Pregunta 1

Consideren la siguiente frase en lenguaje natural:

Si el suelo del edificio es pantanoso, o el hormigón es defectuoso, entonces el edificio no resistirá los terremotos.

  1. Identifique las proposiciones simples y asígnenles una letra: p, q, r, etc. (5 puntos)
  2. Con las letras definidas, escriban la frase en lenguaje lógico matemático. (5 puntos)
  3. Supongan que el edificio se construyó sobre suelo pantanoso con hormigón de buena calidad. Vino un terremoto y el edificio se cayó. ¿La proposición compuesta es verdadera o falsa? Expliquen su razonamiento apoyándose en una tabla de verdad. (10 puntos)
  4. Ahora supongan que el edificio se construyó sobre terreno rocoso (no pantanoso), con hormigón de buena calidad. Vino un terremoto y el edificio se cayó. ¿La proposición compuesta es verdadera o falsa? Expliquen su razonamiento apoyándose en una tabla de verdad. (10 puntos)

Respuesta

Parte 1

Sean las proposiciones simples:

p = el suelo del edificio es pantanoso
q = el hormigón es defectuoso
r = el edificio no resistirá los terremotos

Parte 2

\[\left( p\vee q \right) \Rightarrow r\]

Parte 3

Los supuestos implican los siguientes valores de verdad de p, q, r:

\[p\equiv V\] \[q\equiv F\] \[r\equiv V\]

Como p es verdadero, \(p\vee q\) es verdadero, por la tabla de verdad de la disyunción.
Ahora ubiquemos el caso \(V\Rightarrow V\) en la tabla de verdad de la implicancia, con otras letras para no confundir: a y b:

a b a => b
V V V
V F F
F V V
F F V

En la tabla se ve que cuando ambos términos son verdaderos, la implicancia es verdadera. Por lo tanto, bajo estos supuestos, la proposición compuesta es verdadera.

Parte 4

Los nuevos supuestos son:

\[p\equiv F\] \[q\equiv F\] \[r\equiv V\]

Ahora \(p\vee q\) es falso porque p y q son falsos. En la tabla de verdad ya escrita en la parte (3), estamos en la última fila de la tabla:

\[F\Rightarrow F\equiv V\]

Por lo tanto, bajo los nuevos supuestos, la proposición compuesta sigue siendo verdadera.

Pregunta 2

Consideren la siguiente frase en lenguaje natural:
Construiremos la nueva fábrica si y solo sí el proyecto es rentable y el banco nos otorga el crédito.

  1. Identifique las proposiciones simples y asígnenles una letra: p, q, r, etc. (5 puntos)
  2. Con las letras definidas, escriban la frase en lenguaje lógico matemático. (5 puntos)
  3. Supongan que descubrimos que el proyecto no es rentable y que decidimos no construir la fábrica. ¿La proposición compuesta es verdadera o falsa? Expliquen su razonamiento apoyándose en una tabla de verdad. (10 puntos)
  4. Supongan ahora que el banco no nos otorgó el crédito y construimos la fábrica igual (con fondos propios). ¿La proposición compuesta es verdadera o falsa? Expliquen su razonamiento apoyándose en una tabla de verdad. (10 puntos)

Respuesta

Parte 1

Sean las proposiciones simples:

p = construiremos la nueva fábrica
q = el proyecto es rentable
r = el banco nos otorga el crédito

Parte 2

\[p<=>(q\land r)\]

Parte 3

Los supuestos implican los siguientes valores de verdad de p, q, r:

\[p\equiv F\] \[q\equiv F\]

Por la tabla de verdad de la conjunción, como q es falso, \((q\land r)\) es falso, independiente del valor de verdad de r.
Ahora ubiquemos el caso \(F<=>F\) en la tabla de verdad de la doble implicancia, con otras letras para no confundir: a y b:

a b a <=> b
V V V
V F F
F V F
F F V

En la tabla se ve que cuando ambos términos son falsos, la doble implicancia es verdadera. Por lo tanto, bajo estos supuestos, la proposición compuesta es verdadera.

Parte 4

Los nuevos supuestos son:

\[p\equiv V\] \[r\equiv F\]

Como r es falso, \((q\land r)\) es falso, independiente del valor de q.

Entonces tenemos V <=> F, lo cual corresponde a la segunda fila de la tabla de verdad de la doble implicancia, en la parte 3. Se ve que, en este caso, la proposición compuesta es falsa.

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