Informe Técnico: Inferencia Bayesiana en Diagnóstico Médico

1. Definiciones Conceptuales (Glosario Técnico)

Para entender la toma de decisiones bajo incertidumbre, debemos definir los componentes del Teorema de Bayes:

• Prior (Probabilidad a Priori) \(P(H)\): Nuestra creencia inicial basada en la Prevalencia (tasa base de la enfermedad en la población).
• Verosimilitud (Likelihood) \(P(E|H)\): La probabilidad de que la prueba resulte positiva según el estado real del paciente.
  • Sensibilidad: Probabilidad de detectar la enfermedad correctamente.
  • Falsos Positivos (\(1 - Especificidad\)): Error tipo I; clasificar como enfermo a alguien sano.
• Posterior (Probabilidad a Posteriori) \(P(H|E)\): La probabilidad actualizada de que el paciente tenga la enfermedad tras observar el resultado del test.

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2. Desarrollo Matemático y Programación en R

A continuación, realizamos el cálculo algorítmico paso a paso:

# --- ENTRADA DE PARÁMETROS ---
prevalencia  <- 0.01                             # P(H): 1% de la población está enferma
sensibilidad <- 0.80                             # P(E|H): Probabilidad de acierto (enfermo)
falso_pos    <- 0.096                            # P(E|~H): Probabilidad de error (sano)

# --- CONSTRUCCIÓN DEL MODELO ---
estados <- c("Cáncer", "No Cáncer")               # Define las categorías del espacio muestral
prior   <- c(prevalencia, 1 - prevalencia)        # Crea el vector de probabilidades iniciales
likel   <- c(sensibilidad, falso_pos)             # Crea el vector de verosimilitudes (Likelihood)

# --- EJECUCIÓN DEL TEOREMA ---
conjunta <- prior * likel                         # Multiplica Prior * Likel (Prob. Conjunta)
P_positivo <- sum(conjunta)                       # Suma las conjuntas (Prob. Total o Evidencia)
posterior <- conjunta / P_positivo                # Normalización: Conjunta / Evidencia Total

# --- GENERACIÓN DE REPORTE ---
tabla_resultados <- data.frame(                   # Estructura los datos en un marco de datos
  Estado    = estados,                            # Columna de estados de salud
  Prior     = prior,                              # Columna de creencias iniciales
  Verosimil = likel,                              # Columna de precisión del test
  Conjunta  = conjunta,                           # Columna de peso relativo del escenario
  Posterior = round(posterior, 4)                 # Columna de resultado final (redondeado)
)

knitr::kable(tabla_resultados, caption = "Matriz de Probabilidades Posteriores") # Muestra tabla limpia

Matriz de Probabilidades Posteriores

Estado	Prior	Verosimil	Conjunta	Posterior
Cáncer	0.01	0.800	0.00800	0.0776
No Cáncer	0.99	0.096	0.09504	0.9224

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3. Interpretación de la Gráfica de Sensibilidad

Este gráfico muestra cómo el Valor Predictivo Positivo (Posterior) es extremadamente sensible a la Prevalencia.

Análisis Técnico de la Gráfica:

• Dependencia de la Tasa Base: Note que la curva es muy pronunciada al inicio. Con una prevalencia baja (1%), el test es poco fiable.
• Punto de Equilibrio: Solo cuando la prevalencia aumenta (por ejemplo, en un grupo de riesgo), la probabilidad posterior se vuelve lo suficientemente alta para un diagnóstico directo.

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4. Toma de Decisiones y Creencia Bayesiana

Estado de la Creencia: La Inferencia Bayesiana nos enseña que un resultado positivo no es una sentencia definitiva. Nuestra creencia previa (la enfermedad es rara) pesa más que la evidencia de un solo test.

Decisión Recomendada: 1. Falsos Positivos: La tabla indica que el 92.2% de las personas con resultado positivo están sanas. 2. Acción Clínica: Se debe evitar cualquier intervención invasiva inmediata. Se recomienda una Prueba Confirmatoria (biopsia o marcador más específico). La “Posterior” actual de 7.8% servirá como el nuevo “Prior” para el siguiente análisis.