Máster en Dirección y Planificación Financiera UEMC
CORRECCIÓN OFICIAL (Actividad 2 - Selección y evaluación de carteras de inversión)
- Economista | Graduado en Administración y Dirección de Empresas
- Experto en asesoramiento financiero | EFPA (EFA-LCCI)
Email: abernat@uemc.es
LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/albertobernat/
Introducción
Este documento recoge una propuesta de corrección ideal de la Actividad 2 de la asignatura Asesoramiento financiero 1: crédito y productos financieros. Su finalidad es doble:
- servir como modelo técnico de resolución;
- ofrecer una guía de interpretación financiera rigurosa;
- facilitar posteriormente la corrección homogénea de los trabajos del alumnado.
La actividad exige calcular e interpretar métricas de rentabilidad y riesgo, comparar resultados con referencias de mercado y formular conclusiones en términos de creación o destrucción de valor.
Criterio general de corrección
No basta con llegar al número correcto. En una solución excelente deben aparecer siempre estos tres niveles:
- Planteamiento correcto de la fórmula.
- Sustitución ordenada de los datos.
- Interpretación financiera del resultado.
Enunciado de la actividad
A continuación se recogen los tres casos prácticos que integran la Actividad 2 de la asignatura Asesoramiento financiero 1: crédito y productos financieros.
Caso práctico 1. Evaluación de un fondo de renta variable asiática
Imaginemos que el Fondo Beta de Renta Variable Asiática ha obtenido una rentabilidad anual del 28,60 % en los últimos 5 años, con una volatilidad del 24,90 %. La rentabilidad anual libre de riesgo en este período ha sido del 4,10 %.
Datos del fondo
- Rentabilidad anual del fondo: 28,60 %
- Volatilidad del fondo: 24,90 %
- Rentabilidad libre de riesgo: 4,10 %
- Beta del fondo: 1,08
Datos del índice de referencia
- Rentabilidad del índice: 22,40 %
- Volatilidad del índice: 17,20 %
Preguntas
- Calcular el ratio de Sharpe del fondo.
¿Habrá batido al mercado el fondo si, en el mismo periodo, el índice de referencia ha tenido una rentabilidad del 21,00 % con una volatilidad del 18,30 %?
- Calcular el ratio de Treynor del fondo.
¿Habrá batido al mercado en este caso?
- Calcular el alfa de Jensen del fondo.
¿Habrá batido al mercado en este caso?
Caso práctico 2. Inversión en dos fondos de renta variable y renta fija
Un cliente te ha confiado la cantidad de 75.000 euros para que la inviertas en dos fondos de inversión: uno de renta variable y otro de renta fija. En el mercado, las expectativas para el próximo año son las siguientes:
| Fondo | Rentabilidad (%) | Volatilidad (%) |
|---|---|---|
| Renta variable | 18 | 28 |
| Renta fija | 4 | 5 |
Se pide
Calcular la rentabilidad esperada de la cartera formada por un 35 % de renta variable y un 65 % de renta fija.
Calcular la volatilidad de la cartera del apartado anterior, suponiendo un coeficiente de correlación entre la rentabilidad de ambos fondos de 0,25.
Si la rentabilidad de la cartera anterior sigue una distribución normal, informa a tu cliente, con un 68 % de probabilidad, en qué intervalo de rentabilidad se puede mover la cartera el próximo año.
Suponiendo que la correlación entre la rentabilidad de ambos fondos fuera perfecta e inversa (ρ = -1), ¿qué cartera construirías para tu cliente si el objetivo fuese obtener la máxima rentabilidad esperada?
Suponiendo que la correlación entre la rentabilidad de ambos fondos fuera perfecta e inversa (ρ = -1), ¿qué cartera construirías para tu cliente si el objetivo fuese obtener el mínimo riesgo?
En este caso, ¿cuál sería la rentabilidad esperada y la volatilidad de dicha cartera?
Caso práctico 3. Rentabilidad esperada y desviación estándar de una cartera
Una gestora tiene una cartera compuesta por los siguientes activos:
- Renta fija: 45 %
- Renta variable: 45 %
- Liquidez: 10 %
Los rendimientos esperados y las desviaciones estándar de cada activo son los siguientes:
| Activo | Peso (%) | Rentabilidad esperada (%) | Desviación estándar (%) |
|---|---|---|---|
| Renta fija | 45 | 3,5 | 4,5 |
| Renta variable | 45 | 10,0 | 14,0 |
| Liquidez | 10 | 2,0 | 0,7 |
Preguntas
Calcula la rentabilidad esperada de la cartera considerando las ponderaciones de los activos.
Si el coeficiente de correlación entre renta fija y renta variable es 0,20, calcula la desviación estándar de la cartera (considera la liquidez como activo de riesgo despreciable frente a los otros dos, o justifica el supuesto que utilices).
Supongamos que la correlación entre renta fija y renta variable aumenta a 0,55.
¿Cómo afectaría esto a la desviación estándar de la cartera? Razona la respuesta.
Solución caso práctico 1. Evaluación de un fondo de renta variable asiática
Datos del caso
- Rentabilidad anual del fondo: 28,60 %
- Volatilidad del fondo: 24,90 %
- Rentabilidad libre de riesgo: 4,10 %
- Beta del fondo: 1,08
- Rentabilidad del índice de referencia: 22,40 %
- Volatilidad del índice de referencia: 17,20 %
Aclaración previa
En el apartado a) el propio enunciado pide comparar el fondo con un mercado que, en ese mismo periodo, presenta una rentabilidad del 21,00 % y una volatilidad del 18,30 %.
Por tanto:
- para el ratio de Sharpe del apartado a), la comparación debe hacerse con 21,00 % y 18,30 %;
- para Treynor y alfa de Jensen, se toma como referencia el índice del enunciado, cuya rentabilidad es 22,40 %.
a) Ratio de Sharpe del fondo
El ratio de Sharpe mide la rentabilidad excedente obtenida por cada unidad de riesgo total asumido.
\[ Sharpe = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} \]
Sustituyendo:
\[ Sharpe_{fondo} = \frac{28,60 - 4,10}{24,90} = \frac{24,50}{24,90} = 0,9839 \]
Por tanto, el ratio de Sharpe del fondo es 0,98.
Comparación con el mercado en este apartado
Según el propio enunciado, para esta comparación se utiliza una rentabilidad de mercado del 21,00 % y una volatilidad del 18,30 %.
\[ Sharpe_{mercado} = \frac{21,00 - 4,10}{18,30} = \frac{16,90}{18,30} = 0,9235 \]
Por tanto, el ratio de Sharpe del mercado es 0,92.
Interpretación
Como \(0,98 > 0,92\), el fondo sí bate al mercado en términos de ratio de Sharpe. Esto significa que, por cada unidad de riesgo total asumido, el fondo ha generado una rentabilidad ajustada al riesgo superior a la del mercado de comparación utilizado en este apartado.
b) Ratio de Treynor del fondo
El ratio de Treynor mide la rentabilidad excedente obtenida por cada unidad de riesgo sistemático, aproximado por la beta.
\[ Treynor = \frac{R_p - R_f}{\beta_p} \]
Sustituyendo:
\[ Treynor_{fondo} = \frac{28,60 - 4,10}{1,08} = \frac{24,50}{1,08} = 22,6852\% \]
Por tanto, el ratio de Treynor del fondo es 22,69 %.
Comparación con el mercado
Para el mercado, al tratarse de la cartera de referencia, se toma convencionalmente \(\beta_m = 1\):
\[ Treynor_{mercado} = \frac{22,40 - 4,10}{1} = 18,30\% \]
Interpretación
Como \(22,69\% > 18,30\%\), el fondo sí bate al mercado también en términos de Treynor. Esto implica que la gestora ha generado más rentabilidad excedente que el índice por cada unidad de riesgo sistemático soportado.
c) Alfa de Jensen del fondo
El alfa de Jensen permite comprobar si la rentabilidad obtenida por el fondo supera la que debería exigirse según el modelo CAPM.
\[ \alpha_p = R_p - \left[R_f + \beta_p (R_m - R_f)\right] \]
Sustituyendo:
\[ \alpha_p = 28,60 - \left[4,10 + 1,08(22,40 - 4,10)\right] \]
\[ \alpha_p = 28,60 - \left[4,10 + 1,08 \cdot 18,30\right] \]
\[ \alpha_p = 28,60 - \left[4,10 + 19,764\right] = 28,60 - 23,864 = 4,736 \]
Por tanto, el alfa de Jensen del fondo es 4,74 puntos porcentuales.
Interpretación
El alfa es positivo, por lo que el fondo sí bate al mercado en términos de Jensen. En otras palabras, la cartera ha generado una rentabilidad superior a la que sería razonable exigirle dado su nivel de beta. Desde la perspectiva de la gestión activa, esto apunta a creación de valor.
Conclusión del caso 1
Los tres indicadores apuntan en la misma dirección:
- el fondo presenta una mejor rentabilidad ajustada al riesgo total que el mercado en el apartado de Sharpe;
- también supera al índice en rentabilidad ajustada al riesgo sistemático según Treynor;
- además, genera un alfa de Jensen positivo y elevado.
La conclusión global es que la gestión del fondo ha sido superior a la referencia de mercado, tanto en términos absolutos como en términos ajustados al riesgo.
Solución caso práctico 2. Inversión en dos fondos de renta variable y renta fija
Datos del caso
- Capital invertido: 75.000 euros
- Peso en renta variable: 35 %
- Peso en renta fija: 65 %
- Rentabilidad esperada renta variable: 18 %
- Volatilidad renta variable: 28 %
- Rentabilidad esperada renta fija: 4 %
- Volatilidad renta fija: 5 %
- Correlación inicial: 0,25
a) Rentabilidad esperada de la cartera
La rentabilidad esperada de una cartera es la media ponderada de las rentabilidades esperadas de sus activos.
\[ E(R_p) = w_{RV}E(R_{RV}) + w_{RF}E(R_{RF}) \]
Sustituyendo:
\[ E(R_p) = 0,35 \cdot 18 + 0,65 \cdot 4 \]
\[ E(R_p) = 6,30 + 2,60 = 8,90\% \]
Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera es 8,90 %.
Interpretación
Se trata de una cartera de perfil relativamente conservador o moderado, ya que el peso principal recae sobre la renta fija. Aun así, la presencia de un 35 % en renta variable eleva la expectativa de rentabilidad por encima de la de una cartera puramente defensiva.
b) Volatilidad de la cartera con correlación 0,25
La desviación típica de una cartera de dos activos viene dada por:
\[ \sigma_p = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}} \]
Sustituyendo:
\[ \sigma_p = \sqrt{(0,35)^2(28)^2 + (0,65)^2(5)^2 + 2(0,35)(0,65)(28)(5)(0,25)} \]
Operando en tantos por uno:
\[ \sigma_p = \sqrt{(0,35)^2(0,28)^2 + (0,65)^2(0,05)^2 + 2(0,35)(0,65)(0,28)(0,05)(0,25)} \]
\[ \sigma_p = 0,1107 \]
Por tanto, la volatilidad de la cartera es 11,07 %.
Interpretación
La volatilidad de la cartera es muy inferior a la de la renta variable aislada. Esto refleja el efecto diversificación derivado de combinar activos con diferente perfil de riesgo y con una correlación inferior a 1.
c) Intervalo de rentabilidad con un 68 % de probabilidad
Si asumimos normalidad, aproximadamente un 68 % de las observaciones se sitúa en el intervalo:
\[ E(R_p) \pm \sigma_p \]
Sustituyendo:
\[ 8,90\% \pm 11,07\% \]
Por tanto, el intervalo es:
\[ [-2,17\%,\ 19,97\%] \]
Interpretación para el cliente
La cartera presenta una rentabilidad esperada del 8,90 % y una desviación típica del 11,07 %. Bajo el supuesto de normalidad, aproximadamente el 68 % de los resultados posibles se situarían dentro del intervalo formado por una desviación típica por debajo y por encima de la media. En este caso, ello implica que la rentabilidad de la cartera se movería, con una probabilidad aproximada del 68 %, entre el -2,17 % y el 19,97 %.
Versión más conversacional para presentación oral
“En términos sencillos, lo que estamos estimando es cuál podría ser el comportamiento más habitual de esta cartera. Nuestra previsión central es que pueda ofrecer una rentabilidad media cercana al 8,90 % anual, pero eso no significa que todos los años vaya a obtener exactamente ese resultado.
Como toda inversión con riesgo, esa rentabilidad puede variar hacia arriba o hacia abajo. Si tomamos como referencia un escenario estadísticamente habitual, podríamos decir que existe una probabilidad aproximada del 68 % de que el resultado se sitúe dentro de un rango que iría desde una pérdida del 2,17 % hasta una ganancia del 19,97 %.
¿Qué significa esto en la práctica? Que lo más probable es que la cartera se mueva dentro de esos márgenes, aunque en algunos periodos concretos podría comportarse mejor o peor. Por tanto, más que quedarnos solo con la rentabilidad esperada, es importante entender que esta inversión puede tener oscilaciones y que ese rango nos ayuda a visualizar de una forma más realista el nivel de riesgo que estamos asumiendo.”
d) Cartera con máxima rentabilidad esperada si la correlación fuese -1
Si el objetivo fuese maximizar la rentabilidad esperada, la correlación no altera la fórmula de la rentabilidad esperada; solo afecta al riesgo.
Por ello, si no se permite vender en corto, la cartera de mayor rentabilidad esperada es:
- 100 % renta variable
- 0 % renta fija
Resultado
\[ E(R_p) = 18\% \]
Y su volatilidad sería la propia de la renta variable:
\[ \sigma_p = 28\% \]
Interpretación
La correlación perfectamente inversa permite reducir mucho el riesgo si se combinan adecuadamente los activos, pero no cambia el hecho de que el activo con mayor rentabilidad esperada sigue siendo la renta variable. Por eso, si el único criterio es la máxima rentabilidad esperada, toda la inversión debe dirigirse al fondo de renta variable.
e) Cartera con mínimo riesgo si la correlación fuese -1
Con correlación perfectamente inversa, la cartera de mínimo riesgo se obtiene cuando:
\[ w_{RV}\sigma_{RV} = w_{RF}\sigma_{RF} \]
Y como los pesos suman 1:
\[ w_{RV} + w_{RF} = 1 \]
La solución para la cartera de varianza mínima con dos activos es:
\[ w_{RV} = \frac{\sigma_{RF}}{\sigma_{RV} + \sigma_{RF}} \]
\[ w_{RF} = \frac{\sigma_{RV}}{\sigma_{RV} + \sigma_{RF}} \]
Sustituyendo:
\[ w_{RV} = \frac{5}{28 + 5} = \frac{5}{33} = 0,1515 \]
\[ w_{RF} = \frac{28}{33} = 0,8485 \]
Por tanto, la cartera de mínimo riesgo sería:
- 15,15 % en renta variable
- 84,85 % en renta fija
Importe invertido en cada fondo
- Renta variable: \(75.000 \cdot 0,1515 = 11.363,64\) euros
- Renta fija: \(75.000 \cdot 0,8485 = 63.636,36\) euros
Rentabilidad esperada de esta cartera
\[ E(R_p) = 0,1515 \cdot 18 + 0,8485 \cdot 4 \]
\[ E(R_p) = 2,7273 + 3,3939 = 6,1212\% \]
Por tanto, la rentabilidad esperada es 6,12 %.
Volatilidad de esta cartera
Al ser la correlación igual a -1 y estar ponderada exactamente en proporción compensadora de riesgos, la volatilidad puede anularse:
\[ \sigma_p = 0\% \]
Interpretación
Este resultado ilustra un caso teórico extremo de diversificación perfecta. La cartera consigue una rentabilidad positiva esperada del 6,12 % con riesgo nulo, algo posible únicamente bajo el supuesto muy restrictivo de correlación perfectamente inversa.
Conclusión del caso 2
La resolución del caso muestra tres ideas importantes:
- la rentabilidad esperada de la cartera es siempre una media ponderada;
- la correlación influye decisivamente en el riesgo, no en la rentabilidad esperada;
- cuanto más negativa es la correlación, mayor es el potencial de diversificación.
Solución caso práctico 3. Rentabilidad esperada y desviación estándar de una cartera
Datos del caso
- Renta fija: 45 %; rentabilidad esperada 3,5 %; desviación estándar 4,5 %
- Renta variable: 45 %; rentabilidad esperada 10,0 %; desviación estándar 14,0 %
- Liquidez: 10 %; rentabilidad esperada 2,0 %; desviación estándar 0,7 %
- Correlación entre renta fija y renta variable: 0,20
a) Rentabilidad esperada de la cartera
La rentabilidad esperada se calcula como suma ponderada de los rendimientos esperados de cada activo:
\[ E(R_p) = \sum w_i E(R_i) \]
Sustituyendo:
\[ E(R_p) = 0,45 \cdot 3,5 + 0,45 \cdot 10,0 + 0,10 \cdot 2,0 \]
\[ E(R_p) = 1,575 + 4,50 + 0,20 = 6,275\% \]
Por tanto, la rentabilidad esperada de la cartera es 6,28 %.
b) Desviación estándar de la cartera con correlación 0,20
El enunciado permite considerar la liquidez como activo de riesgo despreciable frente a los otros dos. Adoptamos ese supuesto para simplificar el cálculo, lo cual es razonable dado su reducido peso y su muy baja volatilidad.
Así, aproximamos el riesgo de la cartera con la expresión de dos activos riesgosos:
\[ \sigma_p = \sqrt{w_{RF}^2\sigma_{RF}^2 + w_{RV}^2\sigma_{RV}^2 + 2w_{RF}w_{RV}\sigma_{RF}\sigma_{RV}\rho} \]
Sustituyendo en tantos por uno:
\[ \sigma_p = \sqrt{(0,45)^2(0,045)^2 + (0,45)^2(0,14)^2 + 2(0,45)(0,45)(0,045)(0,14)(0,20)} \]
\[ \sigma_p = 0,0699 \]
Por tanto, la desviación estándar aproximada de la cartera es 6,99 %.
Interpretación
La cartera ofrece una rentabilidad esperada moderada, con un riesgo contenido gracias a la combinación de renta fija, renta variable y un pequeño porcentaje en liquidez. La correlación de 0,20 permite que todavía exista una diversificación apreciable entre los dos bloques principales.
c) Efecto de aumentar la correlación a 0,55
Si la correlación entre renta fija y renta variable aumenta, la capacidad diversificadora disminuye. Recalculamos:
\[ \sigma_p = \sqrt{(0,45)^2(0,045)^2 + (0,45)^2(0,14)^2 + 2(0,45)(0,45)(0,045)(0,14)(0,55)} \]
\[ \sigma_p = 0,0760 \]
Por tanto, la desviación estándar pasa aproximadamente de 6,99 % a 7,60 %.
Interpretación
El riesgo aumenta porque una correlación más elevada implica que la renta fija y la renta variable tienden a moverse de forma más parecida. Cuando los activos se parecen más entre sí en su comportamiento, la diversificación pierde eficacia. En este caso, el incremento es de aproximadamente 0,61 puntos porcentuales.
Conclusión del caso 3
Este caso pone de relieve que el riesgo de una cartera no depende solo del peso y la volatilidad individual de cada activo, sino también del grado de correlación entre ellos. La enseñanza financiera esencial es que la diversificación funciona mejor cuando las correlaciones son bajas o negativas.
Cuadro resumen final
| Caso | Magnitud | Resultado |
|---|---|---|
| Caso 1 | Ratio de Sharpe del fondo | 0,98 |
| Caso 1 | Ratio de Sharpe del mercado (apartado a) | 0,92 |
| Caso 1 | Ratio de Treynor del fondo | 22,69 % |
| Caso 1 | Ratio de Treynor del mercado | 18,30 % |
| Caso 1 | Alfa de Jensen | 4,74 p.p. |
| Caso 2 | Rentabilidad esperada de la cartera 35/65 | 8,90 % |
| Caso 2 | Volatilidad de la cartera con \(\rho = 0,25\) | 11,07 % |
| Caso 2 | Intervalo probable al 68 % | -2,17 % a 19,97 % |
| Caso 2 | Cartera de máxima rentabilidad con \(\rho = -1\) | 100 % renta variable |
| Caso 2 | Cartera de mínimo riesgo con \(\rho = -1\) | 15,15 % RV / 84,85 % RF |
| Caso 2 | Rentabilidad de la cartera de mínimo riesgo | 6,12 % |
| Caso 2 | Volatilidad de la cartera de mínimo riesgo | 0,00 % |
| Caso 3 | Rentabilidad esperada de la cartera | 6,28 % |
| Caso 3 | Desviación estándar con \(\rho = 0,20\) | 6,99 % |
| Caso 3 | Desviación estándar con \(\rho = 0,55\) | 7,60 % |
Valoración final
Una entrega excelente del alumnado debería:
- presentar correctamente todas las fórmulas;
- justificar con claridad el uso de cada ratio;
- distinguir entre riesgo total y riesgo sistemático;
- explicar el papel de la correlación en la diversificación;
- interpretar cada resultado desde el punto de vista del cliente o del asesor financiero;
- cerrar cada caso con una conclusión razonada.
Observación para la corrección docente
En esta actividad conviene valorar de manera especialmente positiva a quienes no se limitan a calcular, sino que explican qué significa financieramente cada resultado y conectan la respuesta con la lógica del asesoramiento.