Übung 18 - Aufgabe 10

Aufgabenstellung

Ein Fußballspiel beginnt um 19:00 Uhr. Die Eingänge wurden 90 Minuten vor Spielbeginn geöffnet (also um 17:30 Uhr). Es können maximal 200 Personen pro Minute das Stadion betreten. Der Graph beschreibt die Ankunftsrate der Menschen vor dem Stadion.

Gegebene Daten: * Spielbeginn: 19:00 Uhr * Einlassbeginn (\(t_{start}\)): 17:30 Uhr * Maximale Einlassrate (\(e\)): 200 Pers./min * Ankunftsrate \(a(t)\): Siehe Graph

Theoretischer Hintergrund: Bestandsrechnung

In der Oberstufen-Analysis interpretieren wir die Fläche unter einer Rate als eine Menge. 1. Die Fläche unter der Ankunftsrate entspricht der Gesamtzahl der eingetroffenen Personen. 2. Die Fläche unter der Einlassrate entspricht der Anzahl der Personen, die ins Stadion gelassen wurden. 3. Die Differenz beider Flächen (die Fläche zwischen den Graphen) entspricht der Anzahl der wartenden Personen (Warteschlange).

\[Warteschlange(t) = \int_{Beginn}^{t} (Ankunftsrate - Einlassrate) \, dx\]

Schrittweise Lösung

a) Wie viele Personen warten 90 bzw. 70 Minuten vor Spielbeginn auf ihren Einlass?

1. Zeitpunkt: 90 Minuten vor Spielbeginn (17:30 Uhr) Um 17:30 Uhr werden die Tore gerade erst geöffnet. Zu diesem Zeitpunkt warten alle Menschen, die zwischen 17:00 Uhr und 17:30 Uhr angekommen sind. Laut Graph ist die Ankunftsrate von 17:00 bis 17:30 Uhr linear von 0 auf 100 Pers./min gestiegen.

  • Rechnung (Dreiecksfläche): \[\text{Wartende} = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot 30\,\text{min} \cdot 100\,\text{Pers./min} = \mathbf{1500\,\text{Personen}}\]

2. Zeitpunkt: 70 Minuten vor Spielbeginn (17:50 Uhr) Von 17:30 bis 17:50 Uhr (20 Minuten lang) kommen Menschen an, aber es werden auch Menschen eingelassen. * Neu ankommende Personen: Trapez von 17:30 bis 17:50. Bei 17:50 Uhr (zwei Teilstriche nach 17:30) liegt die Rate laut Steigung bei ca. 166,7 Pers./min (da sie in 30 min um 100 steigt). Einfacher ist das Ablesen/Berechnen des Teil-Trapezes: \(\text{Fläche} = \frac{100 + 166,7}{2} \cdot 20 \approx 2667\,\text{Personen}\). * Eingelassene Personen: In diesen 20 Minuten werden konstant 200 Pers./min eingelassen. \(\text{Einlass} = 20 \cdot 200 = 4000\,\text{Personen}\). * Logik-Check: Da die Einlasskapazität (200) in diesem Zeitraum höher ist als die Ankunftsrate (max 166,7), baut sich die Schlange ab. \[\text{Wartende (17:50)} = 1500 + 2667 - 4000 = \mathbf{167\,\text{Personen}}\]

b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Warteschlange am längsten? Wie viele Personen warten dann?

Die Warteschlange wächst immer dann, wenn die Ankunftsrate höher ist als die Einlassrate (\(a(t) > 200\)). Sie schrumpft, wenn mehr Menschen eingelassen werden als neu ankommen.

  1. Zeitpunkt finden: Die Ankunftsrate übersteigt die 200er-Marke laut Graph um 18:00 Uhr und sinkt um 18:30 Uhr wieder unter 200. Das Maximum der Warteschlange ist erreicht, wenn die Ankunftsrate wieder unter die Einlassrate sinkt – also genau dann, wenn kein “Überschuss” mehr produziert wird.
  • Antwort: Die Warteschlange ist um 18:30 Uhr am längsten.
  1. Anzahl der Personen berechnen: Wir berechnen die Personenanzahl zu diesem Zeitpunkt.
  • Wartende um 17:30 Uhr: 1500 Personen (siehe Aufgabe a).
  • Zustrom von 17:30 bis 18:30 Uhr (60 min): Fläche unter dem Graphen (Trapez). \(\text{Menge}_{an} = \frac{(100 + 250)}{2} \cdot 30 (\text{bis 18:00}) + \frac{(250 + 200)}{2} \cdot 30 (\text{bis 18:30}) = 5250 + 6750 = 12000\,\text{Personen}\).
  • Abfluss von 17:30 bis 18:30 Uhr (60 min): \(\text{Menge}_{raus} = 60\,\text{min} \cdot 200\,\text{Pers./min} = 12000\,\text{Personen}\).

Berechnung der Schlange: \[\text{Wartende}_{max} = \text{Start (17:30)} + \text{Ankunft} - \text{Einlass}\] \[\text{Wartende}_{max} = 1500 + 12000 - 12000 = \mathbf{1500\,\text{Personen}}\]

Hinweis: Da die Fläche des Ankunfts-Trapezes oberhalb der 200er-Linie (zwischen 18:00 und 18:30) genau so groß ist wie die “Lücke” unter der 200er-Linie (zwischen 17:30 und 18:00), ist die Schlange um 18:30 Uhr zufällig wieder exakt so groß wie zu Beginn des Einlasses.