Desarrollo paso a paso: conversión de TAE a TIN y cálculo de la cuota

• Economista | Graduado en Administración y Dirección de Empresas
  
• Experto en asesoramiento financiero | EFPA (EFA-LCCI)

Email: abernat@uemc.es

LinkedIn: https://www.linkedin.com/in/albertobernat/

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Introducción

En este documento se revisan, de forma estrictamente matemática, dos cálculos concretos contenidos en el escenario alternativo desarrollado por la alumna en su archivo Excel.

Conviene precisar, en primer lugar, que esta revisión no cuestiona el planteamiento general de asesoramiento adoptado en el trabajo. Al contrario, se parte expresamente de la lógica construida por la alumna en su propio análisis: una inversión total necesaria de 321.475,20 euros, unos recursos propios aportados de 78.000,00 euros, una financiación hipotecaria máxima de 192.000,00 euros —equivalente al 80 % de una tasación de 240.000,00 euros— y, como consecuencia de ello, un déficit de tesorería de 51.475,20 euros.

A partir de ese esquema, la alumna plantea un escenario complementario de financiación compuesto por tres elementos:

• una hipoteca de 192.000,00 euros a 27 años al 3,10 % TIN;
• un préstamo personal adicional de 51.475,20 euros a 7 años al 9,00 % TAE;
• y el préstamo personal preexistente con una cuota de 280,00 euros mensuales.

Dentro de ese escenario, en el Excel se consignan como cuotas mensuales los importes de 913,38 euros para la hipoteca y 828,29 euros para el préstamo personal adicional. Precisamente sobre esos dos valores recae esta comprobación.

Por tanto, el objetivo de las páginas siguientes no es discutir si la alumna podía o no reconstruir técnicamente la operación a partir de una necesidad financiera distinta de la inicialmente planteada, ni valorar de nuevo su estrategia global de asesoramiento, sino algo más preciso: verificar si las cuotas de 913,38 y 828,29 euros son matemáticamente compatibles con los capitales, plazos y tipos de interés que figuran en su propio Excel.

De este modo, la revisión distingue claramente entre dos planos:

• por un lado, la coherencia metodológica del planteamiento, que aquí se da por asumida;
• y, por otro, la corrección numérica de las cuotas concretas utilizadas para sostener ese escenario alternativo.

Sobre esa base, a continuación se desarrolla paso a paso la conversión de la TAE del 9,00 % a su TIN equivalente con pagos mensuales, el cálculo correcto de la cuota del préstamo personal adicional y, seguidamente, la verificación de la cuota hipotecaria correspondiente al capital de 192.000,00 euros a 27 años al 3,10 % TIN.

1. Conversión de TAE a TIN nominal anual con pagos mensuales

Partimos de la equivalencia financiera entre la tasa efectiva anual y la tasa nominal anual convertible mensualmente.

Utilizaremos la siguiente notación:

• \(i_a\) = tasa efectiva anual, es decir, la TAE.
• \(j^{(12)}\) = tipo nominal anual convertible mensualmente, es decir, el TIN con pagos mensuales.
• \(i_m\) = tipo efectivo mensual.

En este caso:

\[ i_a = 0{,}09 \]

La relación entre estas magnitudes es:

\[ 1 + i_a = \left(1 + i_m\right)^{12} \]

y, dado que:

\[ i_m = \frac{j^{(12)}}{12} \]

podemos escribir:

\[ 1 + 0{,}09 = \left(1 + \frac{j^{(12)}}{12}\right)^{12} \]

Paso 1. Extraer la raíz duodécima

Aplicamos exponente \(\frac{1}{12}\) en ambos miembros:

\[ \left(1 + 0{,}09\right)^{\frac{1}{12}} = 1 + \frac{j^{(12)}}{12} \]

Paso 2. Despejar el tipo mensual

Restamos 1 a ambos lados:

\[ \frac{j^{(12)}}{12} = \left(1 + 0{,}09\right)^{\frac{1}{12}} - 1 \]

Como \(\frac{j^{(12)}}{12} = i_m\), obtenemos directamente el tipo efectivo mensual:

\[ i_m = \left(1 + 0{,}09\right)^{\frac{1}{12}} - 1 \]

Paso 3. Obtener el TIN nominal anual

Multiplicamos por 12:

\[ j^{(12)} = 12\left[\left(1 + 0{,}09\right)^{\frac{1}{12}} - 1\right] \]

Sustituyendo \(1 + 0{,}09 = 1{,}09\):

\[ j^{(12)} = 12\left[\left(1{,}09\right)^{\frac{1}{12}} - 1\right] \]

Paso 4. Resultado numérico

\[ j^{(12)} \approx 0{,}086488 \]

Expresado en porcentaje:

\[ j^{(12)} \approx 8{,}6488\% \]

Por tanto, el tipo periódico mensual es:

\[ i_m = \frac{j^{(12)}}{12} = \frac{0{,}086488}{12} \approx 0{,}00720733 \]

Interpretación financiera

Esto significa que una TAE del 9,00 %, cuando los pagos son mensuales, equivale a un TIN nominal anual del 8,6488 %.

Por tanto, el tipo periódico mensual correcto para calcular la cuota no es:

\[ \frac{0{,}09}{12} = 0{,}0075 \]

sino:

\[ i_m = \frac{0{,}086488}{12} \approx 0{,}00720733 \]

Este matiz es fundamental, porque si se utiliza directamente \(0{,}09/12\), se estaría tratando la TAE como si fuera un TIN, y la cuota resultante sería superior a la correcta.

2. Cálculo de la cuota mensual del préstamo personal adicional

Una vez obtenido el TIN equivalente, podemos calcular la cuota mensual del préstamo mediante la fórmula del valor actual de una renta constante pospagable.

Los datos del problema son los siguientes:

• Capital prestado: 51.475,20 euros.
• Plazo: 7 años.
• Número total de cuotas mensuales:

\[ n = 7 \cdot 12 = 84 \]

• TIN equivalente:

\[ j^{(12)} = 0{,}086488 \]

• Tipo periódico mensual:

\[ i_m = \frac{j^{(12)}}{12} = \frac{0{,}086488}{12} \]

• Cuota mensual constante: \(c\).

La ecuación financiera es:

\[ 51.475{,}20 = c \cdot \frac{1 - \left(1 + i_m\right)^{-n}}{i_m} \]

Sustituyendo \(n = 84\) e \(i_m = \frac{0{,}086488}{12}\):

\[ 51.475{,}20 = c \cdot \frac{1 - \left(1 + \frac{0{,}086488}{12}\right)^{-84}}{\frac{0{,}086488}{12}} \]

Paso 1. Despejar la cuota mensual

\[ c = \frac{51.475{,}20}{ \displaystyle \frac{1 - \left(1 + \frac{0{,}086488}{12}\right)^{-84}}{\frac{0{,}086488}{12}} } \]

Equivalentemente,

\[ c = 51.475{,}20 \cdot \frac{\frac{0{,}086488}{12}} {1 - \left(1 + \frac{0{,}086488}{12}\right)^{-84}} \]

Paso 2. Sustituir el tipo periódico mensual

Como:

\[ i_m = \frac{0{,}086488}{12} \approx 0{,}00720733 \]

tenemos:

\[ c = 51.475{,}20 \cdot \frac{0{,}00720733} {1 - \left(1 + 0{,}00720733\right)^{-84}} \]

Paso 3. Calcular el factor de actualización

\[ \left(1 + 0{,}00720733\right)^{-84} \approx 0{,}547034 \]

Paso 4. Calcular el denominador

\[ 1 - 0{,}547034 \approx 0{,}452966 \]

Paso 5. Calcular la fracción financiera

\[ \frac{0{,}00720733}{0{,}452966} \approx 0{,}0159118 \]

Paso 6. Obtener la cuota

\[ c = 51.475{,}20 \cdot 0{,}0159118 \]

\[ c \approx 819{,}04326 \]

Redondeando a céntimos:

\[ c \approx 819{,}04 \]

3. Verificación de la cuota hipotecaria de 192.000 euros a 27 años

A continuación se verifica el cálculo correcto de la cuota mensual de una hipoteca de 192.000 euros, a 27 años, con un TIN del 3,10 % y amortización mediante el sistema francés.

El objetivo de este desarrollo es comprobar que la cuota mensual correcta no es 913,38 euros, sino aproximadamente 875,51 euros.

Datos de partida

• Capital inicial: 192.000 euros.
• Tipo nominal anual convertible mensualmente:

\[ j^{(12)} = 0{,}0310 \]

• Plazo:

\[ n = 27 \cdot 12 = 324 \]

• Tipo periódico mensual:

\[ i_m = \frac{j^{(12)}}{12} = \frac{0{,}0310}{12} = 0{,}002583333\ldots \]

• Cuota mensual constante: \(c\).

Ecuación financiera

La expresión del valor actual de una renta constante pospagable es la siguiente:

\[ 192.000 = c \cdot \frac{1 - \left(1 + i_m\right)^{-n}}{i_m} \]

Sustituyendo los valores concretos:

\[ 192.000 = c \cdot \frac{1 - \left(1 + \frac{0{,}0310}{12}\right)^{-324}}{\frac{0{,}0310}{12}} \]

Paso 1. Despejar la cuota mensual

\[ c = \frac{192.000}{ \displaystyle \frac{1 - \left(1 + \frac{0{,}0310}{12}\right)^{-324}}{\frac{0{,}0310}{12}} } \]

Equivalentemente,

\[ c = 192.000 \cdot \frac{\frac{0{,}0310}{12}} {1 - \left(1 + \frac{0{,}0310}{12}\right)^{-324}} \]

Paso 2. Sustituir el tipo periódico mensual

Como:

\[ i_m = \frac{0{,}0310}{12} = 0{,}002583333\ldots \]

tenemos:

\[ c = 192.000 \cdot \frac{0{,}002583333} {1 - \left(1 + 0{,}002583333\right)^{-324}} \]

Paso 3. Calcular el factor de actualización

\[ \left(1 + 0{,}002583333\right)^{-324} \approx 0{,}433475 \]

Paso 4. Calcular el denominador

\[ 1 - 0{,}433475 \approx 0{,}566525 \]

Paso 5. Calcular la fracción financiera

\[ \frac{0{,}002583333}{0{,}566525} \approx 0{,}004559965 \]

Paso 6. Obtener la cuota

\[ c = 192.000 \cdot 0{,}004559965 \]

\[ c \approx 875{,}51327 \]

Redondeando a céntimos:

\[ c \approx 875{,}51 \]

Conclusión

El desarrollo anterior permite comprobar que, para una hipoteca de 192.000 euros a 27 años con un TIN del 3,10 %, la cuota mensual correcta es aproximadamente:

\[ c \approx 875{,}51 \]

Por tanto, una cuota de 913,38 euros no resulta compatible con esos parámetros y no puede considerarse correcta si se mantiene ese capital, ese plazo y ese tipo de interés.

4. Conclusión técnica

El desarrollo anterior permite concluir que:

• Si se parte de una TAE del 9,00 %, el TIN nominal anual equivalente con pagos mensuales es aproximadamente 8,6488 %.
• El tipo mensual correcto para calcular la cuota es, por tanto, aproximadamente 0,720733 %.
• Aplicando ese tipo al préstamo de 51.475,20 euros durante 84 meses, la cuota mensual correcta es aproximadamente 819,04 euros.
• Para una hipoteca de 192.000 euros a 27 años, con un TIN del 3,10 %, la cuota mensual correcta es aproximadamente 875,51 euros.

En consecuencia:

• una cuota de 828,29 euros no encaja con una TAE del 9,00 %, sino más bien con el supuesto alternativo de tratar ese 9,00 % como si fuera un TIN nominal anual, dividiéndolo directamente entre 12;
• y una cuota de 913,38 euros no resulta compatible con una hipoteca de 192.000 euros a 27 años al 3,10 %.

5. Observación final de matemática financiera

Desde el punto de vista técnico, el núcleo del problema no está en la fórmula de amortización francesa, que es correcta, sino en la correcta identificación de las magnitudes financieras utilizadas.

Por eso conviene distinguir siempre entre:

• \(j^{(12)}\), que representa el tipo nominal anual convertible mensualmente y permite obtener el tipo periódico.
• \(i_m\), que representa el tipo efectivo mensual utilizado en la actualización financiera.
• la TAE, que es una tasa efectiva anual orientada a reflejar el coste anual equivalente y a facilitar la comparación entre ofertas.
• \(c\), que representa la cuota constante del préstamo.

Confundir estas magnitudes puede llevar a resultados aparentemente próximos, pero técnicamente inconsistentes con los datos del préstamo.

6. Síntesis final de las inconsistencias numéricas detectadas

A la vista de los desarrollos anteriores, pueden resumirse dos observaciones técnicas relevantes.

6.1. Cuota del préstamo personal adicional

Si el préstamo personal adicional de 51.475,20 euros a 7 años se expresa con una TAE del 9,00 %, la cuota mensual correcta no es 828,29 euros, sino aproximadamente:

\[ c \approx 819{,}04 \]

La cifra de 828,29 solo resulta coherente si el 9,00 % se trata como si fuera un TIN nominal anual dividido entre 12. Por tanto, en este punto no se aprecia tanto un error en la fórmula de amortización como una confusión entre TAE y TIN.

6.2. Cuota de la hipoteca de 192.000 euros

Para una hipoteca de 192.000 euros, a 27 años, con un TIN del 3,10 %, la cuota mensual correcta es aproximadamente:

\[ c \approx 875{,}51 \]

Por tanto, una cuota de 913,38 euros no resulta compatible con esos parámetros y debe considerarse incorrecta si se mantienen el mismo capital, plazo y tipo de interés.

Conclusión conjunta

En ambos casos, la revisión matemática permite afirmar que el planteamiento financiero general puede estar bien orientado, pero que el soporte numérico presenta ajustes necesarios en dos puntos concretos:

• en el primer caso, por una incorrecta identificación del tipo de interés utilizado;
• en el segundo, por una cuota que no resulta compatible con los datos del préstamo.

Desde el punto de vista de matemática financiera, estas diferencias no son meramente formales, ya que afectan directamente a la cuota estimada y, por tanto, a la valoración de la viabilidad de la operación.