  2. Zona de Estudio (Verde): Es la mejor opción en la mayor parte del rango. Nos da el mayor valor esperado porque reduce el riesgo de pérdida.
  3. Zona de Perforación Directa (Azul): Si estuviéramos casi seguros de que hay petróleo (aprox. > 80%), el costo del estudio no valdría la pena y perforaríamos directamente.

5. Estrategia Final Recomendada

De acuerdo al Backward Induction, la empresa debe seguir este plan:

  1. Contratar el estudio sísmico. Su costo de $30k se recupera con creces gracias a la información obtenida (VEII = $41,502).
  2. Si el resultado es Positivo (Probabilidad sube a 72.3%), la acción es PERFORAR.
  3. Si el resultado es Negativo (Probabilidad baja a 17.9%), la acción es VENDER el terreno por los $90k originales, evitando una perforación que probablemente resultaría en pérdida.