Manual (Matriks)

X_matriks <- cbind(1, X1, X2)   # Matriks desain [1 | X1 | X2] 
beta_manual <- solve(t(X_matriks) %*% X_matriks) %*% t(X_matriks) %*% Y
print(beta_manual)

##          [,1]
##    23.0544545
## X1  0.7372330
## X2 -0.0343275

Interpretasi:

• β̂₀ = 23.0544: Jika X₁ = 0 dan X₂ = 0, prediksi nilai UAS = 23.0544

• β̂₁ = 0 .7372: Setiap kenaikan 1% kehadiran (X₁), maka nilai UAS naik 0.7372 nilai (dengan X₂ tetap atau 0)

• β̂₂ = -0.0343: Setiap kenaikan 1 poin IQ (X₂), maka nilai UAS akan turun 0.0343 nilai (dengan X₁ tetap atau 0).

Fungsi R (lm)

data_nilai  <- data.frame(Y, X1, X2)
model_nilai <- lm(Y ~ X1 + X2, data = data_nilai)
summary(model_nilai)

## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X1 + X2, data = data_nilai)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.2861 -2.8939  0.0296  1.6791  6.1993 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 23.05445   25.57161   0.902 0.397247    
## X1           0.73723    0.10918   6.752 0.000264 ***
## X2          -0.03433    0.22051  -0.156 0.880686    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.346 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8719, Adjusted R-squared:  0.8353 
## F-statistic: 23.82 on 2 and 7 DF,  p-value: 0.0007523

Didapatkan hasil manual sesuai dengan output fungsi lm. Ŷ = 23.0544 + 0.7372 X₁ − 0.0343 X₂`

Prediksi dan Residual

Y_prediksi <- X_matriks %*% beta_manual
print(Y_prediksi)

##           [,1]
##  [1,] 63.51241
##  [2,] 70.54147
##  [3,] 74.39927
##  [4,] 77.57052
##  [5,] 78.25707
##  [6,] 85.28613
##  [7,] 88.97229
##  [8,] 88.80065
##  [9,] 93.00173
## [10,] 92.65846

residual <- Y - Y_prediksi
print(residual)

##             [,1]
##  [1,]  1.4875890
##  [2,] -0.5414662
##  [3,]  0.6007312
##  [4,] -2.5705215
##  [5,]  1.7429286
##  [6,] -5.2861266
##  [7,] -3.9722917
##  [8,]  6.1993458
##  [9,] -3.0017318
## [10,]  5.3415432

Interpretasi:

Interpretasi Y Prediksi:

Model menghasilkan nilai prediksi yang cukup dekat dengan nilai aktual.

Contohnya:

• Siswa 2: Y aktual = 70, Y prediksi = 70.54 → sangat mendekati

• Siswa 8: Y aktual = 95, Y prediksi = 88.80 → selisih lebih besar

Interpretasi Residual:

• Residual = Y aktual − Y prediksi Residual positif → Model menebak lebih rendah (underpredicts) dari nilai aktual

• Residual negatif → model menebak lebih tinggi (overpredicts) dari nilai aktual

Residual terbesar:

• Obs 8: +6.1993 → model paling underpredict

• Obs 6: −5.2861 → model paling overpredict

Kesimpulan:

Residual tersebar di sekitar nol (tidak ada pola sistematis), yang menunjukkan model sudah cukup baik.

Manual

## HITUNG SST, SSE, SSR
SST <- sum((Y - mean(Y))^2)
SSE <- sum(residual^2)
SSR <- SST - SSE

R2 <- SSR / SST
cat("R² =", R2, "\n")

## R² = 0.8719029

Fungsi R

koef_deter_R2 <- summary(model_nilai)$r.squared
cat("R Squared:", round(koef_deter_R2, 4), "\n")

## R Squared: 0.8719

Interpretasi:

Didapatkan R^2 0.8719, artinya 87.19% variasi nilai UAS dapat dijelaskan oleh Kehadiran dan IQ secara bersama-sama.

Manual

MSR <- SSR / k
MSE <- SSE / (n - k - 1)

F_hit <- MSR / MSE
F_tab  <- qf(0.95, df1 = k, df2 = n - k - 1)

cat("F hitung:", F_hit, "\n")

## F hitung: 23.82303

cat("F tabel :", F_tab, "\n")

## F tabel : 4.737414

Fungsi R

F_hitung <- summary(model_nilai)$fstatistic[1]
F_tabel <- qf(0.95, df1 = 2, df2 = 7)
P_value <- pf(F_hitung, df1 = 2, df2 = 7, lower.tail = F)
cat("F Hitung:", F_hitung, "\n")

## F Hitung: 23.82303

cat("F Tabel α = 0.05:", F_tabel, "\n")

## F Tabel α = 0.05: 4.737414

cat("P Value F:", P_value, "\n")

## P Value F: 0.0007522929

Interpretasi:

Hipotesis:

• H₀: β₁ = β₂ = 0 (tidak ada pengaruh)

• H₁: minimal satu β ≠ 0

Kriteria Keputusan:

• F hitung > F tabel: Tolak H₀ → model signifikan

• F hitung ≤ F tabel: Gagal Tolak H₀ → model tidak signifikan

Keputusan:

F hitung (23.8230) > F tabel α=0.05 (4.7374),

Pada α = 5%, model secara simultan signifikan kehadiran dan IQ secara bersama-sama berpengaruh terhadap nilai UAS.

Manual

var_b    <- MSE * solve(t(X_matriks) %*% X_matriks)
se_b     <- sqrt(diag(var_b))

t_hitung <- beta_manual / se_b
t_tabel  <- qt(0.975, df = n - k - 1)

cat("t hitung:", t_hitung, "\n")

## t hitung: 0.9015644 6.752472 -0.1556715

cat("t tabel :", t_tabel, "\n")

## t tabel : 2.364624

Fungsi R

T_hitung <- summary(model_nilai)$coefficients
print(T_hitung)

##               Estimate Std. Error    t value     Pr(>|t|)
## (Intercept) 23.0544545 25.5716101  0.9015644 0.3972467061
## X1           0.7372330  0.1091797  6.7524718 0.0002644133
## X2          -0.0343275  0.2205125 -0.1556715 0.8806860631

T_tabel <- qt(0.95, df = 7)
cat(" T tabel:", T_tabel, "\n")

##  T tabel: 1.894579

Interpretasi:

Hipotesis:

• H₀: βᵢ = 0
  

• H₁: βᵢ ≠ 0

Kriteria Keputusan:

• |t hitung| > t tabel: Tolak H₀ → variabel signifikan

• |t hitung| ≤ t tabel: Gagal Tolak H₀ → variabel tidak signifikan

Keputusan:

• X₁ (Kehadiran):|t hitung| = |6.7525| = 6.7525) > t tabel (1.8946) → signifikan. Kehadiran berpengaruh nyata terhadap nilai UAS secara parsial.

• X₂ (IQ): |t hitung| = |−0.1557| = 0.1557) < t tabel (1.8946) → tidak signifikan. Secara parsial, IQ tidak memberikan kontribusi signifikan pada model ini.

Uji Normalitas

residuals_model <- residuals(model_nilai)
shapiro.test(residuals_model)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals_model
## W = 0.95125, p-value = 0.6833

plot(model_nilai, which = 2)

Interpretasi:

Hipotesis:

• H₀ = Residual berdistribusi normal

• H₁ = Residual tidak berdistribusi normal

Dasar Pengambilan Keputusan:

• Jika p-value > 0.05 → Gagal tolak H₀

• Jika p-value ≤ 0.05 → Tolak H₀l

Keputusan:

Nilai p-value = 0.6833 > 0.05, maka gagal tolak H₀. Artinya residual model regresi berdistribusi normal. Asumsi normalitas terpenuhi, sehingga hasil uji t dan uji F dapat dipercaya dan valid secara statistik.

Nilai W = 0.9512 mendekati 1, yang menunjukkan residual sangat mendekati distribusi normal sempurna.

Homoskedasitas

library(lmtest)

## Warning: package 'lmtest' was built under R version 4.4.3

## Loading required package: zoo

## Warning: package 'zoo' was built under R version 4.4.3

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

bptest(model_nilai)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  model_nilai
## BP = 5.905, df = 2, p-value = 0.05221

plot(model_nilai, which = 1)

Interpretasi:

Hipotesis:

• H₀ = Varians residual konstan (homoskedastis)

• H₁ = Varians residual tidak konstan (heteroskedastis)

Dasar Pengambilan Keputusan: - Jika p-value > 0.05 → Gagal tolak H₀)

• Jika p-value ≤ 0.05 → Tolak H₀

Keputusan:

Nilai p-value = 0.0522 > 0.05, maka gagal tolak H₀. Artinya varians dari residual bersifat konstan (homoskedastis) di seluruh nilai prediksi. Asumsi homoskedastisitas terpenuhi.

Uji Multikolinieritas

library(car)

## Warning: package 'car' was built under R version 4.4.2

## Loading required package: carData

## Warning: package 'carData' was built under R version 4.4.2

vif(model_nilai)

##       X1       X2 
## 1.055571 1.055571

Interpretasi:

Hipotesis:

• H₀ = Tidak terdapat multikolinearitas antar variabel bebas

• H₁ = Terdapat multikolinearitas antar variabel bebas

Kriteria Keputusan VIF:

• VIF < 10 → Tidak ada multikolinearitas (aman)

• VIF 10 – 30 → Multikolinearitas sedang (perlu diwaspadai)

• VIF > 30 → Multikolinearitas serius (model bermasalah)

Keputusan:

Nilai VIF untuk X₁ = 1.056 dan X₂ = 1.056, keduanya jauh di bawah batas toleransi 10. Artinya tidak terdapat multikolinearitas antar variabel kehadiran dan IQ.

Durbin Watson

library(lmtest)
dwtest(model_nilai)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model_nilai
## DW = 2.594, p-value = 0.8013
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Interpretasi:

Hipotesis:

• H₀ = Tidak terdapat autokorelasi pada residual (ρ = 0)

• H₁ = Terdapat autokorelasi positif pada residual (ρ > 0)

Kriteria Keputusan Nilai DW:

• DW mendekati 0 → Autokorelasi positif kuat (masalah serius)

• DW mendekati 2 → Tidak ada autokorelasi (ideal)

• DW mendekati 4 → Autokorelasi negatif kuat (masalah serius)

Keputusan:

Nilai DW = 2.594 dan p-value = 0.8013 > 0.05, maka gagal tolak H₀. Artinya tidak terdapat autokorelasi pada residual model regresi.

Kesimpulan Akhir

Seluruh uji asumsi klasik terpenuhi. Model regresi berganda Ŷ = 23.0544 + 0.7372 X₁ − 0.0343 X₂ memenuhi semua syarat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) sesuai teorema Gauss-Markov. Model ini valid, andal, dan layak digunakan untuk analisis maupun prediksi nilai UAS.