Pada tugas ini diberikan data terhadap IQ dan tingkat kehadiran 10 siswa. Dataset ini berisi informasi IQ, Tingkat Kehadiran, dan Nilai UAS untuk tiap tiap siswa.
Pada tugas ini diberi beberapa pertanyaan yaitu:
Buatlah persamaan regresi linier berganda! (hitung beta dugaan secara manual di R dan bandingkan dengan fungsi lm)
# Memuat library
library(readxl)
library(car)
library(lmtest)
library(nortest)
# Mengambil data
data <- read_excel("data siswa.xlsx")
# Mengubah nama kolom
colnames(data) <- c("Siswa", "IQ_X2", "Kehadiran_X1", "UAS_Y")
# Menampilkan data siswa
print(data)## # A tibble: 10 × 4
## Siswa IQ_X2 Kehadiran_X1 UAS_Y
## <dbl> <dbl> <dbl> <dbl>
## 1 1 110 60 65
## 2 2 120 70 70
## 3 3 115 75 75
## 4 4 130 80 75
## 5 5 110 80 80
## 6 6 120 90 80
## 7 7 120 95 85
## 8 8 125 95 95
## 9 9 110 100 90
## 10 10 120 100 98Dalam analisis regresi ini, koefisien model tidak dihitung menggunakan rumus tunggal sederhana, melainkan melalui operasi matriks untuk mengakomodasi beberapa variabel bebas sekaligus. Rumus yang digunakan untuk mencari vektor parameter \(\beta\) adalah:
\[ \beta = (X^T X)^{-1} X^T Y \] Prosedur ini melibatkan transformasi matriks data (transpose), perkalian antar matriks, hingga pencarian invers matriks untuk mendapatkan estimasi titik yang paling akurat bagi model regresi.
# Mmembuat Matrix X dan Y
Y <- as.matrix(data$UAS_Y)
X <- as.matrix(cbind(1,data$Kehadiran_X1,data$IQ_X2))
colnames(X) <- c("Intercept", "Kehadiran_X1", "IQ_X2")
# Transpose X
Xt <- t(X)
# Perkalian XtX
XtX <- Xt %*% X
# Invers XtX
XtX_inv <- solve(XtX)
# Hitung beta
beta <- XtX_inv %*% Xt %*% Y
beta## [,1]
## Intercept 23.0544545
## Kehadiran_X1 0.7372330
## IQ_X2 -0.0343275#dengan fungsi lm
model <- lm(UAS_Y ~ Kehadiran_X1 + IQ_X2, data = data)
summary(model)##
## Call:
## lm(formula = UAS_Y ~ Kehadiran_X1 + IQ_X2, data = data)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -5.2861 -2.8939 0.0296 1.6791 6.1993
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 23.05445 25.57161 0.902 0.397247
## Kehadiran_X1 0.73723 0.10918 6.752 0.000264 ***
## IQ_X2 -0.03433 0.22051 -0.156 0.880686
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 4.346 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8719, Adjusted R-squared: 0.8353
## F-statistic: 23.82 on 2 and 7 DF, p-value: 0.0007523Perbandingan antara perhitungan manual berbasis matriks dan penggunaan fungsi lm() menunjukkan nilai koefisien yang persis sama, baik untuk nilai intersep maupun koefisien regresi variabel Kehadiran (\(X_1\)) dan IQ (\(X_2\)). Hal ini mengonfirmasi bahwa langkah-langkah komputasi matriks yang dilakukan mulai dari tahap transpose, perkalian matriks, hingga inversi telah dijalankan dengan tepat. Hasil ini memberikan keyakinan bahwa model regresi yang terbentuk telah stabil dan siap untuk diinterpretasikan lebih lanjut.
#uji f
f_stat <- summary(model)$fstatistic
f_stat## value numdf dendf
## 23.82303 2.00000 7.00000pf(f_stat[1], f_stat[2], f_stat[3], lower.tail = FALSE)## value
## 0.0007522929Interpretasi
Hasil pengujian menunjukkan nilai F-statistik sebesar 23,823 dengan nilai signifikansi (p-value) sebesar 0,00075. Karena nilai p-value tersebut jauh lebih kecil dari taraf signifikansi \(\alpha = 0,05\) (atau \(0,75\% < 5\%\)), maka keputusan uji adalah Tolak \(H_0\). Hal ini memberikan bukti empiris yang kuat untuk menyimpulkan bahwa variabel tingkat kehadiran (\(X_1\)) dan tingkat IQ (\(X_2\)) secara bersama-sama (simultan) memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel nilai UAS siswa (\(Y\)). Dengan kata lain, model regresi yang dibentuk layak digunakan (fit) untuk memprediksi nilai UAS berdasarkan kedua variabel independen tersebut.
#uji t parsial
summary(model)$coefficients## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 23.0544545 25.5716101 0.9015644 0.3972467061
## Kehadiran_X1 0.7372330 0.1091797 6.7524718 0.0002644133
## IQ_X2 -0.0343275 0.2205125 -0.1556715 0.8806860631Interpretasi
Berdasarkan hasil uji-t secara parsial, variabel Kehadiran (\(X_1\)) memiliki nilai \(p = 0,00026\) (\(p < 0,05\)), yang berarti tingkat kehadiran berpengaruh positif dan signifikan terhadap Nilai UAS. Di sisi lain, variabel IQ (\(X_2\)) memiliki nilai \(p = 0,88068\) (\(p > 0,05\)), sehingga secara statistik IQ tidak berpengaruh signifikan terhadap Nilai UAS dalam model ini. Hal ini menunjukkan bahwa frekuensi kehadiran siswa di kelas merupakan faktor penentu yang jauh lebih nyata dalam memengaruhi hasil ujian dibandingkan dengan tingkat IQ mereka.
#koefisien determinasi r2
summary(model)$r.squared## [1] 0.8719029summary(model)$adj.r.squared## [1] 0.8353038Interpretasi
Berdasarkan hasil analisis, nilai Koefisien Determinasi (\(R^2\)) yang diperoleh adalah sebesar 0,8719 atau 87,19%. Hal ini menunjukkan bahwa variabel Kehadiran (\(X_1\)) dan IQ (\(X_2\)) secara bersama-sama mampu menjelaskan variasi pada Nilai UAS siswa sebesar 87,19%, sedangkan sisanya sebesar 12,81% dipengaruhi oleh faktor-faktor lain di luar model penelitian ini. Selain itu, nilai Adjusted \(R^2\) sebesar 0,8353 mengonfirmasi bahwa model ini tetap memiliki daya prediksi yang sangat kuat dan stabil meskipun telah mempertimbangkan jumlah variabel independen yang digunakan
shapiro.test(residuals(model))##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(model)
## W = 0.95125, p-value = 0.6833vif(model)## Kehadiran_X1 IQ_X2
## 1.055571 1.055571bptest(model)##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: model
## BP = 5.905, df = 2, p-value = 0.05221dwtest(model)##
## Durbin-Watson test
##
## data: model
## DW = 2.594, p-value = 0.8013
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0Interpretasi
Uji Normalitas (Shapiro-Wilk): Diperoleh p-value sebesar 0,6833 (\(p > 0,05\)). Hal ini menunjukkan bahwa sisaan (residual) model berdistribusi normal, sehingga asumsi normalitas terpenuhi.
Uji Multikolinearitas (VIF): Nilai VIF untuk kedua variabel adalah 1,055 (VIF < 10). Hal ini mengindikasikan bahwa tidak terdapat hubungan linier yang kuat antar variabel independen, sehingga model bebas dari masalah multikolinearitas.
Uji Heteroskedastisitas (Breusch-Pagan): Diperoleh p-value sebesar 0,05221 (\(p > 0,05\)). Karena nilai ini sedikit di atas ambang batas 5%, maka dapat disimpulkan bahwa varians sisaan bersifat homogen (homoskedastisitas terpenuhi).
Uji Autokorelasi (Durbin-Watson): Diperoleh p-value sebesar 0,8013 (\(p > 0,05\)). Hal ini menunjukkan bahwa tidak terdapat masalah autokorelasi pada sisaan model regresi tersebut.
Berdasarkan seluruh asumsi klasik (normalitas, multikolinearitas, heteroskedastisitas, dan autokorelasi) telah terpenuhi, maka model ini dinyatakan valid, tidak bias (BLUE), dan memiliki keandalan yang tinggi untuk digunakan dalam memprediksi capaian akademik siswa berdasarkan tingkat kedisiplinan kehadiran mereka di kelas.