Der abgebildete Graph modelliert die Vertikalgeschwindigkeit \(v\) (in m/s) eines Segelflugzeugs in Abhängigkeit von der Zeit \(t\) (in s). Zu Beginn der Messung (\(t = 0\)) befindet sich das Flugzeug auf einer Ausgangshöhe von \(h_0 = 400\,\text{m}\). Ein positiver Wert von \(v\) bedeutet, dass das Flugzeug steigt, ein negativer Wert bedeutet Sinken.
Gegebene Randbedingungen: * Startwert: \(h(0) = 400\,\text{m}\) * \(v(t) > 0\): Steigen * \(v(t) < 0\): Sinken
In der Analysis der Oberstufe ist der entscheidende Zusammenhang: Die Höhe \(h(t)\) ist die Stammfunktion der Geschwindigkeit \(v(t)\). Die Änderung der Höhe entspricht dem orientierten Flächeninhalt unter dem Graphen der Geschwindigkeitsfunktion:
\[h(t) = h_0 + \int_{0}^{t} v(\tau) d\tau\]
Da der Graph aus Liniensegmenten besteht, können wir die Integrale einfach über geometrische Grundflächen (Dreiecke und Trapeze) berechnen.
Höhe nach 20 s: Zuerst berechnen wir die Höhendifferenz \(\Delta h\) im Intervall \([0; 20]\). Die Fläche unter dem Graphen bildet ein Trapez: * Grundseite \(a = 20\,\text{s}\) * Oberseite \(c = 10\,\text{s}\) (von \(t=10\) bis \(t=20\)) * Höhe \(v = 2\,\text{m/s}\)
\[\Delta h_{0-20} = \frac{(20 + 10)}{2} \cdot 2 = 30\,\text{m}\]
Die Gesamthöhe beträgt: \[h(20) = h_0 + \Delta h_{0-20} = 400\,\text{m} + 30\,\text{m} = \mathbf{430\,\text{m}}\]
Höhe nach 45 s: Wir berechnen die Flächenanteile bis \(t=45\): 1. Fläche über der t-Achse (Steigen): Dreieck von \(t=20\) bis \(t=30\). \[\Delta h_{20-30} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2 = 10\,\text{m}\] 2. Fläche unter der t-Achse (Sinken): Dreieck von \(t=30\) bis \(t=45\). Bei \(t=45\) lässt sich am Graphen ein v-Wert von \(-1.5\,\text{m/s}\) ablesen (lineare Abnahme). \[\Delta h_{30-45} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot (-1.5) = -11.25\,\text{m}\]
Gesamthöhe: \[h(45) = 430\,\text{m} (\text{nach 20s}) + 10\,\text{m} - 11.25\,\text{m} = \mathbf{428.75\,\text{m}}\]
Das Flugzeug steigt, solange \(v(t) > 0\) ist. Sobald \(v(t)\) die t-Achse schneidet und negativ wird, beginnt das Sinken. Das Maximum einer Funktion liegt dort vor, wo ihre Ableitung (hier die Geschwindigkeit) einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus aufweist.
Der Graph schneidet die t-Achse bei \(t = 30\,\text{s}\). Bis zu diesem Zeitpunkt wurde nur positive Höhe akkumuliert. Danach verringert sich die Höhe wieder.
Antwort: Das Flugzeug erreicht seine maximale Höhe zum Zeitpunkt \(t = 30\,\text{s}\).
Wir wissen, dass das Flugzeug bei \(t=30\) sein Maximum erreicht. Rechnen wir dieses kurz aus: \[h(30) = 400 + 30 (\text{Fläche bis 20s}) + 10 (\text{Fläche 20-30s}) = 440\,\text{m}\]
Gesucht ist \(t\), sodass \(h(t) = 380\,\text{m}\). Da das Flugzeug bei \(t=0\) auf \(400\,\text{m}\) startet und danach erst steigt, muss dieser Zeitpunkt nach dem Maximum liegen (während des Sinkflugs).
Wir suchen also den Zeitpunkt \(t > 30\), an dem die “negative Fläche” (Sinken) genau \(60\,\text{m}\) beträgt (denn \(440\,\text{m} - 60\,\text{m} = 380\,\text{m}\)).
Die Funktion für \(v(t)\) im Bereich \(t > 20\) ist eine Gerade mit der Steigung \(m = -0.1\,\text{m/s}^2\): \[v(t) = -0.1 \cdot (t - 30)\]
Die Fläche des “Sink-Dreiecks” ab \(t=30\) ist: \[A(t) = \frac{1}{2} \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} = \frac{1}{2} \cdot (t-30) \cdot |v(t)|\] \[60 = \frac{1}{2} \cdot (t-30) \cdot (0.1 \cdot (t-30))\] \[60 = 0.05 \cdot (t-30)^2\] \[1200 = (t-30)^2\] \[\sqrt{1200} = t - 30\] \[t = 30 + \sqrt{1200} \approx 30 + 34.64 = 64.64\,\text{s}\]
Antwort: Das Flugzeug erreicht die Höhe von \(380\,\text{m}\) nach ca. \(64.6\,\text{s}\).