Problema5

1 Problema 5: Análisis de potencia, tamaño del efecto y errores tipo I y II en una prueba de hipótesis

Caso: Se asume que la presión arterial en la población general sigue una distribución normal con media 120 mmHg y desviación estándar 15 mmHg. Un laboratorio desea evaluar si la media de presión arterial en un grupo de pacientes con cierta enfermedad difiere significativamente de 120 mmHg, mediante una prueba t para una muestra, asumiendo varianza poblacional desconocida.

Objetivo del caso: Determinar de manera informada un tamaño de muestra y un nivel de significancia adecuados para realizar el estudio.

Para lograr este objetivo, analiza la relación entre la potencia estadística, el tamaño del efecto y el tamaño muestral.

Se fija inicialmente el nivel de significancia en \(α=0.1\)

Evalúa la potencia estadística para diferentes tamaños muestrales n= 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 y 1,000.

Considera tres tamaños del efecto:

\(d=0.2\) (pequeño), \(d=0.5\) (mediano), \(d=0.8\) (grande).

Visualiza los resultados:

Eje X: tamaño muestral.

Eje Y: potencia estadística.

Traza una curva para cada tamaño del efecto.

Utiliza las funciones power.t.test y ggplot2 en R para construir los gráficos.

Posteriormente, repite el análisis para \(α=0.05\) y \(α=0.01\)

Figure 1: Figura curva de potencia estadistica para \(d=0.2\) (pequeño), \(d=0.5\) (mediano), \(d=0.8\) (grande).

Con base en la figura 1 se responden las siguientes preguntas:

¿Qué tamaño de muestra se requiere para alcanzar una potencia del 80% al detectar un efecto grande(d=0.8)?

En los tres paneles se observa que para \(d = 0.8\) la curva azul alcanza la línea de potencia \(0.8\) con un tamaño de muestra relativamente pequeño.Con \(α = 0.05\), se logra alrededor de \(n ≈ 25–30\) observaciones. Esto significa que un efecto grande requiere pocas observaciones para ser detectado con potencia adecuada.

¿Cuántas observaciones se necesitan para detectar un efecto mediano (d=0.5) con una potencia adecuada?

La curva verde (d = 0.5) necesita más muestras: Con \(α = 0.05\), se alcanza \(potencia ≈ 0.8\) alrededor de \(n ≈ 60–70\). Esto refleja que los efectos medianos requieren muestras más grandes para ser detectados con confianza.

Para un efecto grande, ¿qué sucede al aumentar el tamaño de muestra más allá de 300 observaciones? ¿Es eficiente?

Cuando el efecto es grande (\(d = 0.8\)), la potencia ya está prácticamente en 1 con \(n > 100\).

Más allá de 300 observaciones, la ganancia en potencia es mínima (ya está en el máximo).

Por tanto, no es eficiente seguir aumentando el tamaño muestral, porque el beneficio en potencia es insignificante frente al costo de recolectar más datos.

Explica cómo influye el tamaño del efecto sobre la potencia estadística.

Efectos grandes (d = 0.8): alcanzan alta potencia con pocas observaciones. Efectos medianos (d = 0.5): requieren muestras moderadas. Efectos pequeños (d = 0.2): necesitan muestras muy grandes para lograr potencia adecuada.

En resumen: a mayor tamaño del efecto, más fácil es detectarlo y menos datos se necesitan.

¿Cómo afecta el tamaño muestral a la potencia estadística?

A medida que n aumenta, la potencia también aumenta porque disminuye la variabilidad de la estimación.

Sin embargo, la relación no es lineal: al inicio el aumento es rápido, pero luego se estabiliza.

¿En qué punto aumentar el tamaño muestral deja de proporcionar beneficios significativos en la potencia?

Una vez que la curva se acerca a la potencia máxima (≈ 0.95–1), incrementar \(n\) ya no aporta beneficios significativos.

• En la figura, esto ocurre aproximadamente en:

• \(d = 0.8\): después de \(n ≈ 100\).

• \(d = 0.5\): después de \(n ≈ 150–200\).

• \(d = 0.2\): incluso con \(n = 300\) la potencia apenas llega a \(0.6–0.7\),mostrando que para efectos pequeños es difícil alcanzar potencia adecuada.