#Studi Kasus 1: Pengaruh Ukuran Sampel terhadap Selang Kepercayaan #Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua survei.
# Survei 1
n1 <- 30
mean1 <- 5
sd1 <- 2
alpha <- 0.05
t_value1 <- qt(1 - alpha/2, df = n1-1)
error_margin1 <- t_value1 * sd1 / sqrt(n1)
interval1 <- c(mean1 - error_margin1, mean1 + error_margin1)
interval1## [1] 4.253188 5.746812# Survei 2
n2 <- 100
mean2 <- 5
sd2 <- 2
t_value2 <- qt(1 - alpha/2, df = n2-1)
error_margin2 <- t_value2 * sd2 / sqrt(n2)
interval2 <- c(mean2 - error_margin2, mean2 + error_margin2)
interval2## [1] 4.603157 5.396843#Survei 1 memiliki interval kepercayaan (4.253, 5.747) menit. #Survei 2 memiliki interval kepercayaan (4.603, 5.397) menit. #Ukuran sampel yang lebih besar (100 vs 30) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih sempit, menunjukkan estimasi yang lebih presisi.
#Studi Kasus 2: Pengaruh Variabilitas Data terhadap Selang Kepercayaan #Hitung interval kepercayaan 95% untuk kedua kelas.
# Kelas A
nA <- 40
meanA <- 75
sdA <- 10
alpha <- 0.05
t_valueA <- qt(1 - alpha/2, df = nA-1)
error_marginA <- t_valueA * sdA / sqrt(nA)
intervalA <- c(meanA - error_marginA, meanA + error_marginA)
intervalA## [1] 71.80184 78.19816# Kelas B
nB <- 40
meanB <- 75
sdB <- 20
t_valueB <- qt(1 - alpha/2, df = nB-1)
error_marginB <- t_valueB * sdB / sqrt(nB)
intervalB <- c(meanB - error_marginB, meanB + error_marginB)
intervalB## [1] 68.60369 81.39631#Kelas A memiliki interval kepercayaan (71.802, 78.198). #Kelas B memiliki interval kepercayaan (68.604, 81.396). #Variabilitas data yang lebih tinggi (standar deviasi 20 vs 10) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan estimasi yang kurang presisi.
#Studi Kasus 3: Pengaruh Tingkat Kepercayaan terhadap Selang Kepercayaan
# Tingkat Kepercayaan 90%
alpha90 <- 0.10
t_value90 <- qt(1 - alpha90/2, df = 49)
error_margin90 <- t_value90 * 15 / sqrt(50)
interval90 <- c(100 - error_margin90, 100 + error_margin90)
interval90## [1] 96.4435 103.5565# Tingkat Kepercayaan 99%
alpha99 <- 0.01
t_value99 <- qt(1 - alpha99/2, df = 49)
error_margin99 <- t_value99 * 15 / sqrt(50)
interval99 <- c(100 - error_margin99, 100 + error_margin99)
interval99## [1] 94.31496 105.68504#Interval kepercayaan 90% adalah (96.443, 103.556). #Interval kepercayaan 99% adalah (94.315, 105.685). #Tingkat kepercayaan yang lebih tinggi (99% vs 90%) menghasilkan selang kepercayaan yang lebih lebar, menunjukkan rentang yang lebih luas untuk mencakup parameter populasi dengan keyakinan yang lebih tinggi.
#Studi Kasus 4: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Diketahui) #Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa
mean_tinggi <- 170 # dalam cm
sd_tinggi <- 5 # dalam cm (diketahui)
n <- 36
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai z untuk tingkat kepercayaan 95%
z_value <- qnorm(1 - alpha/2)
# Menghitung margin of error
error_margin <- z_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval## [1] 168.3667 171.6333#Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa teknik adalah (168.37 cm, 171.63 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa teknik di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi diketahui, estimasi ini lebih presisi.
#Studi Kasus 5: Estimasi Rata-Rata Tinggi Badan Mahasiswa (Standar Deviasi Tidak Diketahui)
#Hitung interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa
tinggi_badan <- c(165, 168, 170, 172, 169, 167, 171, 166, 173, 174, 170, 168, 169, 167, 172, 171, 170, 169, 168, 173, 172, 170, 169, 167, 171)mean_tinggi <- mean(tinggi_badan)
sd_tinggi <- sd(tinggi_badan)
n <- length(tinggi_badan)
alpha <- 0.05
# Menghitung nilai t untuk tingkat kepercayaan 95% dan df = n-1
t_value <- qt(1 - alpha/2, df = n-1)
# Menghitung margin of error
error_margin <- t_value * sd_tinggi / sqrt(n)
# Menghitung interval kepercayaan
interval <- c(mean_tinggi - error_margin, mean_tinggi + error_margin)
interval## [1] 168.6802 170.5998#Interval kepercayaan 95% untuk rata-rata tinggi badan mahasiswa seni adalah (168.68 cm, 170.60 cm). Artinya, kita dapat yakin 95% bahwa rata-rata tinggi badan seluruh mahasiswa seni di universitas tersebut berada dalam rentang ini. Karena standar deviasi populasi tidak diketahui, kita menggunakan distribusi t, yang menghasilkan interval yang sedikit lebih lebar dibandingkan jika standar deviasi populasi diketahui.
#Kesimpulan #Estimasi dalam dan selang kepercayaan adalah konsep penting dalam statistika yang memungkinkan kita untuk membuat inferensi tentang parameter populasi berdasarkan data sampel. Dengan memahami dan menghitung selang kepercayaan, kita dapat membuat estimasi yang lebih akurat dan dapat diandalkan untuk pengambilan keputusan.