1. Introducción

En la toma de decisiones empresariales bajo incertidumbre, es fundamental evaluar las distintas alternativas considerando los posibles escenarios futuros. En este contexto, herramientas como el Valor Monetario Esperado (VME) y el Teorema de Bayes permiten mejorar la calidad de las decisiones.

Además, el análisis del valor de la información permite determinar cuánto conviene pagar por obtener información adicional antes de tomar una decisión. En este informe se analiza el caso de una empresa que evalúa diferentes proyectos de inversión considerando información imperfecta.

2. Planteamiento del Problema

La empresa TechParts S.A. debe decidir entre varias alternativas de inversión (proyectos de distinto tamaño), cuyos resultados dependen del estado del mercado (bajo, medio o alto).

Inicialmente, se cuenta con probabilidades previas sobre el comportamiento del mercado. Sin embargo, existe la posibilidad de obtener información adicional (favorable o desfavorable) a través de una consultora, lo que permitiría actualizar dichas probabilidades y mejorar la decisión.

El objetivo es determinar la mejor alternativa bajo distintos escenarios y calcular el valor de la información.

3. Objetivos

3.1 Objetivo General

Aplicar el Teorema de Bayes y el análisis del Valor Esperado para evaluar decisiones bajo incertidumbre y determinar el valor de la información.

3.2 Objetivos Específicos

  • Calcular el Valor Monetario Esperado (VME) para cada alternativa.
  • Actualizar probabilidades mediante el Teorema de Bayes.
  • Analizar decisiones con y sin información adicional.
  • Determinar el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) e Imperfecta (VEII).

4. Marco Teórico

4.1 Teorema de Bayes

El Teorema de Bayes permite actualizar probabilidades a partir de nueva información:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)} \]

Donde:

  • \(P(A)\): Probabilidad previa.
  • \(P(B|A)\): Verosimilitud.
  • \(P(A|B)\): Probabilidad posterior.
  • \(P(B)\): Evidencia.

En este contexto:

  • \(A\): Estado del mercado (bajo, medio, alto).
  • \(B\): Información obtenida (favorable o desfavorable).

4.2 Valor Monetario Esperado (VME)

El VME es una medida utilizada para evaluar decisiones bajo incertidumbre. Se calcula como:

\[ VME = \sum (Pago \times Probabilidad) \]

Permite seleccionar la alternativa que maximiza el beneficio esperado.

4.3 Valor Esperado con Información Perfecta (VECP)

El VECP representa el valor máximo que se obtendría si se conociera con certeza el estado del mercado antes de tomar la decisión.

4.4 Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP)

Se define como:

\[ VEIP = VECP - VME_{\text{sin información}} \]

Indica cuánto vale, como máximo, contar con información perfecta.

4.5 Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII)

Se calcula como:

\[ VEII = VME_{\text{con información}} - VME_{\text{sin información}} \]

Representa el valor de la información obtenida a través de una fuente imperfecta, como una consultora.

5. Metodología

El análisis se realiza en varias etapas:

6. Desarrollo

En esta sección se analiza la toma de decisiones bajo incertidumbre considerando la posibilidad de obtener información adicional.

Inicialmente, se calcula el Valor Monetario Esperado (VME) sin información adicional, utilizando las probabilidades previas del mercado. Esto permite identificar la mejor alternativa en condiciones de incertidumbre inicial.

Posteriormente, se incorpora información imperfecta proveniente de una fuente externa (consultora), la cual puede ser favorable o desfavorable. Mediante el Teorema de Bayes, se actualizan las probabilidades de los estados del mercado en función de dicha información.

A partir de estas probabilidades actualizadas, se recalcula el VME para cada alternativa bajo ambos escenarios (información favorable y desfavorable), determinando la mejor decisión en cada caso.

Luego, se calcula el VME esperado considerando la probabilidad de recibir cada tipo de información. Este valor representa el beneficio esperado al disponer de información imperfecta antes de decidir.

Finalmente, se compara el VME con y sin información para determinar el Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII), el cual indica cuánto estaría dispuesto a pagar la empresa por dicha información. También se calcula el Valor Esperado con Información Perfecta (VECP) y el Valor de la Información Perfecta (VEIP) como referencia teórica máxima.

# ====================================================
# BAYES + VEII — TechParts S.A. (Análisis Completo)
# ====================================================
library(ggplot2); library(dplyr); library(tidyr)  
## 
## Adjuntando el paquete: 'dplyr'
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     filter, lag
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     intersect, setdiff, setequal, union
# Se cargan librerías:
# ggplot2 → para gráficos
# dplyr y tidyr → para manipulación y transformación de datos

# Tabla de pagos
pagos <- matrix(c(
  -200000, 100000, 500000,
   -50000, 200000, 300000,
   100000, 150000, 180000,
    50000,  50000,  50000
), nrow=4, byrow=TRUE)  
# Se crea una matriz de pagos (beneficios o pérdidas)
# Filas = alternativas de decisión
# Columnas = estados de la naturaleza (mercado)

rownames(pagos) <- c("Grande","Mediana","Pequeña","NoConstr")  
# Nombres de las alternativas:
# Construcción grande, mediana, pequeña o no construir

colnames(pagos) <- c("Baja","Media","Alta")  
# Estados del mercado: demanda baja, media o alta

# Probabilidades previas y verosimilitudes
prior     <- c(0.20, 0.45, 0.35)  
# Probabilidades previas P(S): creencias iniciales sobre el mercado

likel_F   <- c(0.10, 0.40, 0.90)  
# Probabilidad de recibir información favorable dado cada estado
# P(Favorable | Estado)

likel_D   <- 1 - likel_F            
# Probabilidad de información desfavorable (complemento)
# P(Desfavorable | Estado)

# Función Bayesiana
actualizar <- function(prior, likel) {
  conj <- prior * likel  
  # Calcula probabilidades conjuntas: P(S ∩ E)

  list(post = conj/sum(conj), P_E = sum(conj))  
  # Devuelve:
  # post: probabilidades posteriores P(S|E)
  # P_E: probabilidad de la evidencia (favorable o desfavorable)
}

# Actualización
bayes_F <- actualizar(prior, likel_F)  
# Actualiza probabilidades si la información es favorable

bayes_D <- actualizar(prior, likel_D)  
# Actualiza probabilidades si la información es desfavorable

cat("Posterior si FAVORABLE:    ", round(bayes_F$post, 3), "\n")  
## Posterior si FAVORABLE:     0.039 0.35 0.612
# Muestra probabilidades actualizadas con evidencia favorable

cat("Posterior si DESFAVORABLE: ", round(bayes_D$post, 3), "\n")  
## Posterior si DESFAVORABLE:  0.371 0.557 0.072
# Muestra probabilidades actualizadas con evidencia desfavorable

# Función de mejor VME
mejor_vme <- function(prob) {
  vme <- pagos %*% prob  
  # Calcula el Valor Monetario Esperado (VME):
  # multiplica pagos por probabilidades del estado

  idx <- which.max(vme)  
  # Identifica la alternativa con mayor VME (decisión óptima)

  list(alternativa = rownames(pagos)[idx], valor = vme[idx], todos = vme)  
  # Devuelve:
  # alternativa óptima
  # valor máximo
  # todos los VME
}

# VME sin información
opt_sin_info  <- mejor_vme(prior)  
# Mejor decisión usando solo probabilidades iniciales

# VME con info imperfecta
opt_fav       <- mejor_vme(bayes_F$post)  
# Mejor decisión si la información es favorable

opt_desf      <- mejor_vme(bayes_D$post)  
# Mejor decisión si la información es desfavorable

vme_con_info <- bayes_F$P_E * opt_fav$valor +
               bayes_D$P_E * opt_desf$valor  
# VME con información imperfecta:
# promedio ponderado según probabilidad de recibir cada tipo de información

# VECP y VEIP
vecp <- sum(apply(pagos, 2, max) * prior)  
# VECP: Valor Esperado con Información Perfecta
# Se toma el mejor pago de cada estado y se pondera por su probabilidad

veip <- vecp - opt_sin_info$valor  
# VEIP: Valor de la Información Perfecta
# Diferencia entre VECP y mejor decisión sin información

veii <- vme_con_info - opt_sin_info$valor  
# VEII: Valor de la Información Imperfecta
# Cuánto mejora la decisión al tener información imperfecta

cat("\n===== RESUMEN DECISIONAL =====\n")  
## 
## ===== RESUMEN DECISIONAL =====
# Encabezado del resumen

cat(sprintf("Sin info → %s: $%s\n",
            opt_sin_info$alternativa, format(round(opt_sin_info$valor), big.mark=",")))  
## Sin info → Mediana: $185,000
# Mejor decisión sin información

cat(sprintf("Si Fav   → %s: $%s\n",
            opt_fav$alternativa, format(round(opt_fav$valor), big.mark=",")))  
## Si Fav   → Grande: $333,010
# Mejor decisión si la información es favorable

cat(sprintf("Si Desf  → %s: $%s\n",
            opt_desf$alternativa, format(round(opt_desf$valor), big.mark=",")))  
## Si Desf  → Pequeña: $133,608
# Mejor decisión si la información es desfavorable

cat(sprintf("VME con info imperfecta:  $%s\n", format(round(vme_con_info), big.mark=",")))  
## VME con info imperfecta:  $236,300
# Valor esperado usando información imperfecta

cat(sprintf("VECP:  $%s\n", format(round(vecp), big.mark=",")))  
## VECP:  $285,000
# Valor esperado con información perfecta

cat(sprintf("VEIP:  $%s\n", format(round(veip), big.mark=",")))  
## VEIP:  $1e+05
# Valor máximo que se pagaría por información perfecta

cat(sprintf("VEII:  $%s  (max a pagar por la consultora)\n",
            format(round(veii), big.mark=",")))  
## VEII:  $51,300  (max a pagar por la consultora)
# Valor máximo que se pagaría por la información imperfecta

# Gráfico: comparación VME bajo distintos escenarios
df_vme <- data.frame(
  Escenario = c("Sin info\n(A₂ Mediana)",
                "Si Favorable\n(A₁ Grande)",
                "Si Desfav.\n(A₃ Pequeña)",
                "Con info\n(esperado)",
                "Cert. Perfecta\n(VECP)"),
  # Define los escenarios a comparar

  VME = c(opt_sin_info$valor, opt_fav$valor,
           opt_desf$valor, vme_con_info, vecp),
  # Valores de VME para cada escenario

  Tipo = c("Base","Info","Info","Esperado","Perfecto")
  # Clasificación para colores en el gráfico
)

df_vme$Escenario <- factor(df_vme$Escenario, levels=df_vme$Escenario)  
# Mantiene el orden original en el eje X

ggplot(df_vme, aes(x=Escenario, y=VME/1000, fill=Tipo)) +
  # Define gráfico: eje X = escenarios, eje Y = VME (en miles)

  geom_col(width=0.6, show.legend=FALSE) +
  # Gráfico de barras

  geom_text(aes(label=paste0("$",round(VME/1000,0),"k")),
            vjust=-0.4, size=3.8, fontface="bold") +
  # Etiquetas con valores monetarios

  scale_fill_manual(values=c(Base="#3a7fbd",Info="#d97706",
                              Esperado="#0f7a52",Perfecto="#b0305a")) +
  # Colores personalizados

  labs(title="Comparación de VME por Nivel de Información",
       subtitle="TechParts S.A. — VEII = VME(con info) − VME(sin info)",
       x=NULL, y="VME (miles de $)") +
  # Títulos y etiquetas

  theme_minimal() +
  # Estilo visual limpio

  annotate("segment", x=1, xend=4,
           y=opt_sin_info$valor/1000, yend=opt_sin_info$valor/1000,
           linetype="dashed", color="#3a7fbd", linewidth=0.7) +
  # Línea de referencia del VME sin información

  annotate("label", x=2.5, y=opt_sin_info$valor/1000,
           label=paste0("VEII = $",round(veii/1000,1),"k"),
           fill="#edf2f7", color="#3a7fbd", size=3.5)  

  # Etiqueta que muestra el valor del VEII en el gráfico

7. Resultados

Los resultados permiten identificar la mejor alternativa en cada escenario:

El análisis muestra que la información influye directamente en la elección óptima y en el valor esperado de las decisiones.

8. Discusión

El uso del Teorema de Bayes permite mejorar la toma de decisiones al incorporar nueva información de manera probabilística. Sin embargo, cuando la información es imperfecta, su utilidad depende de su precisión.

El cálculo del VEII permite evaluar si vale la pena adquirir información adicional. Si este valor es alto, la información tiene un impacto significativo en la decisión; de lo contrario, puede no ser rentable.

Este enfoque es ampliamente utilizado en economía, ingeniería y gestión empresarial.

9. Conclusiones

10. Referencias