Resumen

El presente estudio analiza la aplicación del teorema de Bayes en la actualización de probabilidades bajo incertidumbre en tres contextos: diagnóstico médico, control de calidad y toma de decisiones empresariales. Se demuestra que la incorporación de nueva evidencia permite mejorar significativamente la precisión de las inferencias y optimizar decisiones. Asimismo, se evalúa el valor económico de la información mediante indicadores como el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) y el Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII).

Palabras clave: inferencia bayesiana, toma de decisiones, incertidumbre, valor esperado, probabilidad.

Introducción

La teoría bayesiana permite actualizar probabilidades iniciales (a priori) cuando se dispone de nueva evidencia, generando probabilidades posteriores más precisas. Este enfoque es ampliamente utilizado en contextos médicos, industriales y empresariales para mejorar la toma de decisiones bajo incertidumbre.

En el presente informe se analizan tres casos aplicados: diagnóstico médico, control de calidad y toma de decisiones empresariales, integrando el enfoque bayesiano con criterios de valor esperado.

Metodología

Se utilizó el enfoque bayesiano para actualizar probabilidades a partir de evidencia observada. Además, en el tercer caso se incorporaron criterios de decisión basados en:

Valor Monetario Esperado (VME)

Valor Esperado de Información Perfecta (VEIP)

Valor Esperado de Información Imperfecta (VEII)

Caso Nº3

# ====================================================
# BAYES + VEII — TechParts S.A. (Análisis Completo)
# ====================================================
library(ggplot2); library(dplyr); library(tidyr)

# Tabla de pagos
pagos <- matrix(c(
  -200000, 100000, 500000,
   -50000, 200000, 300000,
   100000, 150000, 180000,
    50000,  50000,  50000
), nrow=4, byrow=TRUE)
rownames(pagos) <- c("Grande","Mediana","Pequeña","NoConstr")
colnames(pagos) <- c("Baja","Media","Alta")

Empezamos adra formarto a la tabla de contigencia

Creamos un vector de probabilidades a priori (antes de ver la evidencia).

Define las verosimilitudes, es decir, probabilidades condicionales de observar la evidencia.

# Probabilidades previas y verosimilitudes
prior     <- c(0.20, 0.45, 0.35)
likel_F   <- c(0.10, 0.40, 0.90)  # P(Fav | S)
likel_D   <- 1 - likel_F            # P(Desf | S)

# Función Bayesiana
actualizar <- function(prior, likel) {
  conj <- prior * likel
  list(post = conj/sum(conj), P_E = sum(conj))
}

# Actualización
bayes_F <- actualizar(prior, likel_F)
bayes_D <- actualizar(prior, likel_D)

cat("Posterior si FAVORABLE:    ", round(bayes_F$post, 3), "\n")
## Posterior si FAVORABLE:     0.039 0.35 0.612
cat("Posterior si DESFAVORABLE: ", round(bayes_D$post, 3), "\n")
## Posterior si DESFAVORABLE:  0.371 0.557 0.072
# Función de mejor VME
mejor_vme <- function(prob) {
  vme <- pagos %*% prob
  idx <- which.max(vme)
  list(alternativa = rownames(pagos)[idx], valor = vme[idx], todos = vme)
}

# VME sin información
opt_sin_info  <- mejor_vme(prior)
# VME con info imperfecta
opt_fav       <- mejor_vme(bayes_F$post)
opt_desf      <- mejor_vme(bayes_D$post)

vme_con_info <- bayes_F$P_E * opt_fav$valor +
               bayes_D$P_E * opt_desf$valor

# VECP y VEIP
vecp <- sum(apply(pagos, 2, max) * prior)
veip <- vecp - opt_sin_info$valor
veii <- vme_con_info - opt_sin_info$valor

cat("\n===== RESUMEN DECISIONAL =====\n")
## 
## ===== RESUMEN DECISIONAL =====
cat(sprintf("Sin info → %s: $%s\n",
            opt_sin_info$alternativa, format(round(opt_sin_info$valor), big.mark=",")))
## Sin info → Mediana: $185,000
cat(sprintf("Si Fav   → %s: $%s\n",
            opt_fav$alternativa, format(round(opt_fav$valor), big.mark=",")))
## Si Fav   → Grande: $333,010
cat(sprintf("Si Desf  → %s: $%s\n",
            opt_desf$alternativa, format(round(opt_desf$valor), big.mark=",")))
## Si Desf  → Pequeña: $133,608
cat(sprintf("VME con info imperfecta:  $%s\n", format(round(vme_con_info), big.mark=",")))
## VME con info imperfecta:  $236,300
cat(sprintf("VECP:  $%s\n", format(round(vecp), big.mark=",")))
## VECP:  $285,000
cat(sprintf("VEIP:  $%s\n", format(round(veip), big.mark=",")))
## VEIP:  $1e+05
cat(sprintf("VEII:  $%s  (max a pagar por la consultora)\n",
            format(round(veii), big.mark=",")))
## VEII:  $51,300  (max a pagar por la consultora)
# Gráfico: comparación VME bajo distintos escenarios
df_vme <- data.frame(
  Escenario = c("Sin info\n(A₂ Mediana)",
                "Si Favorable\n(A₁ Grande)",
                "Si Desfav.\n(A₃ Pequeña)",
                "Con info\n(esperado)",
                "Cert. Perfecta\n(VECP)"),
  VME = c(opt_sin_info$valor, opt_fav$valor,
           opt_desf$valor, vme_con_info, vecp),
  Tipo = c("Base","Info","Info","Esperado","Perfecto")
)
df_vme$Escenario <- factor(df_vme$Escenario, levels=df_vme$Escenario)

ggplot(df_vme, aes(x=Escenario, y=VME/1000, fill=Tipo)) +
  geom_col(width=0.6, show.legend=FALSE) +
  geom_text(aes(label=paste0("$",round(VME/1000,0),"k")),
            vjust=-0.4, size=3.8, fontface="bold") +
  scale_fill_manual(values=c(Base="#3a7fbd",Info="#d97706",
                              Esperado="#0f7a52",Perfecto="#b0305a")) +
  labs(title="Comparación de VME por Nivel de Información",
       subtitle="TechParts S.A. — VEII = VME(con info) − VME(sin info)",
       x=NULL, y="VME (miles de $)") +
  theme_minimal() +
  annotate("segment", x=1, xend=4,
           y=opt_sin_info$valor/1000, yend=opt_sin_info$valor/1000,
           linetype="dashed", color="#3a7fbd", linewidth=0.7) +
  annotate("label", x=2.5, y=opt_sin_info$valor/1000,
           label=paste0("VEII = $",round(veii/1000,1),"k"),
           fill="#edf2f7", color="#3a7fbd", size=3.5)

Resultados principales

Mejor decisión sin información: Construcción Mediana Con información:

Escenario favorable → Construcción Grande

Escenario desfavorable → Construcción Pequeña

VEIP (Valor de Información Perfecta): beneficio máximo teórico

VEII (Valor de Información Imperfecta): valor real de la consultora Interpretación

La información adicional permite adaptar la decisión según el estado del mercado, aumentando el valor esperado de la inversión.

El VEII indica cuánto estaría justificado pagar por la información proporcionada por la consultora.

Conclusión y decisión

La empresa debería: Operar sin información: elegir proyecto mediano. Con información: ajustar estrategia según el resultado del estudio. Se recomienda contratar la consultora solo si su costo es menor al VEII.

Insight clave

La información tiene valor económico cuando mejora la toma de decisiones.