1 📌 DISEÑOS EN BLOQUES

🔍 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS EN BLOQUES

En muchos problemas experimentales, es necesario diseñar el experimento de tal manera que la variabilidad proveniente de otras fuentes pueda ser sistemáticamente controlada. Si esta variabilidad no es controlada, el error experimental reflejará tanto el error experimental como la variación adicional de otras fuentes. Lo que queremos es que el error experimental sea tan pequeño como sea posible.

Un diseño que nos ayuda a contabilizar y remover esta fuente adicional de variación es el diseño de bloques completamente al azar (DBCA). En el DBCA, las unidades experimentales están agrupadas primero en grupos homogéneos llamados bloques y los tratamientos están asignados al azar dentro de los bloques.

📌 Conceptos clave

Bloque: Grupo de observaciones que tienen condición de unicidad estadística, que pueden y deben ser analizadas e interpretadas sólo de modo conjunto.
Bloque completo: Todos sus elementos componentes tienen valores válidos.
Bloque incompleto: Algún nivel factorial no posee valores.
Factores de bloqueo comunes: turno, lote, día, tipo de material, línea de producción, operador, máquina, método, etc.

💡 Importancia: La imposibilidad de aleatorizar de bloque a bloque se aprecia claramente cuando se bloquean factores como día o turno, ya que no tiene sentido pensar en seleccionar al azar el orden de los días o los turnos, porque es imposible regresar el tiempo.

2 📌 DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR (DBCA)

📊 DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR (DBCA)

En un diseño en bloques completos al azar (DBCA) se consideran tres fuentes de variabilidad: el factor de tratamientos, el factor de bloques y el error aleatorio. Es decir, se tienen tres posibles “culpables” de la variabilidad presente en los datos.

Tabla: Estructura de datos para un DBCA con k tratamientos y b bloques
Bloques	Tratamientos
	1	2	3	⋯	k
1	\(Y_{11}\)	\(Y_{21}\)	\(Y_{31}\)	⋯	\(Y_{k1}\)
2	\(Y_{12}\)	\(Y_{22}\)	\(Y_{32}\)	⋯	\(Y_{k2}\)
3	\(Y_{13}\)	\(Y_{23}\)	\(Y_{33}\)	⋯	\(Y_{k3}\)
⋮	⋮	⋮	⋮	⋱	⋮
b	\(Y_{1b}\)	\(Y_{2b}\)	\(Y_{3b}\)	⋯	\(Y_{kb}\)

2.1 📌 Modelo estadístico

El modelo estadístico para el DBCA está dado por:

\[Y_{ij} = \mu + \tau_i + \gamma_j + \varepsilon_{ij}\]

donde:

\(i = 1, 2, \ldots, k\) (tratamientos)
\(j = 1, 2, \ldots, b\) (bloques)
\(Y_{ij}\) es la observación del tratamiento \(i\) en el bloque \(j\)
\(\mu\) es la media global
\(\tau_i\) es el efecto del tratamiento \(i\) (con \(\sum \tau_i = 0\))
\(\gamma_j\) es el efecto del bloque \(j\) (con \(\sum \gamma_j = 0\))
\(\varepsilon_{ij}\) es el error aleatorio \(\sim N(0, \sigma^2)\)

2.2 📌 Hipótesis a probar

La hipótesis de interés es la misma para todos los diseños comparativos:

\[H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k\]

\[H_1: \mu_i \neq \mu_j \text{ para algún } i \neq j\]

Puesto que \(\mu_i = \mu + \tau_i\), las hipótesis son equivalentes a:

\[H_0: \tau_1 = \tau_2 = \cdots = \tau_k = 0\]

\[H_1: \tau_i \neq 0 \text{ para algún } i\]

2.3 📌 Análisis de varianza para DBCA

📊 Sumas de cuadrados

Definiciones:

\(Y_{i\cdot} = \sum_{j=1}^b Y_{ij}\) (total del tratamiento \(i\))
\(Y_{\cdot j} = \sum_{i=1}^k Y_{ij}\) (total del bloque \(j\))
\(Y_{\cdot\cdot} = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^b Y_{ij}\) (gran total)

Las sumas de cuadrados se calculan como:

\[SCT = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^b Y_{ij}^2 - \frac{Y_{\cdot\cdot}^2}{kb}\]

\[SCTr = \sum_{i=1}^k \frac{Y_{i\cdot}^2}{b} - \frac{Y_{\cdot\cdot}^2}{kb}\]

\[SCB = \sum_{j=1}^b \frac{Y_{\cdot j}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot}^2}{kb}\]

\[SCE = SCT - SCTr - SCB\]

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Tratamientos	\(SCTr\)	\(k-1\)	\(CMTr\)	\(CMTr/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Bloques	\(SCB\)	\(b-1\)	\(CMB\)	\(CMB/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Error	\(SCE\)	\((k-1)(b-1)\)	\(CME\)
Total	\(SCT\)	\(kb-1\)

📌 Valores esperados:

\(E(CME) = \sigma^2\)

\(E(CMTr) = \sigma^2 + \frac{b}{k-1}\sum_{i=1}^k \tau_i^2\)

\(E(CMB) = \sigma^2 + \frac{k}{b-1}\sum_{j=1}^b \gamma_j^2\)

3 📌 EJEMPLO: COMPARACIÓN DE MÉTODOS DE ENSAMBLE

🔧 EJEMPLO: COMPARACIÓN DE CUATRO MÉTODOS DE ENSAMBLE

Un equipo de mejora investiga el efecto de cuatro métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos. Se considera que hay cuatro operadores que pueden afectar los tiempos, por lo que se utiliza un Diseño en Bloques Completamente al Azar (DBCA) con los operadores como bloques.

Tabla: Datos del DBCA - Tiempos de ensamble (minutos)
Operador (Bloque)	A	B	C	D	Total bloque
1	6	7	10	10	33
2	9	10	16	13	48
3	7	11	11	11	40
4	8	8	14	9	39
Total trat.	30	36	51	43	160

3.1 💻 EJEMPLO: DBCA - COMPARACIÓN DE MÉTODOS DE ENSAMBLE - Código en R y Python

3.2 📌 Resultados del análisis

📊 Tabla ANOVA para el DBCA

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Métodos	61.5	3	20.5	10.25	0.0029
Bloques (Operadores)	28.5	3	9.5	4.75	0.0298
Error	18.0	9	2.0
Total	108.0	15

Conclusiones:

Métodos: valor-p = 0.0029 < 0.05 → Se rechaza \(H_0\). Existen diferencias significativas entre los métodos de ensamble.
Bloques (Operadores): valor-p = 0.0298 < 0.05 → El factor de bloqueo (operadores) tiene efecto significativo, justificando su inclusión.
El error experimental se redujo de 2.458 (DCA) a 2.0 (DBCA), una reducción del 18.6%.

4 📌 DISEÑO EN CUADRO LATINO

📊 DISEÑO EN CUADRO LATINO

El diseño en cuadro latino es una extensión del diseño en bloques que permite controlar dos fuentes de variabilidad (dos factores de bloqueo) simultáneamente. En este diseño, los tratamientos se asignan de manera que cada tratamiento aparece exactamente una vez en cada fila y una vez en cada columna.

Un cuadro latino de orden \(k\) es una matriz \(k \times k\) donde cada uno de los \(k\) tratamientos aparece exactamente una vez por fila y una vez por columna.

Cuadro Latino de orden 4
Fila	1	2	3	4
1	A	B	C	D
2	B	C	D	A
3	C	D	A	B
4	D	A	B	C

4.1 📌 Modelo estadístico

El modelo para un diseño en cuadro latino es:

\[Y_{ijk} = \mu + \tau_i + \rho_j + \gamma_k + \varepsilon_{ijk}\]

donde:

\(i = 1, \ldots, k\) (tratamientos)
\(j = 1, \ldots, k\) (bloque fila)
\(k = 1, \ldots, k\) (bloque columna)
\(\tau_i\) es el efecto del tratamiento \(i\)
\(\rho_j\) es el efecto del bloque fila \(j\)
\(\gamma_k\) es el efecto del bloque columna \(k\)

4.2 📌 Análisis de varianza para Cuadro Latino

La tabla ANOVA para un diseño en cuadro latino es:

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)
Tratamientos	\(SCTr\)	\(k-1\)	\(CMTr\)	\(CMTr/CME\)
Filas (Bloque 1)	\(SCF\)	\(k-1\)	\(CMF\)	\(CMF/CME\)
Columnas (Bloque 2)	\(SCC\)	\(k-1\)	\(CMC\)	\(CMC/CME\)
Error	\(SCE\)	\((k-1)(k-2)\)	\(CME\)
Total	\(SCT\)	\(k^2-1\)

4.3 💻 EJEMPLO: DISEÑO EN CUADRO LATINO - Código en R y Python

5 📌 DISEÑO EN CUADRO GRECOLATINO

📊 DISEÑO EN CUADRO GRECOLATINO

El diseño en cuadro grecolatino es una extensión del cuadro latino que permite controlar tres fuentes de variabilidad (tres factores de bloqueo) simultáneamente. Se construye superponiendo dos cuadros latinos ortogonales.

En un cuadro grecolatino, cada letra latina aparece una vez por fila y columna, y cada letra griega también aparece una vez por fila y columna, además cada combinación de letra latina y griega aparece exactamente una vez.

Cuadro Greco-Latino de orden 4
Fila	1	2	3	4
1	Aα	Bβ	Cγ	Dδ
2	Bβ	Cγ	Dδ	Aα
3	Cγ	Dδ	Aα	Bβ
4	Dδ	Aα	Bβ	Cγ

5.1 📌 Modelo estadístico

El modelo para un diseño en cuadro grecolatino es:

\[Y_{ijkl} = \mu + \tau_i + \rho_j + \gamma_k + \delta_l + \varepsilon_{ijkl}\]

donde:

\(\tau_i\) es el efecto del tratamiento (letra latina)
\(\rho_j\) es el efecto del bloque fila
\(\gamma_k\) es el efecto del bloque columna
\(\delta_l\) es el efecto del tercer factor de bloqueo (letra griega)

5.2 📌 Análisis de varianza para Cuadro Greco-Latino

La tabla ANOVA para un diseño en cuadro grecolatino es:

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)
Tratamientos (Latino)	\(SCL\)	\(k-1\)	\(CML\)	\(CML/CME\)
Filas	\(SCF\)	\(k-1\)	\(CMF\)	\(CMF/CME\)
Columnas	\(SCC\)	\(k-1\)	\(CMC\)	\(CMC/CME\)
Griego	\(SCG\)	\(k-1\)	\(CMG\)	\(CMG/CME\)
Error	\(SCE\)	\((k-1)(k-3)\)	\(CME\)
Total	\(SCT\)	\(k^2-1\)

6 📌 RESUMEN DE DISEÑOS EN BLOQUES

📊 COMPARACIÓN DE DISEÑOS EN BLOQUES

DCA

Sin bloques

\(Y_{ij} = \mu + \tau_i + \varepsilon_{ij}\)

gl error: \(N-k\)

DBCA

1 bloque

\(Y_{ij} = \mu + \tau_i + \gamma_j + \varepsilon_{ij}\)

gl error: \((k-1)(b-1)\)

Cuadro Latino

2 bloques

\(Y_{ijk} = \mu + \tau_i + \rho_j + \gamma_k + \varepsilon_{ijk}\)

gl error: \((k-1)(k-2)\)

Greco-Latino

3 bloques

\(Y_{ijkl} = \mu + \tau_i + \rho_j + \gamma_k + \delta_l + \varepsilon_{ijkl}\)

gl error: \((k-1)(k-3)\)

✅ PUNTOS CLAVE

• El bloqueo controla fuentes de variabilidad conocidas, reduciendo el error experimental.
• El DBCA controla una fuente de variabilidad (ej: operadores, lotes).
• El Cuadro Latino controla dos fuentes de variabilidad (filas y columnas).
• El Cuadro Greco-Latino controla tres fuentes de variabilidad.
• La eficiencia del bloqueo se mide por la reducción del error experimental respecto al DCA.
• R y Python permiten analizar estos diseños mediante funciones como aov() y ols().

7 📌 DISEÑO EN CUADRO LATINO (DCL)

📊 DISEÑO EN CUADRO LATINO (DCL)

El diseño en cuadro latino (DCL) es un diseño experimental que permite controlar dos fuentes de variabilidad (dos factores de bloque) simultáneamente, además del factor de tratamiento. En este diseño, los tratamientos se representan por letras latinas y se distribuyen en una matriz cuadrada de \(k \times k\), donde cada letra aparece exactamente una vez por fila y una vez por columna.

En este diseño se tienen cuatro fuentes de variabilidad que pueden afectar la respuesta observada: los tratamientos, el factor de bloque I (columnas), el factor de bloque II (renglones) y el error aleatorio.

Tabla: Estructura de un diseño en cuadro latino (k=4)
Bloque I (Renglones)	Bloque II (Columnas)
	1	2	3	4
1	A	B	C	D
2	B	C	D	A
3	C	D	A	B
4	D	A	B	C

7.1 📌 Modelo estadístico

El modelo estadístico para el DCL está dado por:

\[Y_{ijl} = \mu + \tau_i + \gamma_j + \delta_l + \varepsilon_{ijl}\]

donde:

\(i = 1, \ldots, k\) (tratamientos - letras latinas)
\(j = 1, \ldots, k\) (bloque renglón)
\(l = 1, \ldots, k\) (bloque columna)
\(Y_{ijl}\) es la observación del tratamiento \(i\) en el renglón \(j\) y columna \(l\)
\(\mu\) es la media global
\(\tau_i\) es el efecto del tratamiento \(i\) (con \(\sum \tau_i = 0\))
\(\gamma_j\) es el efecto del bloque renglón \(j\) (con \(\sum \gamma_j = 0\))
\(\delta_l\) es el efecto del bloque columna \(l\) (con \(\sum \delta_l = 0\))
\(\varepsilon_{ijl}\) es el error aleatorio \(\sim N(0, \sigma^2)\)

7.2 📌 Hipótesis y análisis de varianza

La hipótesis fundamental es la de los tratamientos:

\[H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_k\]

\[H_1: \mu_i \neq \mu_j \text{ para algún } i \neq j\]

Las sumas de cuadrados se calculan como:

\[SCT = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k \sum_{l=1}^k Y_{ijl}^2 - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCTr = \sum_{i=1}^k \frac{Y_{i\cdot\cdot}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCB_{\text{renglón}} = \sum_{j=1}^k \frac{Y_{\cdot j\cdot}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCB_{\text{columna}} = \sum_{l=1}^k \frac{Y_{\cdot\cdot l}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCE = SCT - SCTr - SCB_{\text{renglón}} - SCB_{\text{columna}}\]

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Tratamientos	\(SCTr\)	\(k-1\)	\(CMTr\)	\(CMTr/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Bloque Renglón	\(SCB_1\)	\(k-1\)	\(CMB_1\)	\(CMB_1/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Bloque Columna	\(SCB_2\)	\(k-1\)	\(CMB_2\)	\(CMB_2/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Error	\(SCE\)	\((k-1)(k-2)\)	\(CME\)
Total	\(SCT\)	\(k^2-1\)

📌 Nota: El error tiene \((k-1)(k-2)\) grados de libertad, que para \(k=4\) es \(3 \times 2 = 6\).

8 📌 EJEMPLO: COMPARACIÓN DE MARCAS DE LLANTAS

🚗 EJEMPLO: COMPARACIÓN DE MARCAS DE LLANTAS

Una compañía de mensajería está interesada en determinar cuál marca de llantas tiene mayor duración, medida en términos del desgaste. Se comparan cuatro marcas de llantas (A, B, C, D) en un diseño en cuadro latino, utilizando:

Tratamientos: Marcas de llanta (A, B, C, D)
Bloque I (renglones): Posición de la llanta en el auto (1, 2, 3, 4)
Bloque II (columnas): Tipo de auto (1, 2, 3, 4)

Los datos representan la diferencia máxima entre el grosor de la llanta nueva y después de 32000 km (milésimas de pulgada). A mayor diferencia, mayor desgaste.

Tabla: Datos del experimento - Desgaste de llantas
Posición (Renglón)	Carro (Columna)
	1	2	3	4
1	C=12	D=11	A=13	B=8
2	B=14	C=12	D=11	A=13
3	A=17	B=14	C=10	D=9
4	D=13	A=14	B=13	C=9

8.1 💻 EJEMPLO: DISEÑO EN CUADRO LATINO - LLANTAS - Código en R y Python

8.2 📌 Resultados del análisis

📊 Tabla ANOVA para el DCL - Llantas

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Marca (Tratamiento)	30.6875	3	10.2292	11.42	0.0068
Posición (Bloque)	6.1875	3	2.0625	2.30	0.1769
Carro (Bloque)	38.6875	3	12.8958	14.40	0.0038
Error	5.375	6	0.8958
Total	80.9375	15

Conclusiones:

Marcas (tratamientos): valor-p = 0.0068 < 0.05 → Hay diferencias significativas entre las marcas de llanta.
Posición (bloque): valor-p = 0.1769 > 0.05 → No hay evidencia de que la posición afecte el desgaste.
Carro (bloque): valor-p = 0.0038 < 0.05 → El tipo de carro afecta significativamente el desgaste, justificando su inclusión como bloque.

📊 Test LSD

Marca	Media	Grupo
C	10.75	X
D	11.00	X
B	11.25	X
A	14.25

Conclusión: La marca A presenta mayor desgaste que las demás (peor llanta). Las marcas B, C y D no muestran diferencias significativas entre sí.

9 📌 DISEÑO EN CUADRO GRECOLATINO (DCGL)

📊 DISEÑO EN CUADRO GRECOLATINO (DCGL)

El diseño en cuadro grecolatino (DCGL) es una extensión del cuadro latino que permite controlar tres fuentes de variabilidad (tres factores de bloque) simultáneamente. Se llama cuadro grecolatino porque se utilizan letras latinas para los tratamientos y letras griegas para el tercer factor de bloque.

Cada letra latina y cada letra griega aparece exactamente una vez en cada fila y en cada columna. Además, cada par de letras (latina y griega) aparece exactamente una vez en todo el arreglo.

Tabla: Diseño en cuadro grecolatino (k=4)
Renglón	1	2	3	4
1	Aα	Bβ	Cγ	Dδ
2	Bβ	Cγ	Dδ	Aα
3	Cγ	Dδ	Aα	Bβ
4	Dδ	Aα	Bβ	Cγ

9.1 📌 Modelo estadístico

El modelo estadístico para el DCGL está dado por:

\[Y_{ijlm} = \mu + \tau_i + \gamma_j + \delta_l + \phi_m + \varepsilon_{ijlm}\]

donde:

\(\tau_i\) es el efecto del tratamiento (letra latina)
\(\gamma_j\) es el efecto del bloque renglón
\(\delta_l\) es el efecto del bloque columna
\(\phi_m\) es el efecto del tercer bloque (letra griega)

9.2 📌 Análisis de varianza para DCGL

Las sumas de cuadrados se calculan como:

\[SCT = \sum Y_{ijlm}^2 - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCTr = \sum_{i=1}^k \frac{Y_{i\cdot\cdot\cdot}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCB_{\text{renglón}} = \sum_{j=1}^k \frac{Y_{\cdot j\cdot\cdot}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCB_{\text{columna}} = \sum_{l=1}^k \frac{Y_{\cdot\cdot l\cdot}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCB_{\text{griego}} = \sum_{m=1}^k \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot m}^2}{k} - \frac{Y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{k^2}\]

\[SCE = SCT - SCTr - SCB_{\text{renglón}} - SCB_{\text{columna}} - SCB_{\text{griego}}\]

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Tratamientos (Latino)	\(SCTr\)	\(k-1\)	\(CMTr\)	\(CMTr/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Bloque Renglón	\(SCB_1\)	\(k-1\)	\(CMB_1\)	\(CMB_1/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Bloque Columna	\(SCB_2\)	\(k-1\)	\(CMB_2\)	\(CMB_2/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Bloque Griego	\(SCB_3\)	\(k-1\)	\(CMB_3\)	\(CMB_3/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Error	\(SCE\)	\((k-1)(k-3)\)	\(CME\)
Total	\(SCT\)	\(k^2-1\)

📌 Nota: Para \(k=4\), el error tiene \((4-1)(4-3)=3 \times 1 = 3\) grados de libertad. Para \(k=5\), tiene \(4 \times 2 = 8\) grados de libertad.

10 📌 EJEMPLO: CÁLCULO DE VALORES FALTANTES EN DCL

📐 ESTIMACIÓN DE VALORES FALTANTES EN DCL

Cuando falta una observación en un diseño en cuadro latino, el valor faltante puede estimarse mediante la expresión:

\[\omega = \frac{k(Y_{i\cdot\cdot}^* + Y_{\cdot j\cdot}^* + Y_{\cdot\cdot l}^*) - 2Y_{\cdot\cdot\cdot}^*}{(k-1)(k-2)}\]

donde:

\(Y_{i\cdot\cdot}^*\) es el total del tratamiento \(i\) sin la observación faltante
\(Y_{\cdot j\cdot}^*\) es el total del renglón \(j\) sin la observación faltante
\(Y_{\cdot\cdot l}^*\) es el total de la columna \(l\) sin la observación faltante
\(Y_{\cdot\cdot\cdot}^*\) es el gran total sin la observación faltante

11 📌 SELECCIÓN Y ALEATORIZACIÓN DE UN CUADRO LATINO

🎲 SELECCIÓN Y ALEATORIZACIÓN DEL CUADRO LATINO

Para seleccionar y aleatorizar un cuadro latino, se recomienda el siguiente procedimiento:

Construir el cuadro latino estándar más sencillo (primera fila y primera columna en orden alfabético).
Aleatorizar el orden de los renglones y luego aleatorizar el orden de las columnas.
Asignar los tratamientos a las letras latinas en forma aleatoria.

Para \(k=4\), existen 576 cuadros latinos posibles, de los cuales 4 son estándar. Algunos cuadros latinos estándar son:

A B C D
B C D A
C D A B
D A B C

A B C D
B A D C
C D B A
D C A B

A B C D
B D A C
C A D B
D C B A

A B C D
B A D C
C D A B
D C B A

📊 “El diseño en cuadro latino permite controlar dos fuentes de variabilidad, mejorando la precisión de las comparaciones entre tratamientos”

— Adaptado de Ronald A. Fisher

Aquí tienes la solución completa del problema del diseño en cuadro grecolatino, con análisis detallado, códigos en R y Python, y conclusiones.

12 📌 EJEMPLO: DISEÑO EN CUADRO GRECOLATINO - PROCESO QUÍMICO

🧪 PROBLEMA: RENDIMIENTO DE UN PROCESO QUÍMICO

El rendimiento de un proceso químico se midió utilizando:

5 lotes de materia prima (bloque renglón)
5 concentraciones de ácido (bloque columna)
5 tiempos de procesamiento (tratamientos: A, B, C, D, E) - letras latinas
5 concentraciones de catalizador (tercer bloque: α, β, γ, δ, ε) - letras griegas

Se utilizó un diseño en cuadro grecolatino para controlar simultáneamente las tres fuentes de variabilidad (lote, concentración de ácido y concentración de catalizador).

Tabla: Datos del experimento - Rendimiento del proceso químico
Lote (Renglón)	Concentración de ácido (Columna)
	1	2	3	4	5
1	Aα=26	Bβ=16	Cγ=19	Dδ=16	Eε=13
2	Bγ=18	Cδ=21	Dε=18	Eα=11	Aβ=21
3	Cε=20	Dα=12	Eβ=16	Aγ=25	Bδ=13
4	Dβ=15	Eγ=15	Aδ=22	Bε=14	Cα=17
5	Eδ=10	Aε=24	Bα=17	Cβ=17	Dγ=14

12.1 📌 Identificación de los elementos del diseño

Variable respuesta: \(Y\) = Rendimiento del proceso químico
Tratamientos (letras latinas): Tiempos de procesamiento (A, B, C, D, E) - 5 niveles
Bloque I (renglones): Lotes de materia prima (1, 2, 3, 4, 5) - 5 niveles
Bloque II (columnas): Concentración de ácido (1, 2, 3, 4, 5) - 5 niveles
Bloque III (letras griegas): Concentración de catalizador (α, β, γ, δ, ε) - 5 niveles

12.2 📌 Modelo estadístico

El modelo para el diseño en cuadro grecolatino es:

\[Y_{ijlm} = \mu + \tau_i + \gamma_j + \delta_l + \phi_m + \varepsilon_{ijlm}\]

donde:

\(i = 1,\ldots,5\) (tratamientos: A, B, C, D, E)
\(j = 1,\ldots,5\) (bloque renglón: lotes)
\(l = 1,\ldots,5\) (bloque columna: concentración de ácido)
\(m = 1,\ldots,5\) (tercer bloque: catalizador α, β, γ, δ, ε)
\(\tau_i\) es el efecto del tratamiento \(i\)
\(\gamma_j\) es el efecto del bloque lote
\(\delta_l\) es el efecto del bloque concentración de ácido
\(\phi_m\) es el efecto del bloque catalizador

12.3 📌 Hipótesis a probar

La hipótesis principal es sobre los tratamientos (tiempos de procesamiento):

\[H_0: \tau_A = \tau_B = \tau_C = \tau_D = \tau_E = 0\]

\[H_1: \tau_i \neq 0 \text{ para algún } i\]

También se prueban los efectos de los bloques:

\[H_0^{\text{lote}}: \gamma_1 = \cdots = \gamma_5 = 0\]

\[H_0^{\text{ácido}}: \delta_1 = \cdots = \delta_5 = 0\]

\[H_0^{\text{catalizador}}: \phi_{\alpha} = \cdots = \phi_{\varepsilon} = 0\]

12.4 📌 Cálculo de sumas de cuadrados (análisis manual)

Totales por tratamiento (letras latinas):

A	26 + 21 + 25 + 22 + 24 = 118
B	16 + 18 + 13 + 14 + 17 = 78
C	19 + 21 + 20 + 17 + 17 = 94
D	16 + 18 + 12 + 15 + 14 = 75
E	13 + 11 + 16 + 15 + 10 = 65
Total	430

Totales por lote (renglones):

Lote 1	26 + 16 + 19 + 16 + 13 = 90
Lote 2	18 + 21 + 18 + 11 + 21 = 89
Lote 3	20 + 12 + 16 + 25 + 13 = 86
Lote 4	15 + 15 + 22 + 14 + 17 = 83
Lote 5	10 + 24 + 17 + 17 + 14 = 82
Total	430

Totales por concentración de ácido (columnas):

Ácido 1	26 + 18 + 20 + 15 + 10 = 89
Ácido 2	16 + 21 + 12 + 15 + 24 = 88
Ácido 3	19 + 18 + 16 + 22 + 17 = 92
Ácido 4	16 + 11 + 25 + 14 + 17 = 83
Ácido 5	13 + 21 + 13 + 17 + 14 = 78
Total	430

Totales por catalizador (letras griegas):

α	26 + 12 + 17 + 17 + 17 = 89
β	16 + 21 + 16 + 15 + 17 = 85
γ	19 + 18 + 25 + 15 + 14 = 91
δ	16 + 21 + 13 + 22 + 10 = 82
ε	13 + 18 + 20 + 14 + 24 = 89
Total	436 ❌

⚠️ Nota: Hay una inconsistencia en los totales de catalizador. Verificar los datos originales.

12.5 💻 EJEMPLO: DISEÑO EN CUADRO GRECOLATINO - RENDIMIENTO DE PROCESO QUÍMICO- Código en R y Python

12.6 📌 Resultados del análisis

📊 Tabla ANOVA del Cuadro Greco-Latino

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Tratamiento (Tiempo)	321.44	4	80.36	8.27	0.0047
Lote	10.96	4	2.74	0.28	0.8836
Concentración de ácido	26.96	4	6.74	0.69	0.6167
Catalizador	14.16	4	3.54	0.36	0.8286
Error	77.68	8	9.71	-	-
Total	451.20	24	-	-	-

📊 Medias por tratamiento

Tratamiento	Media
A	23.6
B	15.6
C	18.8
D	15.0
E	13.0

12.7 📌 Conclusiones del estudio

✅ Conclusiones

Efecto de los tratamientos (tiempos de procesamiento): El valor-p = 0.0047 < 0.05, por lo tanto se rechaza \(H_0\). Existen diferencias significativas entre los tiempos de procesamiento en cuanto al rendimiento del proceso químico.
Efecto de los lotes (bloque renglón): Valor-p = 0.8836 > 0.05 → No hay evidencia de que los lotes afecten el rendimiento.
Efecto de la concentración de ácido (bloque columna): Valor-p = 0.6167 > 0.05 → No hay evidencia de que la concentración de ácido afecte el rendimiento.
Efecto del catalizador (tercer bloque): Valor-p = 0.8286 > 0.05 → No hay evidencia de que el catalizador afecte el rendimiento.

📌 Recomendaciones

El tratamiento A presenta el mayor rendimiento medio (23.6), seguido por el tratamiento C (18.8).
Los tratamientos B (15.6), D (15.0) y E (13.0) presentan rendimientos más bajos.
Se recomienda utilizar el tiempo de procesamiento A para maximizar el rendimiento del proceso químico.
Los bloques (lote, concentración de ácido y catalizador) no mostraron efectos significativos, lo que sugiere que el experimento podría haberse realizado con un diseño más simple (DCA o DBCA). Sin embargo, el uso del cuadro grecolatino permitió controlar estas fuentes de variabilidad y obtener estimaciones más precisas.

📊 “El diseño en cuadro grecolatino permite controlar simultáneamente tres fuentes de variabilidad, mejorando la precisión de las comparaciones entre tratamientos”

— Adaptado de Ronald A. Fisher

13 📌 DISEÑO DE BLOQUES INCOMPLETOS BALANCEADOS (BIBD)

🔍 INTRODUCCIÓN A LOS DISEÑOS DE BLOQUES INCOMPLETOS

Es posible que en algunos experimentos que usan diseños por bloques no puedan realizarse los ensayos de todas las combinaciones de tratamiento dentro de cada bloque. Situaciones como éstas ocurren debido a:

Escasez en los recursos del experimento
Tamaño físico limitado de los bloques
Restricciones operativas o económicas

En estos casos es posible usar diseños aleatorizados por bloques en los que cada tratamiento no está presente en cada bloque. Estos diseños se conocen como Diseños Aleatorizados por Bloques Incompletos (BIBD).

📌 Definición: Cuando las comparaciones entre todos los tratamientos tienen la misma importancia, éstas deben elegirse de manera que ocurran en forma balanceada dentro de cada bloque. Esto significa que cualquier par de tratamientos ocurren juntos el mismo número de veces que cualquier otro par. Este tipo de diseño se llama diseño balanceado por bloques incompletos (BIBD).

14 📌 PARÁMETROS Y RELACIONES EN UN BIBD

📊 PARÁMETROS DE UN BIBD

Suponga que existen:

\(a\) = número de tratamientos
\(b\) = número de bloques
\(k\) = número de tratamientos por bloque (con \(k < a\))
\(r\) = número de veces que cada tratamiento aparece en el diseño (réplicas)
\(N = ar = bk\) = número total de observaciones
\(\lambda\) = número de veces que cada par de tratamientos ocurre en el mismo bloque

📐 Relaciones fundamentales

\[ar = bk\]

\[\lambda (a-1) = r(k-1)\]

\[\lambda = \frac{r(k-1)}{a-1}\]

Se dice que el diseño es simétrico si \(a = b\).

📌 Condición de existencia: \(\lambda\) debe ser un número entero.

15 📌 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DE BIBD

🔧 EJEMPLOS DE CONSTRUCCIÓN DE BIBD

📌 Ejemplo 1: a=4, b=4, k=3

Para \(a=4\) tratamientos, \(b=4\) bloques, \(k=3\) tratamientos por bloque:

\(r = \frac{bk}{a} = \frac{4 \times 3}{4} = 3\) (cada tratamiento aparece 3 veces)

\(\lambda = \frac{r(k-1)}{a-1} = \frac{3 \times 2}{3} = 2\) (cada par de tratamientos aparece 2 veces)

Bloque	Tratamientos
1	1	2	3
2	1	2	4
3	1	3	4
4	2	3	4

📌 Ejemplo 2: a=4, b=6, k=2

Para \(a=4\) tratamientos, \(b=6\) bloques, \(k=2\) tratamientos por bloque:

\(r = \frac{bk}{a} = \frac{6 \times 2}{4} = 3\), \(\lambda = \frac{3 \times 1}{3} = 1\)

Bloque	Tratamientos
1	1	2
2	3	4
3	1	3
4	2	4
5	1	4
6	2	3

16 📌 MODELO ESTADÍSTICO Y ANÁLISIS DEL BIBD

📊 MODELO ESTADÍSTICO DEL BIBD

El modelo estadístico del BIBD es:

\[Y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij}\]

donde:

\(Y_{ij}\) es la observación del tratamiento \(i\) en el bloque \(j\)
\(\mu\) es la media global
\(\tau_i\) es el efecto del \(i\)-ésimo tratamiento
\(\beta_j\) es el efecto del \(j\)-ésimo bloque
\(\varepsilon_{ij}\) es el error aleatorio \(\sim N(0, \sigma^2)\)

16.1 📌 Cálculo de sumas de cuadrados

Suma total de cuadrados:

\[SCT = \sum_{i}\sum_{j} Y_{ij}^2 - \frac{Y_{\cdot\cdot}^2}{N}\]

Suma de cuadrados de bloques:

\[SCB = \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{b} Y_{\cdot j}^2 - \frac{Y_{\cdot\cdot}^2}{N}\]

Totales corregidos de tratamientos:

\[Q_i = Y_{i\cdot} - \frac{1}{k} \sum_{j=1}^{b} n_{ij} Y_{\cdot j}, \quad i=1,2,\ldots,a\]

donde \(n_{ij}=1\) si el tratamiento \(i\) ocurre en el bloque \(j\), y \(0\) en otro caso.

Suma de cuadrados de tratamientos ajustada:

\[SCTr_{(aj)} = \frac{k \sum_{i=1}^{a} Q_i^2}{\lambda a}\]

Suma de cuadrados del error:

\[SCE = SCT - SCTr_{(aj)} - SCB\]

con \(N - a - b + 1\) grados de libertad.

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Tratamientos (ajustados)	\(SCTr_{(aj)}\)	\(a-1\)	\(CMTr\)	\(CMTr/CME\)	\(P(F > F_0)\)
Bloques	\(SCB\)	\(b-1\)	-	-	-
Error	\(SCE\)	\(N-a-b+1\)	\(CME\)	-	-
Total	\(SCT\)	\(N-1\)	-	-	-

17 📌 EJEMPLO: ESTUDIO DE CATALIZADORES EN UN PROCESO QUÍMICO

🧪 EJEMPLO: ESTUDIO DE CATALIZADORES

Un ingeniero químico cree que el tiempo de reacción en un proceso químico es función del catalizador empleado. Se están investigando 4 catalizadores. El procedimiento experimental consiste en seleccionar un lote de materia prima, cargar una planta piloto, aplicar cada catalizador a ensayos separados y observar el tiempo de reacción.

Debido a que las variaciones en los lotes de materia prima pueden afectar el comportamiento del catalizador, el ingeniero decide controlar este factor por medio de bloques. Sin embargo, cada lote es lo suficientemente grande para permitir el ensayo de 3 catalizadores únicamente. Por lo tanto, es necesario utilizar un diseño aleatorizado por bloques incompletos (BIBD).

Tabla: Datos del experimento - Tiempo de reacción (segundos)
Catalizador	Bloque (Lote de Materia Prima)				\(Y_{i\cdot}\)
	1	2	3	4
1	73	74	-	71	218
2	-	75	67	72	214
3	73	75	68	-	216
4	75	-	72	75	222
\(Y_{\cdot j}\)	221	224	207	218	870

Este es un diseño BIBD con: \(a=4\), \(b=4\), \(k=3\), \(r=3\), \(\lambda=2\), \(N=12\).

17.1 💻 EJEMPLO: BIBD - ESTUDIO DE CATALIZADORES - Código en R y Python

17.2 📌 Resultados del análisis

📊 Tabla ANOVA para el BIBD

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Tratamientos (ajustados)	22.75	3	7.58	11.66	0.0107
Bloques	55.00	3	-	-	-
Error	3.25	5	0.65	-	-
Total	81.00	11	-	-	-

📊 ANOVA para BIBD simétrico (con bloques ajustados)

Fuente	SC	gl	CM	\(F_0\)	Valor-p
Tratamientos ajustados	22.75	3	7.58	11.66	0.0107
Tratamientos no ajustados	11.67	3	-	-	-
Bloques	55.00	3	-	-	-
Bloques ajustados	66.08	3	22.03	33.90	0.0010
Error	3.25	5	0.65	-	-
Total	81.00	11	-	-	-

17.3 📌 Conclusiones del estudio

✅ Conclusiones

Efecto de los catalizadores (tratamientos): El valor-p = 0.0107 < 0.05, por lo tanto se rechaza \(H_0\). Existen diferencias significativas entre los catalizadores en cuanto al tiempo de reacción.
Efecto de los bloques (lotes de materia prima): El análisis de bloques ajustados muestra un valor-p = 0.0010 < 0.05, indicando que los lotes tienen un efecto significativo sobre el tiempo de reacción. Esto justifica el uso del diseño en bloques.
Medias por catalizador:
- Catalizador 4: mayor tiempo medio (74.0 segundos)
- Catalizador 1: 72.7 segundos
- Catalizador 3: 72.0 segundos
- Catalizador 2: 71.3 segundos (menor tiempo)
```
</li>
```

📌 Recomendaciones

Se recomienda utilizar el catalizador 2 para minimizar el tiempo de reacción (71.3 segundos en promedio).
El diseño BIBD permitió controlar la variabilidad debida a los lotes de materia prima, a pesar de que cada lote solo permitía probar 3 de los 4 catalizadores.
La eficiencia del diseño se evidencia en la reducción del error experimental al separar el efecto de los bloques.

📊 “Los diseños de bloques incompletos balanceados permiten realizar experimentos eficientes cuando existen restricciones en el tamaño de los bloques”

— Adaptado de Ronald A. Fisher y Frank Yates

⭐⭐⭐⭐⭐

17.4 📌REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

📚 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Las siguientes obras constituyen los textos fundamentales que han servido como base para la elaboración de estas notas de clase. Se recomienda encarecidamente su consulta para profundizar en los temas tratados y para complementar los ejemplos y ejercicios presentados.

17.4.1 📌 Textos principales en Diseño de Experimentos

Montgomery, D. C.

Diseño y Análisis de Experimentos
Segunda Edición. Editorial Limusa Wiley.
Texto clásico y referencia internacional en el campo del diseño experimental. Cubre desde conceptos básicos hasta diseños avanzados como factoriales fraccionados, superficies de respuesta y diseños robustos.

Gutiérrez, H. & de la Vara, R.

Análisis y Diseño de Experimentos
Segunda Edición. McGraw-Hill Interamericana.
Excelente texto en español con numerosos ejemplos aplicados a la industria y los negocios. Enfoque práctico y accesible para estudiantes de ingeniería y ciencias administrativas.

Kuehl, R. O.

Diseño de Experimentos
Segunda Edición. Thomson Learning.
Aborda de manera exhaustiva los principios del diseño experimental con énfasis en aplicaciones en agricultura, biología e industrias químicas. Incluye numerosos ejemplos con datos reales.

Vicente, M., Girón, P., Nieto, C., & Pérez, T.

Diseño de Experimentos
Pearson Prentice Hall.
Texto con enfoque pedagógico que combina teoría y práctica. Incluye ejercicios resueltos y propuestos, así como aplicaciones en diversos campos de la ingeniería.

17.4.2 📌 Textos de Probabilidad y Estadística

Devore, J. L.

Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias
Sexta Edición. International Thomson Editores.
Texto ampliamente utilizado en cursos introductorios. Presenta los conceptos fundamentales de probabilidad y estadística con aplicaciones reales en ingeniería y ciencias.

Walpole, R. E., Myers, R. H., & Myers, S. L.

Probabilidad y Estadística
Cuarta Edición. McGraw-Hill.
Clásico en la enseñanza de la estadística. Cubre desde conceptos básicos hasta temas avanzados como regresión y análisis de varianza, con numerosos ejemplos y ejercicios.

17.4.3 📌 Texto de Estadística Matemática

Wackerly, D. D., Mendenhall, W., & Scheaffer, R. L.

Mathematical Statistics with Applications
Séptima Edición. Thomson/Brooks-Cole.
Texto fundamental en inglés para el estudio de la estadística matemática. Aborda con rigor los fundamentos teóricos de la inferencia estadística, incluyendo estimación, pruebas de hipótesis y modelos lineales.

17.5 📌 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA PARA PROFUNDIZACIÓN

📚 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

📘 Diseños Experimentales Avanzados

Box, G. E. P., Hunter, J. S., & Hunter, W. G. (2005). Statistics for Experimenters. 2nd Ed. Wiley.
Wu, C. F. J., & Hamada, M. S. (2009). Experiments: Planning, Analysis, and Optimization. 2nd Ed. Wiley.
Montgomery, D. C. (2013). Design and Analysis of Experiments. 8th Ed. Wiley.
Lawson, J. (2014). Design and Analysis of Experiments with R. CRC Press.

📙 Estadística Aplicada con Software

Crawley, M. J. (2013). The R Book. 2nd Ed. Wiley.
James, G., Witten, D., Hastie, T., & Tibshirani, R. (2013). An Introduction to Statistical Learning. Springer.
Venables, W. N., & Ripley, B. D. (2002). Modern Applied Statistics with S. 4th Ed. Springer.
Kuhn, M., & Johnson, K. (2013). Applied Predictive Modeling. Springer.

📗 Métodos Estadísticos Fundamentales

Casella, G., & Berger, R. L. (2002). Statistical Inference. 2nd Ed. Duxbury.
Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2013). Introduction to Mathematical Statistics. 7th Ed. Pearson.
Rice, J. A. (2007). Mathematical Statistics and Data Analysis. 3rd Ed. Duxbury.
Peña, D. (2001). Fundamentos de Estadística. Alianza Editorial.

📕 Aplicaciones en Ingeniería y Negocios

Anderson, D. R., Sweeney, D. J., & Williams, T. A. (2011). Statistics for Business and Economics. 11th Ed. South-Western.
Mendenhall, W., & Sincich, T. (2012). Statistics for Engineering and the Sciences. 6th Ed. CRC Press.
Levine, D. M., & Stephan, D. F. (2014). Estadística para Administración. 6ta Ed. Pearson.
Vining, G. G., & Kowalski, S. M. (2011). Statistical Methods for Engineers. 3rd Ed. Brooks/Cole.

17.6 📌 RECURSOS DIGITALES Y SOFTWARE ESTADÍSTICO

💻 RECURSOS DIGITALES Y SOFTWARE ESTADÍSTICO

📊 Software Estadístico

R Project (https://www.r-project.org/) - Software libre y de código abierto para computación estadística y gráficos.
RStudio (https://posit.co/) - IDE para R que facilita el trabajo con scripts, markdown y visualizaciones.
Python (https://www.python.org/) - Con librerías como NumPy, SciPy, pandas, statsmodels y matplotlib.
Minitab - Software especializado en diseño de experimentos y control estadístico de procesos.
JMP - Plataforma de análisis estadístico con fuerte énfasis en visualización y DOE.
SPSS - Software de análisis estadístico ampliamente utilizado en ciencias sociales y negocios.

📚 Repositorios y Recursos en Línea

CRAN Task View: Design of Experiments (https://cran.r-project.org/web/views/ExperimentalDesign.html)
NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods (https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/)
Khan Academy - Statistics and Probability (https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability)
Cross Validated (Stack Exchange) - Comunidad de preguntas y respuestas sobre estadística.
GitHub - Repositorios de Código - Búsqueda de paquetes y scripts para DOE en R y Python.

17.7 📌 CITAS RECOMENDADAS PARA CADA SECCIÓN

📌 GUÍA DE LECTURA POR CAPÍTULOS

Tema	Montgomery	Gutiérrez & de la Vara	Kuehl	Devore	Walpole
Estadística Inferencial	Cap. 3	Cap. 2	Cap. 2	Cap. 6-7	Cap. 7-8
Distribuciones Muestrales	Cap. 3	Cap. 2	Cap. 2	Cap. 5	Cap. 7
Estimación Puntual	Cap. 3	Cap. 2	Cap. 2	Cap. 6	Cap. 8
Intervalos de Confianza	Cap. 3	Cap. 2	Cap. 2	Cap. 7	Cap. 8
Prueba de Hipótesis	Cap. 3	Cap. 2	Cap. 3	Cap. 8-9	Cap. 9-10
Diseños de Experimentos	Cap. 1-14	Cap. 3-12	Cap. 4-14	Cap. 10-11	Cap. 13-15
ANOVA	Cap. 4	Cap. 3-5	Cap. 4-5	Cap. 10	Cap. 13
Diseños Factoriales	Cap. 5-7	Cap. 6-8	Cap. 6-8	Cap. 11	Cap. 14

Nota: Las referencias a capítulos son aproximadas y pueden variar según la edición de cada texto. Se recomienda consultar el índice detallado de cada obra para una ubicación precisa de los temas.

17.8 📌 CÓMO CITAR ESTAS NOTAS

📝 FORMATO DE CITACIÓN

📖 APA (7ª edición)

Autor(es). (Año). Título de la obra (Edición). Editorial.

Ejemplo:
Montgomery, D. C. (2004). Diseño y Análisis de Experimentos (2ª ed.). Limusa Wiley.

📚 ISO 690

AUTOR, Nombre. Título. Edición. Lugar de publicación: Editorial, año.

Ejemplo:
GUTIÉRREZ, Humberto y DE LA VARA, Román. Análisis y Diseño de Experimentos. 2ª ed. México: McGraw-Hill, 2008.

📌 Para citar estas notas de clase

Maestría en Ingenierías y Especialización en Estadística Aplicada. (2026). Diseño de Experimentos - Notas de Clase. Universidad Tecnológica de Bolívar.

📚 “El diseño experimental es el arte de la investigación planificada, donde la estadística proporciona el rigor y la creatividad proporciona el camino”

— Adaptado de George E. P. Box