Übung 18 - Aufgabe 4: Rekonstruktion eines Bestandes

In dieser Aufgabe analysieren wir die vertikale Geschwindigkeit \(v(t)\) eines Heißluftballons über einen Zeitraum von 35 Sekunden. Der Fokus liegt auf dem Verständnis des Zusammenhangs zwischen Geschwindigkeit (Ableitungsfunktion) und der zurückgelegten Höhe (Bestandsfunktion).

Aufgabenstellung

Der Graph in der Abbildung stellt für einen Zeitraum von 35 s die Vertikalgeschwindigkeit \(v\) eines Heißluftballons in \(\frac{m}{s}\) dar.

  1. Beschreiben Sie die vertikale Bewegung des Ballons.
  2. Befindet sich der Ballon nach 35 s höher oder niedriger als bei 0 s? Begründen Sie.
  3. Bestimmen Sie die Höhendifferenz zwischen 0 s und 35 s.

Methodische Vorbemerkung (Klasse 12 G9)

Um diese Aufgabe zu lösen, nutzen wir den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung. Die Änderung der Höhe \(h(t)\) entspricht dem orientierten Flächeninhalt unter der Geschwindigkeitszeitkurve: \[\Delta h = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt\]

Da der Graph aus linearen Teilstücken besteht, können wir die Integrale geometrisch über Trapez- und Rechteckflächen berechnen.

Lösungsschritte

a) Beschreibung der vertikalen Bewegung

Bei der Beschreibung betrachten wir die Vorzeichen und den Verlauf der Geschwindigkeit:

  • 0 s bis 12,5 s: Die Geschwindigkeit ist positiv (\(v > 0\)). Der Ballon steigt. Zuerst nimmt die Steigrate zu (\(0-5\) s), bleibt dann konstant (\(5-10\) s) und nimmt schließlich bis zum Stillstand ab.
  • 12,5 s bis 14 s: Der Ballon schwebt kurzzeitig auf konstanter Höhe (\(v = 0\)).
  • 14 s bis 20 s: Erneuter Anstieg der Höhe, da \(v\) wieder positiv wird.
  • 20 s bis 35 s: Die Geschwindigkeit wird negativ (\(v < 0\)). Das bedeutet, der Ballon sinkt.

b) Höhenvergleich nach 35 Sekunden

Behauptung: Der Ballon befindet sich nach 35 s höher als zu Beginn (0 s).

Begründung: Man betrachtet die Flächenbilanz. Die Fläche oberhalb der t-Achse (Steigphase) ist deutlich größer als die Fläche unterhalb der t-Achse (Sinkphase). * Positive Fläche (Steigen): Ein Trapez von 0 bis 12,5 s und eines von 14 bis 20 s. * Negative Fläche (Sinken): Ein Trapez/Rechteck-Verbund von 20 bis 35 s. Da das Integral \(\int_{0}^{35} v(t) \, dt > 0\) ist, liegt die Endhöhe über der Anfangshöhe.

c) Berechnung der Höhendifferenz

Wir berechnen die Teilflächen \(A\) (orientierte Flächeninhalte):

  1. Fläche \(A_1\) (0 bis 12,5 s): Trapezform \[A_1 = \frac{v(0) + v(5)}{2} \cdot 5 + (5 \cdot 1,5) + \frac{1,5 \cdot 2,5}{2} = \frac{1+1,5}{2} \cdot 5 + 7,5 + 1,875 = 6,25 + 7,5 + 1,875 = 15,625 \, m\] (Alternativ einfach Kästchen zählen oder Trapezformel nutzen)

  2. Fläche \(A_2\) (14 bis 20 s): Trapezform Mittlere Breite \(\approx 4\) s, Höhe \(1 \, m/s \Rightarrow A_2 \approx \frac{(6 + 2)}{2} \cdot 1 = 4 \, m\).

  3. Fläche \(A_3\) (20 bis 35 s): Sinkphase (negativ) Ab 22 s sinkt der Ballon mit konstant \(1 \, m/s\). \[A_3 = \frac{-1 \cdot 2}{2} (\text{Dreieck 20-22s}) + (-1 \cdot 13) (\text{Rechteck 22-35s}) = -1 - 13 = -14 \, m\]

Gesamtbilanz: \[\Delta h = A_1 + A_2 + A_3 = 15,625 + 4 - 14 = 5,625 \, m\]

Ergebnis: Die Höhendifferenz beträgt ca. 5,6 Meter.

Hinweis: Da die Werte teilweise vom Graphen abgelesen werden müssen, sind leichte Rundungsabweichungen je nach Ablesegenauigkeit (z.B. beim Punkt 12,5 s) zulässig.