suppressMessages(library(knitr, warn.conflicts=FALSE))
suppressMessages(library(units, warn.conflicts=FALSE))

1 Legenda

As respostas das questões podem apresentar uma ou mais soluções em:
\(~~~\) Algébrica
\(~~~\) WolframAlpha
\(~~~\) R
\(~~~\) R com força bruta
\(~~~\) SciLab
\(~~~\) ref. APEx

2 Material

  • HTML de Rmarkdown em RPubs

3 FpC.14 - O maior dos dois

(ref. APEx 14805)

https://www.publicdomainpictures.net/pt/view-image.php?image=173942&picture=numero-assustador-2

Qual dos seguintes números é o maior: \(2222\), \(222^{2}\), \(22^{22}\), \(2^{222}\), \(22^{2^{2}}\), \(2^{22^{2}}\), \(2^{2^{22}}\) e \(2^{2^{2^{2}}}\)? Resposta: \(2^{2^{22}} \approx 2.1 × 10^{1262611}\).

\(22^{22}>222^{2}>2222\). Note que \(22^{2^{2}}=22^4\); então \(22^{22}>22^{2^{2}}\). Note que \(2^{2^{2^{2}}}=2^{16}\); então \(22^{22}>2^{2^{2^{2}}}\). \(2^{222}<2^{{22}^{2}}<2^{2^{22}}\), pois suas respectivas potências são crescentes, isto é, \(2^{222}<2^{484}<2^{4\times 1024^{2}}\).

Solução 1:

2^(2^22)>2^(22^2)

2^(2^22)>2^(222)

2^(2^22)>22^22

Solução 2:

Ache qual é o valor máximo:

maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

E, então, descubra qual é seu correspondente:

2222 = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

222^2 = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22(22), 2(222), 2(2(22)), 2(2(2^2))

22^(22) = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

2^(222) = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

22^(2^2) = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

2^(22^2) = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

2^(2^(22)) = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

2^(2^(2^2)) = maximum 2222, 222^2, 22^(22), 2^(222), 22^(2^2), 2^(22^2), 2^(2^(22)), 2^(2^(2^2))

qFpC.14_14805.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

valores <- c("2222", "222^2", "22^22", "2^222", "22^(2^2)", "2^(22^2)", "2^(2^22)",  "2^(2^(2^2))")
calculado <- sapply(valores, function(txt) eval(parse(text=txt)))
cat("\nCalculando as fórmulas:\n")
print(as.data.frame(calculado))
cat("\nEm ordem crescente:\n")
calculado <- calculado[order(calculado)]
print(as.data.frame(calculado))

Calculando as fórmulas:
                calculado
2222         2.222000e+03
222^2        4.928400e+04
22^22        3.414279e+29
2^222        6.739987e+66
22^(2^2)     2.342560e+05
2^(22^2)    4.994798e+145
2^(2^22)              Inf
2^(2^(2^2))  6.553600e+04

Em ordem crescente:
                calculado
2222         2.222000e+03
222^2        4.928400e+04
2^(2^(2^2))  6.553600e+04
22^(2^2)     2.342560e+05
22^22        3.414279e+29
2^222        6.739987e+66
2^(22^2)    4.994798e+145
2^(2^22)              Inf

4 ARb.p188 - Nem tudo são flores

(ref. APEx 14798)

https://pixabay.com/pt/photos/abelhas-insetos-p%C3%B3len-flores-4812811/

Um grupo de abelhas cujo número era igual à raiz quadrada da metade de todo enxame pousou num jasmim deixando muito para trás 8/9 do enxame. Apenas uma abelha desse enxame voava em torno da flor de lótus, atraída pelo zumbido de uma amiga que imprudentemente caíra na armadilha da flor de doce fragrância. Quantas abelhas tinha o enxame?

Solução:

\[\sqrt{x/2}+(8/9)x+2=x\]

\(x = 72\) abelhas

(x/2)^0.5 + 8/9 x + 2 = x

Notação:

\(n\): tamanho total do enxame

\(f\): fração que pousou no jasmim

Onde estão as duas abelhas adicionais envolvidas com a flor de lótus?

Se elas fossem parte do enxame, estariam incluídas nos 8/9 que as abelhas do jasmim deixaram para trás e seriam irrelevantes para a solução. Não podem ser parte do 1/9 que está no jasmim, pois estão em outra flor. Isto significa que o grupo que está no jasmim corresponde a 1/9 do enxame menos as duas abelhas perdidas:

\[f = \sqrt{\dfrac{n}{2}} = \dfrac{1}{9}n-2\]

sqrt(n/2)=(1/9)n-2

A saída é interessante. Observe que aparecerá o gráfico das duas funções, \(\sqrt{\dfrac{n}{2}}\) e \(\dfrac{1}{9}n-2\), de tal forma que a solução corresponde ao valor \(n=72\) abelhas que satisfaz às duas.

5 MD.C04.14 - Tomando pé do pavão

(ref. APEx 14786)

https://www.youtube.com/watch?v=rGASu_hx8os

Um criador tinha num sítio unicamente cachorros de raça e pavões. Contando os “pés” de todos os animais, observou que o total de “pés” era igual ao quadrado do número de pavões. Uma semana depois, vendeu seis cachorros e dois pavões e verificou que de novo o fato se dava, ou seja, o número total de “pés” era igual ao quadrado do número de pavões. Assim, podemos afirmar que, antes da venda, havia no sítio um número de cachorros igual a:

  1. 4
  2. 8
  3. 9
  4. 12
  5. 16
  6. Não é possível determinar

Solução:

\(c\): número de cachorros (cada cachorro tem 4 pés)

\(p\): número de pavões (cada pavão tem 2 pés)

\[4c + 2p = p^2\]

Vendeu 6 cães (24 pés) e 2 pavões (4 pés):

\[ \begin{align} 4(c-6) + 2(p-2) &= (p-2)^2\\ (4c-24) + (2p-4) &= (p-2)^2 \end{align} \]

Portanto, \(c = 12\) e \(p = 8\).

4c + 2p = p^2 and (4c-24) + (2p-4) = (p-2)^2

6 ARb.p262 - Ração alimentar de sobrevivência

(ref. APEx 14785)

https://www.thefarside.com/ by Gary Larson

A chamada ração alimentar de sobrevivência, i.e., o alimento mínimo que cobre exclusivamente as calorias que o funcionamento dos órgãos internos consome, que são necessárias para a substituição das células que morrem etc., é proporcional à superfície externa do corpo do animal. Sabido isto, pretende-se determinar a ração alimentar de sobrevivência de um boi que tem massa de 420 kg. Sabe-se que, nessas condições, um boi que tem massa de 630 kg necessita de 13500 calorias. A geometria ensina que as superfícies de corpos semelhantes são proporcionais ao quadrado de suas medidas lineares, e os volumes (e, por conseguinte, a massa) são proporcionais ao cubo das medidas lineares.

Solução:

\[ \begin{align} \dfrac{x}{13500}&=\dfrac{\sqrt[3]{420}}{\sqrt[3]{630}}\\ x &= 13500 \sqrt[3]{\dfrac{4}{9}} \end{align} \]

O boi de 420 kg necessita de aproximadamente 10302 calorias.

13500*(4/9)^(1/3)

qArb.p262_14785.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# A chamada ração alimentar de sobrevivência, i.e., o alimento 
# mínimo que cobre exclusivamente as calorias que o 
# funcionamento dos órgãos internos consome, que são necessárias 
# para a substituição das células que morrem etc., é proporcional 
# à superfície externa do corpo do animal. Sabido isto, pretende-se
# determinar a ração alimentar de sobrevivência de um boi que tem
# massa de 420 kg. Sabe-se que, nessas condições, um boi que tem
# massa de 630 kg necessita de 13500 calorias. A geometria ensina
# que as superfícies de corpos semelhantes são proporcionais ao
# quadrado de suas medidas lineares, e os volumes (e, por  
# conseguinte, a massa) são proporcionais ao cubo das medidas 
# lineares.

# massa e calorias para o boi de referência
massa.ref <- 630
calorias.ref <- 13500

# massa do boi a determinar as calorias requeridas
massa.det <- 420

# proporcional às medidas lineares do boi de referência
prop.massa.linear.ref <- (massa.ref)^(1/3)
# proporcional às medidas lineares do boi a determinar
prop.massa.linear.det <- (massa.det)^(1/3)

# regra de três: calorias proporcionais a linear^2
# prop.massa.linear.ref^2 ~ calorias.ref
# prop.massa.linear.det^2 ~ calorias.det (incógnita)

calorias.det <- ((prop.massa.linear.det^2)*calorias.ref)/
                         (prop.massa.linear.ref^2)

cat("\nUm boi de ",massa.det," kg requer ",
    calorias.det," calorias.\n",sep="")

Um boi de 420 kg requer 10302.43 calorias.

7 MD.C01.06 - Floricultor funerário

(ref. APEx 16460)

Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas. Ele deseja confeccionar o maior número possível de coroas funerárias, de modo que todas tenham exatamente a mesma quantidade de rosas brancas e vermelhas, sem sobrar nenhuma flor.

Nessas condições, o número de coroas e a quantidade de rosas brancas e vermelhas por coroa serão, respectivamente:

  1. 10 coroas; 10 brancas e 6 vermelhas por coroa
  2. 5 coroas; 20 brancas e 12 vermelhas por coroa
  3. 25 coroas; 4 brancas e 2.4 vermelhas por coroa
  4. 20 coroas; 5 brancas e 3 vermelhas por coroa
  5. 30 coroas; 3.33 brancas e 2 vermelhas por coroa

Solução:

Alternativa correta: D.

O problema consiste em determinar o maior número de divisões inteiras simultâneas de 100 e 60.

\[ \gcd(100,60)=20 \]

Logo,

\[ \text{coroas} = 20 \]

\[ \text{brancas por coroa} = \frac{100}{20}=5 \]

\[ \text{vermelhas por coroa} = \frac{60}{20}=3 \]

greatest common factor (60,100)

# https://stackoverflow.com/questions/21502181/finding-the-gcd-without-looping-r

gcd <- function(x,y) {
  r <- x%%y;
  return(ifelse(r, gcd(y, r), y))
}
coroas <- gcd(100,60) # número de coroas funerárias
coroas
[1] 20
100/coroas # número de rosas brancas
[1] 5
60/coroas # número de rosas vermelhas
[1] 3
qMD.C01.06_14776.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# Programa para encontrar MDC de dois números
# traduzido de https://www.datamentor.io/r-programming/examples/gcd-hcf/
# define a function
hcf <- function(x, y) {
  # choose the smaller number
  if(x > y) {
    smaller = y
  } else {
    smaller = x
  }
  for(i in 1:smaller) {
    if((x %% i == 0) && (y %% i == 0)) {
      hcf = i
    }
  }
  return(hcf)
}
# take input from the user
num1 = 100
num2 = 60
print(paste("MDC de", num1,"e", num2,"é", hcf(num1, num2)))
[1] "MDC de 100 e 60 é 20"
qMD.C01.06_14776b.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# Um floricultor tem 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas. 
# Ele pretende fazer o maior número possível de coroas funerárias
# que contenham, cada uma, o mesmo número de rosas de cada cor. 
# Neste caso, o número de coroas funerárias e de rosas brancas e 
# vermelhas por coroa funerária serão, respectivamente...

o.brancas <- brancas <- 100
o.vermelhas <- vermelhas <- 60
divisores <- 2:min(c(brancas,vermelhas))
d.idx <- 1
mdc <- c()
while(d.idx < length(divisores))
{
  if (brancas%%divisores[d.idx]==0 & vermelhas%%divisores[d.idx]==0)
  {
    mdc <- c(mdc, divisores[d.idx])
    brancas <- brancas/divisores[d.idx]
    vermelhas <- vermelhas/divisores[d.idx]
    cat("\n\ndividindo-se em *", divisores[d.idx], "* partes iguais\n",
        "pode-se ter ", brancas," brancas e ", vermelhas," vermelhas.",
        sep="")
  }
  if (brancas%%divisores[d.idx]!=0 | vermelhas%%divisores[d.idx]!=0)
  {
    d.idx <- d.idx+1
  } 
}
cat("\n\nEntão o produtório de ",mdc," é o número máximo de coroas.")
mdc <- prod(mdc)
cat("\n\nSão possíveis ",mdc," coroas de flores, \n",
    "cada uma com ",o.brancas/mdc," rosas brancas e ",
    o.vermelhas/mdc," rosas vermelhas.",sep="")


dividindo-se em *2* partes iguais
pode-se ter 50 brancas e 30 vermelhas.

dividindo-se em *2* partes iguais
pode-se ter 25 brancas e 15 vermelhas.

dividindo-se em *5* partes iguais
pode-se ter 5 brancas e 3 vermelhas.

Então o produtório de  2 2 5  é o número máximo de coroas.

São possíveis 20 coroas de flores, 
cada uma com 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas.

8 4.2.2 - Animal ampliado

(ref. APEx 14905)

Elefante: https://www.gagebeasleyshop.com/en-br/blogs/gb-blog/african-elephant Rato: https://www.dkfindout.com/us/animals-and-nature/rodents/rats/

Suponha que todas as dimensões lineares de um animal aumentem em 12%, de tal forma que o animal manterá sua forma original.

Como a superfície, o volume, e o peso (sob a suposição de uma constante gravidade específica) aumentam? Dê a porcentagem de aumento.

A superfície aumenta \(1.12^2-1 = 25.44\%\).

O volume e o peso aumentam \(1.12^3-1 = 40.4928\%\).

q4.2.2_14905.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# Suponha que todas as dimensões lineares de um animal aumentem em 12%, 
# então o animal manterá sua forma original.
# Em qual porcentagem aumentarão a superfície, o volume, e o peso 
# (sob a suposição de uma constante gravidade específica) do animal?

new.linear <- 1.12

# superfície aumenta com o quadrado da medida linear
new.superficie <- new.linear^2
cat("\nAumento de superfície = ",round((new.superficie-1)*100,2),"%",sep="")

# volume e massa (=peso sob constante g) com o cubo
new.volume <- new.linear^3
cat("\nAumento de volume/massa/peso = ",round((new.volume-1)*100,2),"%",sep="")

Aumento de superfície = 25.44%
Aumento de volume/massa/peso = 40.49%

9 5.5.2 - Orientador de abelhas

(ref. APEx 14906)

“O maior produtor de mel do Rio Grande do Sul é a cidade de Santana do Livramento, com 352 toneladas produzidas em 2019. O município lidera isolado o ranking. Na sequência aparece Cambará do Sul, com 220 toneladas. Dom Pedrito ocupa a terceira posição com 217 toneladas.” (fonte: Olá journal, 19/12/2020

No dia 21 de dezembro de 2022 ao meio dia (12:00h), uma abelha exploradora de uma das colmeias de um produtor do Rio Grande do Sul descobre uma fonte de mel localizada 850 m a leste e 1200 m ao sul da colmeia (portanto a cerca de 1470 m da colmeia em linha reta).

s

s

Fonte: P. Kirk Visscher, Dance Language in Encyclopedia of Insects, Second Edition, 2009

Com qual ângulo a abelha completará sua “waggle dance” para informar as coordenadas polares para as demais abelhas?

(abelhas têm recursos para sinalização mais complexos do que estes mas, para este problema, desconsidere outras pistas que podem utilizar, como luz polarizada ou feromônios e considere, exclusivamente, o alinhamento vertical da dança coincidindo com a direção do sol)

A expressão popular sol a pino é usada para designar o sol em sua posição mais alta no céu, normalmente associada ao horário de meio dia. Esta associação, porém, está incorreta[1,2]. No hemisfério sul da Terra, como é o caso do Estado do Rio Grande do Sul, o sol está sempre ao norte, o ano todo, e estará diretamente ao norte nos equinócios e nos solstícios de inverno e verão[3]. A data do enunciado, 21 de dezembro de 2022 foi escolhida porque correspondeu ao solstício de verão no Brasil[4], data em que a posição aparente do sol no Rio Grande do Sul coincide com o Norte.

Referências:

[1] Bedaque P, Bretones PS (2020) O Sol está sempre a pino ao meio-dia? Rev. Bras. Ensino Fís. 42 doi:10.1590/1806-9126-RBEF-2019-0025

[2] Sol a pino? Planetário

[3] Ribeiro DC (2013) Diagrama do Movimento aparente do Sol em Porto Alegre (uma cidade onde não existe “sol a pino”) Popa

[4] 21 de dezembro: Hemisfério Sul tem o dia mais longo do ano. Educa+Brasil

Portanto, para resolver esta questão, os eixos das coordenadas trigonométricas precisam ser alinhados de forma a apontar o eixo dos cossenos em direção norte. Uma fonte a sudeste da colmeia estará, em sentido horário, em um ângulo entre 90o e 180o.

O cálculo deste ângulo pode ser implementado em R:
q5.5.2_14906.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# Uma abelha exploradora descobre uma fonte de mel ao meio-dia. 
# A colmeia está no Rio Grande do Sul, Brasil.
# Esta fonte está localizada 850 m a leste e 1200 m ao sul da colmeia. 
# Quais coordenadas polares a abelha sinalizará?

# As abelhas usam o sol como referência. No hemisfério sul da Terra,
# o sol ao meio dia está localizado ao norte. Portanto, os eixos
# das coordenadas trigonométricas precisam ser alinhados de forma
# a apontar o eixo dos cossenos em direção norte.

# distância em linha reta
distancia <- units::set_units((850^2+1200^2)^0.5, m)

# ângulo a ser sinalizado
angulo <- units::set_units(pi-atan(850/1200), rad)
units(angulo) <- units::set_units(1, degree)

# Coordenadas polares
cat("\nA abelha sinalizará a fonte alimentar com as coordenadas:\n")
cat("\t- distância: "); print(distancia)
cat("\t- ângulo: "); print(angulo)

# Alternativas: encontrando o ângulo por seno ou cosseno
# hipotenusa é a distância
distancia <- units::set_units((850^2+1200^2)^0.5, m)

# seno é cateto oposto (Leste) / hipotenusa
prop <- 850/distancia
angulosin <- units::set_units(pi-asin(prop), rad)
units(angulosin) <- units::set_units(1, degree)
# cosseno é cateto adjacente (Sul) / hipotenusa
prop <- 1200/distancia
angulocos <- units::set_units(pi-acos(prop), rad)
units(angulocos) <- units::set_units(1, degree)

# Coordenadas polares
cat("\n* ALTERNATIVA: obtendo o ângulo com seno ou cosseno *\n")
cat("\t- ângulo (pelo arco-seno: "); print(angulosin)
cat("\t- ângulo (pelo arco-cosseno: "); print(angulocos)

A abelha sinalizará a fonte alimentar com as coordenadas:
    - distância: 1470.544 [m]
    - ângulo: 144.6888 [°]
Warning in Math.units(prop): Operation asin not meaningful for units
Warning in Math.units(prop): Operation acos not meaningful for units

* ALTERNATIVA: obtendo o ângulo com seno ou cosseno *
    - ângulo (pelo arco-seno: 144.6888 [°]
    - ângulo (pelo arco-cosseno: 144.6888 [°]

10 6.5.6 - População da Índia

(ref. APEx 14908)

https://www.flickr.com/photos/robinbaumgarten/8402189946

A população da Índia era de 550 milhões em 1972. A taxa de crescimento anual é de 2.4%. Supondo que a taxa de crescimento permaneça constante, encontre a) uma fórmula para representar o tamanho da população, b) o ano em que o tamanho da população da Índia atingirá 860 milhões, ou seja, o tamanho presumido da população da China em 1972.

q6.5.6_14908.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

pop <- 550
anos <- 1972:2030 # projecao até 2030
taxa <- 2.4/100

pops <- c()
for (ano in 1:length(anos))
{
  pop <- pop*(1+taxa)
  pops <- c(pops, pop)
}

minmax <- range(anos)
folga <- (minmax[2]-minmax[1])/20
plot(anos,pops,
     xlim=c(minmax[1]-folga, minmax[2]+folga),
     xlab="Ano", ylab="População (milhões)",
     type="l", axes=FALSE)
sequence10 <- c(1972,seq(1980,anos[length(anos)],by=10))
axis(1, at=sequence10 )
axis(2)
for (d in sequence10)
{
  i <- which(anos==d)
  points(anos[i],pops[i],pch=21,col="black",bg="black")
  text(anos[i],pops[i],round(pops[i]),pos=4)
}
# encontrando 860 milhões
i.more <- which(pops==min(pops[pops >= 860]))
i.less <- which(pops==max(pops[pops <= 860]))
cat("\nPopulação estimada da índia de ",
    round(pops[i.less],1)," milhões ",
    "no ano de ",anos[i.less], " e ",
    round(pops[i.more],1)," milhões ",
    "no ano de ",anos[i.more], ".",
    sep="")


População estimada da índia de 842.9 milhões no ano de 1989 e 863.1 milhões no ano de 1990.
Segundo a Wikipedia, no censo de 1991, a Índia tinha 846.42 habitantes. O livro adotado na disciplina é de 1972. Sua estimativa de crescimento anual foi um pouco acima do que tem sido observado na prática. Apenas por exercício, o seguinte R script faz um ajuste exponencial (os valores foram obtidos com o Wolfram|Alpha) e mostra que a Índica ultrapassou 860 milhões entre 1993 e 1994:
q6.5.6_14908_extra.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# estimado em 1972
pop <- 550
anos <- 1972:2030 # projecao até 2030
taxa <- 2.4/100
pops <- c()
for (ano in 1:length(anos))
{
  pop <- pop*(1+taxa)
  pops <- c(pops, pop)
}
minmax <- range(anos)
folga <- (minmax[2]-minmax[1])/20
plot(anos,pops,
     xlim=c(minmax[1]-folga, minmax[2]+folga),
     xlab="Ano", ylab="População (milhões)",
     type="l", axes=FALSE)
axis(1)
axis(2)
abline(h=860, lty=3, lwd=0.7)

# valores observados:
anoobs = c(1971, 1981, 1991,2001,2011)
popobs = c(548.16, 683.33,846.42,1028.74,1210.19)
points(anoobs,popobs, pch=22, col="black", bg="red")
text(anoobs,popobs,popobs,pos=3)
# Usando Wolfram|Alpha
# exponential fit (1971,548.16), (1981,683.33), (1991, 846.42), (2001, 1028.74),  (2011,1210.19)
anohat <- seq(min(anoobs),max(anoobs),by=1)
pophat <- 1.46178e-14*exp(0.0193775*anohat)
lines(anohat,pophat,col="red")
# encontrando 860 milhões
i.more <- which(pophat==min(pophat[pophat >= 860]))
i.less <- which(pophat==max(pophat[pophat <= 860]))
cat("\nPopulação estimada da índia de ",
    round(pophat[i.less],1)," milhões ",
    "no ano de ",anos[i.less], " e ",
    round(pophat[i.more],1)," milhões ",
    "no ano de ",anos[i.more], ".",
    sep="")
abline(v=anohat[c(i.less,i.more)], lty=3, lwd=0.7)


População estimada da índia de 848.5 milhões no ano de 1993 e 865.1 milhões no ano de 1994.

11 MA.Cap02.Q13 - Gás preso

(ref. APEx 14916)

https://www.thefarside.com/ by Gary Larson

Uma certa quantidade de gás está presa num recipiente que tem um êmbolo livre. Estando ele submerso no mar a 50 m de profundidade, o gás ocupa um volume de 9 litros. Saindo dessa posição para outra 20 m acima, qual será o aumento do volume deste gás em relação ao volume inicial, em termos porcentuais, supondo que a temperatura da água seja a mesma nos dois níveis?

A cada 10 m de profundidade aumenta 1 atmosfera, linearmente, partindo de 1 atm ao nível do mar:

\(p = 1 + 0.1 h\)

\(p(50) = 1 + 0.1\times 50 = 6\)

\(p(30) = 1 + 0.1\times 30 = 4\)

\(p v = k\)

\(p(50) \times 9 = 6\times 9 = k \Rightarrow k = 54\)

\(p(30) \times v = 54 \Rightarrow 4\times v = 54 \Rightarrow v = 13.5\)

Portanto, o volume da massa gasosa passa de 9 para 13.5 litros, i.e., seu aumento é igual a \((13.5-9)/9 = 50\%\).

Podemos colocar todo o enredo sendo \(h\) a profundidade, \(p\) a pressão e \(v\) o volume, no momento inicial (1) e final (2).

Sabemos que, na profundidade inicial de 50 m, o volume do gás era de 9 l:

\(h_1=50\)

\(v_1=9\)

O recipiente subiu 20 metros:

\(h_2=h_1-20\)

O que mais sabemos?

  • que existe um valor constante para o produto de pressão e volume: \(k=p_1\times v_1\)
  • que a pressão sob a água é 1 (pressão atmosférica ao nível do mar) adicionada de 1 atmosfera a cada 10 metros de profundidade: \(p_1=1+h_1/10\) e \(p_2=1+h_2/10\)

E precisamos determinar o volume final, usando a constante encontrada acima:

\(v_2=k/p_2\)

Colocando todas as equações que conhecemos no WolframAlpha:

h_1=50, v_1=9, h_2=h_1-20, k=p_1*v_1, p_1=1+h_1/10, p_2=1+h_2/10, v_2=k/p_2

obtemos:

qMA.Cap02.Q13_14916.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# a 50 metros
h1 <- 50 # m
v1 <- 9 # l
# a cada 10 m de profundidade aumenta 1 atmosfera, linear
# ao nível do mar já parte de 1 atm
p1 <- 1+h1/10 # atm
vp_cte <- v1*p1

# a -20 metros
h2 <- h1-20 # m
p2 <- 1+h2/10 # atm
v2 <- vp_cte/p2

cat("\nVolume muda de ",v1," para ",v2," l.", sep="")
cat("\n(em termos percentuais mudou ",
    v2-v1," l a partir do volume inicial de ",v1," l ",
    "(uma variação de ", round((v2-v1)/v1*100,2),"%).", sep="")

# plotar com 10% de folga
v.seq <- seq(v1*0.9, v2*1.1, length.out=1000)
p.seq <- vp_cte/v.seq
h.seq <- (p.seq-1)*10
plot(h.seq,(v.seq-v1)/v1*100,type="l",
     xlab="Profundidade (m)",
     ylab="Volume em %")
# pontos usados na questão
x <- c(h1,h2)
y <- c((v1-v1)/v1*100,(v2-v1)/v1*100)
points(x,y )
text(x,y,c("inicial","final"),pos=3)
abline(h=y, lty=2)

Volume muda de 9 para 13.5 l.
(em termos percentuais mudou 4.5 l a partir do volume inicial de 9 l (uma variação de 50%).

12 MA.Cap02.Q36 (modificada) - Arremeço de um primata

(ref. APEx 14910)

Chimpanzés e outros primatas têm o comportamento de atirar fezes em direção a outros indivíduos, o que é tido por alguns pesquisadores como um sinal de inteligência precedendo o surgimento da linguagem (Hopkins WD, Russell JL, Schaeffer JA, 2012). Um caso notório, que ganhou atenção da mídia, foi quando uma senhora, em um zoológico, recebeu um destes arremessos (Allen F. (2017) Monkey see, monkey poo The Irish Sun and also in this video). Supondo que a trajetória da matéria lançada ao ar seja um trecho da parábola dada por \(y=20x-4x^{2}\) (\(x\) e \(y\) em metro) e que senhora estava localizada em um ponto 8 metros acima do chimpanzé, tendo sido atingida quando as fezes estavam na parte descendente da trajetória, qual era a distância horizontal que separava os dois indivíduos envolvidos nesta história?

\[8=20x-4x^{2}\]

Portanto, \(x=\dfrac{5}{2}\pm\sqrt{\dfrac{17}{2}}\) m. A função é côncava, portanto \(x=\dfrac{5}{2}+\sqrt{\dfrac{17}{2}}\) é a raiz correspondente à trajetória descendente, aproximadamente \(4.5616\) m

8=20x-4x^2

Usando a função implementada em eiras.equationx2.R, obtém-se:
qMA.Cap02.Q36_14910.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

source("eiras.equationx2.R")

a <- -4
b <- 20
c <- -8
roots <- equationx2(a=a, b=b, c=c, ylim=c(-12,20))

# personagens
points(0,c,pch=21,col="black",bg="black")
text(0,c,"Chimpanzé",pos=4,cex=0.7)
points(roots[2],0,pch=21,col="black",bg="black")
text(roots[2],0,"Senhora",pos=3,cex=0.7)

Portanto, o arremesso alcançou 8 metros de altura em trajetória descendente a cerca de 4.6 metros de seu ponto de partida.

13 MA.Cap02.Q81 - Bala perdida

(ref. APEx 14911)

Uma pessoa, sentada à mesa de seu escritório, verifica que a parte inferior da janela ao seu lado encontra-se à mesma altura de seus olhos. Admirando a paisagem enquanto trabalha, vê surgir, jogada provavelmente do andar inferior, uma bala (das de comer) e a observa até que ela desapareça de seu campo de visão. Se a altura y (metro) da bala relativamente a tal observador em função de t (segundo), intervalo de tempo decorrido desde que foi lançada, é dada por:

\[y=-5t^{2}+10t-\dfrac{15}{4}\]

Determinar o intervalo de tempo em que a bala esteve sob a visão de tão atento observador.

A equação descreve uma trajetória côncava. O nível de referência (zero) é a parte inferior da janela (a altura dos olhos do observador). Portanto, a bala estará sob a visão do observador do instante t = 0.5 s até t = 1.5 s.

-5t^2 + 10t - 15/4 = y

Usando a função implementada em eiras.equationx2.R, obtém-se:
qMA.Cap02.Q81_14911.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

source("eiras.equationx2.R")

a <- -5
b <- 10
c <- -15/4
roots <- equationx2(a=a, b=b, c=c, xlab="t")

Portanto, a bala esteve acima da borda inferior da janela entre 0.5 e 1.5 segundos (intervalo de 1 s).

14 MA.Cap02.Q113 - O galinheiro em tela

(ref. APEx 14912)

https://www.thefarside.com/ by Gary Larson

Um sitiante quer construir um galinheiro de forma retangular e para isto aproveita uma parede já construída. Sabendo que ele dispõe de um rolo de tela de 25 m de comprimento, quais devem ser as medidas do galinheiro para que sua área seja máxima?

Sendo \(a\) (área), \(p\) (lados perpendiculares à parede já construída) e \(l\) (lado oposto à parede construída):

a=p*l, 2p+l=25, 0<p<25, 0<l<25

encontra-se: \(a = 625/8\), \(l = 25/2\), \(p = 25/4\)

qMA.Cap02.Q113_14912.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

# Assumindo que a parede está do lado 2,
# a tela precisa usar duas medidas lado1 e uma lado 2
# 2*lado1 + lado2 = 25
lado1 <- seq(0,25,by=0.01) # precisão de 1 cm
lado2 <- 25 - 2*lado1
dt_lados <- data.frame(lado1,lado2)
dt_lados <- dt_lados[dt_lados$lado2>=0,]
dt_lados$area <- dt_lados$lado1*dt_lados$lado2
i <- which(dt_lados$area==max(dt_lados$area))
resultado <- paste0("Área máxima = ",dt_lados$area[i],"m²\n",
                    "com 2 lados de ",dt_lados$lado1[i],"m\n",
                    "e 1 lado de ",dt_lados$lado2[i],"m\n",
                    "(oposto à parede já construída).")
plot(dt_lados$lado1,dt_lados$area,type="l",
     xlab="Medida dos lados perpendiculares à parede (m)",
     ylab="Área (m²)")
# encontra a posição da moda
abline(v=dt_lados$lado1[i], lty=2)
abline(h=dt_lados$area[i], lty=2)
text(dt_lados$lado1[i],dt_lados$area[i]*0.8,
     resultado,
     pos=1)
cat("\n",resultado)


 Área máxima = 78.125m²
com 2 lados de 6.25m
e 1 lado de 12.5m
(oposto à parede já construída).

Portanto, a área máxima é de 78.125\(~m^2\), consumindo-se os 25\(~m\) lineares de tela com dois lados de 6.25\(~m\) perpendiculares e um lado de 12.5\(~m\) oposto à parede já construída.

15 GE2014.p37.Q2 - Cone de Imhoff

(ref. APEx 14913, 14914 e 14915)

Num laboratório, há dois tipos de recipiente. O primeiro, chamado de tubo de ensaio (test tube em inglês), tem internamente o formato de um cilindro circular reto com fundo semiesférico. O segundo, chamado de cone de Imhoff, tem internamente o formato de um cone circular reto.

  1. Sabendo que o volume de um cone de Imhoff, com raio da base (sua abertura) igual a 2 cm, é de 60 ml, calcule a altura h desse cone.

  2. Calcule o volume em mililitro do tubo de ensaio com raio da base medindo 1 cm e que tem a mesma altura h do cone de Imhoff.

  3. Calcule o diâmetro de um tubo de ensaio que tenha o mesmo volume e a mesma altura do cone de Imhoff aqui considerado.

Solução:

  1. \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^{2} h = 60\). Portanto, \(h=\dfrac{45}{\pi}\approx14.3 \;\text{cm}\)
  2. \(V=\pi r^{2}\left(\dfrac{45}{\pi}-r\right)+\dfrac{1}{2}\dfrac{4}{3}\pi r^3=\dfrac{135-\pi}{3}\approx 43.95\;\text{ml}\)

a. A fórmula do volume de um cone é:

\(V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h\)
(for a circular right cone with center at the origin, height h, radius r)

cone formula

Dados \(v\) (volume) e \(r\) (raio da base), encontra-se \(h\) (altura) com:

v = (1/3) pi (r^2) h /. r=2, v=60

resulta:

\(h = 45/\pi\)

Portanto, a altura aproximada (clicando sobre o resultado) do cone de Imhoff é de 14.32 cm.

b. o tubo de ensaio pode ser dividido em dois sólidos conhecidos: um cilindro e uma semiesfera. A altura total do tubo é \(h\), sendo que a parte cilíndrica tem altura \(h-r\) e a semiesfera tem altura \(r\).

Encontramos:

cylinder formula

volume: \(\pi h r^2\) (radius \(r\), height \(h\))

sphere formula

volume: \(\dfrac{4 \pi r^3}{3}\) (radius \(r\))

Combinando a fórmula para o volume de um cilindro com altura \(h-r\) e raio \(r\) igual ao da esfera + metade do volume de uma esfera de raio \(r\), podemos calcular com \(r=1\) e \(h=45/\pi\):

\[ v=\pi (h-r)r^2+\frac{2\pi r^3}{3} \]

v = pi (h-r) r^2 + (4 pi r^3)/3/2 /. r=1, h=45/pi

\[v = 45- \dfrac{\pi}{3} \approx 43.9528\]

Aproximadamente (clicando sobre o resultado), o volume do tubo de ensaio é 43.95 ml.

c. Utilizamos a mesma fórmula, acima, mas substituímos os valores de \(v\) e \(h\):

v = pi (h-r) r^2 + (4 pi r^3)/3/2 /. v=60, h=45/pi

aparecem três respostas possíveis:

\(r \approx -1.13969\)

\(r \approx 1.17076\)

\(r \approx 42.9408\)

A primeira solução é impossível (o raio não pode ser negativo).

A terceira solução, embora atenda a equação algebricamente, é também impossível porque o tubo de ensaio tem dois componentes. Com este raio:

  • a semiesfera tem volume:

4 pi r^3/3/2 /. r=42.9408

165832

  • o cilindro tem volume:

pi (h-r) r^2 /. h=45/pi, r=42.9408

-165772

(é absurdo ter volume negativo)

Resta a segunda solução, que podemos verificar com os volumes, respectivamente, de:

4 pi r^3 /3/2 /. r=1.17076

3.36095

pi (h-r) r^2 /. h=45/pi, r=1.17076

56.6391

Portanto, um tubo de ensaio com diâmetro de \(1.17076\times 2 = 2.34\) cm contém (aproximadamente) os mesmos 60 ml que são armazenados em um tubo de Imhoff que tem abertura de 2 cm.

16 GE2014.p50.Q1 - Um úmero

(ref. APEx 14917)

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pectoral_girdle_front_diagram_pt.svg

Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse osso permite calcular a estatura aproximada da pessoa por meio de uma função de primeiro grau.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pectoral_girdle_front_diagram_pt.svg

  1. Determine essa função de primeiro grau, sabendo-se que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua estatura era 1.90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua estatura era 1.60 cm.

  2. Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que tinha esse osso?

Estatura = 0.7 + 0.03×Úmero

Estatura(32) = 1.66 m

linear fit {{40,1.9}, {30,1.6}}

0.7 + 0.03 x where x=32

qGE2014.p50.Q1_14917.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

umero <- c(40,30) # cm
estatura <- c(1.9,1.6) # m

# estatura <- a*umero + b
a <- (estatura[2]-estatura[1])/
     (umero[2]-umero[1])
b <- estatura[1] - (a*umero[1])

# função linear estimada
curve(a*x+b, from=umero[1], to=umero[2], 
      main=paste0("estatura = ",round(a,3)," * úmero + ",round(b,3)),
      xlab="Úmero (cm)", ylab="Estatura (m)",
      axes=FALSE)
axis(1)
axis(2)

# resposta
umero_indigena <- 32
estatura_indigena <- a*umero_indigena + b
points(umero, estatura, pch=22, col="black", bg="black")
points(umero_indigena, estatura_indigena)
text(umero_indigena, estatura_indigena,"Indígena",pos=4)
lines(c(umero_indigena,umero_indigena,umero[2]),
      c(estatura[2],estatura_indigena,estatura_indigena),
      lty=2)
cat("\nIndivíduo com úmero de ",umero_indigena," cm",
    " tinha estatura estimada de ",estatura_indigena," m.",
    sep="")


Indivíduo com úmero de 32 cm tinha estatura estimada de 1.66 m.

17 CPI.p16.Q12 - Minha massa, minha medida

(ref. APEx 14918)

https://abeso.org.br/obesidade-e-sindrome-metabolica/calculadora-imc/

Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP) (Araújo e Ricardo, 2002), de acordo com o modelo alométrico, tem uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensão cúbica e a estatura, uma variável de dimensão linear. As fórmulas dos índices são:

\[IMC=\dfrac{\text{massa (kg)}}{\text{estatura (m)}^{2}}\]

\[RIP=\dfrac{\text{estatura (cm)}}{\sqrt[3]{\text{massa (kg)}}}\]

Expressar RIP em função de IMC.

Solução:

\[RIP = 100 \sqrt[3]{\dfrac{\text{estatura (m)}}{IMC}}\]

Para simplificar a notação para o Wolfram|Alpha, IMC será M (para não confundir com número imaginário), RIP será R, massa corporal total (em quilograma) será m e estatura (em metro) será h. Então IMC é dado por:

\(M=m/h^2\)

isolando a estatura temos:

\(h^2 = m/M\)

\(h = \sqrt{m/M}\)

RIP é dado por (multiplicando \(h\) por 100 para converter m em cm):

\(R=100h/\sqrt[3]{m}\)

isolando a estatura temos:

\(h = R\sqrt[3]{m}/100\)

Então:

\(\sqrt{m/M} = R\sqrt[3]{m}/100\)

solve (m/M)^(1/2) = R m^(1/3)/100 for R

obtém:

\[R = \dfrac{100 \sqrt{\dfrac{m}{M}}}{\sqrt[3]{m}}\]

i.e.,

\[RIP = \dfrac{100\sqrt{\dfrac{\text{massa (kg)}}{IMC}}}{\sqrt[3]{\text{massa (kg)}}}\]

Esta expressão resultante não é elegante e é de leitura difícil, pois aparece a massa no numerador e no denominador, dentro de raízes quadrada e cúbica, respectivamente. Então, simplificando, obtém-se:

\[100 \dfrac{\sqrt[6]{m}}{\sqrt{M}}\]

Portanto,

\[RIP = \dfrac{100 \sqrt[6]{\text{massa (kg)}}}{\sqrt{IMC}}\]

Não podemos encontrar uma relação ou função para RIP somente a partir do IMC, pois não conseguimos eliminar a massa corporal total da fórmula. Podemos, no entanto, obter a relação de RIP em função de IMC usando a estatura no lugar da massa corporal total. Usando a definição de IMC,

\[M = \dfrac{m}{h^2} \Rightarrow m = Mh^2\]

reescrevemos:

R = 100 (M (h^2))^(1/6)/sqrt(M)

para obter:

\[R = 100 \sqrt[3]{\dfrac{h}{M}}\]

Portanto,

\[RIP = 100 \sqrt[3]{\dfrac{\text{estatura (m)}}{IMC}}\]

Isto significa que não podemos transformar dados de IMC publicados na literatura em RIP, a não ser que sejam fornecidos, também, pelo menos dados de estatura ou de massa corporal individualizados (tabelas-resumo com média e desvio-padrão são inúteis). Se, como propõem Araújo e Ricardo (2002), RIP é um indicador vantajoso em comparação com IMC, seria útil reanalisar resultados de publicações científicas prévias baseadas em IMC. Caso alguém queira experimentar com RIP, somente poderão ser revistos (e citados) os autores que disponibilizam seus dados científicos. A ciência progride mal porque dados brutos não costumam estar disponíveis e os autores que não os publicam poderão ser devidamente esquecidos pela história.

Podemos ver o formato desta relação simulando 5000 indivíduos e uma relação linear entre massa corporal e estatura (adicionando um pouco de ruído de \(\pm 15\)cm):
qCPI.p16.Q12_14918.R 
invisible(Sys.setlocale("LC_ALL","pt_BR.UTF-8"))

n <- 5000
weight <- round(runif(n,40,100))
height <- 0.01*weight + 1
height <- round(height+runif(length(height),-0.15,0.15),2)
plot(weight,height,
     pch=21, col="black", bg="black", cex=0.6,
     xlab="Massa corporal total (kg)",
     ylab="Estatura (m)",
     axes=FALSE)
axis(1)
axis(2)

IMC <- weight/(height^2)
heightcm <- 100*height
RIP <- heightcm/(weight^(1/3))

xlab <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($IMC (kg / m^2)$)'))
ylab <- latex2exp::TeX(sprintf(r'($RIP (cm / \sqrt[3]{kg})$)'))
plot(IMC,RIP,
     pch=21, col="black", bg="black", cex=0.6,
     xlab="",ylab="", axes=FALSE)
axis(1)
title(xlab=xlab, line=3)
axis(2)
title(ylab=ylab, line=2.5)

18 Referências

  • Araujo, CGS & Ricardo, DR (2002) Índice de Massa Corporal: um questionamento científico baseado em evidências. Arq. Bras. Cardiologia 79(1).

  • Batschelet, E (1979) Introduction to mathematics for life scientists. 3rd ed. NY: Springer.

  • Batschelet, E (1978) Introdução à matemática para biocientistas. Tradução da 2ª ed. São Paulo: EDUSP e Rio de Janeiro: Interciência.

  • Curso preparatório ENEM: Matemática I (2011). São Paulo: Abril.

  • Curso preparatório ENEM: Matemática II (2011). São Paulo: Abril.

  • Giordano, FR et al. (2015) A first course in mathematical modeling. 5th ed. OH: Thomson. Capítulos 2 e 14.

  • Guia do Estudante Matemática Vestibular+ENEM (2010) São Paulo, SP.

  • Guia do Estudante Matemática Vestibular+ENEM (2014) São Paulo, SP.

  • Intensivão do ENEM. São Paulo: Oceano.

  • Rowe, JW et al. (1976) The effect of age on creatinine clearance in men: a cross-sectional and longitudinal study. Journal of Gerontology 31(2): 155–163. https://doi.org/10.1093/geronj/31.2.155

  • Simulado do MEC: Exatas (2009) São Paulo: Escala Educacional.

  • Siqueira, JO (2011) Fundamentos para cálculo: usando WolframAlpha. São Paulo: Saraiva. Soluções dos exercícios em https://www.researchgate.net/publication/326533655_Fundamentos_para_Calculo_-_Solucoes

  • Trota, F; Imenes, LMP & Jakubovic, J (1979) Matemática aplicada. São Paulo: Moderna.

  • Tudo sobre o ENEM. Ano 5. Número 16. São Paulo: On Line Editora.