Übung 18 - Aufgabe 5: Zusammenhang zwischen Integral und Flächeninhalt

In dieser Aufgabe lernen wir, wie man bestimmte Integrale berechnet, wenn die Flächeninhalte zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse bereits bekannt sind.

Aufgabenstellung

Bestimmen Sie das Integral mithilfe der angegebenen Flächeninhalte: \(A_1 = 0,3\); \(A_2 = 0,8\); \(A_3 = 2,9\); \(A_4 = 1,1\).

Die Teilaufgaben lauten: a) \(\int_{-2}^{-1} f(x) dx\)
b) \(\int_{-2}^{0} f(x) dx\)
c) \(\int_{0}^{3} f(x) dx\)
d) \(\int_{-1}^{3} f(x) dx\)
e) \(\int_{-1}^{2} f(x) dx\)
f) \(\int_{-2}^{3} f(x) dx\)

Methodische Erklärung (Klasse 12 G9)

Ein entscheidender Punkt in der Analysis ist der Unterschied zwischen einem Flächeninhalt (\(A\)) und einem bestimmten Integral.

  1. Flächeninhalte sind immer positiv (\(A > 0\)).
  2. Integrale berechnen die orientierte Flächenbilanz:
    • Liegt die Fläche oberhalb der x-Achse (\(f(x) \geq 0\)), ist der Wert des Integrals positiv.
    • Liegt die Fläche unterhalb der x-Achse (\(f(x) \leq 0\)), ist der Wert des Integrals negativ.

Es gilt die Additivität des Integrals: \[\int_{a}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx\]

Schritt-für-Schritt-Lösung

Hier wenden wir die Vorzeichenregeln auf die gegebenen Flächen an: * \(A_1\) (unterhalb): Integralwert \(-0,3\) * \(A_2\) (oberhalb): Integralwert \(+0,8\) * \(A_3\) (oberhalb): Integralwert \(+2,9\) * \(A_4\) (unterhalb): Integralwert \(-1,1\)

a) \(\int_{-2}^{-1} f(x) dx\)

Dieses Intervall entspricht genau der Fläche \(A_1\). Da \(A_1\) unterhalb der x-Achse liegt: \[\int_{-2}^{-1} f(x) dx = -A_1 = \mathbf{-0,3}\]

b) \(\int_{-2}^{0} f(x) dx\)

Wir stückeln das Integral von \(-2\) bis \(-1\) und von \(-1\) bis \(0\) (Flächen \(A_1\) und \(A_2\)): \[\int_{-2}^{0} f(x) dx = -A_1 + A_2 = -0,3 + 0,8 = \mathbf{0,5}\]

c) \(\int_{0}^{3} f(x) dx\)

Hier kombinieren wir die Flächen \(A_3\) (oberhalb) und \(A_4\) (unterhalb): \[\int_{0}^{3} f(x) dx = A_3 - A_4 = 2,9 - 1,1 = \mathbf{1,8}\]

d) \(\int_{-1}^{3} f(x) dx\)

Wir summieren die orientierten Flächen von \(x = -1\) bis \(x = 3\) (Flächen \(A_2, A_3, A_4\)): \[\int_{-1}^{3} f(x) dx = A_2 + A_3 - A_4 = 0,8 + 2,9 - 1,1 = \mathbf{2,6}\]

e) \(\int_{-1}^{2} f(x) dx\)

Dieses Intervall umfasst die Flächen \(A_2\) und \(A_3\). Beide liegen oberhalb der x-Achse: \[\int_{-1}^{2} f(x) dx = A_2 + A_3 = 0,8 + 2,9 = \mathbf{3,7}\]

f) \(\int_{-2}^{3} f(x) dx\)

Das Integral über den gesamten Bereich von \(-2\) bis \(3\): \[\int_{-2}^{3} f(x) dx = -A_1 + A_2 + A_3 - A_4 = -0,3 + 0,8 + 2,9 - 1,1 = \mathbf{2,3}\]

Zusammenfassung für die Klausur

Merke dir für die Bestimmung von Integralen aus Graphen: > Fläche oben \(\rightarrow\) Plus > Fläche unten \(\rightarrow\) Minus Wenn nach dem “Gesamtflächeninhalt” gefragt worden wäre, hättest du alle Werte positiv addiert (\(|A_1| + |A_2| + |A_3| + |A_4|\)). Da hier nach dem Integral gefragt ist, ist das Vorzeichen entscheidend!