Regresi linier berganda merupakan metode analisis yang digunakan untuk menggambarkan hubungan antara satu variabel terikat (\(Y\)) dengan dua atau lebih variabel bebas (\(X\)). Model ini bertujuan untuk melihat bagaimana perubahan pada variabel independen dapat memengaruhi variabel dependen.

Secara umum, bentuk matematis dari model regresi linier berganda dapat dinyatakan sebagai berikut:

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k + \varepsilon \]

dengan keterangan:

- \(Y\) : variabel dependen
- \(X_k\) : variabel independen ke-\(k\)
- \(\beta_0\) : konstanta
- \(\beta_k\) : koefisien regresi
- \(\varepsilon\) : komponen error atau residual

Selain itu, dalam praktik analisis, model regresi digunakan untuk memperoleh nilai taksiran dari variabel dependen berdasarkan nilai variabel independen yang diketahui. Bentuk persamaan estimasinya adalah:

\[ \hat{Y} = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_1 + \hat{\beta}_2 X_2 + \cdots + \hat{\beta}_k X_k \]

dengan keterangan:

- \(\hat{Y}\) : nilai prediksi dari variabel dependen
- \(\hat{\beta}_k\) : koefisien regresi hasil estimasi

Dalam penelitian ini, penentuan model dilakukan dengan dua pendekatan, yaitu perhitungan manual menggunakan metode matriks dan analisis menggunakan fungsi lm() pada perangkat lunak R.

Uji F digunakan untuk mengetahui apakah variabel independen, yaitu tingkat kehadiran (\(X_1\)) dan IQ (\(X_2\)), secara bersama-sama berpengaruh terhadap variabel dependen yaitu nilai UAS (\(Y\)).

Hipotesis yang digunakan dalam uji F adalah:

- \(H_0\): \(\beta_1 = \beta_2 = 0\) (tidak terdapat pengaruh secara simultan)
- \(H_1\): minimal salah satu \(\beta \neq 0\) (terdapat pengaruh secara simultan)

Pengujian dilakukan menggunakan output dari model regresi sebagai berikut:

summary(model)

## 
## Call:
## lm(formula = UAS ~ kehadiran + IQ)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.2861 -2.8939  0.0296  1.6791  6.1993 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 23.05445   25.57161   0.902 0.397247    
## kehadiran    0.73723    0.10918   6.752 0.000264 ***
## IQ          -0.03433    0.22051  -0.156 0.880686    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.346 on 7 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8719, Adjusted R-squared:  0.8353 
## F-statistic: 23.82 on 2 and 7 DF,  p-value: 0.0007523

keputusan diambil dengan membandingkan nilai p-value dengan tingkat signifikansi sebesar 0.05. Apabila nilai p-value lebih kecil dari 0.05, maka hipotesis nol (\(H_0\)) ditolak dan dapat disimpulkan bahwa variabel tingkat kehadiran dan IQ secara bersama-sama berpengaruh signifikan terhadap nilai UAS. Sebaliknya, jika nilai p-value lebih besar dari 0.05, maka hipotesis nol tidak dapat ditolak, yang berarti kedua variabel tersebut tidak berpengaruh secara simultan terhadap nilai UAS.

Nilai p-value yang diperoleh sebesar 0.0007523 lebih kecil dari tingkat signifikansi 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa hipotesis nol (\(H_0\)) ditolak. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa variabel tingkat kehadiran dan IQ secara bersama-sama memiliki pengaruh yang signifikan terhadap nilai UAS.

Nilai F-statistic sebesar 23.82 juga menunjukkan bahwa model regresi yang dibentuk memiliki kemampuan yang cukup baik dalam menjelaskan hubungan antara variabel independen dan variabel dependen. Hal ini berarti kombinasi antara tingkat kehadiran dan IQ mampu menjelaskan variasi nilai UAS secara signifikan.

Berdasarkan uji F, dapat disimpulkan bahwa model regresi linier berganda yang digunakan layak dan signifikan. Variabel tingkat kehadiran dan IQ secara simultan berpengaruh terhadap nilai UAS, sehingga model dapat digunakan untuk analisis lebih lanjut.

Uji t digunakan untuk mengetahui pengaruh masing-masing variabel independen secara individu terhadap variabel dependen.

Hipotesis yang digunakan adalah:

- \(H_0\): \(\beta_k = 0\) (variabel independen tidak berpengaruh terhadap nilai UAS)
- \(H_1\): \(\beta_k \neq 0\) (variabel independen berpengaruh terhadap nilai UAS)

Pengujian dilakukan berdasarkan nilai p-value dari masing-masing variabel pada output regresi.

summary(model)$coefficients

##               Estimate Std. Error    t value     Pr(>|t|)
## (Intercept) 23.0544545 25.5716101  0.9015644 0.3972467061
## kehadiran    0.7372330  0.1091797  6.7524718 0.0002644133
## IQ          -0.0343275  0.2205125 -0.1556715 0.8806860631

Berdasarkan hasil output regresi, variabel tingkat kehadiran memiliki nilai p-value sebesar 0.000264, yang lebih kecil dari tingkat signifikansi 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa hipotesis nol (\(H_0\)) ditolak, sehingga dapat disimpulkan bahwa tingkat kehadiran berpengaruh signifikan terhadap nilai UAS. Selain itu, nilai koefisien yang positif menunjukkan bahwa peningkatan kehadiran akan meningkatkan nilai UAS.

Sementara itu, variabel IQ memiliki nilai p-value sebesar 0.880686, yang lebih besar dari 0.05. Hal ini menunjukkan bahwa hipotesis nol (\(H_0\)) tidak dapat ditolak, sehingga dapat disimpulkan bahwa IQ tidak berpengaruh signifikan terhadap nilai UAS dalam model ini.

Jadi berdasarkan uji t, dapat disimpulkan bahwa secara parsial hanya variabel tingkat kehadiran yang berpengaruh signifikan terhadap nilai UAS. Sedangkan variabel IQ tidak memiliki pengaruh yang signifikan dalam menjelaskan variasi nilai UAS.

Secara matematis, koefisien determinasi (\(R^2\)) dapat dirumuskan sebagai berikut:

\[ R^2 = \frac{SSR}{SST} \]

atau dapat juga dituliskan sebagai:

\[ R^2 = 1 - \frac{SSE}{SST} \]

dengan keterangan:

- \(SSR\) (Sum of Squares Regression) = jumlah kuadrat regresi
- \(SSE\) (Sum of Squares Error) = jumlah kuadrat error (residual)
- \(SST\) (Total Sum of Squares) = jumlah kuadrat total

Hubungan antar komponen tersebut adalah:

\[ SST = SSR + SSE \]

Koefisien determinasi (\(R^2\)) menunjukkan proporsi variasi total pada variabel dependen yang dapat dijelaskan oleh model regresi. Nilai \(R^2\) berada pada rentang 0 hingga 1. Semakin mendekati 1, maka semakin besar kemampuan model dalam menjelaskan variasi data.

summary(model)$r.squared

## [1] 0.8719029

summary(model)$adj.r.squared

## [1] 0.8353038

Nilai \(R^2\) sebesar 0.8719 menunjukkan bahwa sebesar 87.19% variasi nilai UAS dapat dijelaskan oleh variabel tingkat kehadiran dan IQ dalam model regresi yang digunakan. Sementara itu, sisanya sebesar 12.81% dijelaskan oleh faktor lain di luar model.

Nilai Adjusted \(R^2\) sebesar 0.8353 menunjukkan bahwa setelah mempertimbangkan jumlah variabel dalam model, sekitar 83.53% variasi nilai UAS masih dapat dijelaskan oleh variabel independen. Nilai ini memberikan gambaran yang lebih akurat karena telah disesuaikan dengan jumlah variabel yang digunakan dalam model.

Berdasarkan nilai koefisien determinasi, dapat disimpulkan bahwa model regresi yang digunakan memiliki kemampuan yang cukup kuat dalam menjelaskan variasi nilai UAS. Variabel tingkat kehadiran dan IQ secara bersama-sama mampu menjelaskan sebagian besar perubahan pada nilai UAS.

Uji asumsi klasik dilakukan untuk memastikan bahwa model regresi yang digunakan telah memenuhi syarat-syarat dalam analisis regresi linier, sehingga hasil yang diperoleh dapat dipercaya dan tidak bias.

shapiro.test(residuals(model))

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuals(model)
## W = 0.95125, p-value = 0.6833

vif(model)

## kehadiran        IQ 
##  1.055571  1.055571

plot(model)

dwtest(model)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  model
## DW = 2.594, p-value = 0.8013
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0