Einleitung

In dieser Aufgabe untersuchen wir die Flugbahnen beim Kugelstoßen mithilfe von quadratischen Funktionen. Wir nutzen R, um die Funktionen zu visualisieren und die Berechnungen zu stützen.

Aufgabe 1a: Analyse der ersten Flugbahn

Die Flugbahn wird beschrieben durch:
\[h(x) = -0,15x^2 + 1,1x + 1,7\]

i. Zeichnen der Flugbahn

Zuerst definieren wir die Funktion in R und plotten sie für einen realistischen Bereich (von Abstoß bis zur Landung).

# Definition der Funktion
h1 <- function(x) { -0.15*x^2 + 1.1*x + 1.7 }

# Plot erstellen
curve(h1, from = 0, to = 9, 
      main = "Flugbahn der Kugel (Aufgabe 1a)",
      xlab = "Horizontale Entfernung x (m)", 
      ylab = "Höhe h(x) (m)",
      col = "blue", lwd = 2)
abline(h = 0, lty = 2) # Bodenlinie
grid()

# Koeffizienten
a <- -0.15; b <- 1.1; c <- 1.7

# Diskriminante
D <- b^2 - 4*a*c

# Lösungen
x1 <- (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x2 <- (-b - sqrt(D)) / (2*a)

print(paste("x1 =", round(x1, 3)))
## [1] "x1 = -1.311"
print(paste("x2 =", round(x2, 3)))
## [1] "x2 = 8.644"
h2 <- function(x) { -0.25*x^2 + 1.3*x + 1.65 }
hoehe_3_5 <- h2(3.5)
print(paste("Höhe bei 3,5m:", hoehe_3_5, "m"))
## [1] "Höhe bei 3,5m: 3.1375 m"
a <- -0.25; b <- 1.3; c_new <- 1.65 - 2.75
D <- b^2 - 4*a*c_new

x_pos1 <- (-b + sqrt(D)) / (2*a)
x_pos2 <- (-b - sqrt(D)) / (2*a)

print(paste("x-Werte für 2,75m Höhe:", round(x_pos1, 2), "und", round(x_pos2, 2)))
## [1] "x-Werte für 2,75m Höhe: 1.06 und 4.14"
a <- -0.25; b <- 1.3; c <- 1.65
D <- b^2 - 4*a*c
weite <- (-b - sqrt(D)) / (2*a) # Wir nehmen nur die positive Lösung
print(paste("Die Kugel fliegt", round(weite, 2), "Meter weit."))
## [1] "Die Kugel fliegt 6.26 Meter weit."