Bastão de Asclépio & Símbolo do Dinheiro

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1 APEx 15462: RCJC: tipos de taxa de juro

Jr. & Lima, 2011, p. 746

Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. A pessoa A aplicou R$ 100.000,00 à taxa de juro efetiva de 0,5% a.m. e a pessoa B aplicou R$ 50.000,00 à taxa nominal de 6% a.a. Em ambos os casos as capitalizações são mensais e os juros serão pagos junto com o principal. Ao final de 1 (um) ano podemos afirmar que:

A. O juro recebido pela pessoa A é maior do que o juro recebido pela pessoa B.
B. Não há proporcionalidade entre juros de A e B.
C. A taxa efetiva de A é maior do que a taxa efetiva de B. D. A taxa nominal de B é maior do que a taxa nominal de A. E. A taxa nominal de B é maior do a taxa nominal de A.
F. Os montantes finais são iguais.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

A pessoa A aplica a uma taxa efetiva mensal de

\[ i_A = 0.005 \text{ a.m.} \]

A pessoa B aplica a uma taxa nominal anual de 6% a.a., com capitalização mensal. Logo, sua taxa efetiva mensal é

\[ i_B = \frac{0.06}{12} = 0.005 \text{ a.m.} \]

Portanto, ambas as aplicações têm a mesma taxa efetiva mensal.

Os montantes ao final de 12 meses são:

para a pessoa A,

\[ M_A = 100000(1+0.005)^{12} = 106167.78 \]

para a pessoa B,

\[ M_B = 50000(1+0.005)^{12} = 53083.89 \]

Os juros recebidos são:

\[ \begin{align} J_A &= 100000(1+0.005)^{12} - 100000 = 6167.78, \\ J_B &= 50000(1+0.005)^{12} - 50000 = 3083.89 \end{align} \]

Observa-se que

\[ J_A = 2 \times J_B \]

ou seja, os juros são proporcionais aos capitais aplicados e o juro recebido pela pessoa A é maior do que o juro recebido pela pessoa B.

2 APEx 16435: SCJC: três taxas (equação de Sebá)

Nascimento (Sebá), 2008, p. 10

João aplicou 1.000 u.m. no Banco A à taxa de $i_A\%$ a.a., rendendo juro composto durante 3 anos, e 1.000 u.m. no Banco B à taxa de $i_B\%$ a.a., rendendo também juro composto durante 3 anos. Pedro aplicou 1.000 u.m. no Banco C à taxa de $i_C\%$ a.a., rendendo juro composto durante 2 anos.

Se a soma dos montantes obtidos por João, nos bancos A e B, foi igual ao montante obtido por Pedro no Banco C, quais são as menores taxas anuais (números inteiros) $i_A\%$, $i_B\%$ e $i_C\%$?

A. 100%, 100%, 200%
B. 100%, 100%, 300%
C. 100%, 200%, 300%
D. 700%, 700%, 3.100%
E. 800%, 1.700%, 8.000%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

A condição “soma dos montantes de João = montante de Pedro” é

\[ 1000(1+i_A)^3 + 1000(1+i_B)^3 = 1000(1+i_C)^2 \]

Dividindo por 1000:

\[ (1+i_A)^3 + (1+i_B)^3 = (1+i_C)^2 \]

Defina

\[ A = 1+i_A,\quad B = 1+i_B,\quad C = 1+i_C \]

Então:

\[ A^3 + B^3 = C^2 \]

que é um caso da equação de Sebá.

As menores soluções são:

\[ \begin{align} (1+1)^3 + (1+1)^3 &= (1+3)^2\\ (1+7)^3 + (1+7)^3 &= (1+31)^2\\ (1+8)^3 + (1+17)^3 &= (1+80)^2 \end{align} \]

3 APEx 15467: RCJC: taxa efetiva

Nascimento (Sebá), 2008, p. 15

Um cliente obtém um empréstimo, num banco, de 10.000 u.m. para ser liquidado no fim de um ano, em um único pagamento de 13.000 u.m. Entretanto, o banco solicita a esse cliente que mantenha 20% do valor emprestado como saldo médio. Este valor solicitado será devolvido no fim de um ano ao cliente.

Qual é a taxa de juro efetivamente cobrada pelo banco?

A. 30,0%
B. 37,5%
C. 62,5%
D. 10,0%
E. 100,0%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Embora o valor nominal do empréstimo seja 10.000 u.m., o cliente não tem acesso integral a esse montante, pois 20% devem permanecer como saldo médio.

O capital efetivamente disponível ao cliente é

\[ P_{\text{ef}} = 10000 - 2000 = 8000 \]

Ao final de um ano, o cliente paga 13.000 u.m., mas recebe de volta o saldo médio retido, no valor de 2.000 u.m. Assim, o desembolso líquido final é

\[ F_{\text{ef}} = 13000 - 2000 = 11000 \]

A taxa de juro efetiva anual é, portanto,

\[ \begin{align} i_{\text{ef}} &= \frac{F_{\text{ef}}}{P_{\text{ef}}} - 1 \\ &= \frac{11000}{8000} - 1 \\ i_{\text{ef}} &= 0.375 \end{align} \]

Logo, a taxa de juro efetivamente cobrada pelo banco é de $37.5\%$ a.a.

4 APEx 16434: SCJC: duas alternativas para comprar sítio

Mathias & Gomes, 1996, p. 138

Um sítio é posto à venda por R$ 50.000,00 de entrada e R$ 100.000,00 em 1 ano. Como opção, o vendedor pede R$ 124.000,00 à vista.

Qual é a taxa de juro composta ao mês aproximada para que as duas alternativas sejam equivalentes para o comprador?

A. 0,0293
B. 0,0239
C. 0,0254
D. 0,0245
E. 0,0222

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

A equivalência é feita na data $0$. Se $i$ é a taxa mensal e o pagamento de R$ 100.000,00 ocorre em 12 meses, então seu valor presente é

\[ \dfrac{100000}{(1+i)^{12}} \]

Logo, a condição de equivalência é

\[ 50000 + \dfrac{100000}{(1+i)^{12}} = 124000 \]

Isolando $i$,

\[ \begin{align} \dfrac{100000}{(1+i)^{12}} &= 74000 \\ (1+i)^{12} &= \dfrac{100000}{74000}=\dfrac{50}{37} \\ 1+i &= \left(\dfrac{50}{37}\right)^{1/12} \\ i &= \left(\dfrac{50}{37}\right)^{1/12}-1 \end{align} \]

Numericamente,

\[ i \approx 0.02536 \;\Rightarrow\; 2.536\% \text{ a.m.} \]

5 APEx 15469: SCJC: Som a vista ou a prazo

Mathias & Gomes, 1996, p. 139

Certa loja vende um conjunto de som por R$ 10.000,00, podendo o pagamento ser efetuado sem nenhum acréscimo daqui a 4 meses. Contudo, se o cliente optar pelo pagamento a vista será bonificado com abatimento de 10%.

Qual é a taxa ao mês do empréstimo pessoal que torna as duas alternativas equivalentes para o cliente?

A. $-1 + \dfrac{10^{1/4}}{\sqrt{3}}$
B. $-1 - \dfrac{10^{1/4}}{\sqrt{3}}$
C. $1 + \dfrac{10^{1/4}}{\sqrt{3}}$
D. $\dfrac{10^{1/4}}{\sqrt{3}}$
E. Nenhuma das alternativas anteriores

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

O preço a prazo (pagamento único em 4 meses) é R$ 10.000,00. O preço à vista é

\[ 10000(1-0.10)=9000 \]

Se o cliente pagar à vista, mas tomar um empréstimo pessoal à taxa mensal $i$, o valor a ser pago em 4 meses será

\[ 9000(1+i)^4 \]

As duas alternativas são equivalentes quando

\[ 9000(1+i)^4 = 10000 \]

Logo,

\[ (1+i)^4 = \frac{10000}{9000}=\frac{10}{9} \]

Isolando $i$,

\[ \begin{align} 1+i &= \left(\frac{10}{9}\right)^{1/4} \\ i &= \left(\frac{10}{9}\right)^{1/4}-1 \end{align} \]

Como $\left(\dfrac{10}{9}\right)^{1/4}=\dfrac{10^{1/4}}{9^{1/4}}=\dfrac{10^{1/4}}{\sqrt{3}}$, segue que

\[ i = -1 + \frac{10^{1/4}}{\sqrt{3}} \approx 0.02669 \]

isto é, aproximadamente 2.669% a.m.

6 APEx 15470: SCJC: número de capitalizações

Mathias & Gomes, 1996, p. 140

Se uma empresa deseja ganhar a taxa efetiva de 50% a.m., que capitalização deverá exigir para uma taxa nominal de 41,38% a.m.?

A. 10
B. 5
C. 3
D. 1
E. Impossível determinar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Deseja-se $i_E = 0.5$ a.m. a partir de uma taxa nominal mensal $i_N = 0.4138$ a.m., com $n$ capitalizações no mês.

No regime composto,

\[ 1+i_E=\left(1+\frac{i_N}{n}\right)^n \]

Substituindo,

\[ 1+0.50=\left(1+\frac{0.4138}{n}\right)^n \]

A solução numérica fornece

\[ n \approx 9.99696971666092 \approx 10 \]

Logo, são necessárias aproximadamente $10$ capitalizações por mês comercial (30 dias), isto é, uma capitalização a cada

\[ \frac{30}{10}=3 \text{ dias} \]

iE <- 0.50
iN <- 0.4138
f <- function(n) (1 + iN/n)^n - (1 + iE)
n <- uniroot(f, lower = 1, upper = 50)$root
print(n)

[1] 9.996971

7 APEx 16433: SCJC: taxa

Securato et al., 2020, p. 43

Uma aplicação financeira envolvendo capital inicial de R$ 40.000,00 gera o montante de R$ 55.700,00 em 68 dias, no regime de capitalização composta. Determine a taxa de juro mensal (mês comercial) da operação.

A. 14,47%
B. 15,73%
C. 16,29%
D. 106,74%
E. 111,80%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Dados:

$P = 40000$
$F = 55700$
tempo $n = 68$ dias comerciais

Como o mês comercial tem 30 dias, o tempo em meses comerciais é

\[ n = \frac{68}{30} \]

No regime de capitalização composta,

\[ F = P(1+i)^n \]

Isolando a taxa $i$,

\[ \begin{align} 1+i &= \left(\frac{F}{P}\right)^{1/n} \\ 1+i &= \left(\frac{55700}{40000}\right)^{30/68} \\ i &= \left(\frac{55700}{40000}\right)^{30/68} - 1 \end{align} \]

Calculando,

\[ i \approx 0.1573 \]

ou seja, aproximadamente $15.73\%$ ao mês comercial.

P <- 40000
F <- 55700
n <- 68/30
i <- FinCal::discount.rate(pv = -P, 
                           fv = F, 
                           n = n,
                           pmt = 0)
print(i)

[1] 0.1573061

8 APEx 15472: SCJC: taxa proporcional

Securato et al., 2020, p. 97

Determinar a taxa anual (comercial) proporcional à taxa de $0.0053\%$ a.d.

A. 1,908%
B. 1,934%
C. 0,01934%
D. 0,01908%
E. 1,940%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Trata-se de taxa proporcional, não equivalente. Logo, utiliza-se a relação linear entre taxas e períodos:

\[ n_{ano} \times i_{\text{ano}} = n_{\text{dia}} \times i_{\text{dia}} \]

Como o ano comercial possui 360 dias, tem-se

\[ 1 \times i_{\text{ano}} = 360 \times 0.0053\% \]

Assim,

\[ \begin{align} i_{\text{ano}} &= 360 \times 0.0053\% \\ i_{\text{ano}} &= 1.908\% \end{align} \]

Portanto, a taxa anual proporcional é 1.908% a.a.

idia <- 0.000053
iano <- 360 * idia
print(iano)

[1] 0.01908

9 APEx 15473: SCJC: taxa equivalente I

Securato et al., 2020, p. 100

Num determinado investimento, a taxa auferida foi de $18.7\%$ a.p., considerando o período de 67 dias úteis.

Determine a taxa por dia útil equivalente.

A. 0,0277%
B. 0,2473%
C. 0,2562%
D. 0,2600%
E. 0,2601%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Seja $i_p = 0.187$ a taxa efetiva do período de 67 dias úteis e $i_d$ a taxa efetiva por dia útil. No regime de juros compostos, taxas equivalentes satisfazem

\[ (1+i_p)^{n_p} = (1+i_d)^{n_d} \]

Como a taxa de 18.7% refere-se a um único período de 67 dias úteis, tem-se

\[ n_p = 1 \quad\text{e}\quad n_d = 67 \]

Logo,

\[ (1+0.187) = (1+i_d)^{67} \]

Isolando $i_d$,

\[ \begin{align} 1+i_d &= (1+0.187)^{1/67} \\ i_d &= (1+0.187)^{1/67} - 1 \end{align} \]

Calculando,

\[ i_d \approx 0.002562 \]

isto é, aproximadamente 0.2562% ao dia útil.

ip <- 0.187
id <- FinCal::EIR(r = ip, 
                  n = 1, 
                  p = 67, 
                  type = "e")
print(id)

[1] 0.00256192

10 APEx 15474: SCJC: taxa equivalente II

Securato et al., 2020, p. 101

Dada a taxa de 26% a.a., determine a taxa equivalente no período de 92 dias do ano comercial.

A. 6,00%
B. 6,02%
C. 6,08%
D. 6,15%
E. 8,80%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Seja $i_a = 0.26$ a taxa anual efetiva e $i_p$ a taxa equivalente para um período de 92 dias. No regime de juro composto, taxas equivalentes satisfazem

\[ (1+i_p)^{n_p} = (1+i_a)^{n_a} \]

Como o ano comercial tem 360 dias, tem-se

\[ n_p = \frac{360}{92} \quad\text{e}\quad n_a = 1 \]

Logo,

\[ (1+i_p)^{360/92} = (1+0.26) \]

Isolando $i_p$,

\[ \begin{align} 1+i_p &= (1+0.26)^{92/360} \\ i_p &= (1+0.26)^{92/360} - 1 \end{align} \]

Calculando,

\[ i_p \approx 0.0608 \]

isto é, aproximadamente 6.08% no período de 92 dias.

ia <- 0.26
ip <- FinCal::EIR(r = ia, 
                  n = 1, 
                  p = 360/92, 
                  type = "e")
print(ip)

[1] 0.06084089

11 APEx 15475: SCJC: Taxa efetiva

Securato et al., 2020, p. 103

Dada a taxa nominal de $0.58\%$ a.m., com capitalização anual, determine a taxa efetiva.

A. 0,58%
B. 0,56%
C. 4,50%
D. 6,96%
E. 0,05%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

A taxa nominal é expressa ao mês, mas a capitalização ocorre uma vez por ano. Logo, o número de capitalizações contidas em um mês é

\[ k = \frac{1}{12} \]

A taxa proporcional anual é

\[ i_P = \frac{i_N}{k} = \frac{0.0058}{1/12} = 0.0696 \]

ou seja, $6.96\%$ a.a.

A taxa efetiva mensal correspondente é dada por

\[ i_E = (1+i_P)^{1/12} - 1 \]

Substituindo,

\[ \begin{align} i_E &= (1+0.0696)^{1/12} - 1 \\ i_E &\approx 0.0056 \end{align} \]

Portanto, a taxa efetiva é aproximadamente 0.56% a.m.

iN <- 0.0058
iE <- FinCal::EIR(r = iN, 
                  n = 1/12, 
                  p = 1, 
                  type = "e")
print(iE)

[1] 0.005622811

12 APEx 15476: SCJC: Taxa efetiva II

Securato et al., 2020, p. 104

A taxa nominal da caderneta de poupança é de 6% a.a., com capitalização mensal.

Determine a taxa efetiva.

A. 0,06%
B. 5,64%
C. 6,00%
D. 6,17%
E. 6,74%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

A taxa nominal anual é $i_N = 0.06$ a.a. e o número de períodos de capitalização por ano é $k = 12$. Assim, a taxa proporcional mensal é

\[ i_P = \frac{i_N}{k} = \frac{0.06}{12} = 0.005 \quad (0.5\% \text{ a.m.}) \]

A taxa efetiva anual é dada por

\[ i_E = (1+i_P)^{k} - 1 \]

Logo,

\[ \begin{align} i_E &= \left(1+\frac{0.06}{12}\right)^{12} - 1 \\ &= 1.061677812 - 1 \\ i_E &= 0.0617 \end{align} \]

Portanto, a taxa efetiva anual é de aproximadamente 6.17% a.a.

iN <- 0.06
iE <- FinCal::EIR(r = iN, 
                  n = 12, 
                  p = 1, 
                  type = "e")
print(iE)

[1] 0.06167781

13 APEx 15484: SCJC: Pousada em MT

Curso Preparatório ENEM 2011: Matemática I, p. 110, questão 8

O Sr. Silva planejou passar, com sua família, as festas natalinas no Pantanal de Mato Grosso em uma pousada que cobra uma diária de R$ 450,00, incluindo as refeições e os passeios turísticos. Fez uma reserva de sete dias, devendo efetuar o pagamento antecipado no dia 4 de dezembro de 2003. Visando não sobrecarregar o orçamento do mês de dezembro, decidiu poupar de duas maneiras: (1) depositar R$ 2.000,00 no dia 3 de janeiro de 2003, em uma aplicação especial com taxa de juro composto de 1,5% a.m., a ser resgatada somente em 3 de dezembro de 2003; (2) acumular bônus pelas compras efetuadas no cartão de crédito, podendo resgatá-los em 3 de dezembro de 2003, na forma de duas diárias.

A partir dessas informações, é possível afirmar que o montante reservado pelo Sr. Silva com essas maneiras de poupar será:

A. Suficiente para pagar a reserva, mas não lhe sobrará para gastos extras.
B. Suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão R$ 225,00 para gastos extras.
C. Insuficiente e ainda lhe faltarão R$ 106,00.
D. Suficiente para pagar a reserva e ainda lhe sobrarão R$ 106,00 para gastos extras.
E. Insuficiente e lhe faltarão R$ 225,00.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

O custo total da reserva é

\[ 7\times 450 = 3150 \]

Como duas diárias serão pagas com bônus, o valor a ser pago em dinheiro é

\[ 3150 - 2\times 450 = 2250 \]

O depósito de R$ 2.000,00 rende por 11 meses a 1.5% a.m., logo o montante em 3 de dezembro de 2003 é

\[ M = 2000\times 1.015^{11} \]

A sobra (ou falta) é

\[ M - 2250 = 2000\times 1.015^{11} - 2250 \approx 105.8979 \]

Logo, o montante é suficiente para pagar a reserva e ainda sobram aproximadamente R$ 106,00 para gastos extras.

14 APEx 15485: SCJC: comprar carro

Curso Preparatório ENEM 2011: Matemática IV, p. 101, questão 8

João deseja comprar um carro cujo preço à vista, com todos os descontos possíveis, é de R$ 21.000,00, e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que podem ser aplicados a uma taxa de juro composto de 2% a.m., e escolhe deixar seu dinheiro aplicado até que o montante atinja o valor do carro.

Para ter o carro, João deverá esperar:

A. dois meses, e terá a quantia exata.
B. três meses, e terá a quantia exata.
C. três meses, e ainda sobrarão R$ 224,00.
D. quatro meses, e terá a quantia exata.
E. quatro meses, e ainda lhe sobrarão, aproximadamente, R$ 649,00.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

\[ 21000 = 20000\times 1.02^n \]

\[ n=\frac{\log(21/20)}{\log(1.02)}=2.463823 \]

Como $n>2$ e $n<3$, ele precisa esperar 3 meses. O montante ao final de 3 meses é

\[ 20000(1.02)^3=21224.16 \]

Logo, a sobra é

\[ 21224.16-21000=224.16 \]

15 APEx 15477: SCJS e SCJC

Securato et al., 2020, p. 44

José empresta a Salim a quantia de R$ 10.000,00 por cinco meses à taxa de 7,1% a.a., no regime de juro composto. Salim repassa a mesma quantia, nas mesmas condições, para Onofre, porém no regime de juro simples.

Determine o valor obtido por Salim.

A. − R$ 5,91
B. R$ 5,91
C. R$ 420,00
D. − R$ 414,17
E. R$ 0,00

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

No regime de juro composto, o montante que José receberá de Salim ao final de cinco meses é

\[ M_J = 10000\times \left(1+0.071\right)^{5/12} = 10289.93 \]

No regime de juro simples, o montante que Salim receberá de Onofre é

\[ M_O = 10000\left(1+\frac{5}{12}\times 0.071\right) = 10295.83 \]

Logo, o valor obtido por Salim é

\[ \begin{align} G &= M_O - M_J \\ &= 10295.83 - 10289.93 \\ G &= 5.91 \end{align} \]

16 APEx 15845: Taxas

Jr & Lima, 2011, p. 746-7

Duas pessoas fizeram uma aplicação financeira. A pessoa A aplicou R$ 100.000,00 à taxa efetiva de juro de 0.5% a.m. e a pessoa B aplicou R$ 50.000,00 à taxa nominal de 6% a.a. Em ambos os casos, as capitalizações são mensais e os juros serão pagos junto com o principal.

Ao final de 1 ano podemos afirmar que:

A. O juro recebido pela pessoa A é maior do que o juro recebido pela pessoa B. B. Não há proporcionalidade entre as taxas de juro de A e B.
C. A taxa efetiva de juro de A é maior do que a taxa efetiva de B.
D. A taxa nominal de B é maior do que a taxa nominal de A.
E. Os montantes finais são iguais.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Pessoa A: $P_A=100000$, $i_A=0.005$ a.m., $n=12$.

\[ F_A = P_A(1+i_A)^{12} = 100000(1+0.005)^{12} \approx 106167.78 \]

\[ J_A = F_A - P_A \approx 6167.78 \]

Pessoa B: $P_B=50000$. A taxa nominal é $6\%$ a.a. com capitalização mensal, logo a taxa efetiva mensal é

\[ i_B = \frac{0.06}{12} = 0.005 \text{ a.m.} \]

\[ F_B = P_B(1+i_B)^{12} = 50000(1+0.005)^{12} \approx 53083.89 \]

\[ J_B = F_B - P_B \approx 3083.89 \]

Como $J_A > J_B$, conclui-se que o juro recebido pela pessoa A é maior do que o juro recebido pela pessoa B.

17 APEx 16436: Montante

Hazzan & Pompeo, 2004, p. 54

Uma pessoa conseguiu um empréstimo de R$ 20.000,00 para ser devolvido em 2 anos. A financiadora cobra taxa nominal composta de 24% a.a. com capitalização trimestral.

O montante a ser devolvido no vencimento será de:

A. R$ 30.752,00
B. R$ 31.876,00
C. R$ 32.057,00
D. R$ 32.125,00

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Taxa nominal anual $i_N = 0.24$ a.a. com capitalização trimestral, logo a taxa periódica trimestral é

\[ i_T = \dfrac{0.24}{4} = 0.06 \]

Em 2 anos há $4 \times 2 = 8$ trimestres. Assim, no regime composto,

\[ \begin{align} F &= 20000(1+i_T)^{8} \\ &= 20000(1.06)^8 \\ F &\approx 31876.96 \end{align} \]

Portanto, o montante é aproximadamente R$ 31.876,96, e desprezando os centavos: R$ 31.876,00.

18 APEx 15498: Equivalência

Hazzan & Pompeo, 2004, p. 45

Com referência à taxa de juro composto de 10% a.a., pode-se dizer que o pagamento de R$ 100.000,00, feito daqui a 1 ano, é equivalente financeiramente ao pagamento de:

A. R$ 100.000,00 na data atual
B. R$ 150.000,00 daqui a dois anos
C. R$ 146.410,00 daqui a cinco anos
D. R$ 91.000,00 na data atual

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Adota-se a data atual como data focal e $i = 0.1$ a.a.

Pagamento de R$ 100.000,00 em 1 ano:

\[ P = \frac{100000}{1.1} = 90909.09 \]

Compara-se esse valor presente com o valor presente das demais alternativas.

Alternativa A (R$ 100.000,00 hoje):

\[ P_A = 100000 \]

Não é equivalente, pois $P_A \neq 90909.09$.

Alternativa B (R$ 150.000,00 em 2 anos):

\[ P_B = \frac{150000}{1.1^2} \approx 123966.94 \]

Não é equivalente.

Alternativa C (R$ 146.410,00 em 5 anos):

\[ P_C = \frac{146410}{1.1^5} = 90909.09 \]

É equivalente, pois o valor presente coincide.

Alternativa D (R$ 91.000,00 hoje):

\[ P_D = 91000 \]

Não é equivalente.

Logo, o pagamento equivalente é R$ 146.410,00 daqui a cinco anos.

19 APEx 15495: Melhor Banco

Mathias & Gomes, 1993, p. 135

A taxa de juro cobrada pelo Banco A é de 30% a.a., sendo sua capitalização anual. O Banco B, numa campanha promocional, informa que sua taxa é de 27% a.a., tendo como algo a diferenciá-la apenas o fato de sua capitalização ser mensal.

Qual é o melhor banco para o cliente?

A. A
B. B
C. A e B são equivalentes
D. Impossível determinar

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Para comparar, usa-se a taxa efetiva anual.

Banco A: taxa nominal com capitalização anual equivale à taxa efetiva anual

\[ i_A = 0.3 \]

Banco B: taxa nominal anual de 27% com capitalização mensal. A taxa efetiva anual é

\[ i_B = \left(1+\frac{0.27}{12}\right)^{12}-1 \]

Calculando,

\[ i_B \approx (1.0225)^{12}-1 \approx 0.3061 = 30.61\% \]

Como $i_B > i_A$, o Banco B cobra uma taxa efetiva anual maior, logo é pior para o cliente. Portanto, o melhor banco para o cliente é o Banco A.

20 APEx 15493: Valor de venda à vista

Iezzi et al., 2004, p. 68

A rede de lojas Cistrepa vende por crediário com uma taxa de juro mensal de 10%. Certa mercadoria, cujo preço à vista é $P$, será vendida a prazo de acordo com o seguinte plano de pagamento: R$ 100,00 de entrada, uma prestação de R$ 240,00 a ser paga em 30 dias e outra de R$ 220,00 a ser paga em 60 dias. Determine $P$, o valor de venda à vista dessa mercadoria.

A. R$ 400,00
B. R$ 500,00
C. R$ 520,00
D. R$ 540,00
E. R$ 560,00

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Adota-se a data de hoje como data focal e $i = 0.1$ a.m.

O valor à vista é o valor presente dos pagamentos:

\[ P = 100 + \frac{240}{1.1} + \frac{220}{1.10^2} \]

Calculando,

\[ P = 100 + 218.18 + 181.82 = 500 \]

Logo, o valor de venda à vista é R$ 500,00.

21 APEx 15492: Número de períodos

Iezzi et al., 2004, p. 61

Um capital é empregado a uma taxa anual de 5% (juro composto), calculada anualmente. Se o valor do montante, depois de $n$ anos, é aproximadamente 34% maior do que o capital inicial, qual é o valor de $n$?

A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

Se o montante é 34% maior que o capital inicial, então

\[ F = 1.34\,P \]

No regime de juros compostos com taxa anual de 5%,

\[ F = P(1+0.05)^n \]

Igualando as expressões:

\[ 1.34\,P = P(1.05)^n \]

Cancelando $P$,

\[ 1.34 = (1.05)^n \]

Aplicando logaritmos:

\[ n = \frac{\ln(1.34)}{\ln(1.05)} \]

Numericamente,

\[ n \approx 6 \]

Logo, o capital deve permanecer aplicado por aproximadamente 6 anos.

22 APEx 15490: Empréstimo em país irreal

Iezzi et al., 2004, p. 59

Num país irreal, o governante costuma fazer empréstimos para viabilizar sua administração. Existem dois empréstimos possíveis: pode-se tomar emprestado de países ricos, com juros de 4,2% ao ano (aqui incluída a taxa de risco), ou tomar emprestado de banqueiros do país irreal, que cobram juros compostos de 3% ao mês. Pressões políticas da oposição obrigam o governante a contrair empréstimos com os banqueiros do seu país. Quantas vezes maior que o juro anual cobrado pelos países ricos é o juro anual cobrado pelos banqueiros do país irreal?

A. 0,10
B. 10,14
C. 0,71
D. 1,40
E. 8,57

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

A taxa cobrada pelos países ricos é anual e igual a

\[ i_R = 0.042 \]

A taxa cobrada pelos banqueiros do país irreal é de 3% ao mês, em regime composto. A taxa efetiva anual correspondente é

\[ i_B = (1+0.03)^{12}-1 \]

Calculando,

\[ i_B \approx 1.03^{12}-1 \approx 0.42576 \]

Quer-se saber quantas vezes o juro anual dos banqueiros é maior do que o juro anual dos países ricos:

\[ \frac{i_B}{i_R} = \frac{1.03^{12}-1}{0.042} \approx 10.14 \]

Logo, o juro anual cobrado pelos banqueiros do país irreal é aproximadamente 10,14 vezes maior.

23 APEx 15489: Inflação brasileira em 1990

Iezzi et al., 2004, p. 39

Em 1990, no auge da inflação brasileira, o Índice Geral de Preços (IGP) acusou uma variação de 2.740,00%.

Supondo que, em cada mês de 1990, a taxa de inflação fosse constante, qual é o valor dessa taxa mensal?

A. 32,16%
B. 228,33%
C. 27,40%
D. 274,00%
E. 2,74%

Explicações e comentários:

Alternativa correta: A.

Uma inflação anual de 2.740,00% significa que o nível de preços ao final do ano foi

\[ 1 + r = 1 + 27.40 = 28.40 \]

vezes o nível inicial.

Se a taxa mensal constante for $i$, então, pelo regime composto,

\[ (1+i)^{12} = 28.40 \]

Isolando $i$,

\[ i = 28.40^{1/12} - 1 \]

Calculando,

\[ i \approx 0.3216 \]

Em termos percentuais,

\[ i \approx 32.16\% \text{ a.m.} \]

24 APEx 15488: Matemática comercial: inflação alemã em 1923

Iezzi et al., 2004, p. 39

Durante o ano de 1923, no auge da hiperinflação na Alemanha, a taxa de inflação foi de $(855{,}44 \times 10^8)\%$. Admitindo que, em cada um dos 12 meses, a taxa de inflação tenha sido constante, qual é o seu valor mensal?

A. $7{,}12 \times 10^7\%$
B. $8{,}55 \times 10^9\%$
C. $71{,}2 \times 10^6$
D. $8{,}55 \times 10^7$
E. $4{,}55 \times 10^2\%$

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

Uma inflação anual de $(855{,}44 \times 10^8)\%$ significa que o nível de preços ao final do ano foi

\[ 1 + r = 1 + \frac{855{,}44 \times 10^8}{100} = 1 + 8{,}5544 \times 10^8 \]

vezes o nível inicial.

Se a taxa mensal constante for $i$, então, no regime composto,

\[ (1+i)^{12} = 1 + 8{,}5544 \times 10^8 \]

Isolando $i$,

\[ i = \left(1 + 8{,}5544 \times 10^8\right)^{1/12} - 1 \]

Calculando,

\[ i \approx 4{,}55 \]

Em termos percentuais,

\[ i \approx 455\% \text{ a.m.} \]

Logo, a taxa de inflação mensal constante é aproximadamente $4{,}55 \times 10^2\%$.

25 APEx 15491: Investimento de Irene

Iezzi et al., 2004, p. 60

Irene recebeu R$ 1.000,00 e pretende investi-los no prazo de dois anos. Um amigo lhe sugere duas opções de investimento. Na primeira, a rentabilidade é de 20% ao ano e, no momento do resgate, há um desconto de 25% sobre o valor acumulado, referente ao imposto de renda. Na segunda, a rentabilidade é de 6% ao ano, sem incidência de imposto.

Determine qual aplicação renderá mais após dois anos, no regime de juro composto.

A. Primeira opção
B. Segunda opção
C. As duas opções são equivalentes
D. Impossível escolher a melhor opção

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Opção 1: taxa $i_1 = 0.2$ a.a., por 2 anos. Montante bruto:

\[ F_1 = 1000(1.2)^2 = 1440 \]

Incide imposto de 25% sobre o valor acumulado no resgate, então o montante líquido é

\[ F_{1,\text{liq}} = (1-0.25)F_1 = 0.75\times 1440 = 1080 \]

Opção 2: taxa $i_2 = 0.06$ a.a., por 2 anos, sem imposto:

\[ F_2 = 1000(1.06)^2 = 1123.60 \]

Comparando,

\[ F_{1,\text{liq}} = 1080 < F_2 = 1123.60 \]

Logo, a segunda opção rende mais após dois anos.

26 APEx 16462: Nova taxa

Suponha que existe um regime de capitalização a juro composto com taxa de juro $i_1$. Pretende-se recalcular uma nova taxa de juro, admitindo-se que houve um crescimento proporcional $i_2$ sobre $i_1$. A nova taxa, $i^{\prime}$, é:

A. $i^{\prime} = i_1 + i_2$ B. $i^{\prime} = i_1 + i_1 \times i_2$
C. $i^{\prime} = i_1 + i_1 \times (1+i_2)$
D. $i^{\prime} = i_1 + (1+i_1) \times i_2$
E. $i^{\prime} = i_1 + (1+i_1) \times i_2 - 1$

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

A nova taxa é

\[ i^{\prime} = i_1 + i_2 + i_1 i_2 = (1+i_1)(1+i_2)-1=i_1+(1+i_1)i_2 \]

27 APEx 16463: Escolha entre RCJS e RCJC

Uma nota promissória tem valor nominal de R$ 2500.00, com vencimento em $n = 14$ meses.

O devedor deseja antecipar a liquidação para $k = 4$ meses.
Adote taxa de juros $i = 10\%$ a.m.

Considere como data focal $f = 0$ (data de realização do contrato).

O devedor pode escolher entre:

RCJS: Regime de Capitalização a Juro Simples
RCJC: Regime de Capitalização a Juro Composto

Em qual regime o novo valor nominal a ser pago em $k=4$ meses será menor para o devedor?

A. RCJS, pois gera valor nominal de R$ 1458.33, menor que no RCJC.
B. RCJC, pois gera valor nominal de R$ 963.86, menor que no RCJS.
C. RCJS, pois gera valor nominal de R$ 1041.67, menor que no RCJC.
D. RCJC, pois gera valor nominal de R$ 658.33, menor que no RCJS.
E. Os dois regimes produzem o mesmo valor nominal.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Data focal $f=0$.

RCJS:

\[ P = \frac{2500}{1 + 0.10 \times 14} = 1041.67 \]

Novo nominal em $k=4$:

\[ X = 1041.67(1 + 0.10 \times 4) = 1458.33 \]

RCJC:

\[ P = \frac{2500}{(1.10)^{14}} = 658.33 \]

Novo nominal em $k=4$:

\[ Y = 658.33(1.10)^4 = 963.86 \]

Como $963.86 < 1458.33$, o regime mais vantajoso para o devedor é o RCJC.

Graficamente:

JS <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=4,type="S")
abline(v=0, col="orangered", lty=3, lwd=2)

JC <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=4,type="C")
abline(v=0, col="orangered", lty=3, lwd=2)

28 APEx 16464: Entre RCJS e RCJC, com outras datas focais

Uma nota promissória tem valor nominal de R$ 2500.00, com vencimento em $n = 14$ meses.
O devedor deseja antecipar o pagamento para $k = 4$ meses, à taxa de 10% a.m.

Com base nessas informações, assinale a alternativa correta.

A. Existe alguma data focal em que o RCJS se torna mais vantajoso que o RCJC para o devedor.

B. RCJS e RCJC produzem o mesmo valor nominal se a data focal for igual à data de realização do empréstimo.

C. RCJC é mais vantajoso para o devedor para qualquer data focal escolhida.

D. RCJS é sempre mais vantajoso porque produz menor valor presente.

E. A escolha da data focal elimina qualquer diferença entre os regimes.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

No RCJC, o valor renegociado é fixo e igual a R$ 963.86, independentemente da data focal.

As outras alternativas estão incorretas:

A. Existe alguma data focal em que o RCJS se torna mais vantajoso que o RCJC para o devedor.

No RCJS, embora o valor mude com a escolha de $f$, o menor valor possível de R$ 1111.11 ainda é maior do que R$ 963.86. Esse valor mínimo ocorre quando a data focal é intermediária entre a data da antecipação $k$ e a data original do vencimento $n$.

JS <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=4,type="S")

B. RCJS e RCJC produzem o mesmo valor nominal se a data focal for igual à data de realização do empréstimo.

Presumindo que a data original da realização é o momento inicial, os valores em $f=0$ não coincidem: no RCJC o valor renegociado é sempre R$ 963.86, mas o valor inicial do RCJS é maior, R$ 1458.33.

JC <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=4,type="C")

D. RCJS é sempre mais vantajoso porque produz menor valor presente.

Neste exemplo, a renegociação é, ao contrário, desvantajosa para o devedor que optou pelo RCJS.

E. A escolha da data focal elimina qualquer diferença entre os regimes.

Não encontra-se, neste exemplo, data focal que faça os valores renegociados sob RCJS e RCJC serem idênticos.

Portanto, para qualquer data focal, o regime de juro composto é mais vantajoso para o devedor.

29 APEx 16465: Antecipar ou adiar em RCJC

Uma nota promissória tem valor nominal de R$ 2500.00, com vencimento em $n=14$ meses. A taxa de juros é $i=10\%$ a.m., no regime de capitalização a juro composto (RCJC).

O devedor está avaliando duas renegociações alternativas:

antecipar a quitação para $k=4$ meses
postergar a quitação para $m=18$ meses

Considere a data focal $f=0$ (data de realização do empréstimo) para estabelecer a equivalência financeira.

Qual decisão minimiza o valor nominal a ser pago na data de quitação?

A. Postergar para $m=18$, pois reduz o valor nominal.
B. Tanto faz: antecipar ou postergar gera o mesmo valor nominal.
C. Antecipar para $k=4$, pois reduz o valor nominal.
D. Postergar para $m=18$ só é melhor se $f=0$.
E. Antecipar para $k=4$ aumenta o valor nominal, então é pior.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: C.

No RCJC, a equivalência na data focal $f=0$ implica que o valor em uma data $t$ equivalente ao valor de face $2500.00$ em $n=14$ é

\[ X(t)=2500\,(1+i)^{t-n} \]

Para antecipar para $k=4$:

\[ X(4)=2500\,(1.10)^{4-14}=2500\,(1.10)^{-10}=963.86 \]

Para postergar para $m=18$:

\[ X(18)=2500\,(1.10)^{18-14}=2500\,(1.10)^4=3660.25 \]

Como $963.86 < 3660.25$, antecipar a quitação minimiza o valor nominal.

Quanto à alternativa “B. Tanto faz: antecipar ou postergar gera o mesmo valor nominal.” é importante não confundir-se com os conceitos. Mudar a data focal não altera o valor nominal em RCJC, mas a decisão de antecipar ou adiar muda o valor nominal. Observe o efeito de antecipar para 4 meses utilizando a função FocalDate:

antecipa <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=4,ext=11,
               forceP=TRUE,forceN=TRUE,type="C",ylim.Nom=c(500,3600))

em comparação com adiar para 18 meses:

adia <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=18,ext=7,
               forceN=TRUE,type="C",ylim.Nom=c(500,3600))

A antecipação reduz consideravelmente o valor em relação ao adiamento da nota promissória.

30 APEx 16466: Antecipar ou adiar em RCJS

Uma nota promissória tem valor nominal de R$ 2500.00, com vencimento em $n=14$ meses. A taxa de juros é $i=10\%$ a.m., no regime de capitalização a juro simples (RCJS).

O devedor está avaliando duas renegociações alternativas:

antecipar a quitação para $k=4$ meses
postergar a quitação para $m=18$ meses

A data focal máxima é 18 meses.

Quais são as melhores datas focais, em meses, para o devedor ao antecipar e postergar, respectivamente?

A. 0 e 0

B. 9 e 0

C. 9 e 16

D. 0 e 16

E. 4 e 18

Explicações e comentários:

Alternativa correta: B.

Você pode verificar utilizando a função FocalDate, procurando o ponto de mínimo.

Quando antecipa para 4 meses:

antecipa <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=4,ext=11,
               forceP=TRUE,forceN=TRUE,type="S",ylim.Nom=c(500,3600))
pos.min <- which(antecipa$NV$NominalValue==min(antecipa$NV$NominalValue))
cat("\nAtinge o mínimo com a data = ",antecipa$NV$FocalDate[pos.min])


Atinge o mínimo com a data =  8.994995 9.005005

abline(v=antecipa$NV$FocalDate[pos.min], col="orangered", lty=3, lwd=2)

Quando adia para 18 meses:

adia <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=18,ext=7,
               forceN=TRUE,type="S",ylim.Nom=c(500,3600))
pos.min <- which(adia$NV$NominalValue==min(adia$NV$NominalValue))
cat("\nAtinge o mínimo com a data = ",adia$NV$FocalDate[pos.min])


Atinge o mínimo com a data =  0

abline(v=adia$NV$FocalDate[pos.min], col="orangered", lty=3, lwd=2)

31 APEx 16467: Antecipar ou adiar em RCJS II

Uma nota promissória tem valor nominal de R$ 2500.00, com vencimento em $n=14$ meses. A taxa de juros é $i=10\%$ a.m., no regime de capitalização a juro simples (RCJS).

O devedor está avaliando duas renegociações alternativas:

antecipar a quitação para $k=4$ meses
postergar a quitação para $m=18$ meses

A data focal máxima é 18 meses.

Quais são as piores datas focais, em meses, para o devedor ao antecipar e postergar, respectivamente?

A. 0 e 0

B. 9 e 0

C. 9 e 16

D. 0 e 16

E. 4 e 18

Explicações e comentários:

Alternativa correta: D.

Similarmente à questão anterior, você pode verificar utilizando a função FocalDate, procurando o ponto de máximo.

Quando antecipa para 4 meses (e limitando a data focal com $0 \leq f \leq 18$) as duas piores datas focais para o devedor são a data original do empréstimo ($f=0$) e a do novo encerramento ($f=18$). Aliás, para $f>18$ o valor renegociado continua subindo e pode voltar ao valor original da nota promissória (que é a situação absurda de propor antecipar o pagamento da dívida sem obter desconto algum):

antecipa <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=4,ext=4,                                             forceP=TRUE,forceN=TRUE,type="S",
                      ylim.Nom=c(500,3600))
pos.max <- which(antecipa$NV$NominalValue==max(antecipa$NV$NominalValue))
cat("\nAtinge o máximo com a data = ",antecipa$NV$FocalDate[pos.max])


Atinge o máximo com a data =  0 18

abline(v=antecipa$NV$FocalDate[pos.max], col="orangered", lty=3, lwd=2)

Quando adia para 18 meses o valor renegociado é máximo se utilizarmos para a data focal um ponto intermediário entre a data do vencimento original e a nova data ($14 \leq f \leq 18$). Adicionalmente, qualquer uma destas duas datas aumenta o valor da nota promissória em relação ao valor original:

adia <- FocalDate(N=2500,i=0.10,n=14,k=18,ext=0,
                  forceN=TRUE,type="S",
                  ylim.Nom=c(500,3600))
pos.max <- which(adia$NV$NominalValue==max(adia$NV$NominalValue))
cat("\nAtinge o máximo com a data = ",adia$NV$FocalDate[pos.max])


Atinge o máximo com a data =  15.998 16.002

abline(v=adia$NV$FocalDate[pos.max], col="orangered", lty=3, lwd=2)

32 APEx 16468: RCJS vs. RCJC, negociando os juros

Manuel precisa de R$ 2500.00 e pagará com nota promissória em 12 meses. O mutuante lhe oferece a opção de escolher entre dois regimes: capitalização com juro simples (RCJS) a 2% a.m. ou composto (RCJC) a 1.81% a.m. Explicam-lhe que a diferença entre as taxas de juro são as que produzem o valor mesmo valor nominal de R$ 3100.00 a ser pago no vencimento. Manuel fica em dúvida porque sempre soube, pela imprensa e por amigos que se informaram com advogados, que o RCJS é melhor para o mutuário e, portanto, desconfia desta explicação. Além disso, Manuel ainda não sabe como seus negócios ficarão este ano, e talvez consiga antecipar o pagamento para 6 meses ou tenha que adiar e pedir um ano adicional, pagando em 24 meses. Opta pelo RCJS.

Manuel está correto e, quando precisar renegociar os valores, sob RCJS, obterá melhores valores do que se tivesse optado por RCJC?

A. Sim, pois o RCJC calcula juro sobre juro, o que faz a dívida renegociada ser maior para o mutuário do que seria com RCJS.

B. Sim, pois o banco é obrigado a recalcular o valor e o RCJS garante menor valor que o RCJC para o mutuário com qualquer data focal.

C. Sim, pois o banco é obrigado a recalcular com a data focal do empréstimo original, que é menor com o RCJS nas duas possibilidades.

D. Não, pois embora no adiamento possa pagar praticamente o mesmo valor nominal no dois regimes, pagará mais no caso de antecipação para qualquer data focal.

E. Não, pois no RCJS o banco poderá utilizar qualquer data focal e, em várias delas, o mutuante cobrará maior dívida utilizando o RCJS nos dois casos.

Explicações e comentários:

Alternativa correta: E.

opar <- par(no.readonly = TRUE)
m <- matrix(1:4, nrow=2,ncol=2,byrow=TRUE)
layout(m)
a <- FocalDate(P=2500,i=0.02,n=12,k=6,ext=10,type="S",ylim.Nom=c(2740,2820))
b <- FocalDate(P=2500,i=0.0181,n=12,k=6,ext=10,type="C",ylim.Nom=c(2740,2820))
a <- FocalDate(P=2500,i=0.02,n=12,k=24,ext=0,type="S",ylim.Nom=c(3700,3900))
b <- FocalDate(P=2500,i=0.0181,n=12,k=24,ext=0,type="C",ylim.Nom=c(3700,3900))

par(opar)

Lista 2: Regime de Capitalização de Juro Composto
Soluções

MSP4111: Matemática Financeira Aplicada à Medicina

José Siqueira (siqueira@usp.br)
Paulo Sérgio Panse Silveira (silveira@usp.br)

27 março 2026 00:19h

1 APEx 15462: RCJC: tipos de taxa de juro

2 APEx 16435: SCJC: três taxas (equação de Sebá)

3 APEx 15467: RCJC: taxa efetiva

4 APEx 16434: SCJC: duas alternativas para comprar sítio

5 APEx 15469: SCJC: Som a vista ou a prazo

6 APEx 15470: SCJC: número de capitalizações

7 APEx 16433: SCJC: taxa

8 APEx 15472: SCJC: taxa proporcional

9 APEx 15473: SCJC: taxa equivalente I

10 APEx 15474: SCJC: taxa equivalente II

11 APEx 15475: SCJC: Taxa efetiva

12 APEx 15476: SCJC: Taxa efetiva II

13 APEx 15484: SCJC: Pousada em MT

14 APEx 15485: SCJC: comprar carro

15 APEx 15477: SCJS e SCJC

16 APEx 15845: Taxas

17 APEx 16436: Montante

18 APEx 15498: Equivalência

19 APEx 15495: Melhor Banco

20 APEx 15493: Valor de venda à vista

21 APEx 15492: Número de períodos

22 APEx 15490: Empréstimo em país irreal

23 APEx 15489: Inflação brasileira em 1990

24 APEx 15488: Matemática comercial: inflação alemã em 1923

25 APEx 15491: Investimento de Irene

26 APEx 16462: Nova taxa

27 APEx 16463: Escolha entre RCJS e RCJC

28 APEx 16464: Entre RCJS e RCJC, com outras datas focais

29 APEx 16465: Antecipar ou adiar em RCJC

30 APEx 16466: Antecipar ou adiar em RCJS

31 APEx 16467: Antecipar ou adiar em RCJS II

32 APEx 16468: RCJS vs. RCJC, negociando os juros

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2 APEx 16435: SCJC: três taxas (equação de Sebá)

3 APEx 15467: RCJC: taxa efetiva

4 APEx 16434: SCJC: duas alternativas para comprar sítio

5 APEx 15469: SCJC: Som a vista ou a prazo

6 APEx 15470: SCJC: número de capitalizações

7 APEx 16433: SCJC: taxa

8 APEx 15472: SCJC: taxa proporcional

9 APEx 15473: SCJC: taxa equivalente I

10 APEx 15474: SCJC: taxa equivalente II

11 APEx 15475: SCJC: Taxa efetiva

12 APEx 15476: SCJC: Taxa efetiva II

13 APEx 15484: SCJC: Pousada em MT

14 APEx 15485: SCJC: comprar carro

15 APEx 15477: SCJS e SCJC

16 APEx 15845: Taxas

17 APEx 16436: Montante

18 APEx 15498: Equivalência

19 APEx 15495: Melhor Banco

20 APEx 15493: Valor de venda à vista

21 APEx 15492: Número de períodos

22 APEx 15490: Empréstimo em país irreal

23 APEx 15489: Inflação brasileira em 1990

24 APEx 15488: Matemática comercial: inflação alemã em 1923

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27 APEx 16463: Escolha entre RCJS e RCJC

28 APEx 16464: Entre RCJS e RCJC, com outras datas focais

29 APEx 16465: Antecipar ou adiar em RCJC

30 APEx 16466: Antecipar ou adiar em RCJS

31 APEx 16467: Antecipar ou adiar em RCJS II

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