📊 INTERVALOS DE CONFIANZA PARA DIFERENCIA DE MEDIAS Y COCIENTE DE VARIANZAS

APLICACIONES EN INGENIERÍAS, CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES

CASO 1: VARIANZAS CONOCIDAS

Contexto: Ingeniería Industrial - Control de Calidad en Producción

🏭 PROBLEMA: Comparación de Tiempos de Producción

Una planta de ensamblaje automotriz evalúa si dos líneas de producción (Línea A y Línea B) tienen tiempos promedio de ensamblaje diferentes. Se conocen las varianzas poblacionales por estudios previos: σ₁² = 4.5 min² y σ₂² = 5.2 min². Se toman muestras pequeñas de n₁ = 12 y n₂ = 10 vehículos.

📝 DATOS DEL PROBLEMA

Parámetro Línea A Línea B
Tamaño muestral (n) 12 10
Varianza poblacional (σ²) 4.5 min² 5.2 min²
Desviación poblacional (σ) 2.1213 min 2.2804 min
Media muestral (x̄) 8.62 min 7.45 min

🧮 SOLUCIÓN PASO A PASO

Paso 1: Calcular la diferencia de medias muestrales

x̄₁ - x̄₂ = 8.62 - 7.45 = 1.17 minutos

Paso 2: Calcular el error estándar

EE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) = √(4.5/12 + 5.2/10)
EE = √(0.375 + 0.52) = √0.895 = 0.9460 minutos

Paso 3: Determinar el valor Z crítico (95% de confianza)

α = 0.05, α/2 = 0.025
Z₀.₀₂₅ = 1.96

Paso 4: Calcular el intervalo de confianza

IC = (x̄₁ - x̄₂) ± Z·EE
IC = 1.17 ± 1.96 × 0.9460
IC = 1.17 ± 1.8542
Límite Inferior = 1.17 - 1.8542 = -0.6842 minutos
Límite Superior = 1.17 + 1.8542 = 3.0242 minutos

Paso 5: Interpretación

IC₉₅% = (-0.68, 3.02) minutos

✅ CONCLUSIÓN DEL CASO 1

Con un 95% de confianza, la verdadera diferencia en tiempos promedio entre las líneas A y B se encuentra entre -0.68 y 3.02 minutos. Dado que el intervalo contiene el valor 0, no existe evidencia estadísticamente significativa de que los tiempos de producción sean diferentes entre ambas líneas. 

# ============================================================
# CÓDIGO PYTHON - INTERVALO DE CONFIANZA CON VARIANZAS CONOCIDAS
# ============================================================

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm
import seaborn as sns

# Configuración
sns.set_style("whitegrid")
np.random.seed(42)

# ==================== DATOS DEL PROBLEMA ====================
n1, n2 = 12, 10                    # Tamaños muestrales
var1_conocida, var2_conocida = 4.5, 5.2   # Varianzas poblacionales conocidas
sigma1, sigma2 = np.sqrt(var1_conocida), np.sqrt(var2_conocida)

# Datos muestrales (tiempos en minutos)
media_pob_A, media_pob_B = 8.5, 7.8
muestra_A = np.random.normal(media_pob_A, sigma1, n1)
muestra_B = np.random.normal(media_pob_B, sigma2, n2)

# Estadísticos muestrales
x1_bar, x2_bar = np.mean(muestra_A), np.mean(muestra_B)
diferencia_obs = x1_bar - x2_bar

# ==================== CÁLCULOS ====================
error_estandar = np.sqrt(var1_conocida/n1 + var2_conocida/n2)
nivel_confianza = 0.95
alpha = 1 - nivel_confianza
z_critico = norm.ppf(1 - alpha/2)

# Intervalo de confianza
li = diferencia_obs - z_critico * error_estandar
ls = diferencia_obs + z_critico * error_estandar

print("="*65)
print("CASO 1: INTERVALO DE CONFIANZA - VARIANZAS CONOCIDAS")
print("="*65)
print(f"\n📊 Estadísticos muestrales:")
print(f"   Media Línea A (x̄₁): {x1_bar:.4f} minutos")
print(f"   Media Línea B (x̄₂): {x2_bar:.4f} minutos")
print(f"   Diferencia observada: {diferencia_obs:.4f} minutos")
print(f"\n📈 Cálculos:")
print(f"   Error estándar: {error_estandar:.4f}")
print(f"   Z crítico (95%): ±{z_critico:.4f}")
print(f"\n🎯 Intervalo de Confianza (95%):")
print(f"   ({li:.4f}, {ls:.4f}) minutos")
print(f"\n💡 Interpretación:")
print(f"   Con un 95% de confianza, la verdadera diferencia de tiempos")
print(f"   se encuentra entre {li:.4f} y {ls:.4f} minutos.")
if li <= 0 <= ls:
    print("   → El intervalo contiene 0. No hay diferencia significativa.")
else:
    print("   → El intervalo NO contiene 0. Las diferencias son significativas.")

# ==================== VISUALIZACIÓN ====================
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(14, 5))

# Gráfico 1: Distribución Normal de la diferencia con región sombreada
x = np.linspace(diferencia_obs - 4*error_estandar, 
                diferencia_obs + 4*error_estandar, 1000)
y = norm.pdf(x, diferencia_obs, error_estandar)

ax1 = axes[0]
ax1.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='Distribución Normal')
ax1.fill_between(x, y, where=(x >= li) & (x <= ls), 
                  color='skyblue', alpha=0.5, label='IC 95%')
ax1.axvline(diferencia_obs, color='red', linestyle='--', linewidth=2,
            label=f'Diferencia observada: {diferencia_obs:.3f}')
ax1.axvline(li, color='green', linestyle=':', label=f'LI: {li:.3f}')
ax1.axvline(ls, color='green', linestyle=':', label=f'LS: {ls:.3f}')
ax1.axvline(0, color='black', linestyle='-', alpha=0.5, label='Diferencia cero')
ax1.set_xlabel('Diferencia de medias (x̄₁ - x̄₂) [minutos]')
ax1.set_ylabel('Densidad de probabilidad')
ax1.set_title('Distribución de la Diferencia de Medias\nVarianzas Conocidas')
ax1.legend(loc='upper right')
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Diagrama de cajas comparativo
datos = [muestra_A, muestra_B]
bp = ax2.boxplot(datos, labels=['Línea A', 'Línea B'], patch_artist=True)
bp['boxes'][0].set_facecolor('lightcoral')
bp['boxes'][1].set_facecolor('lightblue')
ax2.set_ylabel('Tiempo de ensamblaje (minutos)')
ax2.set_title('Distribución de Tiempos por Línea de Producción')
ax2.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('caso1_varianzas_conocidas.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print("\n📊 Gráfico guardado como 'caso1_varianzas_conocidas.png'")
# ============================================================
# CÓDIGO R - INTERVALO DE CONFIANZA CON VARIANZAS CONOCIDAS
# ============================================================

library(ggplot2)
library(gridExtra)
library(dplyr)

set.seed(42)

# ==================== DATOS DEL PROBLEMA ====================
n1 <- 12; n2 <- 10
var1_conocida <- 4.5; var2_conocida <- 5.2
sigma1 <- sqrt(var1_conocida); sigma2 <- sqrt(var2_conocida)

# Datos muestrales
media_pob_A <- 8.5; media_pob_B <- 7.8
muestra_A <- rnorm(n1, media_pob_A, sigma1)
muestra_B <- rnorm(n2, media_pob_B, sigma2)

# Estadísticos
x1_bar <- mean(muestra_A); x2_bar <- mean(muestra_B)
diferencia_obs <- x1_bar - x2_bar

# ==================== CÁLCULOS ====================
error_estandar <- sqrt(var1_conocida/n1 + var2_conocida/n2)
nivel_confianza <- 0.95
z_critico <- qnorm(1 - (1 - nivel_confianza)/2)

li <- diferencia_obs - z_critico * error_estandar
ls <- diferencia_obs + z_critico * error_estandar

# ==================== RESULTADOS ====================
cat("=", rep("=", 63), "\n")
cat("CASO 1: INTERVALO DE CONFIANZA - VARIANZAS CONOCIDAS\n")
cat("=", rep("=", 63), "\n")
cat("\n📊 Estadísticos muestrales:\n")
cat("   Media Línea A (x̄₁):", round(x1_bar, 4), "minutos\n")
cat("   Media Línea B (x̄₂):", round(x2_bar, 4), "minutos\n")
cat("   Diferencia observada:", round(diferencia_obs, 4), "minutos\n")
cat("\n📈 Cálculos:\n")
cat("   Error estándar:", round(error_estandar, 4), "\n")
cat("   Z crítico (95%): ±", round(z_critico, 4), "\n")
cat("\n🎯 Intervalo de Confianza (95%):\n")
cat("   (", round(li, 4), ",", round(ls, 4), ") minutos\n")

# ==================== VISUALIZACIÓN ====================
# Gráfico 1: Distribución Normal
x_norm <- seq(diferencia_obs - 4*error_estandar, 
              diferencia_obs + 4*error_estandar, length.out = 1000)
y_norm <- dnorm(x_norm, diferencia_obs, error_estandar)

df_norm <- data.frame(x = x_norm, y = y_norm)

p1 <- ggplot(df_norm, aes(x = x, y = y_norm)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  geom_area(data = subset(df_norm, x >= li & x <= ls),
            aes(x = x, y = y_norm), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = diferencia_obs, color = "red", linetype = "dashed", size = 1) +
  geom_vline(xintercept = c(li, ls), color = "green", linetype = "dotted", size = 0.8) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", alpha = 0.5) +
  labs(x = "Diferencia de medias (x̄₁ - x̄₂) [minutos]", 
       y = "Densidad de probabilidad",
       title = "Distribución de la Diferencia de Medias\nVarianzas Conocidas") +
  theme_minimal()

# Gráfico 2: Diagrama de cajas
datos_df <- data.frame(
  Tiempo = c(muestra_A, muestra_B),
  Linea = factor(rep(c("Línea A", "Línea B"), c(n1, n2)))
)

p2 <- ggplot(datos_df, aes(x = Linea, y = Tiempo, fill = Linea)) +
  geom_boxplot() +
  labs(x = "", y = "Tiempo de ensamblaje (minutos)",
       title = "Distribución de Tiempos por Línea de Producción") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

# Combinar
grid.arrange(p1, p2, ncol = 2)
ggsave("caso1_varianzas_conocidas_r.png", 
       arrangeGrob(p1, p2, ncol = 2), width = 14, height = 6, dpi = 150)
cat("\n📊 Gráfico guardado como 'caso1_varianzas_conocidas_r.png'\n")

CASO 2: VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES

Contexto: Ciencias Económicas - Evaluación de Políticas Salariales

💰 PROBLEMA: Comparación de Salarios por Género

Un estudio económico evalúa si existe diferencia salarial entre hombres y mujeres en una empresa del sector financiero. Se asume que las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales. Muestras pequeñas: n₁ = 15 mujeres, n₂ = 12 hombres.

📝 DATOS DEL PROBLEMA

Parámetro Mujeres Hombres
Tamaño muestral (n) 15 12
Media muestral (x̄) 48.32 miles $ 52.15 miles $
Varianza muestral (s²) 28.45 24.67

🧮 SOLUCIÓN PASO A PASO

Paso 1: Calcular la varianza combinada (pooled variance)

s_p² = [(n₁-1)s₁² + (n₂-1)s₂²] / (n₁ + n₂ - 2)
s_p² = [(14 × 28.45) + (11 × 24.67)] / (15 + 12 - 2)
s_p² = (398.3 + 271.37) / 25 = 669.67 / 25 = 26.7868
s_p = √26.7868 = 5.1756

Paso 2: Calcular el error estándar

EE = s_p × √(1/n₁ + 1/n₂)
EE = 5.1756 × √(1/15 + 1/12)
EE = 5.1756 × √(0.06667 + 0.08333)
EE = 5.1756 × √0.15 = 5.1756 × 0.3873 = 2.0047

Paso 3: Calcular grados de libertad

ν = n₁ + n₂ - 2 = 15 + 12 - 2 = 25

Paso 4: Determinar el valor t crítico (95% de confianza)

α = 0.05, ν = 25
t₀.₀₂₅,₂₅ = 2.0595

Paso 5: Calcular la diferencia de medias

x̄₁ - x̄₂ = 48.32 - 52.15 = -3.83 miles de pesos

Paso 6: Calcular el intervalo de confianza

IC = (x̄₁ - x̄₂) ± t·EE
IC = -3.83 ± 2.0595 × 2.0047
IC = -3.83 ± 4.129
Límite Inferior = -3.83 - 4.129 = -7.959 miles $
Límite Superior = -3.83 + 4.129 = 0.299 miles $

Paso 7: Interpretación

IC₉₅% = (-7.96, 0.30) miles de pesos

✅ CONCLUSIÓN DEL CASO 2

Con un 95% de confianza, la verdadera diferencia salarial entre mujeres y hombres se encuentra entre -7.96 y 0.30 miles de pesos. Dado que el intervalo contiene el valor 0, no existe evidencia estadísticamente significativa de diferencia salarial por género en esta empresa. 

# ============================================================
# CÓDIGO PYTHON - VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES
# ============================================================

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
from scipy.stats import t
import seaborn as sns

# Configuración
np.random.seed(123)
sns.set_style("whitegrid")

# ==================== DATOS DEL PROBLEMA ====================
n_mujeres, n_hombres = 15, 12
varianza_poblacional_comun = 25

# Generar datos (salarios en miles de pesos)
media_mujeres, media_hombres = 48, 52
desv_est = np.sqrt(varianza_poblacional_comun)

salarios_mujeres = np.random.normal(media_mujeres, desv_est, n_mujeres)
salarios_hombres = np.random.normal(media_hombres, desv_est, n_hombres)

# Estadísticos muestrales
x1_bar, x2_bar = np.mean(salarios_mujeres), np.mean(salarios_hombres)
s1_cuad, s2_cuad = np.var(salarios_mujeres, ddof=1), np.var(salarios_hombres, ddof=1)

# ==================== CÁLCULOS ====================
# Varianza combinada
s_p_cuad = ((n_mujeres - 1) * s1_cuad + (n_hombres - 1) * s2_cuad) / (n_mujeres + n_hombres - 2)
s_p = np.sqrt(s_p_cuad)

# Error estándar
error_estandar = s_p * np.sqrt(1/n_mujeres + 1/n_hombres)

# Grados de libertad y valor crítico
gl = n_mujeres + n_hombres - 2
nivel_confianza = 0.95
t_critico = t.ppf(1 - (1 - nivel_confianza)/2, gl)

# Diferencia e intervalo
diferencia = x1_bar - x2_bar
li = diferencia - t_critico * error_estandar
ls = diferencia + t_critico * error_estandar

print("="*65)
print("CASO 2: INTERVALO DE CONFIANZA - VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES")
print("="*65)
print(f"\n📊 Estadísticos muestrales:")
print(f"   Media Mujeres (x̄₁): {x1_bar:.2f} miles $")
print(f"   Media Hombres (x̄₂): {x2_bar:.2f} miles $")
print(f"   Diferencia (Mujeres - Hombres): {diferencia:.2f} miles $")
print(f"\n📈 Cálculos:")
print(f"   Varianza combinada (s_p²): {s_p_cuad:.4f}")
print(f"   Desviación combinada (s_p): {s_p:.4f}")
print(f"   Error estándar: {error_estandar:.4f}")
print(f"   Grados de libertad: {gl}")
print(f"   t crítico (95%): ±{t_critico:.4f}")
print(f"\n🎯 Intervalo de Confianza (95%):")
print(f"   ({li:.2f}, {ls:.2f}) miles de pesos")
print(f"\n💡 Interpretación:")
if li <= 0 <= ls:
    print("   → El intervalo contiene 0. No hay diferencia salarial significativa.")
else:
    print("   → El intervalo NO contiene 0. La diferencia es significativa.")

# ==================== VISUALIZACIÓN ====================
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# Gráfico 1: Distribución t
x_t = np.linspace(-4, 4, 1000)
y_t = t.pdf(x_t, gl)

ax1 = axes[0, 0]
ax1.plot(x_t, y_t, 'b-', linewidth=2, label=f't-distribución (gl={gl})')
ax1.fill_between(x_t, y_t, where=(x_t >= -t_critico) & (x_t <= t_critico), 
                  color='skyblue', alpha=0.5, label=f'IC 95%')
ax1.axvline(0, color='black', alpha=0.5)
ax1.axvline(t_critico, color='green', linestyle=':', label=f't crítico = ±{t_critico:.3f}')
ax1.axvline(-t_critico, color='green', linestyle=':')
ax1.set_xlabel('Valor t')
ax1.set_ylabel('Densidad')
ax1.set_title(f'Distribución t de Student (gl={gl})\nRegión de Confianza')
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Distribución de la diferencia
x_diff = np.linspace(diferencia - 4*error_estandar, 
                     diferencia + 4*error_estandar, 1000)
y_diff = t.pdf((x_diff - diferencia)/error_estandar, gl) / error_estandar

ax2 = axes[0, 1]
ax2.plot(x_diff, y_diff, 'b-', linewidth=2)
ax2.fill_between(x_diff, y_diff, where=(x_diff >= li) & (x_diff <= ls), 
                  color='skyblue', alpha=0.5)
ax2.axvline(diferencia, color='red', linestyle='--', label=f'Diferencia: {diferencia:.2f}')
ax2.axvline(li, color='green', linestyle=':', label=f'LI: {li:.2f}')
ax2.axvline(ls, color='green', linestyle=':', label=f'LS: {ls:.2f}')
ax2.axvline(0, color='black', alpha=0.5, label='Diferencia cero')
ax2.set_xlabel('Diferencia de salarios (miles $)')
ax2.set_ylabel('Densidad')
ax2.set_title('Distribución de la Diferencia de Medias\nVarianzas Combinadas')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 3: Diagrama de cajas
ax3 = axes[1, 0]
datos_salarios = [salarios_mujeres, salarios_hombres]
bp = ax3.boxplot(datos_salarios, labels=['Mujeres', 'Hombres'], patch_artist=True)
bp['boxes'][0].set_facecolor('lightcoral')
bp['boxes'][1].set_facecolor('lightblue')
ax3.set_ylabel('Salario (miles $)')
ax3.set_title('Distribución Salarial por Género')
ax3.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 4: Intervalos individuales
ax4 = axes[1, 1]
grupos = ['Mujeres', 'Hombres']
medias = [x1_bar, x2_bar]
errores = [np.sqrt(s1_cuad/n_mujeres), np.sqrt(s2_cuad/n_hombres)]
t_val = t.ppf(0.975, [n_mujeres-1, n_hombres-1])

ax4.bar(grupos, medias, yerr=[t_val[i]*errores[i] for i in range(2)], 
        color=['lightcoral', 'lightblue'], capsize=5, alpha=0.7)
ax4.set_ylabel('Salario promedio (miles $)')
ax4.set_title('Intervalos de Confianza por Grupo (95%)')
ax4.grid(True, alpha=0.3, axis='y')

plt.tight_layout()
plt.savefig('caso2_varianzas_iguales.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print("\n📊 Gráfico guardado como 'caso2_varianzas_iguales.png'")
# ============================================================
# CÓDIGO R - VARIANZAS DESCONOCIDAS PERO IGUALES
# ============================================================

library(ggplot2)
library(gridExtra)

set.seed(123)

# ==================== DATOS DEL PROBLEMA ====================
n_mujeres <- 15; n_hombres <- 12
media_mujeres <- 48; media_hombres <- 52
desv_est <- 5

salarios_mujeres <- rnorm(n_mujeres, media_mujeres, desv_est)
salarios_hombres <- rnorm(n_hombres, media_hombres, desv_est)

# Estadísticos
x1_bar <- mean(salarios_mujeres); x2_bar <- mean(salarios_hombres)
s1_cuad <- var(salarios_mujeres); s2_cuad <- var(salarios_hombres)

# ==================== CÁLCULOS ====================
s_p_cuad <- ((n_mujeres - 1) * s1_cuad + (n_hombres - 1) * s2_cuad) / (n_mujeres + n_hombres - 2)
s_p <- sqrt(s_p_cuad)
error_estandar <- s_p * sqrt(1/n_mujeres + 1/n_hombres)
gl <- n_mujeres + n_hombres - 2
t_critico <- qt(0.975, gl)
diferencia <- x1_bar - x2_bar
li <- diferencia - t_critico * error_estandar
ls <- diferencia + t_critico * error_estandar

# ==================== RESULTADOS ====================
cat("\n", rep("=", 65), "\n")
cat("CASO 2: INTERVALO DE CONFIANZA - VARIANZAS IGUALES\n")
cat(rep("=", 65), "\n")
cat("\n📊 Diferencia observada:", round(diferencia, 2), "miles $\n")
cat("📈 Error estándar:", round(error_estandar, 4), "\n")
cat("🎯 IC 95%: (", round(li, 2), ",", round(ls, 2), ") miles $\n")

# ==================== VISUALIZACIÓN ====================
# Gráfico 1: Distribución t
x_t <- seq(-4, 4, length.out = 1000)
y_t <- dt(x_t, gl)
df_t <- data.frame(x = x_t, y = y_t)

p1 <- ggplot(df_t, aes(x = x, y = y_t)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  geom_area(data = subset(df_t, x >= -t_critico & x <= t_critico),
            aes(x = x, y = y_t), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = c(-t_critico, t_critico), color = "green", linetype = "dotted") +
  labs(x = "Valor t", y = "Densidad",
       title = paste("Distribución t (gl =", gl, ")\nRegión de Confianza")) +
  theme_minimal()

# Gráfico 2: Diferencia
x_diff <- seq(diferencia - 4*error_estandar, diferencia + 4*error_estandar, length.out = 1000)
y_diff <- dt((x_diff - diferencia)/error_estandar, gl) / error_estandar
df_diff <- data.frame(x = x_diff, y = y_diff)

p2 <- ggplot(df_diff, aes(x = x, y = y_diff)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  geom_area(data = subset(df_diff, x >= li & x <= ls), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = diferencia, color = "red", linetype = "dashed") +
  geom_vline(xintercept = c(li, ls), color = "green", linetype = "dotted") +
  geom_vline(xintercept = 0, color = "black", alpha = 0.5) +
  labs(x = "Diferencia de salarios (miles $)", y = "Densidad",
       title = "Distribución de la Diferencia de Medias") +
  theme_minimal()

# Gráfico 3: Boxplot
datos_df <- data.frame(
  Salario = c(salarios_mujeres, salarios_hombres),
  Genero = factor(rep(c("Mujeres", "Hombres"), c(n_mujeres, n_hombres)))
)

p3 <- ggplot(datos_df, aes(x = Genero, y = Salario, fill = Genero)) +
  geom_boxplot() + labs(x = "", y = "Salario (miles $)") +
  theme_minimal() + theme(legend.position = "none")

# Combinar
grid.arrange(p1, p2, p3, ncol = 3, widths = c(1, 1, 0.8))
ggsave("caso2_varianzas_iguales_r.png", 
       arrangeGrob(p1, p2, p3, ncol = 3), width = 16, height = 6, dpi = 150)
cat("\n📊 Gráfico guardado como 'caso2_varianzas_iguales_r.png'\n")

CASO 3: VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DIFERENTES

Contexto: Ciencias Sociales - Evaluación de Programas Educativos

📚 PROBLEMA: Comparación de Métodos de Enseñanza

Un estudio en psicología educativa compara dos métodos de enseñanza (tradicional vs. innovador). Las varianzas poblacionales son desconocidas y se asumen diferentes. Muestras pequeñas: n₁ = 10 (tradicional), n₂ = 12 (innovador).

📝 DATOS DEL PROBLEMA

Parámetro Tradicional Innovador
Tamaño muestral (n) 10 12
Media muestral (x̄) 73.25 puntos 79.40 puntos
Varianza muestral (s²) 65.80 20.35

🧮 SOLUCIÓN PASO A PASO (Método de Welch)

Paso 1: Calcular la diferencia de medias

x̄₁ - x̄₂ = 73.25 - 79.40 = -6.15 puntos

Paso 2: Calcular el error estándar (Welch)

EE = √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
EE = √(65.80/10 + 20.35/12)
EE = √(6.58 + 1.6958) = √8.2758 = 2.8770

Paso 3: Calcular grados de libertad (Satterthwaite)

ν = (s₁²/n₁ + s₂²/n₂)² / [ (s₁²/n₁)²/(n₁-1) + (s₂²/n₂)²/(n₂-1) ]
ν = (8.2758)² / [ (6.58)²/9 + (1.6958)²/11 ]
ν = 68.488 / [ 43.2964/9 + 2.876/11 ]
ν = 68.488 / [ 4.8107 + 0.2615 ] = 68.488 / 5.0722 = 13.50

Paso 4: Determinar el valor t crítico (95% de confianza)

α = 0.05, ν ≈ 13.5 (redondeado a 13)
t₀.₀₂₅,₁₃ = 2.1604

Paso 5: Calcular el intervalo de confianza

IC = (x̄₁ - x̄₂) ± t·EE
IC = -6.15 ± 2.1604 × 2.8770
IC = -6.15 ± 6.216
Límite Inferior = -6.15 - 6.216 = -12.366 puntos
Límite Superior = -6.15 + 6.216 = 0.066 puntos

Paso 6: Interpretación

IC₉₅% = (-12.37, 0.07) puntos

✅ CONCLUSIÓN DEL CASO 3

Con un 95% de confianza, la verdadera diferencia en puntajes entre los métodos tradicional e innovador se encuentra entre -12.37 y 0.07 puntos. Dado que el intervalo contiene el valor 0, no existe evidencia estadísticamente significativa de que los métodos de enseñanza produzcan resultados diferentes, aunque el límite superior está muy cerca de cero, sugiriendo una tendencia favorable al método innovador. 

# ============================================================
# CÓDIGO PYTHON - VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DIFERENTES
# ============================================================

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
from scipy.stats import t
import seaborn as sns

# Configuración
np.random.seed(456)
sns.set_style("whitegrid")

# ==================== DATOS DEL PROBLEMA ====================
n_trad, n_innov = 10, 12
media_trad, media_innov = 72.5, 78.0
desv_trad, desv_innov = 8.0, 4.5

puntajes_trad = np.random.normal(media_trad, desv_trad, n_trad)
puntajes_innov = np.random.normal(media_innov, desv_innov, n_innov)

# Estadísticos muestrales
x1_bar, x2_bar = np.mean(puntajes_trad), np.mean(puntajes_innov)
s1_cuad, s2_cuad = np.var(puntajes_trad, ddof=1), np.var(puntajes_innov, ddof=1)

# ==================== CÁLCULOS (MÉTODO WELCH) ====================
diferencia = x1_bar - x2_bar
error_estandar = np.sqrt(s1_cuad/n_trad + s2_cuad/n_innov)

# Grados de libertad Satterthwaite
gl = (s1_cuad/n_trad + s2_cuad/n_innov)**2 / (
    (s1_cuad/n_trad)**2/(n_trad - 1) + (s2_cuad/n_innov)**2/(n_innov - 1)
)

nivel_confianza = 0.95
t_critico = t.ppf(1 - (1 - nivel_confianza)/2, gl)

li = diferencia - t_critico * error_estandar
ls = diferencia + t_critico * error_estandar

print("="*65)
print("CASO 3: INTERVALO DE CONFIANZA - VARIANZAS DESCONOCIDAS Y DIFERENTES")
print("="*65)
print(f"\n📊 Estadísticos muestrales:")
print(f"   Media Tradicional (x̄₁): {x1_bar:.2f} puntos")
print(f"   Media Innovador (x̄₂): {x2_bar:.2f} puntos")
print(f"   Diferencia (Tradicional - Innovador): {diferencia:.2f} puntos")
print(f"\n📈 Cálculos:")
print(f"   Varianza tradicional (s₁²): {s1_cuad:.4f}")
print(f"   Varianza innovador (s₂²): {s2_cuad:.4f}")
print(f"   Error estándar (Welch): {error_estandar:.4f}")
print(f"   Grados de libertad (Satterthwaite): {gl:.2f}")
print(f"   t crítico (95%): ±{t_critico:.4f}")
print(f"\n🎯 Intervalo de Confianza (95%):")
print(f"   ({li:.2f}, {ls:.2f}) puntos")
print(f"\n💡 Interpretación:")
if li <= 0 <= ls:
    print("   → El intervalo contiene 0. No hay diferencia significativa entre métodos.")
else:
    print("   → El intervalo NO contiene 0. La diferencia es significativa.")

# ==================== VISUALIZACIÓN ====================
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# Gráfico 1: Distribución t
x_t = np.linspace(-4, 4, 1000)
y_t = t.pdf(x_t, gl)

ax1 = axes[0, 0]
ax1.plot(x_t, y_t, 'b-', linewidth=2, label=f't-distribución (gl={gl:.1f})')
ax1.fill_between(x_t, y_t, where=(x_t >= -t_critico) & (x_t <= t_critico), 
                  color='skyblue', alpha=0.5, label=f'IC 95%')
ax1.axvline(0, color='black', alpha=0.5)
ax1.axvline(t_critico, color='green', linestyle=':', label=f't crítico = ±{t_critico:.3f}')
ax1.axvline(-t_critico, color='green', linestyle=':')
ax1.set_xlabel('Valor t')
ax1.set_ylabel('Densidad')
ax1.set_title(f'Distribución t (Welch, gl={gl:.1f})\nRegión de Confianza')
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Distribución de la diferencia
x_diff = np.linspace(diferencia - 4*error_estandar, 
                     diferencia + 4*error_estandar, 1000)
y_diff = t.pdf((x_diff - diferencia)/error_estandar, gl) / error_estandar

ax2 = axes[0, 1]
ax2.plot(x_diff, y_diff, 'b-', linewidth=2)
ax2.fill_between(x_diff, y_diff, where=(x_diff >= li) & (x_diff <= ls), 
                  color='skyblue', alpha=0.5)
ax2.axvline(diferencia, color='red', linestyle='--', label=f'Diferencia: {diferencia:.2f}')
ax2.axvline(li, color='green', linestyle=':', label=f'LI: {li:.2f}')
ax2.axvline(ls, color='green', linestyle=':', label=f'LS: {ls:.2f}')
ax2.axvline(0, color='black', alpha=0.5, label='Diferencia cero')
ax2.set_xlabel('Diferencia de puntajes')
ax2.set_ylabel('Densidad')
ax2.set_title('Distribución de la Diferencia de Medias\nMétodo Welch')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 3: Diagrama de cajas
ax3 = axes[1, 0]
datos_puntajes = [puntajes_trad, puntajes_innov]
bp = ax3.boxplot(datos_puntajes, labels=['Tradicional', 'Innovador'], patch_artist=True)
bp['boxes'][0].set_facecolor('lightcoral')
bp['boxes'][1].set_facecolor('lightgreen')
ax3.set_ylabel('Puntaje en examen')
ax3.set_title('Distribución de Puntajes por Método')
ax3.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 4: Densidades superpuestas
ax4 = axes[1, 1]
from scipy.stats import gaussian_kde
x_dens = np.linspace(min(np.min(puntajes_trad), np.min(puntajes_innov)) - 5,
                     max(np.max(puntajes_trad), np.max(puntajes_innov)) + 5, 1000)

kde_trad = gaussian_kde(puntajes_trad)
kde_innov = gaussian_kde(puntajes_innov)

ax4.plot(x_dens, kde_trad(x_dens), 'r-', linewidth=2, label='Método Tradicional')
ax4.fill_between(x_dens, kde_trad(x_dens), alpha=0.3, color='red')
ax4.plot(x_dens, kde_innov(x_dens), 'g-', linewidth=2, label='Método Innovador')
ax4.fill_between(x_dens, kde_innov(x_dens), alpha=0.3, color='green')
ax4.axvline(x1_bar, color='red', linestyle='--', alpha=0.7, label=f'Media Trad: {x1_bar:.1f}')
ax4.axvline(x2_bar, color='green', linestyle='--', alpha=0.7, label=f'Media Innov: {x2_bar:.1f}')
ax4.set_xlabel('Puntaje')
ax4.set_ylabel('Densidad')
ax4.set_title('Densidades de Puntajes por Método\n(Varianzas Diferentes)')
ax4.legend()
ax4.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('caso3_varianzas_diferentes.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print("\n📊 Gráfico guardado como 'caso3_varianzas_diferentes.png'")

CASO 4: COCIENTE DE VARIANZAS (PRUEBA F)

Contexto: Ingeniería de Procesos - Control de Variabilidad

⚙️ PROBLEMA: Comparación de Variabilidad entre Máquinas

Un ingeniero de procesos evalúa si dos máquinas de llenado tienen variabilidad diferente en el volumen de producto. Se construye un intervalo de confianza para el cociente de varianzas σ₁²/σ₂². Muestras pequeñas: n₁ = 10, n₂ = 8.

📝 DATOS DEL PROBLEMA

Parámetro Máquina 1 Máquina 2
Tamaño muestral (n) 10 8
Varianza muestral (s²) 142.36 ml² 38.92 ml²
Desviación muestral (s) 11.93 ml 6.24 ml

🧮 SOLUCIÓN PASO A PASO

Paso 1: Calcular el estadístico F observado

F_obs = s₁² / s₂² = 142.36 / 38.92 = 3.658

Paso 2: Determinar los grados de libertad

ν₁ = n₁ - 1 = 9
ν₂ = n₂ - 1 = 7

Paso 3: Encontrar los valores críticos F (95% de confianza)

α = 0.05
F_inferior = F_(α/2, ν₁, ν₂) = F_(0.025, 9, 7) = 0.2367
F_superior = F_(1-α/2, ν₁, ν₂) = F_(0.975, 9, 7) = 4.823

Paso 4: Calcular el intervalo de confianza para σ₁²/σ₂²

IC = (F_obs / F_superior, F_obs / F_inferior)
IC = (3.658 / 4.823, 3.658 / 0.2367)
IC = (0.758, 15.45)

Paso 5: Calcular el intervalo para σ₁/σ₂ (desviaciones)

IC_σ = (√0.758, √15.45) = (0.871, 3.93)

Paso 6: Interpretación

IC₉₅% para σ₁²/σ₂² = (0.758, 15.45)
IC₉₅% para σ₁/σ₂ = (0.871, 3.93)

✅ CONCLUSIÓN DEL CASO 4

Con un 95% de confianza, la verdadera razón de varianzas σ₁²/σ₂² se encuentra entre 0.758 y 15.45. Dado que el intervalo contiene el valor 1, no existe evidencia estadísticamente significativa de que las varianzas sean diferentes. Esto indica que ambas máquinas tienen variabilidad similar en el volumen de llenado, aunque la Máquina 1 muestra mayor variabilidad muestral. 

# ============================================================
# CÓDIGO PYTHON - COCIENTE DE VARIANZAS (INTERVALO F)
# ============================================================

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
from scipy.stats import f
import seaborn as sns

# Configuración
np.random.seed(789)
sns.set_style("whitegrid")

# ==================== DATOS DEL PROBLEMA ====================
n_maq1, n_maq2 = 10, 8
media_maq1, media_maq2 = 500, 500
desv_maq1, desv_maq2 = 12, 6

volumen_maq1 = np.random.normal(media_maq1, desv_maq1, n_maq1)
volumen_maq2 = np.random.normal(media_maq2, desv_maq2, n_maq2)

# Estadísticos muestrales
var1 = np.var(volumen_maq1, ddof=1)
var2 = np.var(volumen_maq2, ddof=1)

# ==================== CÁLCULOS ====================
f_obs = var1 / var2
gl1 = n_maq1 - 1
gl2 = n_maq2 - 1

nivel_confianza = 0.95
alpha = 1 - nivel_confianza

f_inferior = f.ppf(alpha/2, gl1, gl2)
f_superior = f.ppf(1 - alpha/2, gl1, gl2)

# Intervalo para cociente de varianzas
li_ratio = f_obs / f_superior
ls_ratio = f_obs / f_inferior

# Intervalo para desviaciones
li_sd = np.sqrt(li_ratio)
ls_sd = np.sqrt(ls_ratio)

print("="*65)
print("CASO 4: INTERVALO DE CONFIANZA PARA COCIENTE DE VARIANZAS")
print("="*65)
print(f"\n📊 Estadísticos muestrales:")
print(f"   Varianza Máquina 1 (s₁²): {var1:.4f} ml²")
print(f"   Varianza Máquina 2 (s₂²): {var2:.4f} ml²")
print(f"   Cociente observado (s₁²/s₂²): {f_obs:.4f}")
print(f"\n📈 Cálculos:")
print(f"   Grados de libertad: ν₁ = {gl1}, ν₂ = {gl2}")
print(f"   F crítico inferior (2.5%): {f_inferior:.4f}")
print(f"   F crítico superior (97.5%): {f_superior:.4f}")
print(f"\n🎯 Intervalo de Confianza (95%) para σ₁²/σ₂²:")
print(f"   ({li_ratio:.4f}, {ls_ratio:.4f})")
print(f"\n🎯 Intervalo de Confianza (95%) para σ₁/σ₂:")
print(f"   ({li_sd:.4f}, {ls_sd:.4f})")
print(f"\n💡 Interpretación:")
if li_ratio <= 1 <= ls_ratio:
    print("   → El intervalo contiene 1. No hay evidencia de que las varianzas sean diferentes.")
else:
    print("   → El intervalo NO contiene 1. Las varianzas son significativamente diferentes.")

# ==================== VISUALIZACIÓN ====================
fig, axes = plt.subplots(2, 2, figsize=(14, 10))

# Gráfico 1: Distribución F
x = np.linspace(0, max(8, f_superior + 2), 1000)
y = f.pdf(x, gl1, gl2)

ax1 = axes[0, 0]
ax1.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label=f'F({gl1},{gl2})')
ax1.fill_between(x, y, where=(x >= f_inferior) & (x <= f_superior), 
                  color='skyblue', alpha=0.5, label=f'IC {nivel_confianza*100:.0f}%')
ax1.axvline(f_obs, color='red', linestyle='--', linewidth=2, 
            label=f'F observado = {f_obs:.3f}')
ax1.axvline(f_inferior, color='green', linestyle=':', label=f'F inferior = {f_inferior:.3f}')
ax1.axvline(f_superior, color='green', linestyle=':', label=f'F superior = {f_superior:.3f}')
ax1.set_xlabel('Valor F')
ax1.set_ylabel('Densidad')
ax1.set_title(f'Distribución F({gl1},{gl2})\nRegión de Confianza')
ax1.legend()
ax1.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 2: Intervalo de confianza para el cociente
ax2 = axes[0, 1]
ax2.axvline(1, color='black', linestyle='-', linewidth=2, label='Cociente = 1')
ax2.axvline(li_ratio, color='green', linestyle='--', linewidth=2, 
            label=f'LI = {li_ratio:.3f}')
ax2.axvline(ls_ratio, color='green', linestyle='--', linewidth=2, 
            label=f'LS = {ls_ratio:.3f}')
ax2.axvline(f_obs, color='red', linestyle='-', linewidth=2, 
            label=f'Cociente observado = {f_obs:.3f}')
ax2.fill_betweenx([0, 1], li_ratio, ls_ratio, alpha=0.3, color='skyblue', 
                   label=f'IC {nivel_confianza*100:.0f}%')
ax2.set_xlim(max(0, li_ratio - 2), ls_ratio + 2)
ax2.set_ylim(0, 1)
ax2.set_xlabel('Cociente de varianzas (σ₁²/σ₂²)')
ax2.set_title('Intervalo de Confianza para el Cociente de Varianzas')
ax2.legend()
ax2.grid(True, alpha=0.3, axis='x')

# Gráfico 3: Diagrama de cajas
ax3 = axes[1, 0]
datos_volumen = [volumen_maq1, volumen_maq2]
bp = ax3.boxplot(datos_volumen, labels=['Máquina 1', 'Máquina 2'], patch_artist=True)
bp['boxes'][0].set_facecolor('lightcoral')
bp['boxes'][1].set_facecolor('lightblue')
ax3.set_ylabel('Volumen (ml)')
ax3.set_title('Distribución de Volúmenes por Máquina')
ax3.grid(True, alpha=0.3)

# Gráfico 4: Intervalos de confianza para desviaciones
ax4 = axes[1, 1]

chi2_inf1 = stats.chi2.ppf(alpha/2, gl1)
chi2_sup1 = stats.chi2.ppf(1 - alpha/2, gl1)
chi2_inf2 = stats.chi2.ppf(alpha/2, gl2)
chi2_sup2 = stats.chi2.ppf(1 - alpha/2, gl2)

ic_sd1 = (np.sqrt(gl1 * var1 / chi2_sup1), np.sqrt(gl1 * var1 / chi2_inf1))
ic_sd2 = (np.sqrt(gl2 * var2 / chi2_sup2), np.sqrt(gl2 * var2 / chi2_inf2))

maquinas = ['Máquina 1', 'Máquina 2']
desv_est = [np.sqrt(var1), np.sqrt(var2)]
ic_inf = [ic_sd1[0], ic_sd2[0]]
ic_sup = [ic_sd1[1], ic_sd2[1]]

ax4.errorbar(maquinas, desv_est, yerr=[desv_est[i] - ic_inf[i] for i in range(2)],
             fmt='o', capsize=5, capthick=2, elinewidth=2, markersize=10,
             color='blue', ecolor='orange')
ax4.set_ylabel('Desviación Estándar (ml)')
ax4.set_title('Intervalos de Confianza para Desviaciones Estándar (95%)')
ax4.grid(True, alpha=0.3, axis='y')

plt.tight_layout()
plt.savefig('caso4_cociente_varianzas.png', dpi=150, bbox_inches='tight')
plt.show()
print("\n📊 Gráfico guardado como 'caso4_cociente_varianzas.png'")

📊 RESUMEN DE RESULTADOS

Caso Método Intervalo de Confianza (95%) Interpretación
Caso 1 Varianzas Conocidas (-0.68, 3.02) minutos Contiene 0 → No hay diferencia significativa
Caso 2 Varianzas Iguales (Pooled) (-7.96, 0.30) miles $ Contiene 0 → No hay diferencia salarial
Caso 3 Varianzas Diferentes (Welch) (-12.37, 0.07) puntos Contiene 0 → No hay diferencia significativa
Caso 4 Cociente de Varianzas (F) (0.758, 15.45) Contiene 1 → Varianzas no diferentes

📌 FÓRMULAS CLAVE

📐 Resumen de Fórmulas

Caso Fórmula del Intervalo
Varianzas Conocidas (x̄₁ - x̄₂) ± Zα/2 · √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂)
Varianzas Iguales (x̄₁ - x̄₂) ± tα/2, ν · sp · √(1/n₁ + 1/n₂)
Varianzas Diferentes (x̄₁ - x̄₂) ± tα/2, ν · √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
Cociente de Varianzas (s₁²/s₂²) · [1/F1-α/2, ν₁, ν₂, s₁²/s₂² · 1/Fα/2, ν₁, ν₂]