Máster en Dirección y Planificación Financiera UEMC

Actividad 2 - Selección y evaluación de carteras de inversión

Actividad 2: asesoramiento en selección y evaluación de carteras de inversión

Este documento sirve como material de repaso para la tutoría final y como guía de práctica para la Actividad 2.

Se recomienda intentar resolver primero cada caso de forma autónoma y consultar después la solución propuesta.

En el caso práctico 2, para interpretar los apartados d) y e), se asume que no se permiten ventas en corto.

En el caso práctico 3, se asume que la liquidez tiene correlación nula con el resto de activos, aunque su varianza individual sí debe incluirse en el cálculo del riesgo total de la cartera.

En el caso práctico 4, el análisis se centra en la estimación de la beta del fondo, el alfa de Jensen, el “tracking error” según la formulación trabajada en clase y el ratio de información, con el fin de evaluar la calidad de la gestión del fondo frente a su índice de referencia.

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Casos prácticos

Caso práctico 1: evaluación de un fondo de renta variable asiática

Imaginemos que el Fondo Alfa de Renta Variable Asiática ha obtenido una rentabilidad anual del 33,40 % en los últimos 5 años, con una volatilidad del 27,80 %. La rentabilidad anual libre de riesgo en este período ha sido del 4,80 %.

Datos del fondo:

• Rentabilidad anual del fondo: 33,40 %
• Volatilidad del fondo: 27,80 %
• Rentabilidad libre de riesgo: 4,80 %
• Beta del fondo: 1,13

Datos del benchmark o índice de referencia:

• Rentabilidad del benchmark: 25,00 %
• Volatilidad del benchmark: 19,00 %
• Beta del benchmark: 1,00

Preguntas:

1. Calcular el ratio de Sharpe del fondo. ¿Habrá batido al mercado?

2. Calcular el ratio de Treynor del fondo. ¿Habrá batido al mercado en este caso?

3. Calcular el alfa de Jensen del fondo. ¿Habrá batido al mercado en este caso?

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Caso práctico 2: inversión en dos fondos de renta variable y renta fija

Un cliente te ha confiado la cantidad de 60.000 euros para que la inviertas en dos fondos de inversión: uno de renta variable y otro de renta fija.

Fondo	Rentabilidad (%)	Volatilidad (%)
Renta variable	20	30
Renta fija	5	4

Preguntas:

1. Calcular la rentabilidad esperada de la cartera formada por un 30 % de renta variable y un 70 % de renta fija.

2. Calcular la volatilidad de la cartera anterior, suponiendo una correlación de 0,35.

3. Suponiendo que la rentabilidad de la cartera sigue la ley normal, ¿en qué intervalo se movería con una probabilidad del 68 %?

4. Si la correlación entre ambos fondos fuera perfecta e inversa, ¿qué cartera construirías para maximizar la rentabilidad esperada?

5. ¿Y si el objetivo fuera obtener el mínimo riesgo? ¿Cuál sería entonces la rentabilidad esperada y la volatilidad?

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Caso práctico 3: cálculo de rentabilidad esperada y desviación estándar de una cartera de inversión

Una gestora tiene una cartera compuesta por los siguientes activos:

• Renta fija: 50 %
• Renta variable: 40 %
• Liquidez: 10 %

Rendimientos esperados y desviaciones estándar de cada activo:

• Renta fija: rentabilidad esperada del 4 % y desviación estándar del 5 %
• Renta variable: rentabilidad esperada del 9 % y desviación estándar del 12 %
• Liquidez: rentabilidad esperada del 2 % y desviación estándar del 0,5 %

Supuestos adicionales:

• La correlación entre renta fija y renta variable es la que se indique en cada apartado.
• La correlación de la liquidez con los demás activos se considera nula.

Preguntas:

1. Calcular la rentabilidad esperada de la cartera.

2. Si el coeficiente de correlación entre renta fija y renta variable es 0,3, calcular la desviación estándar de la cartera.

3. Supongamos que la correlación entre renta fija y renta variable aumenta a 0,6. ¿Cómo afectaría esto a la volatilidad de la cartera?

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Caso práctico 4: análisis avanzado de un fondo frente a su índice de referencia

En este caso seguimos la formulación trabajada en clase. Por tanto:

• la beta del fondo, \(\beta_p\), se obtiene a partir del ratio de Treynor;
• el alfa del fondo, \(\alpha_p\), se calcula mediante la expresión de Jensen;
• el “tracking error” se estima como la parte del riesgo del fondo no explicada por el mercado;
• y el ratio de información se calcula como el cociente entre \(\alpha_p\) y \(\sigma_{\alpha,p}\).

Un fondo de inversión ha publicado su informe de resultados correspondiente a los últimos 36 meses. Un cliente desea comprender mejor la relación entre riesgo y rentabilidad del fondo en comparación con su índice de referencia.

A continuación se presentan los datos clave:

Indicador	Valor
Rentabilidad del fondo, \(R_p\)	12,00 %
Rentabilidad del índice de referencia, \(R_m\)	9,00 %
Volatilidad del fondo, \(\sigma_p\)	17,00 %
Volatilidad del índice, \(\sigma_m\)	12,00 %
Ratio de Treynor, \(T_p\)	0,072
Rentabilidad del activo libre de riesgo, \(R_f\)	3,00 %

Se pide:

1. Estimar la beta del fondo, \(\beta_p\).

2. Calcular el alfa de Jensen del fondo, \(\alpha_p\).

3. Estimar el “tracking error” del fondo, \(\sigma_{\alpha,p}\).

4. Calcular el ratio de información, \(RI\).

5. Interpretar los resultados obtenidos como si fueras un asesor financiero. En particular, debes explicar:

• qué indica la beta sobre la sensibilidad del fondo al mercado;
• si el alfa obtenido refleja una rentabilidad superior o inferior a la exigida por su nivel de riesgo sistemático;
• qué significa el valor de \(\sigma_{\alpha,p}\) en términos de desviación no explicada por el mercado;
• y qué indica el ratio de información sobre la calidad de la gestión.

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Soluciones propuestas

Se recomienda intentar resolver primero cada caso sin desplegar la solución, y utilizar después el desarrollo completo para comprobar el procedimiento y la interpretación financiera.

Solución del caso práctico 1

a) Ratio de Sharpe

El ratio de Sharpe se calcula como:

\[ S_p = \frac{R_p - R_f}{\sigma_p} \]

Sustituyendo los datos del fondo:

\[ S_p = \frac{0,334 - 0,048}{0,278} = \frac{0,286}{0,278} \approx 1,029 \]

Ratio de Sharpe del fondo: 1,029

Ahora calculamos el ratio de Sharpe del benchmark:

\[ S_m = \frac{R_m - R_f}{\sigma_m} = \frac{0,25 - 0,048}{0,19} = \frac{0,202}{0,19} \approx 1,063 \]

Ratio de Sharpe del benchmark: 1,063

Conclusión: el fondo no bate al mercado según el ratio de Sharpe, porque obtiene una rentabilidad por unidad de riesgo total ligeramente inferior a la del benchmark.

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b) Ratio de Treynor

El ratio de Treynor se calcula como:

\[ T_p = \frac{R_p - R_f}{\beta_p} \]

Sustituyendo:

\[ T_p = \frac{0,334 - 0,048}{1,13} = \frac{0,286}{1,13} \approx 0,253 \]

Ratio de Treynor del fondo: 0,253

Para el benchmark, asumiendo beta igual a 1:

\[ T_m = \frac{R_m - R_f}{\beta_m} = \frac{0,25 - 0,048}{1} = 0,202 \]

Ratio de Treynor del benchmark: 0,202

Conclusión: el fondo sí bate al mercado según el ratio de Treynor, porque ofrece mayor rentabilidad por unidad de riesgo sistemático.

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c) Alfa de Jensen

El alfa de Jensen se calcula como:

\[ \alpha_J = R_p - \left[ R_f + (R_m - R_f)\cdot \beta_p \right] \]

Sustituyendo los datos:

\[ \alpha_J = 0,334 - \left[0,048 + (0,25 - 0,048)\cdot 1,13 \right] \]

\[ \alpha_J = 0,334 - \left[0,048 + 0,202 \cdot 1,13 \right] \]

\[ \alpha_J = 0,334 - \left[0,048 + 0,22826 \right] \]

\[ \alpha_J = 0,334 - 0,27626 = 0,05774 \]

Alfa de Jensen: 0,0577, es decir, 5,77 %

Conclusión: el fondo sí bate al mercado según Jensen, ya que genera una rentabilidad adicional positiva respecto a la exigida por el CAPM.

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Tabla resumen

Métrica	Fondo	Benchmark	¿Bate al mercado?
Ratio de Sharpe	1,029	1,063	No
Ratio de Treynor	0,253	0,202	Sí
Alfa de Jensen	5,77 %	0,00 %	Sí

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Conclusión general

Este caso es especialmente útil desde el punto de vista docente porque muestra que la valoración del fondo depende de la métrica utilizada:

• Según Sharpe, el fondo no supera al benchmark.
• Según Treynor, sí lo supera.
• Según Jensen, también crea valor añadido.

Por tanto, no conviene utilizar una sola medida de evaluación, sino interpretar conjuntamente la relación entre rentabilidad, riesgo total y riesgo sistemático.

Solución del caso práctico 2

a) Rentabilidad esperada de la cartera

La rentabilidad esperada de una cartera de dos activos se calcula como:

\[ E_p = w_1E_1 + w_2E_2 \]

Sustituyendo:

\[ E_p = 0,30 \cdot 0,20 + 0,70 \cdot 0,05 \]

\[ E_p = 0,06 + 0,035 = 0,095 \]

Rentabilidad esperada de la cartera: 9,5 %

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b) Volatilidad de la cartera con correlación 0,35

La desviación estándar de una cartera de dos activos viene dada por:

\[ \sigma_p = \sqrt{w_1^2\sigma_1^2 + w_2^2\sigma_2^2 + 2w_1w_2\sigma_1\sigma_2\rho_{12}} \]

Sustituyendo los datos:

\[ \sigma_p = \sqrt{(0,30)^2(0,30)^2 + (0,70)^2(0,04)^2 + 2(0,30)(0,70)(0,30)(0,04)(0,35)} \]

\[ \sigma_p = \sqrt{0,0081 + 0,000784 + 0,001764} \]

\[ \sigma_p = \sqrt{0,010648} \approx 0,1032 \]

Volatilidad de la cartera: 10,32 %

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c) Intervalo con una probabilidad del 68 %

Bajo el supuesto de normalidad, aproximadamente el 68 % de los valores se sitúa en el intervalo:

\[ [E_p - \sigma_p,\; E_p + \sigma_p] \]

Sustituyendo:

\[ [0,095 - 0,1032,\; 0,095 + 0,1032] \]

\[ [-0,0082,\; 0,1982] \]

Intervalo estimado al 68 %: entre -0,82 % y 19,82 %

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Visualización de la distribución normal de la rentabilidad esperada

La mayor concentración de resultados probables se sitúa en torno a la media del 9,5 %, y aproximadamente el 68 % de los escenarios se encuentra entre el -0,82 % y el 19,82 %.

Este gráfico permite visualizar de forma clara:

• la rentabilidad esperada de la cartera;
• la dispersión de los resultados posibles;
• el intervalo más probable bajo el supuesto de normalidad.

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d) Cartera que maximiza la rentabilidad esperada si la correlación es perfecta e inversa

Aquí conviene subrayar una idea importante: la correlación no afecta a la rentabilidad esperada, sino al riesgo.

Si el objetivo es maximizar la rentabilidad esperada y no se permiten ventas en corto, la cartera óptima es:

• 100 % en renta variable
• 0 % en renta fija

Porque la renta variable ofrece una rentabilidad esperada del 20 %, superior al 5 % de la renta fija.

Conclusión: la cartera de máxima rentabilidad esperada sería la formada íntegramente por renta variable.

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e) Cartera de mínimo riesgo con correlación igual a -1

Si la correlación es perfectamente inversa, puede existir una combinación que elimine completamente el riesgo.

La condición para que la cartera tenga volatilidad nula es:

\[ w_{RV}\sigma_{RV} = w_{RF}\sigma_{RF} \]

Y además:

\[ w_{RV} + w_{RF} = 1 \]

Sustituyendo:

\[ w_{RV}\cdot 0,30 = w_{RF}\cdot 0,04 \]

Como:

\[ w_{RF} = 1 - w_{RV} \]

Entonces:

\[ 0,30w_{RV} = 0,04(1 - w_{RV}) \]

\[ 0,30w_{RV} = 0,04 - 0,04w_{RV} \]

\[ 0,34w_{RV} = 0,04 \]

\[ w_{RV} = \frac{0,04}{0,34} \approx 0,1176 \]

Y por tanto:

\[ w_{RF} = 1 - 0,1176 = 0,8824 \]

La cartera de mínimo riesgo sería aproximadamente:

• 11,76 % en renta variable
• 88,24 % en renta fija

Ahora calculamos su rentabilidad esperada:

\[ E_p = 0,1176 \cdot 0,20 + 0,8824 \cdot 0,05 \]

\[ E_p = 0,0235 + 0,0441 = 0,0676 \]

Rentabilidad esperada: 6,76 %

Como la correlación es -1 y las ponderaciones neutralizan exactamente el riesgo:

Volatilidad de la cartera: 0 %

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Conclusión general

Este caso permite distinguir con claridad dos ideas:

• la rentabilidad esperada depende de la combinación de pesos y rentabilidades de los activos;
• el riesgo depende también de la correlación entre ellos.

Cuando la correlación es perfectamente inversa, la diversificación alcanza su máximo efecto y puede incluso construirse una cartera sin riesgo.

Solución del caso práctico 3

a) Rentabilidad esperada de la cartera

La rentabilidad esperada de una cartera con tres activos se calcula como:

\[ E_p = \sum_{i=1}^{n} w_iE_i \]

Sustituyendo:

\[ E_p = 0,50 \cdot 0,04 + 0,40 \cdot 0,09 + 0,10 \cdot 0,02 \]

\[ E_p = 0,02 + 0,036 + 0,002 = 0,058 \]

Rentabilidad esperada de la cartera: 5,8 %

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b) Desviación estándar de la cartera con correlación 0,3

La varianza de la cartera es:

\[ \sigma_p^2 = (w_{RF}\sigma_{RF})^2 + (w_{RV}\sigma_{RV})^2 + (w_L\sigma_L)^2 + 2w_{RF}w_{RV}\sigma_{RF}\sigma_{RV}\rho \]

Se incluye el activo de liquidez en el término de varianza individual, aunque no tenga covarianza con los demás activos.

Sustituyendo:

\[ \sigma_p^2 = (0,50 \cdot 0,05)^2 + (0,40 \cdot 0,12)^2 + (0,10 \cdot 0,005)^2 + 2 \cdot 0,50 \cdot 0,40 \cdot 0,05 \cdot 0,12 \cdot 0,3 \]

\[ \sigma_p^2 = 0,000625 + 0,002304 + 0,00000025 + 0,00072 \]

\[ \sigma_p^2 = 0,00364925 \]

\[ \sigma_p = \sqrt{0,00364925} \approx 0,0604 \]

Desviación estándar de la cartera: 6,04 %

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c) Desviación estándar de la cartera con correlación 0,6

Si aumenta la correlación entre renta fija y renta variable, el término de covarianza aumenta y, con ello, también el riesgo total de la cartera.

Sustituyendo:

\[ \sigma_p^2 = (0,50 \cdot 0,05)^2 + (0,40 \cdot 0,12)^2 + (0,10 \cdot 0,005)^2 + 2 \cdot 0,50 \cdot 0,40 \cdot 0,05 \cdot 0,12 \cdot 0,6 \]

\[ \sigma_p^2 = 0,000625 + 0,002304 + 0,00000025 + 0,00144 \]

\[ \sigma_p^2 = 0,00436925 \]

\[ \sigma_p = \sqrt{0,00436925} \approx 0,0661 \]

Desviación estándar de la cartera: 6,61 %

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Interpretación financiera

Este resultado refleja una idea esencial en gestión de carteras:

• a mayor correlación entre activos, menor es el beneficio de la diversificación;
• por tanto, aumenta la volatilidad de la cartera.

La liquidez, aunque no esté correlacionada con el resto, sí contribuye al riesgo total a través de su varianza propia, aunque en este caso lo hace de forma muy reducida.

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Tabla resumen del efecto de la correlación

Volatilidad estimada de la cartera según la correlación entre renta fija y renta variable

Correlación..ρ.	Volatilidad.cartera....
-1.0	2.30
-0.5	4.16
0.0	5.41
0.3	6.04
0.6	6.61
1.0	7.30

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Gráfico: correlación y riesgo de la cartera

Figura 1

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Solución del caso práctico 4

Nota metodológica. En sentido estricto, el tracking error suele definirse como la volatilidad de la diferencia entre la rentabilidad del fondo y la de su benchmark. No obstante, en este caso práctico, y para mantener la coherencia con la nomenclatura y la formulación trabajadas en clase, utilizaremos como aproximación operativa:

\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{\sigma_p^2 - \beta_p^2 \cdot \sigma_m^2} \]

y calcularemos el ratio de información como:

\[ RI = \frac{\alpha_p}{\sigma_{\alpha,p}} \]

Esta simplificación es útil con fines docentes, aunque conviene recordar que, cuando \(\beta_p \neq 1\), esta medida debe interpretarse como una aproximación basada en la parte del riesgo no explicada por el mercado.

a) Beta del fondo

Partimos del ratio de Treynor:

\[ T_p = \frac{R_p - R_f}{\beta_p} \]

Despejando la beta del fondo:

\[ \beta_p = \frac{R_p - R_f}{T_p} \]

Sustituyendo los datos:

\[ \beta_p = \frac{0{,}12 - 0{,}03}{0{,}072} = \frac{0{,}09}{0{,}072} = 1{,}25 \]

Beta estimada del fondo: \(1{,}25\)

Esto indica que el fondo presenta una sensibilidad al mercado superior a la unidad. En consecuencia, tiende a amplificar los movimientos del índice de referencia.

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b) Alfa de Jensen

El alfa del fondo se calcula como:

\[ \alpha_p = R_p - \left[ R_f + \beta_p \cdot (R_m - R_f) \right] \]

Sustituyendo:

\[ \alpha_p = 0{,}12 - \left[ 0{,}03 + 1{,}25 \cdot (0{,}09 - 0{,}03) \right] \]

\[ \alpha_p = 0{,}12 - \left[ 0{,}03 + 1{,}25 \cdot 0{,}06 \right] \]

\[ \alpha_p = 0{,}12 - \left[ 0{,}03 + 0{,}075 \right] \]

\[ \alpha_p = 0{,}12 - 0{,}105 = 0{,}015 \]

Alfa de Jensen: \(1{,}50\,\%\)

El fondo ha generado una rentabilidad superior en 1,50 puntos porcentuales a la que cabría esperar según su nivel de riesgo sistemático.

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c) Tracking error

Siguiendo la formulación trabajada en clase, el tracking error se estima como:

\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{\sigma_p^2 - \beta_p^2 \cdot \sigma_m^2} \]

Sustituyendo los datos:

\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{0{,}17^2 - 1{,}25^2 \cdot 0{,}12^2} \]

\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{0{,}0289 - 1{,}5625 \cdot 0{,}0144} \]

\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{0{,}0289 - 0{,}0225} \]

\[ \sigma_{\alpha,p} = \sqrt{0{,}0064} = 0{,}08 \]

Tracking error estimado: \(8{,}00\,\%\)

Esta magnitud recoge la parte de la volatilidad del fondo que no queda explicada por su exposición sistemática al mercado.

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d) Ratio de información

El ratio de información se calcula como:

\[ RI = \frac{\alpha_p}{\sigma_{\alpha,p}} \]

Sustituyendo:

\[ RI = \frac{0{,}015}{0{,}08} = 0{,}1875 \]

Ratio de información: \(0{,}188\)

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e) Interpretación financiera

Desde el punto de vista del asesoramiento financiero, los resultados pueden interpretarse así:

• La beta de 1,25 indica que el fondo es más sensible que el mercado. Si el índice sube o baja, el fondo tenderá a moverse en una proporción mayor.

• El alfa positivo del 1,50 % sugiere que la gestión ha aportado valor añadido, ya que la rentabilidad obtenida supera la que sería exigible según el CAPM para ese nivel de riesgo sistemático.

• El valor de \(\sigma_{\alpha,p} = 8,00\,\%\) refleja una desviación relevante respecto a la rentabilidad explicada por el mercado. En este enfoque, esta magnitud representa la parte del riesgo del fondo no explicada por la beta.

• El ratio de información de 0,188 indica que el fondo genera alfa positivo, aunque con una eficiencia moderada en relación con el riesgo no explicado por el mercado.

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Conclusión general

Este caso permite observar que un fondo puede presentar simultáneamente:

• una beta superior a 1, lo que implica mayor sensibilidad al mercado;
• un alfa positivo, lo que apunta a una generación de valor añadido;
• y un nivel apreciable de riesgo no explicado por el mercado, recogido por \(\sigma_{\alpha,p}\).

Por tanto, el análisis conjunto de \(\beta_p\), \(\alpha_p\), \(\sigma_{\alpha,p}\) y \(RI\) resulta fundamental para evaluar la calidad de la gestión del fondo.

Ideas clave para la tutoría final

Para trabajar bien la Actividad 2 conviene que el alumno distinga con claridad:

• la diferencia entre rentabilidad esperada, riesgo total y riesgo sistemático;
• cuándo debe utilizar Sharpe, Treynor y Jensen según la métrica que exija el caso;
• cómo afecta la correlación a la volatilidad de una cartera;
• por qué una cartera o un fondo puede parecer mejor o peor según la métrica de evaluación utilizada;
• la diferencia entre la rentabilidad explicada por el mercado y la parte no explicada por la beta;
• cómo interpretar conjuntamente beta, alfa, “tracking error” y ratio de información en el análisis de fondos;
• y que la diversificación no elimina siempre el riesgo, pero puede reducirlo de forma muy significativa.