Einleitung

In dieser Übung beschäftigen wir uns mit dem orientierten Flächeninhalt. Im Gegensatz zum absoluten Flächeninhalt, der immer positiv ist, berücksichtigt der orientierte Flächeninhalt das Vorzeichen: Flächen unterhalb der x-Achse werden negativ gewertet, Flächen oberhalb positiv. Mathematisch entspricht dies direkt dem Wert des bestimmten Integrals.

Aufgabe 8a)

Aufgabenstellung: Bestimmen Sie den orientierten Flächeninhalt, den der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x) = x - 1\) im Intervall \([0; 3]\) mit der x-Achse einschließt.

Lösungsschritt 1: Das Integral aufstellen

Da nach dem orientierten Flächeninhalt gefragt ist, müssen wir lediglich das bestimmte Integral der Funktion \(f(x)\) in den Grenzen von \(0\) bis \(3\) berechnen.

\[I = \int_{0}^{3} (x - 1) \, dx\]

Lösungsschritt 2: Stammfunktion bilden

Zuerst bilden wir die Stammfunktion \(F(x)\): \[F(x) = \frac{1}{2}x^2 - x\]

Lösungsschritt 3: Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung anwenden

Wir setzen die Grenzen ein (Obere Grenze minus Untere Grenze): \[I = \left[ \frac{1}{2}x^2 - x \right]_{0}^{3}\] \[I = \left( \frac{1}{2} \cdot 3^2 - 3 \right) - \left( \frac{1}{2} \cdot 0^2 - 0 \right)\] \[I = \left( \frac{9}{2} - 3 \right) - 0 = 4,5 - 3 = 1,5\]

Ergebnis: Der orientierte Flächeninhalt beträgt 1,5 Flächeneinheiten (FE).

Aufgabe 8b)

Aufgabenstellung: Geben Sie zwei verschiedene Intervalle an, sodass der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Funktion \(f\) und der x-Achse über dem Intervall \(8\) FE beträgt.

Hierbei sind vier verschiedene Funktionen gegeben: (1) \(f(x) = 2\) | (2) \(f(x) = x\) | (3) \(f(x) = -x\) | (4) \(f(x) = x - 2\)

Wir wählen beispielhaft die ersten beiden Funktionen aus, um die zwei Intervalle zu bestimmen. Das Ziel ist es, jeweils ein Intervall \([a; b]\) zu finden, für das gilt: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = 8\).

Teil (1): \(f(x) = 2\)

Dies ist eine konstante Funktion (eine Waagerechte). Die Fläche unter einer Konstanten ist ein Rechteck mit der Höhe \(2\) und der Breite \((b - a)\).

  • Ansatz: \(2 \cdot (b - a) = 8\)
  • Daraus folgt: \(b - a = 4\)
  • Mögliches Intervall: \([0; 4]\) (denn \(4 - 0 = 4\)) oder \([1; 5]\).

Teil (2): \(f(x) = x\)

Hier nutzen wir wieder die Stammfunktion \(F(x) = \frac{1}{2}x^2\).

  • Ansatz: \(\int_{a}^{b} x \, dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{a}^{b} = 8\)
  • \(\frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 = 8 \implies b^2 - a^2 = 16\)
  • Wir wählen einfachheitshalber \(a = 0\): \(b^2 - 0 = 16 \implies b = 4\)
  • Mögliches Intervall: \([0; 4]\).

Zusammenfassung der Intervalle

Zwei verschiedene Intervalle, die einen orientierten Flächeninhalt von \(8\) FE liefern (basierend auf unterschiedlichen Funktionen der Liste), sind:

  1. Für \(f(x) = 2\): Das Intervall \([0; 4]\).
  2. Für \(f(x) = x\): Das Intervall \([0; 4]\).

(Hinweis: Man könnte auch für eine einzige Funktion, z.B. \(f(x)=2\), zwei Intervalle wie \([0;4]\) und \([1;5]\) angeben, da die Aufgabenstellung nach “zwei verschiedenen Intervallen” fragt.)