Teoría de Decisiones

Guía Completa: Criterios, Valor Esperado, VEIP, Bayes y Árboles

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1 Fundamentos

1.1 ¿Qué es la Teoría de Decisiones?

Definición formal: La Teoría de Decisiones es una rama de la matemática aplicada y la economía que estudia cómo un agente racional debe elegir entre alternativas cuando los resultados dependen de factores inciertos (estados de la naturaleza).

Existen tres grandes contextos de decisión:

Contexto	Descripción	Métodos
Incertidumbre	No conocemos las probabilidades de los estados	Maximax, Maximin, Hurwicz, Laplace, Minimax Regret
Riesgo	Conocemos (o estimamos) las probabilidades	VME, VEIP, VEII, Árboles de Decisión
Certeza	Sabemos exactamente qué estado ocurrirá	Optimización directa
Multicriterio	Múltiples objetivos en conflicto	AHP, TOPSIS, MCDM

1.2 Componentes de un Problema de Decisión

Todo problema de decisión se compone de cuatro elementos fundamentales:

• Alternativas (Aᵢ): Las posibles acciones disponibles para el decisor. Ej: construir planta grande, mediana, pequeña o no construir.
• Estados de Naturaleza (Sⱼ): Eventos fuera del control del decisor que afectan el resultado. Ej: demanda alta, media o baja.
• Resultados / Pagos (Vᵢⱼ): La consecuencia de elegir la alternativa i cuando ocurre el estado j. Se organizan en la Tabla de Pagos.
• Probabilidades (pⱼ): Cuando son conocidas, permiten calcular el valor esperado. Pueden ser objetivas o subjetivas (bayesianas).

1.3 Caso de Estudio Base — Empresa TechParts S.A.

Una empresa debe decidir cuánta capacidad de producción instalar ante una demanda de mercado incierta. Usaremos este ejemplo a lo largo de toda la guía.

# Tabla de pagos base (valores en dólares)
pagos <- matrix(c(
  -200000, 100000, 500000,  # A1: Planta Grande
   -50000, 200000, 300000,  # A2: Planta Mediana
   100000, 150000, 180000,  # A3: Planta Pequeña
    50000,  50000,  50000   # A4: No construir
), nrow = 4, byrow = TRUE)

rownames(pagos) <- c("A1: Planta Grande", "A2: Planta Mediana",
                     "A3: Planta Pequeña", "A4: No Construir")
colnames(pagos) <- c("S1: Demanda Baja", "S2: Demanda Media", "S3: Demanda Alta")

pagos_df <- as.data.frame(pagos)

pagos_df %>%
  mutate(across(everything(), ~ dollar(.x, prefix = "$", big.mark = ","))) %>%
  kbl(caption = "Tabla de Pagos — TechParts S.A. (ganancias/pérdidas anuales)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE, color = "#2c3e50") %>%
  add_header_above(c(" " = 1, "Estados de Naturaleza" = 3))

Tabla de Pagos — TechParts S.A. (ganancias/pérdidas anuales)

	Estados de Naturaleza
	S1: Demanda Baja	S2: Demanda Media	S3: Demanda Alta
A1: Planta Grande	-$200,000	$100,000	$500,000
A2: Planta Mediana	-$50,000	$200,000	$300,000
A3: Planta Pequeña	$100,000	$150,000	$180,000
A4: No Construir	$50,000	$50,000	$50,000

💡 Los valores representan ganancias/pérdidas netas anuales en dólares.

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2 Criterios de Decisión bajo Incertidumbre

Contexto: Cuando no conocemos las probabilidades de los estados de naturaleza.

2.1 Criterio MAXIMAX (Optimista)

Filosofía: “El optimista puro.” Para cada alternativa toma el mejor resultado posible, luego elige la alternativa con el máximo de esos máximos.

Maximax = max_i { max_j (Vᵢⱼ) }

# Cálculo del criterio Maximax
max_fila <- apply(pagos, 1, max)
idx_maximax <- which.max(max_fila)
decision_maximax <- rownames(pagos)[idx_maximax]

# Tabla de resultados
resultado_df <- as.data.frame(pagos)
resultado_df$`MAX FILA` <- max_fila
resultado_df$`MAX FILA` <- ifelse(
  seq_len(nrow(resultado_df)) == idx_maximax,
  paste0(dollar(max_fila, prefix="$", big.mark=","), " ★"),
  dollar(max_fila, prefix="$", big.mark=",")
)

resultado_df %>%
  mutate(across(1:3, ~ dollar(.x, prefix="$", big.mark=","))) %>%
  kbl(caption = "Criterio MAXIMAX — Máximo de los máximos") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = "#27ae60") %>%
  row_spec(idx_maximax, background = "#eafaf1")

Criterio MAXIMAX — Máximo de los máximos

	S1: Demanda Baja	S2: Demanda Media	S3: Demanda Alta	MAX FILA
A1: Planta Grande	-$200,000	$100,000	$500,000	$500,000 ★
A2: Planta Mediana	-$50,000	$200,000	$300,000	$300,000
A3: Planta Pequeña	$100,000	$150,000	$180,000	$180,000
A4: No Construir	$50,000	$50,000	$50,000	$50,000

cat("✅ Decisión MAXIMAX:", decision_maximax, "→ $", dollar(max(max_fila)))

## ✅ Decisión MAXIMAX: A1: Planta Grande → $ $500,000

✅ Decisión Maximax: A1 (Planta Grande) con $500,000. El optimista apuesta por el mejor escenario posible.
⚠️ Ignora completamente los resultados negativos: ¡podría perder $200,000!

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2.2 Criterio MAXIMIN — Wald (Pesimista)

Filosofía: “El pesimista conservador.” Para cada alternativa toma el peor resultado, luego elige la alternativa con el mejor de esos peores resultados.

Maximin = max_i { min_j (Vᵢⱼ) }

# Cálculo del criterio Maximin
min_fila <- apply(pagos, 1, min)
idx_maximin <- which.max(min_fila)
decision_maximin <- rownames(pagos)[idx_maximin]

resultado_df2 <- as.data.frame(pagos)
resultado_df2$`MIN FILA` <- ifelse(
  seq_len(nrow(resultado_df2)) == idx_maximin,
  paste0(dollar(min_fila, prefix="$", big.mark=","), " ★"),
  dollar(min_fila, prefix="$", big.mark=",")
)

resultado_df2 %>%
  mutate(across(1:3, ~ dollar(.x, prefix="$", big.mark=","))) %>%
  kbl(caption = "Criterio MAXIMIN — Máximo de los mínimos (Wald)") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = "#e74c3c") %>%
  row_spec(idx_maximin, background = "#fdf2f2")

Criterio MAXIMIN — Máximo de los mínimos (Wald)

	S1: Demanda Baja	S2: Demanda Media	S3: Demanda Alta	MIN FILA
A1: Planta Grande	-$200,000	$100,000	$500,000	-$200,000
A2: Planta Mediana	-$50,000	$200,000	$300,000	-$50,000
A3: Planta Pequeña	$100,000	$150,000	$180,000	$100,000 ★
A4: No Construir	$50,000	$50,000	$50,000	$50,000

cat("✅ Decisión MAXIMIN:", decision_maximin, "→ Mínimo garantizado:", dollar(max(min_fila)))

## ✅ Decisión MAXIMIN: A3: Planta Pequeña → Mínimo garantizado: $100,000

✅ Decisión Maximin: A3 (Planta Pequeña) con $100,000 mínimo garantizado. El conservador protege lo que tiene.

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2.3 Criterio de HURWICZ (Coeficiente de Optimismo)

Filosofía: “El término medio.” Combina el optimismo (α) y el pesimismo (1−α) con un coeficiente de optimismo α ∈ [0,1].

H(Aᵢ) = α · max_j(Vᵢⱼ) + (1−α) · min_j(Vᵢⱼ) Hurwicz = max_i { H(Aᵢ) }

# Cálculo de Hurwicz para α = 0.6
alpha <- 0.6

H <- alpha * max_fila + (1 - alpha) * min_fila
idx_hurwicz <- which.max(H)
decision_hurwicz <- rownames(pagos)[idx_hurwicz]

resultado_H <- data.frame(
  Alternativa  = rownames(pagos),
  `Max Fila`   = dollar(max_fila, prefix="$", big.mark=","),
  `Min Fila`   = dollar(min_fila, prefix="$", big.mark=","),
  `H(α=0.6)`   = dollar(round(H), prefix="$", big.mark=","),
  check.names  = FALSE
)
resultado_H$`H(α=0.6)` <- ifelse(
  seq_len(nrow(resultado_H)) == idx_hurwicz,
  paste0(resultado_H$`H(α=0.6)`, " ★"),
  resultado_H$`H(α=0.6)`
)

resultado_H %>%
  kbl(caption = paste0("Criterio HURWICZ — α = ", alpha)) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(4, bold = TRUE, color = "#8e44ad") %>%
  row_spec(idx_hurwicz, background = "#f5eef8")

Criterio HURWICZ — α = 0.6

	Alternativa	Max Fila	Min Fila	H(α=0.6)
A1: Planta Grande	A1: Planta Grande	$500,000	-$200,000	$220,000 ★
A2: Planta Mediana	A2: Planta Mediana	$300,000	-$50,000	$160,000
A3: Planta Pequeña	A3: Planta Pequeña	$180,000	$100,000	$148,000
A4: No Construir	A4: No Construir	$50,000	$50,000	$50,000

cat("✅ Decisión HURWICZ (α=0.6):", decision_hurwicz, "→ H =", dollar(max(H)))

## ✅ Decisión HURWICZ (α=0.6): A1: Planta Grande → H = $220,000

# Análisis de sensibilidad de Hurwicz
alphas <- seq(0, 1, by = 0.01)

hurwicz_df <- lapply(alphas, function(a) {
  H_vals <- a * max_fila + (1 - a) * min_fila
  data.frame(
    alpha        = a,
    H            = H_vals,
    Alternativa  = rownames(pagos)
  )
}) %>% bind_rows()

ggplot(hurwicz_df, aes(x = alpha, y = H, color = Alternativa)) +
  geom_line(linewidth = 1.1) +
  geom_vline(xintercept = 0.6, linetype = "dashed", color = "gray40", linewidth = 0.8) +
  annotate("text", x = 0.62, y = min(hurwicz_df$H) + 30000,
           label = "α = 0.6", color = "gray40", size = 3.5) +
  scale_y_continuous(labels = dollar_format(prefix = "$")) +
  scale_color_brewer(palette = "Set2") +
  labs(
    title    = "Análisis de Sensibilidad — Criterio de Hurwicz",
    subtitle = "Variación de H(Aᵢ) según el coeficiente de optimismo α",
    x        = "Coeficiente de Optimismo (α)",
    y        = "Valor Hurwicz H(Aᵢ)",
    color    = "Alternativa"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  theme(legend.position = "bottom")

Sensibilidad de Hurwicz según el coeficiente α

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2.4 Criterio de LAPLACE (Razón Insuficiente)

Filosofía: “Si no sé las probabilidades, las supongo iguales.” Asigna probabilidad 1/n a cada estado y calcula el promedio de pagos.

L(Aᵢ) = (1/n) · Σⱼ Vᵢⱼ donde n = número de estados

# Cálculo de Laplace
n_estados <- ncol(pagos)
laplace_vals <- rowMeans(pagos)
idx_laplace <- which.max(laplace_vals)
decision_laplace <- rownames(pagos)[idx_laplace]

resultado_L <- as.data.frame(pagos)
resultado_L$`PROMEDIO (÷3)` <- ifelse(
  seq_len(nrow(resultado_L)) == idx_laplace,
  paste0(dollar(round(laplace_vals), prefix="$", big.mark=","), " ★"),
  dollar(round(laplace_vals), prefix="$", big.mark=",")
)

resultado_L %>%
  mutate(across(1:3, ~ dollar(.x, prefix="$", big.mark=","))) %>%
  kbl(caption = "Criterio LAPLACE — Promedio equiprobable") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = "#2980b9") %>%
  row_spec(idx_laplace, background = "#eaf4fb")

Criterio LAPLACE — Promedio equiprobable

	S1: Demanda Baja	S2: Demanda Media	S3: Demanda Alta	PROMEDIO (÷3)
A1: Planta Grande	-$200,000	$100,000	$500,000	$133,333
A2: Planta Mediana	-$50,000	$200,000	$300,000	$150,000 ★
A3: Planta Pequeña	$100,000	$150,000	$180,000	$143,333
A4: No Construir	$50,000	$50,000	$50,000	$50,000

cat("✅ Decisión LAPLACE:", decision_laplace, "→ Promedio:", dollar(round(max(laplace_vals))))

## ✅ Decisión LAPLACE: A2: Planta Mediana → Promedio: $150,000

✅ Decisión Laplace: A2 (Planta Mediana) con promedio $150,000. Equilibra riesgo y recompensa.

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2.5 Criterio MINIMAX REGRET — Savage

Filosofía: Minimizar el “arrepentimiento” máximo. El arrepentimiento (regret) es cuánto dejaste de ganar por no haber elegido la mejor alternativa dado el estado que ocurrió.

Regret(i,j) = max_i(Vᵢⱼ) − Vᵢⱼ (lo que perdiste por no elegir lo mejor) Minimax Regret = min_i { max_j Regret(i,j) }

# Paso 1: Tabla de arrepentimientos
max_col <- apply(pagos, 2, max)
regret  <- sweep(-pagos, 2, -max_col, "+")   # regret[i,j] = max_col[j] - pagos[i,j]

# Paso 2: Máximo regret por fila → elegir el mínimo
max_regret  <- apply(regret, 1, max)
idx_minimax <- which.min(max_regret)
decision_minimax <- rownames(pagos)[idx_minimax]

# Mostrar tabla de arrepentimientos
regret_df <- as.data.frame(regret)
regret_df$`MAX REGRET` <- ifelse(
  seq_len(nrow(regret_df)) == idx_minimax,
  paste0(dollar(max_regret, prefix="$", big.mark=","), " ★"),
  dollar(max_regret, prefix="$", big.mark=",")
)

regret_df %>%
  mutate(across(1:3, ~ dollar(.x, prefix="$", big.mark=","))) %>%
  kbl(caption = "Tabla de Arrepentimientos (Regret) — Criterio Minimax Regret") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = "#c0392b") %>%
  row_spec(idx_minimax, background = "#fdf2f2")

Tabla de Arrepentimientos (Regret) — Criterio Minimax Regret

	S1: Demanda Baja	S2: Demanda Media	S3: Demanda Alta	MAX REGRET
A1: Planta Grande	$100,000	-$300,000	-$1,000,000	$100,000
A2: Planta Mediana	-$50,000	-$400,000	-$800,000	-$50,000
A3: Planta Pequeña	-$200,000	-$350,000	-$680,000	-$200,000 ★
A4: No Construir	-$150,000	-$250,000	-$550,000	-$150,000

cat("✅ Decisión MINIMAX REGRET:", decision_minimax,
    "→ Regret máximo:", dollar(min(max_regret)))

## ✅ Decisión MINIMAX REGRET: A3: Planta Pequeña → Regret máximo: -$200,000

✅ Decisión Minimax Regret: A2 (Planta Mediana) con arrepentimiento máximo de $200,000. Minimiza el “dolor” de haber tomado la decisión equivocada.

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2.6 Resumen de Criterios bajo Incertidumbre

resumen <- data.frame(
  Criterio   = c("Maximax", "Maximin (Wald)", "Hurwicz (α=0.6)",
                 "Laplace", "Minimax Regret"),
  Perfil     = c("Optimista puro", "Pesimista conservador",
                 "Moderado optimista", "Neutral / sin info",
                 "Minimiza pesar"),
  Decisión   = c("A1: Planta Grande", "A3: Planta Pequeña",
                 "A1: Planta Grande", "A2: Planta Mediana",
                 "A2: Planta Mediana"),
  Valor      = c("$500,000", "$100,000 (mín garantizado)",
                 "$220,000", "$150,000",
                 "$200,000 (regret máx)")
)

resumen %>%
  kbl(caption = "Resumen de Decisiones según Criterio") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = TRUE) %>%
  column_spec(1, bold = TRUE) %>%
  column_spec(3, color = "#2980b9", bold = TRUE)

Resumen de Decisiones según Criterio

Criterio	Perfil	Decisión	Valor
Maximax	Optimista puro	A1: Planta Grande	$500,000
Maximin (Wald)	Pesimista conservador	A3: Planta Pequeña	$100,000 (mín garantizado)
Hurwicz (α=0.6)	Moderado optimista	A1: Planta Grande	$220,000
Laplace	Neutral / sin info	A2: Planta Mediana	$150,000
Minimax Regret	Minimiza pesar	A2: Planta Mediana	$200,000 (regret máx)

💡 Insight: Diferentes criterios dan diferentes decisiones. La elección del criterio depende del perfil de riesgo del decisor. No hay uno “correcto” universalmente.

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3 Valor Esperado (Decisiones bajo Riesgo)

Contexto: Cuando conocemos (o estimamos) las probabilidades de cada estado de naturaleza.

3.1 Valor Monetario Esperado (VME)

Valor Monetario Esperado (VME / EMV): La media ponderada de todos los posibles resultados de una alternativa, donde los pesos son las probabilidades de cada estado.

VME(Aᵢ) = Σⱼ pⱼ · Vᵢⱼ donde Σⱼ pⱼ = 1

# Probabilidades estimadas por el equipo de marketing
prob <- c(0.20, 0.45, 0.35)   # P(Baja), P(Media), P(Alta)
names(prob) <- colnames(pagos)

cat("Probabilidades asignadas:\n")

## Probabilidades asignadas:

print(prob)

##  S1: Demanda Baja S2: Demanda Media  S3: Demanda Alta 
##              0.20              0.45              0.35

# Cálculo del VME
vme <- pagos %*% prob
best_vme_idx <- which.max(vme)
decision_vme <- rownames(vme)[best_vme_idx]

# Tabla de cálculo detallado
vme_detalle <- as.data.frame(pagos)
vme_detalle$`p×V (Baja)`  <- pagos[, 1] * prob[1]
vme_detalle$`p×V (Media)` <- pagos[, 2] * prob[2]
vme_detalle$`p×V (Alta)`  <- pagos[, 3] * prob[3]
vme_detalle$VME <- as.vector(vme)

vme_detalle %>%
  mutate(
    across(1:3, ~ dollar(.x, prefix="$", big.mark=",")),
    across(4:6, ~ dollar(.x, prefix="$", big.mark=",")),
    VME = ifelse(
      seq_len(n()) == best_vme_idx,
      paste0(dollar(as.vector(vme), prefix="$", big.mark=","), " ★"),
      dollar(as.vector(vme), prefix="$", big.mark=",")
    )
  ) %>%
  kbl(caption = paste0("VME con p=(", paste(prob, collapse=", "), ")")) %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = TRUE) %>%
  column_spec(7, bold = TRUE, color = "#27ae60") %>%
  row_spec(best_vme_idx, background = "#eafaf1")

VME con p=(0.2, 0.45, 0.35)

	S1: Demanda Baja	S2: Demanda Media	S3: Demanda Alta	p×V (Baja)	p×V (Media)	p×V (Alta)	VME
A1: Planta Grande	-$200,000	$100,000	$500,000	-$40,000	$45,000	$175,000	$180,000
A2: Planta Mediana	-$50,000	$200,000	$300,000	-$10,000	$90,000	$105,000	$185,000 ★
A3: Planta Pequeña	$100,000	$150,000	$180,000	$20,000	$67,500	$63,000	$150,500
A4: No Construir	$50,000	$50,000	$50,000	$10,000	$22,500	$17,500	$50,000

cat("\n✅ Decisión VME:", decision_vme, "→ VME =", dollar(max(vme)))

## 
## ✅ Decisión VME: A2: Planta Mediana → VME = $185,000

vme_df <- data.frame(
  Alternativa = rownames(pagos),
  VME         = as.vector(vme)
)

ggplot(vme_df, aes(x = reorder(Alternativa, VME), y = VME,
                   fill = VME > 0)) +
  geom_col(width = 0.6, show.legend = FALSE) +
  geom_text(aes(label = dollar(VME, prefix="$", big.mark=",")),
            hjust = ifelse(vme_df$VME >= 0, -0.1, 1.1),
            size = 4, fontface = "bold") +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "gray50", linewidth = 0.8) +
  scale_fill_manual(values = c("TRUE" = "#27ae60", "FALSE" = "#e74c3c")) +
  scale_y_continuous(labels = dollar_format(prefix="$"),
                     limits = c(-100000, 250000)) +
  coord_flip() +
  labs(
    title    = "Valor Monetario Esperado (VME) por Alternativa",
    subtitle = "TechParts S.A. — p = (0.20, 0.45, 0.35)",
    x        = NULL,
    y        = "VME ($)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13)

Valor Monetario Esperado por Alternativa

✅ Decisión VME: A2 (Planta Mediana) con VME = $185,000 es la que maximiza el retorno esperado.

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3.2 Valor Esperado con Certeza Perfecta (VECP)

El VECP es lo que ganaríamos en promedio si supiéramos de antemano cuál estado va a ocurrir. Es el máximo teórico posible.

VECP = Σⱼ pⱼ · max_i(Vᵢⱼ)

# Para cada estado, la mejor alternativa posible
mejor_por_estado <- apply(pagos, 2, max)

vecp_df <- data.frame(
  Estado             = colnames(pagos),
  `Mejor Alternativa`= apply(pagos, 2, function(x) rownames(pagos)[which.max(x)]),
  `Mejor Valor`      = mejor_por_estado,
  `Probabilidad`     = prob,
  `Contribución`     = mejor_por_estado * prob,
  check.names        = FALSE
)

vecp_df %>%
  mutate(
    `Mejor Valor`  = dollar(`Mejor Valor`, prefix="$", big.mark=","),
    `Contribución` = dollar(`Contribución`, prefix="$", big.mark=",")
  ) %>%
  kbl(caption = "Cálculo del VECP") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = "#2980b9")

Cálculo del VECP

	Estado	Mejor Alternativa	Mejor Valor	Probabilidad	Contribución
S1: Demanda Baja	S1: Demanda Baja	A3: Planta Pequeña	$100,000	0.20	$20,000
S2: Demanda Media	S2: Demanda Media	A2: Planta Mediana	$200,000	0.45	$90,000
S3: Demanda Alta	S3: Demanda Alta	A1: Planta Grande	$500,000	0.35	$175,000

VECP <- sum(mejor_por_estado * prob)
cat("\nVECP =", dollar(VECP), "\n")

## 
## VECP = $285,000

cat("Cálculo: 0.20 ×", dollar(mejor_por_estado[1]),
    "+ 0.45 ×", dollar(mejor_por_estado[2]),
    "+ 0.35 ×", dollar(mejor_por_estado[3]), "=", dollar(VECP))

## Cálculo: 0.20 × $100,000 + 0.45 × $200,000 + 0.35 × $500,000 = $285,000

---

4 Valor Esperado de la Información Perfecta (VEIP)

El VEIP responde: “Si pudiera contratar a un adivino perfecto que me dijera exactamente qué estado va a ocurrir, ¿cuánto pagaría como máximo?”

VEIP = VECP − VME donde VME = max VME sin información adicional

VME_star <- max(vme)
VEIP     <- VECP - VME_star

cat("=== CÁLCULO DEL VEIP ===\n\n")

## === CÁLCULO DEL VEIP ===

cat("Paso 1 — VME* (sin información):", dollar(VME_star), "\n")

## Paso 1 — VME* (sin información): $185,000

cat("Paso 2 — VECP (con info perfecta):", dollar(VECP), "\n")

## Paso 2 — VECP (con info perfecta): $285,000

cat("Paso 3 — VEIP = VECP − VME* =",
    dollar(VECP), "−", dollar(VME_star), "=", dollar(VEIP), "\n")

## Paso 3 — VEIP = VECP − VME* = $285,000 − $185,000 = $100,000

veip_df <- data.frame(
  Concepto = c("VME* (sin información)", "VECP (info perfecta)", "VEIP (ganancia por info)"),
  Valor    = c(VME_star, VECP, VEIP),
  Tipo     = c("base", "perfecto", "ganancia")
)

ggplot(veip_df, aes(x = reorder(Concepto, Valor), y = Valor, fill = Tipo)) +
  geom_col(width = 0.55, show.legend = FALSE) +
  geom_text(aes(label = dollar(Valor, prefix="$", big.mark=",")),
            vjust = -0.5, size = 4.5, fontface = "bold") +
  scale_fill_manual(values = c("base" = "#3498db",
                               "perfecto" = "#27ae60",
                               "ganancia" = "#f39c12")) +
  scale_y_continuous(labels = dollar_format(prefix="$"),
                     limits = c(0, VECP * 1.2)) +
  labs(
    title    = "Análisis VEIP — TechParts S.A.",
    subtitle = "¿Cuánto vale pagar por información perfecta?",
    x        = NULL,
    y        = "Valor ($)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 13)

Comparación VEIP: VME*, VECP y VEIP

✅ Interpretación: TechParts S.A. debería pagar hasta $100,000 por un estudio de mercado perfecto. Si el estudio cuesta más, no vale la pena. Si cuesta menos, ¡es una buena inversión!

📌 VEII — Valor Esperado de la Información Imperfecta: En la práctica, la información nunca es perfecta. El VEII se calcula usando el Teorema de Bayes para actualizar probabilidades con la información parcial del estudio. VEII ≤ VEIP siempre.

---

5 Teorema de Bayes — Actualización de Creencias

El Teorema de Bayes nos permite actualizar probabilidades cuando recibimos nueva información. Transforma probabilidades a priori en probabilidades a posteriori.

P(Sⱼ | Indicador) = [P(Indicador | Sⱼ) · P(Sⱼ)] / P(Indicador)

P(Indicador) = Σⱼ P(Indicador | Sⱼ) · P(Sⱼ)

El flujo conceptual es:

Prior P(Sⱼ) → evidencia nueva → Posterior P(Sⱼ | E)

5.1 Caso con Bayes — TechParts S.A.

TechParts contrata una consultora que predice “Favorable” o “Desfavorable”. Las probabilidades de acierto de la consultora son:

# Probabilidades a priori
prior <- c(0.20, 0.45, 0.35)
names(prior) <- c("S1: Baja", "S2: Media", "S3: Alta")

# Verosimilitudes P(Indicador | Estado)
# Filas = indicador, columnas = estado
verosimilitud <- matrix(c(
  0.10, 0.40, 0.90,  # P(Favorable | S1, S2, S3)
  0.90, 0.60, 0.10   # P(Desfavorable | S1, S2, S3)
), nrow = 2, byrow = TRUE)
rownames(verosimilitud) <- c("Favorable", "Desfavorable")
colnames(verosimilitud) <- names(prior)

# Mostrar tabla de verosimilitudes + priors como fila adicional
veros_df <- as.data.frame(verosimilitud)

# Los priors pertenecen a los estados (columnas), se muestran como fila aparte
prior_row        <- as.data.frame(t(prior))
colnames(prior_row) <- colnames(veros_df)
rownames(prior_row) <- "Prior P(Estado)"

tabla_veros <- rbind(veros_df, prior_row)

tabla_veros %>%
  kbl(caption = "Verosimilitudes P(Indicador | Estado) y Probabilidades A Priori") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  row_spec(nrow(tabla_veros), bold = TRUE, background = "#eaf4fb", color = "#2980b9") %>%
  add_header_above(c(" " = 1, "Estado de Naturaleza" = 3))

Verosimilitudes P(Indicador | Estado) y Probabilidades A Priori

	Estado de Naturaleza
	S1: Baja	S2: Media	S3: Alta
Favorable	0.1	0.40	0.90
Desfavorable	0.9	0.60	0.10
Prior P(Estado)	0.2	0.45	0.35

5.2 Función de Actualización Bayesiana

# Función para actualizar probabilidades con Bayes
bayes_update <- function(indicador_idx, prior, verosimilitud) {
  numeradores <- verosimilitud[indicador_idx, ] * prior
  P_indicador <- sum(numeradores)
  posterior   <- numeradores / P_indicador
  list(
    posterior   = posterior,
    P_indicador = P_indicador,
    numeradores = numeradores
  )
}

# ---- Si la consultora reporta FAVORABLE ----
res_fav <- bayes_update(1, prior, verosimilitud)

cat("=== Si la consultora reporta FAVORABLE ===\n\n")

## === Si la consultora reporta FAVORABLE ===

cat("P(Indicador = Favorable) =",
    paste(round(verosimilitud[1,] * prior, 4), collapse=" + "),
    "=", round(res_fav$P_indicador, 4), "\n\n")

## P(Indicador = Favorable) = 0.02 + 0.18 + 0.315 = 0.515

# Tabla detallada
tabla_fav <- data.frame(
  Estado         = names(prior),
  `P(F|S)`       = verosimilitud[1, ],
  `P(S)`         = prior,
  `P(F|S)×P(S)`  = res_fav$numeradores,
  `P(S|Favorable)` = round(res_fav$posterior, 4),
  check.names    = FALSE
)

tabla_fav %>%
  kbl(caption = "Actualización Bayesiana — Indicador Favorable") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = "#27ae60")

Actualización Bayesiana — Indicador Favorable

	Estado	P(F|S)	P(S)	P(F|S)×P(S)	P(S|Favorable)
S1: Baja	S1: Baja	0.1	0.20	0.020	0.0388
S2: Media	S2: Media	0.4	0.45	0.180	0.3495
S3: Alta	S3: Alta	0.9	0.35	0.315	0.6117

# ---- Si la consultora reporta DESFAVORABLE ----
res_desf <- bayes_update(2, prior, verosimilitud)

tabla_desf <- data.frame(
  Estado            = names(prior),
  `P(D|S)`          = verosimilitud[2, ],
  `P(S)`            = prior,
  `P(D|S)×P(S)`     = res_desf$numeradores,
  `P(S|Desfavorable)` = round(res_desf$posterior, 4),
  check.names       = FALSE
)

tabla_desf %>%
  kbl(caption = "Actualización Bayesiana — Indicador Desfavorable") %>%
  kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hover","condensed","bordered"),
                full_width = FALSE) %>%
  column_spec(5, bold = TRUE, color = "#e74c3c")

Actualización Bayesiana — Indicador Desfavorable

	Estado	P(D|S)	P(S)	P(D|S)×P(S)	P(S|Desfavorable)
S1: Baja	S1: Baja	0.9	0.20	0.180	0.3711
S2: Media	S2: Media	0.6	0.45	0.270	0.5567
S3: Alta	S3: Alta	0.1	0.35	0.035	0.0722

✅ Resultado: Si la consultora reporta “Favorable”, la probabilidad de demanda alta sube de 35% → 61.1%. Ahora recalculamos VME con estas nuevas probabilidades para decidir mejor.

5.3 Cálculo del VEII

# VME con información favorable
vme_fav  <- max(pagos %*% res_fav$posterior)
alt_fav  <- rownames(pagos)[which.max(pagos %*% res_fav$posterior)]

# VME con información desfavorable
vme_desf <- max(pagos %*% res_desf$posterior)
alt_desf <- rownames(pagos)[which.max(pagos %*% res_desf$posterior)]

# VME esperado con información imperfecta
VME_con_info <- res_fav$P_indicador * vme_fav + res_desf$P_indicador * vme_desf
VME_sin_info <- max(pagos %*% prior)
VEII         <- VME_con_info - VME_sin_info

cat("=== ANÁLISIS DE VALOR DE INFORMACIÓN ===\n\n")

## === ANÁLISIS DE VALOR DE INFORMACIÓN ===

cat("Si FAVORABLE  → mejor alternativa:", alt_fav,
    "→ VME =", dollar(round(vme_fav)), "\n")

## Si FAVORABLE  → mejor alternativa: A1: Planta Grande → VME = $333,010

cat("Si DESFAVORABLE → mejor alternativa:", alt_desf,
    "→ VME =", dollar(round(vme_desf)), "\n\n")

## Si DESFAVORABLE → mejor alternativa: A3: Planta Pequeña → VME = $133,608

cat("P(Fav) =", round(res_fav$P_indicador, 3),
    "| P(Desf) =", round(res_desf$P_indicador, 3), "\n\n")

## P(Fav) = 0.515 | P(Desf) = 0.485

cat("VME sin información:        ", dollar(round(VME_sin_info)), "\n")

## VME sin información:         $185,000

cat("VME esperado con info:      ", dollar(round(VME_con_info)), "\n")

## VME esperado con info:       $236,300

cat("VEII (valor info imperfecta):", dollar(round(VEII)), "\n")

## VEII (valor info imperfecta): $51,300

cat("VEIP (máximo teórico):       ", dollar(round(VEIP)), "\n")

## VEIP (máximo teórico):        $100,000

cat("\nVerificación VEII ≤ VEIP:",
    round(VEII), "≤", round(VEIP), "→", VEII <= VEIP)

## 
## Verificación VEII ≤ VEIP: 51300 ≤ 1e+05 → TRUE

---

6 Árboles de Decisión

Una herramienta gráfica para modelar problemas con múltiples etapas de decisión. Los tres tipos de nodos son:

• □ Nodo de Decisión (cuadrado): Representa una elección que controla el decisor.
• ○ Nodo de Azar (círculo): Representa eventos que controla la naturaleza, con probabilidades.
• △ Nodo Terminal (hoja): El resultado final (payoff). Se evalúa de derecha a izquierda (backward induction).

6.1 Árbol de TechParts S.A.

# Construir los datos del árbol manualmente para visualizar con ggplot2
# Nodos (x, y, tipo, etiqueta)
nodos <- data.frame(
  x     = c(1, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5),
  y     = c(5, 8, 5, 2, 9.5, 8, 6.5, 6, 5, 4, 3, 2, 1),
  tipo  = c("decision", "azar", "azar", "azar",
            "terminal","terminal","terminal",
            "terminal","terminal","terminal",
            "terminal","terminal","terminal"),
  label = c("D", "A1\nGrande", "A2\nMediana", "A3\nPequeña",
            "-$200k", "$100k", "$500k",
            "-$50k",  "$200k", "$300k",
            "$100k",  "$150k", "$180k"),
  vme   = c(NA, 180000, 185000, 150500, NA,NA,NA, NA,NA,NA, NA,NA,NA)
)

# Aristas (conexiones)
aristas <- data.frame(
  x1 = c(1,1,1, 3,3,3, 3,3,3, 3,3,3),
  y1 = c(5,5,5, 8,8,8, 5,5,5, 2,2,2),
  x2 = c(3,3,3, 5,5,5, 5,5,5, 5,5,5),
  y2 = c(8,5,2, 9.5,8,6.5, 6,5,4, 3,2,1),
  prob = c(NA,NA,NA, 0.20,0.45,0.35, 0.20,0.45,0.35, 0.20,0.45,0.35)
)

# Plot
ggplot() +
  # Aristas
  geom_segment(data = aristas,
               aes(x=x1, y=y1, xend=x2, yend=y2),
               color = "gray60", linewidth = 0.8,
               arrow = arrow(length = unit(0.2,"cm"), type="open")) +
  # Probabilidades en aristas (solo las que tienen)
  geom_text(data = aristas[!is.na(aristas$prob), ],
            aes(x = (x1+x2)/2 + 0.1, y = (y1+y2)/2 + 0.25,
                label = prob),
            size = 3, color = "#e67e22") +
  # Nodo de decisión (cuadrado)
  geom_point(data = nodos[nodos$tipo=="decision", ],
             aes(x=x, y=y), shape=15, size=8, color="#2980b9") +
  # Nodos de azar (círculo)
  geom_point(data = nodos[nodos$tipo=="azar", ],
             aes(x=x, y=y), shape=21, size=8,
             fill="#f39c12", color="white", stroke=1.5) +
  # VME sobre nodos de azar
  geom_text(data = nodos[nodos$tipo=="azar", ],
            aes(x=x+0.6, y=y, label=dollar(vme, prefix="$", big.mark=",")),
            size=3.2, color="#27ae60", fontface="bold") +
  # Nodos terminales (triángulo)
  geom_point(data = nodos[nodos$tipo=="terminal", ],
             aes(x=x, y=y), shape=24, size=4,
             fill="#27ae60", color="white") +
  # Etiquetas nodos
  geom_text(data = nodos,
            aes(x=x, y=y, label=label),
            size = ifelse(nodos$tipo=="terminal", 3, 2.8),
            color = ifelse(nodos$tipo=="terminal","#2c3e50","white"),
            fontface="bold",
            nudge_x = ifelse(nodos$tipo=="terminal", 0.55, 0),
            nudge_y = ifelse(nodos$tipo=="terminal", 0, 0)) +
  # Etiquetas de alternativas
  annotate("text", x=1.95, y=7.2,   label="A1: Grande",  color="#2980b9", size=3.2, fontface="bold") +
  annotate("text", x=1.95, y=5,     label="A2: Mediana", color="#2980b9", size=3.2, fontface="bold") +
  annotate("text", x=1.95, y=3.2,   label="A3: Pequeña", color="#2980b9", size=3.2, fontface="bold") +
  # Leyenda nodos
  annotate("text", x=1.1, y=1.2, label="□ = Nodo Decisión", size=3, color="#2980b9") +
  annotate("text", x=1.1, y=0.8, label="○ = Nodo Azar",     size=3, color="#e67e22") +
  annotate("text", x=1.1, y=0.4, label="△ = Terminal",       size=3, color="#27ae60") +
  labs(
    title    = "Árbol de Decisión — TechParts S.A.",
    subtitle = "Backward induction: se evalúa de derecha a izquierda"
  ) +
  theme_void(base_size = 12) +
  theme(
    plot.title    = element_text(size=15, face="bold", color="#2c3e50"),
    plot.subtitle = element_text(size=11, color="gray40"),
    plot.margin   = margin(10, 20, 10, 10)
  )

Árbol de Decisión — TechParts S.A. (Backward Induction)

🌿 Regla de Backward Induction: Siempre se resuelve el árbol de derecha a izquierda. En nodos de azar: calculamos VME. En nodos de decisión: elegimos la alternativa con mayor VME y “podamos” las demás.

---

7 Código R Completo

7.1 Criterios de Decisión (todo en uno)

# ================================================
# TEORÍA DE DECISIONES — R Completo
# ================================================

# Tabla de pagos (filas = alternativas, columnas = estados)
pagos <- matrix(c(
  -200000, 100000, 500000,  # A1: Planta Grande
   -50000, 200000, 300000,  # A2: Planta Mediana
   100000, 150000, 180000,  # A3: Planta Pequeña
    50000,  50000,  50000   # A4: No construir
), nrow = 4, byrow = TRUE)

rownames(pagos) <- c("Grande", "Mediana", "Pequeña", "NoConstr")
colnames(pagos) <- c("Baja", "Media", "Alta")

# ---- 1. MAXIMAX ----
max_fila  <- apply(pagos, 1, max)
maximax   <- names(which.max(max_fila))
cat("MAXIMAX  →", maximax, "($", max(max_fila), ")\n")

# ---- 2. MAXIMIN ----
min_fila  <- apply(pagos, 1, min)
maximin   <- names(which.max(min_fila))
cat("MAXIMIN  →", maximin, "($", max(min_fila), ")\n")

# ---- 3. HURWICZ (α = 0.6) ----
alpha     <- 0.6
H         <- alpha * max_fila + (1 - alpha) * min_fila
hurwicz   <- names(which.max(H))
cat("HURWICZ  →", hurwicz, "($", max(H), ")\n")

# ---- 4. LAPLACE ----
laplace_vals <- rowMeans(pagos)
laplace      <- names(which.max(laplace_vals))
cat("LAPLACE  →", laplace, "($", max(laplace_vals), ")\n")

# ---- 5. MINIMAX REGRET ----
max_col    <- apply(pagos, 2, max)
regret     <- sweep(-pagos, 2, -max_col, "+")
max_regret <- apply(regret, 1, max)
minimax_r  <- names(which.min(max_regret))
cat("MINIMAX R→", minimax_r, "(regret $", min(max_regret), ")\n")

# ---- 6. VALOR ESPERADO (VME) ----
prob     <- c(0.20, 0.45, 0.35)
vme      <- pagos %*% prob
best_vme <- rownames(vme)[which.max(vme)]
cat("VME óptimo →", best_vme, "($", max(vme), ")\n")

# ---- 7. VECP y VEIP ----
vecp <- sum(apply(pagos, 2, max) * prob)
veip <- vecp - max(vme)
cat("VECP = $", vecp, "| VEIP = $", veip, "\n")

# ---- Visualización con ggplot2 ----
library(ggplot2)
library(scales)

df <- data.frame(
  Alternativa = rownames(vme),
  VME         = as.vector(vme)
)

ggplot(df, aes(x = Alternativa, y = VME, fill = VME)) +
  geom_col(show.legend = FALSE, width = 0.6) +
  scale_fill_gradient2(low = "#e74c3c", mid = "#3498db",
                       high = "#27ae60", midpoint = 0) +
  geom_hline(yintercept = 0, color = "white", linewidth = 0.5) +
  scale_y_continuous(labels = dollar_format(prefix = "$")) +
  labs(
    title    = "Valor Monetario Esperado por Alternativa",
    subtitle = "TechParts S.A. — p=(0.20, 0.45, 0.35)",
    y        = "VME ($)"
  ) +
  theme_minimal()

7.2 Teorema de Bayes y VEII

# ================================================
# TEOREMA DE BAYES — Actualización de Probabilidades
# ================================================

# Probabilidades a priori
prior <- c(0.20, 0.45, 0.35)  # P(S1), P(S2), P(S3)

# Verosimilitudes: P(Favorable | Estado)
verosimilitud <- matrix(c(
  0.10, 0.40, 0.90,  # P(Fav | S1, S2, S3)
  0.90, 0.60, 0.10   # P(Desf | S1, S2, S3)
), nrow = 2, byrow = TRUE)

rownames(verosimilitud) <- c("Favorable", "Desfavorable")
colnames(verosimilitud) <- c("Baja", "Media", "Alta")

bayes_update <- function(indicador_idx, prior, verosimilitud) {
  numeradores <- verosimilitud[indicador_idx, ] * prior
  P_indicador <- sum(numeradores)
  posterior   <- numeradores / P_indicador
  list(posterior = posterior, P_indicador = P_indicador)
}

# Actualizar dado resultado Favorable
res_fav <- bayes_update(1, prior, verosimilitud)
cat("\nSi consultora reporta FAVORABLE:\n")
cat("P(Indicador) =", res_fav$P_indicador, "\n")
print(round(res_fav$posterior, 4))

# Actualizar dado resultado Desfavorable
res_desf <- bayes_update(2, prior, verosimilitud)
cat("\nSi consultora reporta DESFAVORABLE:\n")
cat("P(Indicador) =", res_desf$P_indicador, "\n")
print(round(res_desf$posterior, 4))

# ---- VEII con árbol de decisión ----
vme_fav  <- max(pagos %*% res_fav$posterior)
vme_desf <- max(pagos %*% res_desf$posterior)

VME_con_info <- res_fav$P_indicador  * vme_fav +
                res_desf$P_indicador * vme_desf

VME_sin_info <- max(pagos %*% prior)
VEII         <- VME_con_info - VME_sin_info

cat("\n--- ANÁLISIS DE VALOR DE INFORMACIÓN ---\n")
cat("VME sin información:       $", round(VME_sin_info), "\n")
cat("VME esperado con info:     $", round(VME_con_info), "\n")
cat("VEII (valor info estudio): $", round(VEII), "\n")
cat("VEIP (máximo teórico):     $", round(vecp - VME_sin_info), "\n")

---

8 Resumen Ejecutivo

# Tabla resumen completa de todos los resultados
resumen_final <- data.frame(
  Herramienta    = c("Maximax", "Maximin (Wald)", "Hurwicz (α=0.6)",
                     "Laplace", "Minimax Regret",
                     "VME", "VECP", "VEIP", "VEII"),
  Tipo           = c(rep("Incertidumbre", 5), rep("Riesgo", 4)),
  Resultado      = c(
    paste0("A1: Planta Grande → ", dollar(max(max_fila))),
    paste0("A3: Planta Pequeña → mín garantizado ", dollar(max(min_fila))),
    paste0("A1: Planta Grande → H = ", dollar(round(max(H)))),
    paste0("A2: Planta Mediana → prom = ", dollar(round(max(laplace_vals)))),
    paste0("A2: Planta Mediana → regret máx = ", dollar(min(max_regret))),
    paste0("A2: Planta Mediana → VME = ", dollar(round(max(vme)))),
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Resumen Ejecutivo — Todos los Criterios Aplicados a TechParts S.A.

Herramienta	Tipo	Resultado
Decisiones bajo Incertidumbre
Maximax	Incertidumbre	A1: Planta Grande → $500,000
Maximin (Wald)	Incertidumbre	A3: Planta Pequeña → mín garantizado $100,000
Hurwicz (α=0.6)	Incertidumbre	A1: Planta Grande → H = $220,000
Laplace	Incertidumbre	A2: Planta Mediana → prom = $150,000
Minimax Regret	Incertidumbre	A2: Planta Mediana → regret máx = -$200,000
Decisiones bajo Riesgo
VME	Riesgo	A2: Planta Mediana → VME = $185,000
VECP	Riesgo	VECP = $285,000
VEIP	Riesgo	VEIP = $100,000
VEII	Riesgo	VEII = $51,300

🎯 Conclusión: Con probabilidades estimadas p=(0.20, 0.45, 0.35), la Planta Mediana (A2) emerge como la mejor decisión bajo múltiples criterios (VME, Laplace, Minimax Regret). El mercado justifica pagar hasta $1e+05 por un estudio de mercado perfecto, y hasta $51,300 por la información imperfecta de la consultora.

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