1 Problema 1: Estimación de la probabilidad y la media

Una empresa de servicio técnico recibe, en promedio, 5 solicitudes de reparación por hora. Suponiendo que el número de solicitudes sigue una distribución de Poisson, realiza las siguientes actividades:

1.1 a. Calculo de probabilidad teorica

Calcula la probabilidad de que en una hora lleguen exactamente 3 solicitudes usando la fórmula de la distribución de Poisson. Expresa el resultado como P(X=3).

## [1] "P(X=3) 0.140373895814281"

1.2 b. Simulacion con una muestra

Genera una muestra aleatoria de tamaño n = 1000 con rpoins(n, lamda= 5).

##    [1]  4  5  6  5  3  6  8  4  3  2  5 10  4  3  4 11  3  4  6  8  8  6  4  8
##   [25]  6  4  6  4  4  4  4  4  3  2  5  4 11  6  1  3  5  5  5  5  5  6  8  5
##   [49]  4  6  7  9 10  7  7  6  4  5  8  5  3  0  8  2  6 12  5  4  8  5  5  7
##   [73]  4  2  5  9  4  5  2  5  4  2  6  2  2  4  7  4  7  8  6  5  5  5 10  6
##   [97]  6  8  5  6  2  5  9  1  2  7  2  5  6  3  5  8  5  2  4  3  6  8  2  4
##  [121]  6  5  6  8  7 10  3  5  4  4  3  5  1  4  3  2  4  5  7  3  7  3  6 11
##  [145]  4  1  1  2  5  3 10  6  4  3  6  8  8  7  5  4  0  6  6  5  5  4  2  4
##  [169]  5  1 10  6  4  4  7  4  3  6  8  2 11  3  1  7  4  3  5  7  2  5  4  7
##  [193]  4  8  8  4  9  7  3  6  5  5  4  6  7  7  2 10  1  6  4  6  7  4  3  2
##  [217]  3  4  6  3  5  7  5  5  3  8  4  5  6  3  8  2  7  6  5  4  7  4  5  3
##  [241]  2  6  1  1  4  6  5  3  5  8  7  5  5  3  7  6  4  7 11  4  5  9  6  4
##  [265]  4  5  6  3  7  5  4  2  6  5  5  7  5  5  3  4  5  4  3  4  3  9  3  1
##  [289]  5  7  2  4  5  4  7  3  3  5  3  3  4  3  6  6  5  5  5  3  3  7  3  3
##  [313]  5  1 10  5  7  1  4  6  9  6  6  8  6  7  5  1  7  8  1  5  7  4  3  5
##  [337]  6  9  6  4  4  4  3  8  5  5  4  6  0  2  4  9  5  2  7  5  3  5  2  6
##  [361]  5  2  9  7  8  6  3 10  5  5  7  3  5  4  7  1  9 11  2  4  5  3  9  4
##  [385]  7  7  6  9  4  4  3  6  5  4  2  8  3  5  8  5  6  9  7  4 12  8  5  9
##  [409]  9  4  8  5  3  4  5  3  4  4  4  6  5  1  7  9  6  7  6  7  8  5  5  3
##  [433]  8  7  8  5  0  5  3  7  6  5  2  6  5  8  5  5  3  4  2  4  5  2  4  5
##  [457]  6  5  3  7  4  9  3  7  4  7  3  5  2  9  6  1  4  5  3  3  3  8  6  2
##  [481]  2  6  7  7  7  8  6  3  5  1  6  7  9  5  6  3  7  5  4  6  5  4  5 10
##  [505]  4  5  4  4  3  3  6  3  7  4  5  4  3  2  5  4  6  4  2  5  5  9  2  8
##  [529]  5  8  5  3  6  9  5  5  6  9  2  7  6  3  8  6  4  1  6  5  5  1  4  2
##  [553]  6  7  3  4  4  3  4  8  3  4  8  3  6  6  6  3  6  4  3  3  7  1  6  3
##  [577]  6  4  6  0  4  4  5  5  8  3  1  6  7  7  4  3  5  1  4  5  3  6  1  6
##  [601]  6  5  9  2  5  3  7  2  4  5  6 10  1  3  1  3  4  6  4  5  4  4  5  1
##  [625]  6  9  5  8  4  9  8  4  5  7  2  4  3  4  5  9  5  2  6  5  7  7  2  7
##  [649]  5  5  2  4  4  5  3  5  2  3  7  5  3  7  2  4  4  5  3  5  4  5  5  3
##  [673]  9  7  4  8  7  5  5  5  3  3  4  4  5  6  7  3  6  2  6  6  6  7  8  8
##  [697]  2  1  5  6  5  4  2  1  4  8  3  4  4  5  6  5  4  5  8  5  4  6  2  7
##  [721]  5  7  1  4  7  5  5  4 12  5  5  3  4  4  2  4  4  5  5  5  9  1  4  5
##  [745]  5  5  2  9  7  5  3  8  5  3  6  6  4  2  7  5  3  7  1  5  6  4  3  7
##  [769]  8  6  4  8  8  6  2  5  3  3  5  4  6  8  3  6  5  4  6  6  8  2  7  4
##  [793]  8  2  9 10  3  2  6  4  2  6  7  4  3  9  6  9  4  5 10  8  7  4  4  3
##  [817]  4  2  4  5  3  9  3  3  6  5  5  5  5  4  3  4  6  8  3  5  4  4  5  5
##  [841]  6  2  5  5  4  5  6  5  7  6  3  5  5  4  1  5  1  2  4  2  4  4  4 10
##  [865]  4  7  4  5  5  5  8  3  7  6  2  6  5  9  6  7  3  3  6  1  3  4  4  8
##  [889]  9  4  4  8  1  4  5  8  8  2  4  5  4  4  6  4  4  7  4  2  2  5  5  1
##  [913]  6  7  2  8  0 10  4  4  7  6  6  3  6  5  2  3  6  5  8  5  4 14  6  2
##  [937]  3  5  4  9  4  7  5  4  2  5  3  7  4  6  5  1  3  4  4  8  4  4  8  2
##  [961]  8  4  5  4  4  7  5  6  4  4  7  7  2  6  6  5  4  7  4  6  9  5  6  4
##  [985]  3  8  6  4  4  2  9  4  4  6  5  8  7  4  3  3
## [1] 0.1403739

De acuerdo con la ley de los grandes números, al trabajar con una muestra de 1000 observaciones, la frecuencia relativa tiende a aproximarse a la probabilidad teórica. Por ello, la diferencia observada entre ambas es mínima, lo que evidencia que los resultados obtenidos representan de manera adecuada el fenómeno analizado. En consecuencia, puede afirmarse que el comportamiento empírico de la muestra es consistente con el comportamiento teórico esperado.

1.3 c. Analisis de la variabilidad entre muestras

Se generaron 100 muestras aleatorias de tamaño 𝑛= 1000 Para cada muestra se calculó la frecuencia relativa de la variable en el valor 𝑋= 3 Posteriormente, se construyó un gráfico de dispersión en el que: El eje X representa la indexación de cada muestra (del 1 al 100). El eje Y muestra las frecuencias relativas 𝑓𝑛(𝑋=3) Además, se trazó una línea horizontal correspondiente al valor teórico de 𝑃(𝑋=3) , con el fin de analizar la tendencia.

Al mirar detalladamente el gráfico de dispersión, 1 se evidencia que la mayoría de las frecuencias relativas fluctúan alrededor del valor teórico de 𝑃(𝑋= 3) Estas variaciones se deben al carácter aleatorio del muestreo, pero en conjunto muestran que las frecuencias tienden a estabilizarse cerca del valor esperado. En conclusión, el comportamiento del gráfico confirma que, aunque existen fluctuaciones propias de la aleatoriedad, las frecuencias relativas convergen hacia el valor teórico, lo cual refleja la consistencia del modelo probabilístico.

Figura de las frecuencias relativas

Figure 1: Figura de las frecuencias relativas

1.4 d. Impacto del tamaño muestral

Generar muestras aleatorias con tamaños 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 y 1,000. Agregar valores si se considera que mejora el analisis. Se calcula frecuencia relativa de X=3 para cada tamaño y se construye un gráfico de dispersión con:

Eje X: Indexación (1 al 20) por cada tamaño muestral.

Eje Y: Frecuencias relativas fn(X=3)

Se dibuja la línea en P(X=3)

El grafico se observa en 2

Figura impacto del tamaño muestral

Figure 2: Figura impacto del tamaño muestral

1.5 e. Convergencia de la media muestral

Se generan 100 muestras de tamaño 1000. Se calcula el promedio muestral de solicitudes de caga muestra (1 a 100). Se construye un grafico de dispersion por cada muestra. Eje X : Indexación por cada muestra (1 a 100). Eje Y : Promedios muestrales. Se realiza la linea horizontal en la media teorica (lamda)

Figura convergencia de la media muestral

Figure 3: Figura convergencia de la media muestral

Para el grafico 3 lo que se puede observar es que si bien hay medias muy variables la mayoria tiene a agruparce cerca de la media teorica Lamda, lo que nos confirma la ley de los grande numeros, ya que al aumentar las muestras la media muestral tiende a converger a la media tehorica lambda.

1.6 e. Impacto del tamaño muestral

Se genera muestras aleatorias con tamaños: 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 y 1,000 y 2000 para añadir mas informacion con respecto a comprobar la ley de los grandes numeros. Se calcula el promedio muestral para cada muestra. Se construye un grafico de dispersion por cada muestra. Eje X : Indexación por cada muestra (1 a 2000). Eje Y : Promedios muestrales. Se realiza la linea horizontal en la media teorica (lamda)

Figura Impacto del tamaño muestral en la media

Figure 4: Figura Impacto del tamaño muestral en la media

Como se observar en el grafico 4 a medida que la muestra aumenta en su tamaño, los promedios muestrales tienden a aproximarse cada vez más a la media teórica lamda \(𝜆= 5\), esto se confirma aun mas al añadir la muestra de tamaño 2000, donde se aprecia que su figura de circulo esta mas proxima a la media teorica que el tamaño 1000. confirmando la ley de los numeros grandes.

\(λ=5\) Además de la variabilidad entre las medias muestrales disminuye progresivamente, lo que indica una mayor estabilidad en las estimaciones cuando se trabaja con muestras más grandes.

Este comportamiento se evidencia con mayor claridad al considerar la muestra de tamaño 2000, cuyo promedio se encuentra más cercano a la media teórica que el correspondiente a tamaños muestrales menores, como 1000. En consecuencia, el gráfico confirma empíricamente la ley de los grandes números, según la cual, al incrementarse el tamaño muestral, la media muestral converge hacia el valor esperado de la población.