Resumen

El presente estudio analiza la aplicación del teorema de Bayes en la actualización de probabilidades bajo incertidumbre en tres contextos: diagnóstico médico, control de calidad y toma de decisiones empresariales. Se demuestra que la incorporación de nueva evidencia permite mejorar significativamente la precisión de las inferencias y optimizar decisiones. Asimismo, se evalúa el valor económico de la información mediante indicadores como el Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP) y el Valor Esperado de la Información Imperfecta (VEII).

Palabras clave: inferencia bayesiana, toma de decisiones, incertidumbre, valor esperado, probabilidad.

Introducción

La teoría bayesiana permite actualizar probabilidades iniciales (a priori) cuando se dispone de nueva evidencia, generando probabilidades posteriores más precisas. Este enfoque es ampliamente utilizado en contextos médicos, industriales y empresariales para mejorar la toma de decisiones bajo incertidumbre.

En el presente informe se analizan tres casos aplicados: diagnóstico médico, control de calidad y toma de decisiones empresariales, integrando el enfoque bayesiano con criterios de valor esperado.

Metodología

Se utilizó el enfoque bayesiano para actualizar probabilidades a partir de evidencia observada. Además, en el tercer caso se incorporaron criterios de decisión basados en:

Valor Monetario Esperado (VME)

Valor Esperado de Información Perfecta (VEIP)

Valor Esperado de Información Imperfecta (VEII)

Caso Nª 1

# ====================================================
# BAYES — Caso 1: Diagnóstico Médico
# ====================================================

# Datos del problema
prevalencia  <- 0.01   # Prior: 1% de la población tiene cáncer
sensibilidad <- 0.80   # P(Positivo | Cáncer)
falso_pos    <- 0.096  # P(Positivo | No Cáncer)

Empezamos adra formarto a la tabla de contigencia

Creamos un vector de probabilidades a priori (antes de ver la evidencia).

Define las verosimilitudes, es decir, probabilidades condicionales de observar la evidencia.

# Tabla Bayesiana
estados <- c("Cáncer", "No Cáncer")
prior   <- c(prevalencia, 1 - prevalencia)
likel   <- c(sensibilidad, falso_pos)   # P(Positivo | estado)

# Paso 1-3: conjuntas
conjunta <- prior * likel

# Paso 4: probabilidad marginal de la evidencia
P_positivo <- sum(conjunta)
cat("P(Positivo) =", round(P_positivo, 4), "\n")
## P(Positivo) = 0.103
# Paso 5: posteriors
posterior <- conjunta / P_positivo

Podemos visualizar la tabla ya constrida

# Tabla completa
tabla <- data.frame(
  Estado      = estados,
  Prior       = prior,
  Verosimil   = likel,
  Conjunta    = conjunta,
  Posterior   = round(posterior, 4)
)
print(tabla)
##      Estado Prior Verosimil Conjunta Posterior
## 1    Cáncer  0.01     0.800  0.00800    0.0776
## 2 No Cáncer  0.99     0.096  0.09504    0.9224
cat("\n→ P(Cáncer | Positivo) =", round(posterior[1] * 100, 1), "%\n")
## 
## → P(Cáncer | Positivo) = 7.8 %
cat("→ Aunque la prueba es positiva, solo el",
    round(posterior[1] * 100, 1), "% tiene cáncer.\n")
## → Aunque la prueba es positiva, solo el 7.8 % tiene cáncer.

Un ejemplo grafica cómo cambia la posterior con distintas prevalencias

# Visualización: cómo cambia la posterior con distintas prevalencias
library(ggplot2)
prevalencias <- seq(0.001, 0.20, 0.001)
post_cancer <- sapply(prevalencias, function(p) {
  conj <- c(sensibilidad * p, falso_pos * (1 - p))
  conj[1] / sum(conj)
})

df_prev <- data.frame(prevalencia = prevalencias, posterior = post_cancer)

ggplot(df_prev, aes(x = prevalencia * 100, y = posterior * 100)) +
  geom_line(color = "#3a7fbd", linewidth = 1.2) +
  geom_point(data = data.frame(x = 1, y = posterior[1] * 100),
             aes(x = x, y = y), color = "#b0305a", size = 4) +
  annotate("text", x = 2, y = posterior[1] * 100,
           label = paste0("Prevalencia 1%\nP(Cáncer|+) = ",
                           round(posterior[1] * 100, 1), "%"),
           hjust = 0, color = "#b0305a", size = 3.5) +
  labs(title = "Efecto de la Prevalencia sobre el Valor Predictivo Positivo",
       subtitle = "Mamografía: Sensibilidad=80%, Tasa FP=9.6%",
       x = "Prevalencia (%)", y = "P(Cáncer | Positivo) (%)") +
  theme_minimal() +
  scale_x_continuous(labels = function(x) paste0(x, "%")) +
  scale_y_continuous(labels = function(x) paste0(x, "%"))

Resultados principales

Probabilidad previa de cáncer: 1%

Probabilidad posterior dado resultado positivo: ≈ 7.8%

Interpretación

Aunque la prueba diagnóstica presenta buena sensibilidad (80%), el bajo nivel de prevalencia provoca que la probabilidad real de padecer cáncer, incluso con resultado positivo, sea relativamente baja.

Esto se debe a la presencia de falsos positivos (9.6%), lo que afecta significativamente el valor predictivo positivo.

Conclusión y decisión

Un resultado positivo no es suficiente para confirmar la enfermedad. Se recomienda:

Realizar pruebas confirmatorias adicionales.

Evitar decisiones médicas invasivas basadas en un único resultado.

Insight clave

La prevalencia de la enfermedad es un factor determinante en la interpretación de pruebas diagnósticas.