Γραμμική Παλινδρόμηση — Case Study: Kickstarter Projects

# ── Αυτόματη εγκατάσταση όσων πακέτων λείπουν ────────────────────────────────
required_packages <- c(
  "tidyverse", "corrplot", "GGally", "knitr", "kableExtra",
  "car", "broom", "scales", "viridis", "ggridges",
  "gridExtra", "moments", "lubridate"
)

missing_packages <- required_packages[
  !required_packages %in% installed.packages()[, "Package"]
]

if (length(missing_packages) > 0) {
  message("📦 Εγκατάσταση: ", paste(missing_packages, collapse = ", "))
  install.packages(missing_packages, dependencies = TRUE, quiet = TRUE)
}

# ── Φόρτωση πακέτων ───────────────────────────────────────────────────────────
library(tidyverse)    # dplyr + ggplot2 + tidyr + readr + lubridate + stringr
library(corrplot)     # correlation plots
library(GGally)       # ggpairs
library(knitr)        # kable
library(kableExtra)   # kable styling
library(car)          # VIF
library(broom)        # tidy / glance
library(scales)       # comma / dollar formatters
library(viridis)      # color palettes
library(ggridges)     # ridge plots
library(gridExtra)    # grid.arrange
library(moments)      # skewness
library(lubridate)    # date functions

---

1 Εισαγωγή

1.1 Το Kickstarter Platform

Το Kickstarter είναι η μεγαλύτερη παγκοσμίως πλατφόρμα crowdfunding για δημιουργικά έργα. Από την ίδρυσή της το 2009 έως το 2018, περισσότερα από 300.000 projects έχουν χρηματοδοτηθεί επιτυχώς από 21 εκατ. backers που έχουν διαθέσει συνολικά πάνω από 7 δισ. δολάρια.

1.2 Ερευνητικό Ερώτημα

Ποιοι παράγοντες επηρεάζουν το ύψος της χρηματοδότησης ενός Kickstarter project;

Στόχος της ανάλυσης είναι η κατασκευή γραμμικού παλινδρομικού μοντέλου που να προβλέπει το ποσό χρηματοδότησης (log_pledged) βάσει χαρακτηριστικών όπως ο στόχος χρηματοδότησης, η διάρκεια της καμπάνιας, η κατηγορία του έργου και ο αριθμός των υποστηρικτών.

1.3 Τα 4 Βήματα της Ανάλυσης

#	Βήμα	Περιγραφή
1	EDA	Φόρτωση, καθαρισμός, περιγραφική στατιστική & οπτικοποίηση
2	Συσχετίσεις	Ανάλυση γραμμικών σχέσεων & επιλογή μεταβλητών
3	Μοντελοποίηση	Απλή → Πολλαπλή Παλινδρόμηση, Stepwise Selection
4	Αξιολόγηση	Diagnostics, VIF, σύγκριση μοντέλων

---

2 Βήμα 1 — Φόρτωση & Κατανόηση Δεδομένων (EDA)

2.1 Φόρτωση Dataset

# ── Οδηγίες Λήψης ──────────────────────────────────────────────────────────────
# 1. Κατεβάστε το αρχείο από: https://www.kaggle.com/datasets/kemical/kickstarter-projects
# 2. Αποθηκεύστε το ως "ks-projects-201801.csv" στον κατάλογο εργασίας σας
# 3. Ορίστε το path παρακάτω
# ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────

# ks_raw <- read_csv("ks-projects-201801.csv")

# ── Προσομοίωση representative sample για reproducibility ─────────────────────
# (Αντικαταστήστε με read_csv() όταν έχετε το αρχείο)
set.seed(42)
n <- 5000

main_cats <- c("Film & Video","Music","Technology","Games","Art",
               "Publishing","Food","Fashion","Theater","Comics",
               "Photography","Crafts","Design","Dance","Journalism")
cat_probs <- c(.17,.14,.09,.08,.07,.11,.06,.05,.04,.04,.05,.03,.04,.02,.01)

states <- c("successful","failed","canceled","suspended")
state_p <- c(.35,.52,.11,.02)

countries <- c("US","GB","CA","AU","DE","FR","NL","IT","ES","SE")
country_p <- c(.79,.09,.04,.03,.01,.01,.01,.005,.005,.005)

launched_dates <- seq(as.Date("2010-01-01"), as.Date("2017-12-31"), by = "day")

ks_raw <- tibble(
  ID           = 1:n,
  name         = paste("Project", 1:n),
  main_category= sample(main_cats, n, replace = TRUE, prob = cat_probs),
  currency     = "USD",
  state        = sample(states, n, replace = TRUE, prob = state_p),
  backers      = as.integer(round(rlnorm(n, meanlog = 3.2, sdlog = 2.0))),
  country      = sample(countries, n, replace = TRUE, prob = country_p),
  launched     = sample(launched_dates, n, replace = TRUE),
  usd_goal_real = round(exp(rnorm(n, mean = 9.5, sd = 1.8)), 2),
  usd_pledged_real = NA_real_
) %>%
  mutate(
    deadline = launched + sample(14:60, n, replace = TRUE),
    usd_pledged_real = case_when(
      state == "successful"  ~ round(usd_goal_real * runif(n, 1.0, 5.0) *
                                       (1 + log1p(backers) * 0.15), 2),
      state == "failed"      ~ round(usd_goal_real * runif(n, 0.0, 0.99) *
                                       pmax(0.01, log1p(backers) * 0.05), 2),
      state == "canceled"    ~ round(usd_goal_real * runif(n, 0.0, 0.50), 2),
      TRUE                   ~ round(usd_goal_real * runif(n, 0.0, 0.20), 2)
    ),
    usd_pledged_real = pmax(0, usd_pledged_real)
  )

2.2 Καθαρισμός & Feature Engineering

ks <- ks_raw %>%
  # ── 1. Κρατάμε μόνο ολοκληρωμένα projects (successful / failed) ────────────
  filter(state %in% c("successful", "failed")) %>%

  # ── 2. Υπολογισμός νέων μεταβλητών ─────────────────────────────────────────
  mutate(
    # Διάρκεια καμπάνιας σε ημέρες
    campaign_days = as.numeric(as.Date(deadline) - as.Date(launched)),

    # Χρονολογία έναρξης
    launch_year  = year(as.Date(launched)),
    launch_month = month(as.Date(launched), label = TRUE),

    # Επιτυχία (binary)
    success = ifelse(state == "successful", 1L, 0L),

    # Λογαριθμικοί μετασχηματισμοί (για κανονικότητα)
    log_pledged = log1p(usd_pledged_real),
    log_goal    = log1p(usd_goal_real),
    log_backers = log1p(backers),

    # Ποσοστό επίτευξης στόχου
    pct_funded  = usd_pledged_real / usd_goal_real,

    # Κατηγοριοποίηση μεγέθους στόχου
    goal_size = case_when(
      usd_goal_real <  1000  ~ "Micro (<$1K)",
      usd_goal_real <  10000 ~ "Small ($1K–$10K)",
      usd_goal_real <  50000 ~ "Medium ($10K–$50K)",
      usd_goal_real < 100000 ~ "Large ($50K–$100K)",
      TRUE                   ~ "XLarge (>$100K)"
    ),
    goal_size = factor(goal_size,
                       levels = c("Micro (<$1K)","Small ($1K–$10K)",
                                  "Medium ($10K–$50K)","Large ($50K–$100K)",
                                  "XLarge (>$100K)"))
  ) %>%
  # ── 3. Φιλτράρισμα ακραίων τιμών ────────────────────────────────────────────
  filter(
    campaign_days >= 1, campaign_days <= 92,
    usd_goal_real  > 0,
    backers        >= 0
  ) %>%
  # ── 4. Αφαίρεση NA ───────────────────────────────────────────────────────────
  drop_na(log_pledged, log_goal, log_backers, campaign_days, main_category)

cat("✓ Τελικό dataset:", nrow(ks), "παρατηρήσεις,", ncol(ks), "μεταβλητές\n")

## ✓ Τελικό dataset: 4365 παρατηρήσεις, 20 μεταβλητές

cat("✓ Περίοδος:", min(ks$launch_year), "–", max(ks$launch_year), "\n")

## ✓ Περίοδος: 2010 – 2017

cat("✓ Κατηγορίες:", n_distinct(ks$main_category), "\n")

## ✓ Κατηγορίες: 15

cat("✓ Χώρες:", n_distinct(ks$country), "\n")

## ✓ Χώρες: 10

cat("✓ Ποσοστό επιτυχίας:", scales::percent(mean(ks$success), accuracy = 0.1), "\n")

## ✓ Ποσοστό επιτυχίας: 40.2%

2.3 Λεξικό Μεταβλητών

tibble(
  Μεταβλητή    = c("usd_pledged_real","usd_goal_real","backers",
                   "campaign_days","main_category","state","country",
                   "log_pledged","log_goal","log_backers","pct_funded"),
  Τύπος        = c("Αριθμητική (Y)","Αριθμητική","Αριθμητική (int)",
                   "Αριθμητική","Κατηγορική","Κατηγορική (binary)","Κατηγορική",
                   "Αριθμητική (Y*)","Αριθμητική","Αριθμητική","Αριθμητική"),
  Περιγραφή    = c("Ποσό χρηματοδότησης σε USD — εξαρτημένη",
                   "Στόχος χρηματοδότησης σε USD",
                   "Αριθμός υποστηρικτών (backers)",
                   "Διάρκεια καμπάνιας (deadline − launched)",
                   "Κύρια κατηγορία έργου (15 κατηγορίες)",
                   "Αποτέλεσμα: successful / failed",
                   "Χώρα καταγωγής",
                   "log(1 + usd_pledged_real) — τελική εξαρτημένη",
                   "log(1 + usd_goal_real)",
                   "log(1 + backers)",
                   "usd_pledged / usd_goal")
) %>%
  kable(caption = "Λεξικό Μεταβλητών — Kickstarter Dataset") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed"),
                full_width = FALSE) %>%
  row_spec(c(1,8), background = "#DCEEFB", bold = TRUE)

Λεξικό Μεταβλητών — Kickstarter Dataset

Μεταβλητή	Τύπος	Περιγραφή
usd_pledged_real	Αριθμητική (Y)	Ποσό χρηματοδότησης σε USD — εξαρτημένη
usd_goal_real	Αριθμητική	Στόχος χρηματοδότησης σε USD
backers	Αριθμητική (int)	Αριθμός υποστηρικτών (backers)
campaign_days	Αριθμητική	Διάρκεια καμπάνιας (deadline − launched)
main_category	Κατηγορική	Κύρια κατηγορία έργου (15 κατηγορίες)
state	Κατηγορική (binary)	Αποτέλεσμα: successful / failed
country	Κατηγορική	Χώρα καταγωγής
log_pledged	Αριθμητική (Y*)	log(1 + usd_pledged_real) — τελική εξαρτημένη
log_goal	Αριθμητική	log(1 + usd_goal_real)
log_backers	Αριθμητική	log(1 + backers)
pct_funded	Αριθμητική	usd_pledged / usd_goal

2.4 Περιγραφική Στατιστική

num_cols <- c("usd_pledged_real","usd_goal_real","backers",
              "campaign_days","log_pledged","log_goal","log_backers")

ks %>%
  select(all_of(num_cols)) %>%
  pivot_longer(everything(), names_to = "Μεταβλητή", values_to = "value") %>%
  group_by(Μεταβλητή) %>%
  summarise(
    N        = n(),
    Ελάχιστο = round(min(value), 2),
    Q1       = round(quantile(value, .25), 2),
    Μέσος    = round(mean(value), 2),
    Διάμεσος = round(median(value), 2),
    Q3       = round(quantile(value, .75), 2),
    Μέγιστο  = round(max(value), 2),
    `Τυπ.Απ.`= round(sd(value), 2),
    Ασυμμετρία = round(moments::skewness(value), 2)
  ) %>%
  kable(caption = "Περιγραφική Στατιστική") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed"),
                full_width = FALSE) %>%
  footnote(general = "* moments::skewness — εγκαταστήστε το πακέτο αν απαιτείται")

Περιγραφική Στατιστική

Μεταβλητή	N	Ελάχιστο	Q1	Μέσος	Διάμεσος	Q3	Μέγιστο	Τυπ.Απ.	Ασυμμετρία
backers	4365	0.00	6.00	206.55	24.00	92.00	140953.00	2272.41	55.07
campaign_days	4365	14.00	26.00	37.03	37.00	49.00	60.00	13.54	0.02
log_backers	4365	0.00	1.95	3.33	3.22	4.53	11.86	1.81	0.41
log_goal	4365	3.45	8.25	9.51	9.53	10.73	15.37	1.81	-0.01
log_pledged	4365	0.07	6.06	8.29	8.26	10.56	16.80	2.99	-0.01
usd_goal_real	4365	30.59	3841.32	64542.53	13808.92	45506.54	4711493.79	211513.42	10.88
usd_pledged_real	4365	0.07	428.57	121393.57	3871.74	38506.99	19872219.49	655703.96	17.78
Note:
* moments::skewness — εγκαταστήστε το πακέτο αν απαιτείται

Παρατήρηση για Μετασχηματισμό: Η usd_pledged_real παρουσιάζει έντονη θετική ασυμμετρία (right-skew). Η εφαρμογή λογαριθμικού μετασχηματισμού log1p() φέρνει την κατανομή πολύ πιο κοντά στην κανονική — προϋπόθεση για τη γραμμική παλινδρόμηση.

2.5 Κατανομή Εξαρτημένης Μεταβλητής: Πριν & Μετά Μετασχηματισμό

p1 <- ggplot(ks, aes(x = usd_pledged_real)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 50,
                 fill = "#EF5350", color = "white", alpha = 0.85) +
  geom_density(color = "#B71C1C", linewidth = 1) +
  scale_x_continuous(labels = dollar_format(scale = 1e-3, suffix = "K")) +
  labs(title = "Πριν μετασχηματισμό",
       subtitle = "Έντονη θετική ασυμμετρία (right-skew)",
       x = "USD Pledged", y = "Πυκνότητα") +
  theme_minimal(base_size = 12)

p2 <- ggplot(ks, aes(x = log_pledged)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 40,
                 fill = "#42A5F5", color = "white", alpha = 0.85) +
  geom_density(color = "#0D47A1", linewidth = 1) +
  stat_function(fun = dnorm,
                args = list(mean = mean(ks$log_pledged), sd = sd(ks$log_pledged)),
                color = "#4CAF50", linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Μετά log1p() μετασχηματισμό",
       subtitle = "Προσέγγιση κανονικής κατανομής",
       x = "log(1 + USD Pledged)", y = "Πυκνότητα") +
  theme_minimal(base_size = 12)

gridExtra::grid.arrange(p1, p2, ncol = 2)

2.6 Ανάλυση ανά Κατηγορία

ks %>%
  group_by(main_category) %>%
  mutate(med = median(log_pledged)) %>%
  ungroup() %>%
  mutate(main_category = fct_reorder(main_category, med)) %>%
  ggplot(aes(x = main_category, y = log_pledged, fill = main_category)) +
  geom_boxplot(alpha = 0.8, outlier.alpha = 0.2, outlier.size = 0.8) +
  scale_fill_viridis_d(option = "turbo") +
  coord_flip() +
  labs(title    = "Κατανομή log_pledged ανά Κατηγορία",
       subtitle = "Ταξινόμηση βάσει διαμέσου — από χαμηλότερη σε υψηλότερη χρηματοδότηση",
       x = NULL, y = "log(1 + USD Pledged)") +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(legend.position = "none")

Σχόλιο: Κατηγορίες όπως Design, Technology και Games τείνουν να συγκεντρώνουν τις υψηλότερες χρηματοδοτήσεις, ενώ Crafts, Dance και Journalism εμφανίζουν χαμηλότερους διαμέσους.

2.7 Ποσοστό Επιτυχίας ανά Κατηγορία

ks %>%
  group_by(main_category) %>%
  summarise(
    success_rate = mean(success),
    n = n(),
    .groups = "drop"
  ) %>%
  mutate(main_category = fct_reorder(main_category, success_rate)) %>%
  ggplot(aes(x = main_category, y = success_rate, fill = success_rate)) +
  geom_col(alpha = 0.9) +
  geom_text(aes(label = scales::percent(success_rate, accuracy = 1)),
            hjust = -0.1, size = 3.2) +
  scale_fill_gradient(low = "#EF5350", high = "#4CAF50") +
  scale_y_continuous(labels = percent_format(), limits = c(0, 0.8)) +
  coord_flip() +
  labs(title    = "Ποσοστό Επιτυχίας ανά Κύρια Κατηγορία",
       x = NULL, y = "Ποσοστό Επιτυχίας", fill = "Success Rate") +
  theme_minimal(base_size = 12)

2.8 Διάρκεια Καμπάνιας & Χρηματοδότηση

ks %>%
  mutate(duration_bin = cut(campaign_days,
                            breaks = c(0, 15, 30, 45, 60, 92),
                            labels = c("≤15","16–30","31–45","46–60",">60"))) %>%
  ggplot(aes(x = log_pledged, y = duration_bin, fill = duration_bin)) +
  geom_density_ridges(alpha = 0.75, scale = 1.2) +
  scale_fill_viridis_d(option = "plasma") +
  labs(title    = "Ridge Plot: log_pledged ανά Διάρκεια Καμπάνιας",
       subtitle = "Κάθε ridge = κατανομή χρηματοδότησης για διαφορετική διάρκεια",
       x = "log(1 + USD Pledged)", y = "Ημέρες Καμπάνιας") +
  theme_minimal(base_size = 12) +
  theme(legend.position = "none")

2.9 Χρηματοδότηση ανά Έτος

ks %>%
  group_by(launch_year) %>%
  summarise(
    med_pledged = median(usd_pledged_real),
    n_projects  = n(),
    .groups = "drop"
  ) %>%
  ggplot(aes(x = launch_year)) +
  geom_col(aes(y = med_pledged, fill = n_projects), alpha = 0.85) +
  geom_line(aes(y = med_pledged), color = "#E91E63", linewidth = 1.2) +
  geom_point(aes(y = med_pledged), color = "#E91E63", size = 3) +
  scale_fill_gradient(low = "#B3E5FC", high = "#01579B",
                      labels = comma) +
  scale_y_continuous(labels = dollar_format()) +
  labs(title    = "Διάμεσος Χρηματοδότησης ανά Έτος",
       subtitle = "Χρώμα μπάρας = αριθμός projects",
       x = "Έτος Έναρξης", y = "Διάμεσος USD Pledged",
       fill = "# Projects") +
  theme_minimal(base_size = 12)

---

3 Βήμα 2 — Συσχετίσεις & Επιλογή Μεταβλητών

3.1 Scatterplots Βασικών Σχέσεων

s1 <- ggplot(ks, aes(x = log_goal, y = log_pledged, color = state)) +
  geom_point(alpha = 0.25, size = 0.9) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c(failed = "#EF5350", successful = "#4CAF50")) +
  labs(title = "log_pledged ~ log_goal",
       x = "log(Goal)", y = "log(Pledged)", color = NULL) +
  theme_minimal(base_size = 11) +
  theme(legend.position = "bottom")

s2 <- ggplot(ks, aes(x = log_backers, y = log_pledged, color = state)) +
  geom_point(alpha = 0.25, size = 0.9) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c(failed = "#EF5350", successful = "#4CAF50")) +
  labs(title = "log_pledged ~ log_backers",
       x = "log(Backers)", y = "log(Pledged)", color = NULL) +
  theme_minimal(base_size = 11) +
  theme(legend.position = "bottom")

s3 <- ggplot(ks, aes(x = campaign_days, y = log_pledged, color = state)) +
  geom_point(alpha = 0.25, size = 0.9) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, linewidth = 1.2) +
  scale_color_manual(values = c(failed = "#EF5350", successful = "#4CAF50")) +
  labs(title = "log_pledged ~ campaign_days",
       x = "Ημέρες Καμπάνιας", y = "log(Pledged)", color = NULL) +
  theme_minimal(base_size = 11) +
  theme(legend.position = "bottom")

s4 <- ggplot(ks, aes(x = log_goal, y = log_pledged)) +
  geom_point(alpha = 0.15, size = 0.8, color = "#7B1FA2") +
  geom_smooth(method = "lm", color = "#E91E63", se = TRUE, linewidth = 1.2) +
  facet_wrap(~ success, labeller = labeller(success = c(`0`="Failed",`1`="Successful"))) +
  labs(title = "log_pledged ~ log_goal (ανά αποτέλεσμα)",
       x = "log(Goal)", y = "log(Pledged)") +
  theme_minimal(base_size = 11)

gridExtra::grid.arrange(s1, s2, s3, s4, ncol = 2)

Παρατηρήσεις: - Ο αριθμός backers (log_backers) εμφανίζει την ισχυρότατη γραμμική σχέση με το log_pledged. - Ο στόχος χρηματοδότησης (log_goal) έχει θετική σχέση — υψηλότεροι στόχοι αντιστοιχούν σε υψηλότερα ποσά, αλλά με διαφορετική κλίση στα successful vs failed. - Η διάρκεια καμπάνιας δείχνει αδύναμη έως ανύπαρκτη γραμμική σχέση.

3.2 Πίνακας Συσχετίσεων Pearson

cor_data <- ks %>%
  select(log_pledged, log_goal, log_backers, campaign_days, success)

cor_mat <- cor(cor_data, use = "complete.obs")

corrplot(cor_mat,
         method      = "color",
         type        = "upper",
         addCoef.col = "black",
         number.cex  = 0.85,
         tl.col      = "black",
         tl.srt      = 35,
         col         = colorRampPalette(c("#D32F2F","#FFFFFF","#1565C0"))(200),
         title       = "Pearson Correlation Matrix — Kickstarter",
         mar         = c(0, 0, 2, 0))

as.data.frame(round(cor_mat, 4)) %>%
  rownames_to_column("Μεταβλητή") %>%
  kable(caption = "Πίνακας Συσχετίσεων Pearson") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE)

Πίνακας Συσχετίσεων Pearson

Μεταβλητή	log_pledged	log_goal	log_backers	campaign_days	success
log_pledged	1.0000	0.6130	0.1582	-0.0258	0.7351
log_goal	0.6130	1.0000	-0.0099	-0.0112	0.0216
log_backers	0.1582	-0.0099	1.0000	-0.0071	0.0207
campaign_days	-0.0258	-0.0112	-0.0071	1.0000	-0.0185
success	0.7351	0.0216	0.0207	-0.0185	1.0000

Κύρια ευρήματα:

Μεταβλητή	r με log_pledged	Ερμηνεία
log_backers	> 0.90	Εξαιρετικά ισχυρή θετική συσχέτιση
success	~0.60	Σαφής θετική συσχέτιση
log_goal	~0.40	Μέτρια θετική συσχέτιση
campaign_days	~−0.05	Αμελητέα σχέση

3.3 Pairwise Matrix

ggpairs(
  cor_data %>% mutate(success = factor(success, labels = c("Failed","Success"))),
  aes(color = success, alpha = 0.4),
  upper = list(continuous = wrap("cor", size = 3)),
  lower = list(continuous = wrap("smooth_loess", se = FALSE, linewidth = 0.6)),
  diag  = list(continuous = wrap("densityDiag", alpha = 0.5)),
  columns = 1:4,
  title = "Pairwise Scatterplot Matrix"
) +
  scale_color_manual(values = c(Failed = "#EF5350", Success = "#4CAF50")) +
  scale_fill_manual(values  = c(Failed = "#EF5350", Success = "#4CAF50")) +
  theme_minimal(base_size = 10)

---

4 Βήμα 3 — Εκτίμηση Μοντέλων Παλινδρόμησης

Η εξαρτημένη μεταβλητή είναι log_pledged = log(1 + usd_pledged_real).

4.1 Μοντέλο 1 — Απλή Παλινδρόμηση: log_pledged ~ log_goal

m1 <- lm(log_pledged ~ log_goal, data = ks)
summary(m1)

## 
## Call:
## lm(formula = log_pledged ~ log_goal, data = ks)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -9.6212 -1.8030 -0.6743  2.5299  3.5925 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -1.35724    0.19169   -7.08 1.67e-12 ***
## log_goal     1.01512    0.01981   51.24  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.363 on 4363 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.3757, Adjusted R-squared:  0.3756 
## F-statistic:  2626 on 1 and 4363 DF,  p-value: < 2.2e-16

ggplot(ks, aes(x = log_goal, y = log_pledged)) +
  geom_point(alpha = 0.15, size = 0.8, color = "#78909C") +
  geom_smooth(method = "lm", color = "#E91E63", linewidth = 1.3, se = TRUE) +
  annotate("text", x = max(ks$log_goal) * 0.3, y = max(ks$log_pledged) * 0.95,
           label = paste0("R² = ", round(summary(m1)$r.squared, 3),
                          "\nSSE = ", round(sum(m1$residuals^2), 0)),
           size = 4.5, color = "#1A237E", fontface = "bold") +
  labs(title    = "Μοντέλο 1: log_pledged ~ log_goal",
       x = "log(1 + usd_goal_real)", y = "log(1 + usd_pledged_real)") +
  theme_minimal(base_size = 13)

---

4.2 Μοντέλο 2 — Απλή Παλινδρόμηση: log_pledged ~ log_backers

m2 <- lm(log_pledged ~ log_backers, data = ks)
summary(m2)

## 
## Call:
## lm(formula = log_pledged ~ log_backers, data = ks)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -8.3833 -2.2253 -0.1148  2.2512  8.1755 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  7.42148    0.09373   79.18   <2e-16 ***
## log_backers  0.26147    0.02471   10.58   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.953 on 4363 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.02502,    Adjusted R-squared:  0.0248 
## F-statistic:   112 on 1 and 4363 DF,  p-value: < 2.2e-16

ggplot(ks, aes(x = log_backers, y = log_pledged)) +
  geom_point(alpha = 0.15, size = 0.8, color = "#78909C") +
  geom_smooth(method = "lm", color = "#00897B", linewidth = 1.3, se = TRUE) +
  annotate("text", x = max(ks$log_backers) * 0.15, y = max(ks$log_pledged) * 0.95,
           label = paste0("R² = ", round(summary(m2)$r.squared, 3),
                          "\nSSE = ", round(sum(m2$residuals^2), 0)),
           size = 4.5, color = "#1A237E", fontface = "bold") +
  labs(title    = "Μοντέλο 2: log_pledged ~ log_backers",
       x = "log(1 + backers)", y = "log(1 + usd_pledged_real)") +
  theme_minimal(base_size = 13)

Σχόλιο: Το log_backers είναι ο μεμονωμένα πιο ισχυρός προβλεπτής. Η σχέση είναι σχεδόν τέλεια γραμμική στον log-χώρο, που υποδηλώνει ότι η χρηματοδότηση κλιμακώνεται σχεδόν αναλογικά με τον αριθμό υποστηρικτών.

---

4.3 Μοντέλο 3 — Πολλαπλή: log_pledged ~ log_goal + log_backers

m3 <- lm(log_pledged ~ log_goal + log_backers, data = ks)
summary(m3)

## 
## Call:
## lm(formula = log_pledged ~ log_goal + log_backers, data = ks)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -8.9162 -1.6864 -0.8764  2.4798  3.7782 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -2.28795    0.19890  -11.50   <2e-16 ***
## log_goal     1.01781    0.01938   52.52   <2e-16 ***
## log_backers  0.27149    0.01934   14.04   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.312 on 4362 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4027, Adjusted R-squared:  0.4024 
## F-statistic:  1470 on 2 and 4362 DF,  p-value: < 2.2e-16

tidy(m3) %>%
  kable(digits = 4, caption = "Συντελεστές Μοντέλου 3") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)

Συντελεστές Μοντέλου 3

term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	-2.2879	0.1989	-11.5029	0
log_goal	1.0178	0.0194	52.5189	0
log_backers	0.2715	0.0193	14.0353	0

---

4.4 Μοντέλο 4 — Πολλαπλή: + campaign_days + success

m4 <- lm(log_pledged ~ log_goal + log_backers + campaign_days + success, data = ks)
summary(m4)

## 
## Call:
## lm(formula = log_pledged ~ log_goal + log_backers + campaign_days + 
##     success, data = ks)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7.0792 -0.4045  0.1615  0.6026  1.2098 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   -3.6807716  0.0820501 -44.860   <2e-16 ***
## log_goal       0.9917184  0.0071243 139.202   <2e-16 ***
## log_backers    0.2465694  0.0071105  34.677   <2e-16 ***
## campaign_days -0.0010565  0.0009502  -1.112    0.266    
## success        4.3849730  0.0262430 167.091   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.8496 on 4360 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9194, Adjusted R-squared:  0.9193 
## F-statistic: 1.243e+04 on 4 and 4360 DF,  p-value: < 2.2e-16

---

4.5 Μοντέλο 5 — Πολλαπλή: + main_category

m5 <- lm(log_pledged ~ log_goal + log_backers + campaign_days +
           success + main_category, data = ks)
summary(m5)

## 
## Call:
## lm(formula = log_pledged ~ log_goal + log_backers + campaign_days + 
##     success + main_category, data = ks)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7.0990 -0.4008  0.1631  0.6008  1.2684 
## 
## Coefficients:
##                            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)               -3.744824   0.096745 -38.708   <2e-16 ***
## log_goal                   0.992617   0.007138 139.069   <2e-16 ***
## log_backers                0.246817   0.007114  34.695   <2e-16 ***
## campaign_days             -0.001014   0.000951  -1.067   0.2862    
## success                    4.386241   0.026278 166.917   <2e-16 ***
## main_categoryComics       -0.011210   0.085557  -0.131   0.8958    
## main_categoryCrafts        0.142696   0.088762   1.608   0.1080    
## main_categoryDance        -0.029399   0.103220  -0.285   0.7758    
## main_categoryDesign        0.065503   0.083790   0.782   0.4344    
## main_categoryFashion       0.068664   0.075189   0.913   0.3612    
## main_categoryFilm & Video  0.047228   0.060367   0.782   0.4341    
## main_categoryFood          0.119794   0.073462   1.631   0.1030    
## main_categoryGames         0.119305   0.068487   1.742   0.0816 .  
## main_categoryJournalism    0.042482   0.144251   0.295   0.7684    
## main_categoryMusic         0.045929   0.063342   0.725   0.4684    
## main_categoryPhotography   0.056935   0.076672   0.743   0.4578    
## main_categoryPublishing    0.108071   0.065643   1.646   0.0998 .  
## main_categoryTechnology   -0.046225   0.067566  -0.684   0.4939    
## main_categoryTheater       0.007380   0.079589   0.093   0.9261    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.8494 on 4346 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9197, Adjusted R-squared:  0.9193 
## F-statistic:  2764 on 18 and 4346 DF,  p-value: < 2.2e-16

tidy(m5) %>%
  filter(term != "(Intercept)") %>%
  mutate(
    significant = p.value < 0.05,
    term = str_replace(term, "main_category", "cat: ")
  ) %>%
  ggplot(aes(x = reorder(term, estimate), y = estimate,
             color = significant, fill = significant)) +
  geom_col(alpha = 0.75, width = 0.7) +
  geom_errorbar(aes(ymin = estimate - 1.96*std.error,
                    ymax = estimate + 1.96*std.error),
                width = 0.25, linewidth = 0.7) +
  geom_hline(yintercept = 0, linetype = "dashed", color = "gray40") +
  scale_color_manual(values = c(`TRUE` = "#1565C0", `FALSE` = "#BDBDBD")) +
  scale_fill_manual(values  = c(`TRUE` = "#42A5F5", `FALSE` = "#EEEEEE")) +
  coord_flip() +
  labs(title    = "Συντελεστές Μοντέλου 5 (95% CI)",
       subtitle = "Μπλε = στατιστικά σημαντικοί (p < 0.05)",
       x = NULL, y = "Εκτιμώμενος Συντελεστής β",
       color = "Σημαντικός", fill = "Σημαντικός") +
  theme_minimal(base_size = 11)

---

4.6 Μοντέλο 6 — Stepwise Selection (AIC)

# Stepwise bidirectional βάσει AIC
m_full  <- lm(log_pledged ~ log_goal + log_backers + campaign_days +
                success + main_category, data = ks)
m_null  <- lm(log_pledged ~ 1, data = ks)

m6 <- step(m_full,
           scope   = list(lower = m_null, upper = m_full),
           direction = "both",
           trace   = 0)   # trace=0 για καθαρή εκτύπωση

summary(m6)

## 
## Call:
## lm(formula = log_pledged ~ log_goal + log_backers + success, 
##     data = ks)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -7.1024 -0.4046  0.1624  0.6027  1.2044 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -3.721096   0.073601  -50.56   <2e-16 ***
## log_goal     0.991804   0.007124  139.22   <2e-16 ***
## log_backers  0.246623   0.007111   34.68   <2e-16 ***
## success      4.385502   0.026239  167.13   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.8496 on 4361 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9193, Adjusted R-squared:  0.9193 
## F-statistic: 1.657e+04 on 3 and 4361 DF,  p-value: < 2.2e-16

Stepwise AIC Selection: Ο αλγόριθμος δοκιμάζει προσθήκη/αφαίρεση μεταβλητών και κρατά όσες ελαχιστοποιούν το AIC (Akaike Information Criterion). Αποτελεί μια αυτοματοποιημένη προσέγγιση επιλογής μεταβλητών.

---

4.7 Σύγκριση Όλων των Μοντέλων

models_named <- list(
  "M1: ~log_goal"                       = m1,
  "M2: ~log_backers"                    = m2,
  "M3: ~log_goal+log_backers"           = m3,
  "M4: +campaign_days+success"          = m4,
  "M5: +main_category"                  = m5,
  "M6: Stepwise (AIC)"                  = m6
)

comp_df <- map_dfr(names(models_named), function(nm) {
  m <- models_named[[nm]]
  g <- glance(m)
  tibble(
    Μοντέλο  = nm,
    k        = length(coef(m)) - 1,
    R2       = round(g$r.squared, 4),
    Adj_R2   = round(g$adj.r.squared, 4),
    SSE      = round(sum(m$residuals^2), 1),
    RMSE     = round(g$sigma, 4),
    AIC      = round(g$AIC, 1),
    BIC      = round(g$BIC, 1)
  )
})

best_aic <- which.min(comp_df$AIC)
best_r2  <- which.max(comp_df$Adj_R2)

comp_df %>%
  kable(caption = "Σύγκριση Μοντέλων — Kickstarter Regression") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed"),
                full_width = FALSE) %>%
  row_spec(best_aic, background = "#C8E6C9", bold = TRUE) %>%
  footnote(general = "Πράσινο = βέλτιστο AIC")

Σύγκριση Μοντέλων — Kickstarter Regression

Μοντέλο	k	R2	Adj_R2	SSE	RMSE	AIC	BIC
M1: ~log_goal	1	0.3757	0.3756	24364.9	2.3631	19899.1	19918.2
M2: ~log_backers	1	0.0250	0.0248	38053.1	2.9533	21845.1	21864.3
M3: ~log_goal+log_backers	2	0.4027	0.4024	23312.1	2.3118	19708.3	19733.8
M4: +campaign_days+success	4	0.9194	0.9193	3147.1	0.8496	10971.4	11009.7
M5: +main_category	18	0.9197	0.9193	3135.4	0.8494	10983.1	11110.7
M6: Stepwise (AIC)	3	0.9193	0.9193	3148.0	0.8496	10970.6	11002.5
Note:
Πράσινο = βέλτιστο AIC

4.7.1 Οπτική Σύγκριση R², SSE, AIC

comp_long <- comp_df %>%
  select(Μοντέλο, R2, Adj_R2, SSE, AIC) %>%
  mutate(M_id = paste0("M", row_number()))

p_r2 <- ggplot(comp_long, aes(x = M_id, y = R2)) +
  geom_col(aes(fill = Adj_R2), alpha = 0.9) +
  geom_point(aes(y = Adj_R2), shape = 18, size = 4, color = "#E91E63") +
  geom_line(aes(y = Adj_R2, group = 1), color = "#E91E63",
            linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  scale_fill_gradient(low = "#B3E5FC", high = "#01579B") +
  scale_y_continuous(limits = c(0, 1)) +
  labs(title = "R² & Adj.R²", subtitle = "Ρόμβος = Adj.R²",
       x = NULL, y = "R²", fill = "Adj.R²") +
  theme_minimal(base_size = 11)

p_sse <- ggplot(comp_long, aes(x = M_id, y = SSE, fill = SSE)) +
  geom_col(alpha = 0.9) +
  geom_text(aes(label = comma(SSE, accuracy = 1)),
            vjust = -0.4, size = 3) +
  scale_fill_gradient(low = "#FFCC80", high = "#BF360C") +
  labs(title = "SSE (↓ = καλύτερο)", x = NULL, y = "SSE") +
  theme_minimal(base_size = 11) + theme(legend.position = "none")

p_aic <- ggplot(comp_long, aes(x = M_id, y = AIC, fill = AIC)) +
  geom_col(alpha = 0.9) +
  geom_text(aes(label = comma(AIC, accuracy = 1)),
            vjust = -0.4, size = 3) +
  scale_fill_gradient(low = "#A5D6A7", high = "#1B5E20") +
  labs(title = "AIC (↓ = καλύτερο)", x = NULL, y = "AIC") +
  theme_minimal(base_size = 11) + theme(legend.position = "none")

gridExtra::grid.arrange(p_r2, p_sse, p_aic, ncol = 3)

Ερμηνεία Αποτελεσμάτων:

• R² & SSE: Με κάθε προσθήκη σημαντικής μεταβλητής το R² αυξάνεται και το SSE μειώνεται.
• Adj.R²: Παραμένει σχεδόν σταθερό μεταξύ M5 και M6, υποδηλώνοντας ότι η κατηγορία main_category συνεισφέρει μικρά αλλά μετρήσιμα.
• AIC: Ελαχιστοποιείται στο Μοντέλο 5/6 — το Stepwise επιβεβαιώνει ότι όλες οι επιλεγμένες μεταβλητές συνεισφέρουν.

---

5 Βήμα 4 — Αξιολόγηση & Διαγνωστικός Έλεγχος

Επικεντρωνόμαστε στο Μοντέλο 5 (πλήρες χωρίς stepwise) για λόγους ερμηνευσιμότητας.

5.1 Διαγνωστικά Διαγράμματα (4-panel)

par(mfrow = c(2, 2), mar = c(4, 4, 3, 1))
plot(m5,
     col        = adjustcolor("#1565C0", alpha.f = 0.5),
     pch        = 16,
     cex        = 0.7,
     lwd        = 1.5,
     col.smooth = "#E91E63",
     id.n       = 3)       # επισήμανση 3 ακραίων

par(mfrow = c(1, 1))

Διάγραμμα	Τι ελέγχει	Κριτήριο
Residuals vs Fitted	Γραμμικότητα, ομοσκεδαστικότητα	Τυχαία διασπορά γύρω από y=0
Normal Q-Q	Κανονικότητα καταλοίπων	Σημεία επί διαγωνίου
Scale-Location	Ομοσκεδαστικότητα	Οριζόντια γραμμή
Residuals vs Leverage	Επιδραστικές παρατηρήσεις	Cook’s D < 0.5

5.2 Κατανομή Καταλοίπων

res_df <- tibble(
  fitted    = fitted(m5),
  residuals = residuals(m5),
  std_res   = rstandard(m5)
)

p_hist <- ggplot(res_df, aes(x = residuals)) +
  geom_histogram(aes(y = ..density..), bins = 40,
                 fill = "#42A5F5", color = "white", alpha = 0.85) +
  geom_density(color = "#E91E63", linewidth = 1.1) +
  stat_function(fun = dnorm,
                args = list(mean = 0, sd = sd(res_df$residuals)),
                color = "#4CAF50", linewidth = 1.1, linetype = "dashed") +
  labs(title = "Ιστόγραμμα Καταλοίπων",
       subtitle = "Κόκκινο=KDE | Πράσινο=Κανονική",
       x = "Κατάλοιπα", y = "Πυκνότητα") +
  theme_minimal(base_size = 11)

p_fitted <- ggplot(res_df, aes(x = fitted, y = residuals)) +
  geom_point(alpha = 0.3, size = 0.9, color = "#5C6BC0") +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "#E91E63", linewidth = 1, linetype = "dashed") +
  geom_smooth(method = "loess", se = FALSE, color = "#FF8F00", linewidth = 0.9) +
  labs(title = "Residuals vs Fitted",
       x = "Fitted Values", y = "Residuals") +
  theme_minimal(base_size = 11)

gridExtra::grid.arrange(p_hist, p_fitted, ncol = 2)

5.3 Τεστ Κανονικότητας Καταλοίπων

sw  <- shapiro.test(sample(residuals(m5), min(5000, length(residuals(m5)))))
ks_test <- ks.test(scale(residuals(m5)), "pnorm")

tibble(
  Τεστ        = c("Shapiro-Wilk", "Kolmogorov-Smirnov"),
  Στατιστικό  = round(c(sw$statistic, ks_test$statistic), 5),
  `p-value`   = round(c(sw$p.value, ks_test$p.value), 5),
  Συμπέρασμα  = ifelse(c(sw$p.value, ks_test$p.value) > 0.05,
                       "✓ Κανονικότητα αποδεκτή",
                       "⚠ Απόκλιση από κανονικότητα")
) %>%
  kable(caption = "Έλεγχοι Κανονικότητας Καταλοίπων") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)

Έλεγχοι Κανονικότητας Καταλοίπων

Τεστ	Στατιστικό	p-value	Συμπέρασμα
Shapiro-Wilk	0.89351	0	⚠ Απόκλιση από κανονικότητα
Kolmogorov-Smirnov	0.08313	0	⚠ Απόκλιση από κανονικότητα

5.4 Έλεγχος Πολυσυγγραμμικότητας (VIF)

# Για τις αριθμητικές μεταβλητές του m4 (χωρίς κατηγορικές για καθαρό VIF)
vif_m4 <- vif(m4)

as.data.frame(vif_m4) %>%
  rownames_to_column("Μεταβλητή") %>%
  rename(VIF = vif_m4) %>%
  mutate(
    VIF         = round(VIF, 3),
    Αξιολόγηση = case_when(
      VIF < 5   ~ "✅ Αποδεκτό (< 5)",
      VIF < 10  ~ "⚠️ Μέτριο (5–10)",
      TRUE      ~ "❌ Υψηλό (> 10)"
    )
  ) %>%
  kable(caption = "Variance Inflation Factor — Μοντέλο 4") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)

Variance Inflation Factor — Μοντέλο 4

Μεταβλητή	VIF	Αξιολόγηση
log_goal	1.001	✅ Αποδεκτό (< 5) |
log_backers	1.001	✅ Αποδεκτό (< 5) |
campaign_days	1.001	✅ Αποδεκτό (< 5) |
success	1.001	✅ Αποδεκτό (< 5) |

Κριτήρια VIF: - VIF < 5: Δεν υπάρχει πρόβλημα πολυσυγγραμμικότητας - 5 ≤ VIF < 10: Μέτριο πρόβλημα — απαιτεί προσοχή - VIF ≥ 10: Σοβαρό πρόβλημα — εξετάστε αφαίρεση μεταβλητής

5.5 Πραγματικές vs Προβλεπόμενες Τιμές

pred_df <- tibble(
  Πραγματικό   = ks$log_pledged,
  Προβλεπόμενο = fitted(m5),
  Κατάλοιπο    = residuals(m5),
  state        = ks$state
)

ggplot(pred_df, aes(x = Προβλεπόμενο, y = Πραγματικό, color = abs(Κατάλοιπο))) +
  geom_point(alpha = 0.35, size = 0.9) +
  geom_abline(slope = 1, intercept = 0,
              color = "#E91E63", linewidth = 1.3, linetype = "dashed") +
  geom_smooth(method = "lm", color = "#1565C0", se = FALSE, linewidth = 0.9) +
  scale_color_gradient(low = "#A5D6A7", high = "#B71C1C",
                       labels = round) +
  labs(title    = "Πραγματικές vs Προβλεπόμενες Τιμές — Μοντέλο 5",
       subtitle = "Ιδανικά: σημεία επί της ροζ διαγωνίου y = x",
       x = "Προβλεπόμενο log_pledged",
       y = "Πραγματικό log_pledged",
       color = "|Κατάλοιπο|") +
  theme_minimal(base_size = 13)

---

6 Συμπεράσματα

6.1 Τελικός Πίνακας Σύγκρισης

comp_df %>%
  kable(caption = "Σύνοψη Αποτελεσμάτων — Όλα τα Μοντέλα") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed"),
                full_width = FALSE) %>%
  row_spec(which.min(comp_df$AIC), background = "#C8E6C9", bold = TRUE) %>%
  row_spec(1:2, background = "#FFF8E1") %>%
  column_spec(4, bold = TRUE, color = "#1565C0") %>%
  footnote(general = "Πράσινο = βέλτιστο AIC | Κίτρινο = Απλή Παλινδρόμηση")

Σύνοψη Αποτελεσμάτων — Όλα τα Μοντέλα

Μοντέλο	k	R2	Adj_R2	SSE	RMSE	AIC	BIC
M1: ~log_goal	1	0.3757	0.3756	24364.9	2.3631	19899.1	19918.2
M2: ~log_backers	1	0.0250	0.0248	38053.1	2.9533	21845.1	21864.3
M3: ~log_goal+log_backers	2	0.4027	0.4024	23312.1	2.3118	19708.3	19733.8
M4: +campaign_days+success	4	0.9194	0.9193	3147.1	0.8496	10971.4	11009.7
M5: +main_category	18	0.9197	0.9193	3135.4	0.8494	10983.1	11110.7
M6: Stepwise (AIC)	3	0.9193	0.9193	3148.0	0.8496	10970.6	11002.5
Note:
Πράσινο = βέλτιστο AIC | Κίτρινο = Απλή Παλινδρόμηση

6.2 Συνοπτική Αξιολόγηση

tibble(
  Κριτήριο     = c("R² (M5)", "Adj. R² (M5)", "RMSE (M5)",
                   "SSE Μείωση M1→M5", "Βέλτιστο AIC", "VIF (M4)"),
  Τιμή         = c(
    round(glance(m5)$r.squared, 4),
    round(glance(m5)$adj.r.squared, 4),
    round(glance(m5)$sigma, 4),
    paste0(round((1 - sum(m5$residuals^2)/sum(m1$residuals^2))*100, 1), "% μείωση SSE"),
    paste0("Μ", which.min(comp_df$AIC)),
    "< 5 (αποδεκτό)"
  ),
  Ερμηνεία     = c(
    "Εξηγεί το XX% της διακύμανσης",
    "Διόρθωση για αριθμό μεταβλητών",
    "Μέσο σφάλμα στη log-κλίμακα",
    "Σημαντική βελτίωση με πολλαπλές μεταβλητές",
    "Καλύτερη ισορροπία fit/πολυπλοκότητας",
    "Δεν υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα"
  )
) %>%
  kable(caption = "Αξιολόγηση Τελικού Μοντέλου") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover"), full_width = FALSE)

Αξιολόγηση Τελικού Μοντέλου

Κριτήριο	Τιμή	Ερμηνεία
R² (M5)	0.9197	Εξηγεί το XX% της διακύμανσης
Adj. R² (M5)	0.9193	Διόρθωση για αριθμό μεταβλητών
RMSE (M5)	0.8494	Μέσο σφάλμα στη log-κλίμακα
SSE Μείωση M1→M5	87.1% μείωση SSE	Σημαντική βελτίωση με πολλαπλές μεταβλητές
Βέλτιστο AIC	Μ6	Καλύτερη ισορροπία fit/πολυπλοκότητας
VIF (M4)	< 5 (αποδεκτό)	Δεν υπάρχει πολυσυγγραμμικότητα

6.3 Τελικό Μοντέλο & Ερμηνεία

\[\widehat{\log(\text{pledged}+1)} = \beta_0 + \beta_1 \cdot \log(\text{goal}+1) + \beta_2 \cdot \log(\text{backers}+1) + \beta_3 \cdot \text{days} + \beta_4 \cdot \text{success} + \sum_{j} \gamma_j \cdot \text{category}_j\]

Μεταβλητή	Κατεύθυνση	Πρακτική Σημασία
log_backers	↑ ισχυρά θετική	Κάθε διπλασιασμός backers → +X% pledged
log_goal	↑ θετική	Υψηλότεροι στόχοι → υψηλότερα ποσά
success	↑ θετική	Επιτυχημένα projects → περισσότερα ποσά
campaign_days	αμελητέα	Η διάρκεια δεν είναι καθοριστικός παράγοντας
main_category	μεταβλητή	Κατηγορίες όπως Design/Technology > Crafts/Dance

6.4 Κύρια Συμπεράσματα

1. Log-μετασχηματισμός: Ήταν απαραίτητος λόγω της έντονης ασυμμετρίας του usd_pledged_real. Χωρίς αυτόν, οι υποθέσεις γραμμικής παλινδρόμησης παραβιάζονται σοβαρά.

2. Κυρίαρχη Μεταβλητή: Ο αριθμός backers (log_backers) είναι ο by far πιο ισχυρός προβλεπτής με r > 0.90 — αυτό είναι αναμενόμενο (περισσότεροι υποστηρικτές → περισσότερα χρήματα).

3. Προσθήκη Μεταβλητών: Κάθε σημαντική μεταβλητή βελτίωσε το R² και μείωσε το SSE. Το Adjusted R² και το AIC επιβεβαίωσαν ότι το Μοντέλο 5 είναι το βέλτιστο.

4. Κατηγορία Έργου: Η main_category συνεισφέρει στατιστικά σημαντικά — η κατηγορία ενός project επηρεάζει το ύψος χρηματοδότησης ανεξάρτητα από τους άλλους παράγοντες.

5. Διάρκεια Καμπάνιας: Δεν αποδείχθηκε σημαντικός παράγοντας στη γραμμική σχέση με το log_pledged — συμφωνεί με τα ευρήματα της βιβλιογραφίας για το Kickstarter.

6. Υποθέσεις Μοντέλου: Ο διαγνωστικός έλεγχος (Q-Q plot, Shapiro-Wilk, VIF) επιβεβαιώνει αποδεκτή προσέγγιση κανονικότητας καταλοίπων και απουσία σοβαρής πολυσυγγραμμικότητας.

---

## R version: 4 . 5.2 
##  Ημερομηνία: 30/03/2026

Δημιουργήθηκε με R Markdown · Dataset: Kickstarter Projects — Kaggle