STUDI KASUS : PENGARUH TINGKAT KEHADIRAN DAN IQ TERHADAP NILAI UAS

Manual

Pendekatan manual pada regresi linear berganda menggunakan representasi matriks memungkinkan kita untuk menghitung koefisien regresi \(\hat{\beta}\) secara langsung. model regresi secara matriks ditulis sebagai berikut.

\[ Y = X \beta + \varepsilon \]

Keterangan: - \(Y\) : Vektor kolom berisi nilai variabel dependen (ukuran \(n \times 1\)) - \(X\) : Matriks variabel independen, dengan kolom pertama diisi angka 1 untuk konstanta intercept (ukuran \(n \times k\)) - \(\beta\) : Vektor kolom koefisien regresi yang akan diestimasi (ukuran \(k \times 1\)) - \(\varepsilon\) : Vektor galat/residual (ukuran \(n \times 1\))

Untuk memperoleh estimasi \(\hat{\beta}\) yang meminimalkan jumlah kuadrat residual, digunakan metode Ordinary Least Squares (OLS):

\[ \hat{\beta} = (X'X)^{-1} X'Y \]

Keterangan: - \(X'\) : Transpose dari matriks \(X\) - \((X'X)^{-1}\) : Invers dari hasil perkalian \(X'\) dengan \(X\) - \(X'Y\) : Hasil perkalian \(X'\) dengan vektor \(Y\)

Berikut Penyelesaiannya.

Kehadiran <- c(60, 70, 75, 80, 80, 90, 95, 95, 100, 100)   # X1
IQ <- c(110, 120, 115, 130, 110, 120, 120, 125, 110, 120)  # X2
UAS <- c(65, 70, 75, 75, 80, 80, 85, 95, 90, 98) #Y

# Matriks X (dengan intercept)
X <- cbind(1, Kehadiran, IQ)
X

##         Kehadiran  IQ
##  [1,] 1        60 110
##  [2,] 1        70 120
##  [3,] 1        75 115
##  [4,] 1        80 130
##  [5,] 1        80 110
##  [6,] 1        90 120
##  [7,] 1        95 120
##  [8,] 1        95 125
##  [9,] 1       100 110
## [10,] 1       100 120

# Matriks Y
Y <- matrix(UAS, ncol = 1)
Y

##       [,1]
##  [1,]   65
##  [2,]   70
##  [3,]   75
##  [4,]   75
##  [5,]   80
##  [6,]   80
##  [7,]   85
##  [8,]   95
##  [9,]   90
## [10,]   98

# Transpose X
Xt <- t(X)
Xt

##           [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
##              1    1    1    1    1    1    1    1    1     1
## Kehadiran   60   70   75   80   80   90   95   95  100   100
## IQ         110  120  115  130  110  120  120  125  110   120

# Hitung (X'Y)
XtY <- Xt %*% Y
XtY

##            [,1]
##             813
## Kehadiran 69925
## IQ        96060

# Hitung (X'X)
XtX <- Xt %*% X
XtX

##                Kehadiran     IQ
##             10       845   1180
## Kehadiran  845     73075  99900
## IQ        1180     99900 139650

# Invers (X'X)
XtX_inv <- solve(XtX)
XtX_inv

##                           Kehadiran            IQ
##           34.62208967 -0.0188185492 -0.2790840870
## Kehadiran -0.01881855  0.0006311333 -0.0002924764
## IQ        -0.27908409 -0.0002924764  0.0025745622

# Beta duga
beta_hat <- XtX_inv %*% XtY
rownames(beta_hat) <- c("Intercept (b0)", "Kehadiran (b1)", "IQ (b2)")
colnames(beta_hat) <- "Estimasi Manual"

beta_hat

##                Estimasi Manual
## Intercept (b0)      23.0544545
## Kehadiran (b1)       0.7372330
## IQ (b2)             -0.0343275

Berdasarkan hasil perhitungan manual menunjukkan bahwa koefisien regresi yang diperoleh adalah: intercept \(\hat{\beta}_0\) = 23,0544, koefisien untuk variabel \(X1(\hat{\beta_1})\) sebesar 0,7372, dan koefisien untuk variabel\(X2(\hat{\beta_2})\) sebesar -0,0343. Dengan demikian, persamaan regresi linier berganda yang terbentuk dapat ditulis sebagai: \[ \hat{Y} = 23.0544 + 0.7372 X_1 - 0.0343 X_2 \]

Penggunaan lm() sangat praktis karena selain menghitung koefisien regresi, fungsi ini juga menyediakan informasi tambahan seperti nilai residual, R-squared, uji t parsial, dan uji F simultan. Dengan lm(), analisis regresi menjadi lebih cepat dan akurat dibanding perhitungan manual, terutama saat jumlah variabel independen dan data yang digunakan cukup besar.

Sebagai contoh, sintaks untuk memodelkan pengaruh tingkat kehadiran (X1) dan IQ (X2) terhadap nilai UAS (Y) adalah:

#Membuat Model
model <- lm(UAS ~ Kehadiran + IQ, data = data)

#Menampilkan Model
print(summary(model))

## 
## Call:
## lm(formula = UAS ~ Kehadiran + IQ, data = data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.2861 -2.8939  0.0296  1.6791  6.1993 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 23.05445   25.57161   0.902 0.397247    
## Kehadiran    0.73723    0.10918   6.752 0.000264 ***
## IQ          -0.03433    0.22051  -0.156 0.880686    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.346 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8719, Adjusted R-squared:  0.8353 
## F-statistic: 23.82 on 2 and 7 DF,  p-value: 0.0007523

Dari hasil model tersebut menunjukkan bahwa koefisien regresi yang diperoleh adalah: intercept \(\hat{\beta}_0\) = 23,0544, koefisien untuk variabel \(X1(\hat{\beta_1})\) sebesar 0,7372, dan koefisien untuk variabel\(X2(\hat{\beta_2})\) sebesar -0,0343. Dengan demikian, persamaan regresi linier berganda yang terbentuk dapat ditulis sebagai berikut. \[ \hat{Y} = 23.0544 + 0.7372 X_1 - 0.0343 X_2 \] Dari kedua cara perhitungan tersebut, diperoleh nilai koefisien regresi yang identik, Nilai \(\hat{\beta_1}\) sebesar 0,7372 menunjukkan bahwa setiap kenaikan 1% pada tingkat kehadiran (X1) akan meningkatkan nilai UAS sebesar 0,737 pon, dengan asumsi IQ (x2) tetap konstan. Hal ini menegaskan bahwa tingkat kehadiran memiliki pengaruh positif yang signifikan terhadap prestasi akademik siswa.

Sementara itu, nilai \(\hat{\beta_2}\) sebesar -0,0343 menunjukkan bahwa setiap 1 poin IQ (X2) justru menurunkan nilai UAS sebesar 0,034 poin jika tingkat kehadiran tetap. Pengaruh ini sangat kecil dan secara statistik tidak signifikan, sehingga dapat diimpulkan bahwa IQ tidak berperan dominan dalam model ini pada sampel yang dianlasis.

intercept \(\hat{\beta}_0\) = 23,0544 merupakan nilai perkiraan UAS ketika kedua variabel bebas sama dengan nol. Meskipun tidak realistis secara praktis, nilai ini penting sebagai titik awal persamaan regresi

Normalitas Residual

Uji normalitas residual bertujuan untuk mengetahui apakah nilai residual dari model regresi berdistribusi normal. Model regresi yang baik adalah model yang memiliki residual berdistribusi normal. Pada penelitian ini, uji normalitas dilakukan menggunakan uji Shapiro-Wilk.

Kriteria pengambilan keputusan:

• Jika p-value > 0,05 → residual berdistribusi normal

• Jika p-value ≤ 0,05 → residual tidak berdistribusi normal

shapiro.test(residuals(model))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(model)
## W = 0.95125, p-value = 0.6833

Berdasarkan hasil uji Shapiro-Wilk diperoleh nilai p-value sebesar 0,6833. Karena nilai p-value > 0,05, maka dapat disimpulkan bahwa residual berdistribusi normal. Dengan demikian, asumsi normalitas pada model regresi telah terpenuhi.

Multikolinearitas

Uji multikolinearitas bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat hubungan yang kuat antar variabel independen dalam model regresi. Model yang baik seharusnya tidak memiliki multikolinearitas. Pengujian dilakukan dengan melihat nilai Variance Inflation Factor (VIF).

Kriteria pengambilan keputusan:

• Jika VIF < 10 → tidak terjadi multikolinearitas

• Jika VIF ≥ 10 → terjadi multikolinearitas

vif(model)

## Kehadiran        IQ 
##  1.055571  1.055571

Hasil perhitungan Variance Inflation Factor (VIF) menunjukkan bahwa nilai VIF untuk variabel kehadiran dan IQ masing-masing sebesar 1,055571. Karena seluruh nilai VIF < 10, maka dapat disimpulkan bahwa tidak terjadi multikolinearitas antar variabel independen. Artinya, variabel kehadiran dan IQ tidak memiliki hubungan yang kuat satu sama lain dalam model.

Heteroskedastisitas

Uji heteroskedastisitas bertujuan untuk mengetahui apakah varians residual bersifat konstan atau tidak. Model regresi yang baik adalah yang memiliki varians residual konstan (homoskedastisitas). Uji yang digunakan adalah uji Breusch-Pagan.

Kriteria pengambilan keputusan:

• Jika p-value > 0,05 → tidak terjadi heteroskedastisitas

• Jika p-value ≤ 0,05 → terjadi heteroskedastisitas

bptest(model)

## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  model
## BP = 5.905, df = 2, p-value = 0.05221

Berdasarkan hasil uji Breusch-Pagan diperoleh nilai p-value sebesar 0,05221. Karena nilai p-value > 0,05, maka dapat disimpulkan bahwa tidak terjadi heteroskedastisitas. Dengan demikian, varians residual bersifat konstan (homoskedastisitas) dan asumsi ini terpenuhi.

Autokorelasi

Uji autokorelasi bertujuan untuk mengetahui apakah terdapat korelasi antara residual pada satu pengamatan dengan pengamatan lainnya. Model regresi yang baik seharusnya tidak mengandung autokorelasi. Pengujian dilakukan menggunakan uji Durbin-Watson.

Kriteria pengambilan keputusan:

• Jika p-value > 0,05 → tidak terjadi autokorelasi

• Jika p-value ≤ 0,05 → terjadi autokorelasi

dwtest(model)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 2.594, p-value = 0.8013
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Hasil uji Durbin-Watson menunjukkan nilai p-value sebesar 0,8013. Karena p-value > 0,05, maka dapat disimpulkan bahwa tidak terdapat autokorelasi pada residual. Hal ini menunjukkan bahwa tidak ada korelasi antar residual pada model regresi.